梯形存在性问题
八年级(下)数学 同步讲义 四边形的存在性
四边形的存在性内容分析本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线，考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识结构模块一平行四边形的存在性知识精讲平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系进行求解即可．在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。
在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形．- 2 -ABCM 1M 2M 31、 知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M 点）．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3） 更换顶点，求出所有可能的点；（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =24 cm ，BC =26 cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm /s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形； （2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形．例题解析思路剖析【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3， 0)，点B 的坐标为B (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行 四边形，求点D 的坐标．ABOxyAB Oxy【例4】如图，已知直线l1经过点A(－5，－6)且与直线l2：362y x=-+平行，直线l 2与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形．并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案．【例5】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．xOy- 4 -【例6】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠B 是锐角，AF ⊥BC 于点F ， CH ⊥AD 于点H ， 在AB 边上取点E ，使得AE ＝AH ，在CD 边上取点G ，使得CG ＝CF ．联结EF 、FG 、GH 、HE ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）当∠B 为多少度时，四边形EFGH 是正方形．并证明．【例7】 如图所示，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，正比例函数y =kx （x 为自变量）的图像与双曲线2y x=-交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）求k 的值；（2）将直线y =kx （x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．ABC OxyABCDEFGH- 6 -【例8】 在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，将一个30°角的顶点P 放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，30°的另一边交射线BC 于点D ，连ED ．（1）如图，当四边形PBDE 为等腰梯形时，求AP 长；（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE 为平行四边形时，AP 的长，若不可能，说明理由；（3）若点D 在BC 边上（不与B 、C 重合），试写出线段AP 的取值范围．ABCDE P梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k 相等而b 不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．【例9】 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12cm ，DC =8cm ，且∠C =60°，动点P 以1cm/s的速度从点A 出发，沿AD 方向向点D 移动，同时，动点Q 以2cm /s 的速度从点C 出发，沿C 出发，沿CB 方向向点B 移动，连接PQ ，（1）得四边形ABQP 和四边形PQCD .若设移动的时间为t 秒（0＜t ＜7），四边形PQCD 的面积为ycm ²，求y 与t 的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形QPCD 是等腰梯形．说明理由； （3）当t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形．模块二 梯形的存在性知识精讲例题解析QPBCDA- 8 -【例10】 如图，一次函数33y x b =+的图像与x 轴相交于点A (53，0)、与y 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标及∠ABO 的度数；（2）如果点C 的坐标为（0，3），四边形ABCD 是直角梯形，求点D 的坐标【例11】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点G 为BC 的中点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且CE ＝12BC ，过点E 作EF //CA ，交CD 于点F ，联结OF ．（1）求证：OF //BC ；（2）如果四边形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【例12】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1经过O 、A (1，2)两点，将直线l 1向下平移6AB C OxyABCDEFGO个单位得到直线l 2，交x 轴于点C ，B 是直线l 2上一点，且四边形ABCO 是平行四边形．（1）求直线l 2的表达式及点B 的坐标；（2）若D 是平面直角坐标系内的一点，且以O 、A 、C 、D 四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点D 的坐标．【例13】 已知一次函数142y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，梯形AOBC 的边AC =5．（1） 求点C 的坐标；（2） 如果点A 、C 在一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次 函数的解析式【例14】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，点P 是x 轴上一动点，以线段APAOC xy为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ＝90°；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABOPQ xyABO xy图1备用图- 10 -【例15】 在直角平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y =x +b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）若动点P 在x 轴的正半轴上，以每秒2个单位长的速度向右运动；动点Q 在射线CM 上，且以每秒1个单位长的速度向右运动，若P 、Q 分别由O 点、C 点同时出发，问几秒后，以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形可以成为平行四边形；以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形是否可以成为等腰梯形．写出理由．1AO4CxMy- 12 -【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【习题2】 如图，在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与y 轴交于点A ，与直线12y x =相交于点B ，点C 是线段OB 上的点，且△AOC 的面积为12． （1）求直线AC 的表达式；（2）设点P 为直线AC 上的一点，在平面内是否存在点Q ，使四边形OAPQ 为菱形， 若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．随堂检测ABCOxy ABO xy【习题3】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm /s 的速度向D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3 cm /s 的速度向B 运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t 秒，当t 为何值时，线段PQ ＝CD ．【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A 、B两点，点A 的坐标为(2，3)，点B 的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）如果点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCD 是平行四边形，求直线CD 的表达式．课后作业ABCDQPAB CDABOxy【作业2】已知一条直线y=kx+b在y轴上的截距为2，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△ABO的面积为4．（1）求点A的坐标；（2）若k<0，在直角坐标平面内有一点D，使四边形ABOD是一个梯形，且AD∥BO，其面积又等于20，试求点D的坐标．【作业3】定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．（1）若特征数为[3，k－1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A(3-，0)，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图像的交点为C (m，4)．求过A、B两点的一次函数的特征数；（3）在（2）的条件下，若点D与A、O、C构成的四边形为平行四边形，直接．．写出所有符合条件的点D的坐标．A BCO x y- 14 -【作业4】 如图所示，直线y =-2x +12，分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，点D 的纵坐标是4． （1） 求点C 的坐标和直线AD 的解析式；（2） P 是直线AD 上的点，请你找出一点Q ，使得以O 、A 、P 、Q 这四个点为顶点的 四边形是菱形，写出所有满足条件的Q 的坐标．BA Cyx。
专题02二次函数中四边形的存在性问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 (原卷版)
专题02 二次函数中四边形的存在性问题目录最新模考题热点题型归纳【题型一】 梯形存在性【题型二】 平行四边形存在性【题型一】 梯形存在性【典例分析】（2023杨浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC，CB，直线y＝4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．【提分秘籍】梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平行，另一组对边不平行即可。
所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制 (在某一直线上)，要么对梯形形状有较高要求(等腰或直角)。
综合利用各个条件，才能求出最后的结果【变式演练】1.（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x22﹣x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x22﹣x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．2.【2021年青浦二模】（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．【题型二】 平行四边形存在性【典例分析】（2022•宝山区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左平移m个单位（m＞2），平移后点A、B、C的对应点分别记作A1、B1、C1，过点C1作C1D⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、B1为顶点的三角形与△A1C1D相似，①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形A1FEB1为平行四边形，求m的值．【提分秘籍】解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．已知定点的个数不同，选用的方法也不同，通常有以下两种情况：1、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．2、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．【变式演练】﹣与x轴1.【2021年杨浦二模】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x5相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．2．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知抛物线()20=+¹经过y ax bx a()1,3B-两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点 D与点B关于抛A，()4,0物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当CED OBDÐÐ时，求点 E的坐标；=（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．﹣经过点A（﹣3.【2021年崇明二模】（12分）已知抛物线y＝ax2+bx41，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．【题型三】 矩形的存在性【典例分析】【提分秘籍】二次函数中的矩形存在性问题相交于平行四边形的存在性问题而言，其难度更大。
梯形教学反思
梯形教学反思引言概述：梯形教学是一种教学方法，通过分层次的教学内容和不同难度的学习任务，帮助学生逐步掌握知识和技能。
然而，梯形教学也存在一些问题和不足，需要进行反思和改进。
一、教学目标设定不清晰1.1 学习目标过于宽泛在梯形教学中，有时候教师设定的学习目标过于宽泛，导致学生无法准确理解任务要求。
1.2 学习目标缺乏具体性有些学习目标缺乏具体性，学生难以根据目标进行学习计划和实施。
1.3 学习目标与评估不匹配有时候学习目标与评估方式不匹配，导致学生无法有效评估自己的学习成果。
二、教学内容设计不合理2.1 缺乏深度和广度的平衡在梯形教学中，有时候教学内容缺乏深度和广度的平衡，导致学生无法真正掌握知识。
2.2 学习内容过于简单有些教学内容过于简单，无法激发学生的学习兴趣和动力。
2.3 学习内容与学生实际需求不符有时候教学内容与学生的实际需求和兴趣不符，导致学生学习动力不足。
三、教学方法选择不当3.1 教学方法单一在梯形教学中，有时候教师使用的教学方法过于单一，无法满足不同学生的学习需求。
3.2 缺乏互动性和趣味性有些教学方法缺乏互动性和趣味性，导致学生学习效果不佳。
3.3 忽视学生自主学习能力有时候教师忽视了学生的自主学习能力，过度依赖教师指导，影响学生的学习效果。
四、学生参与度不高4.1 学生 passivity在梯形教学中，有时候学生的参与度不高，缺乏主动性和积极性。
4.2 学生缺乏合作精神有些学生缺乏合作精神，无法与同学有效合作，影响学习效果。
4.3 学生缺乏自主学习能力有时候学生缺乏自主学习能力，无法独立完成学习任务，依赖教师指导。
五、评估方式单一5.1 缺乏多样性评估在梯形教学中，有时候评估方式过于单一，无法全面评价学生的学习成果。
5.2 评估方式不公平有些评估方式不公平，给予某些学生不公平的评价，影响学生的学习积极性。
5.3 评估方式与学习目标不匹配有时候评估方式与学习目标不匹配，导致学生无法准确评价自己的学习成果。
梯形教学反思
梯形教学反思引言概述：梯形教学是一种教学方法，通过分层次、分难易程度的教学，帮助学生逐步掌握知识和技能。
然而，梯形教学也存在一些问题和挑战，需要进行反思和改进。
一、梯形教学的优点1.1 个性化学习：梯形教学可以根据学生的不同水平和需求，进行个性化的教学，帮助每个学生更好地掌握知识。
1.2 逐步深入：梯形教学可以逐步深入，让学生从简单到复杂、从表面到深层次地掌握知识，有利于知识的牢固掌握。
1.3 提高学习效率：梯形教学可以让学生在适当的时间内逐步提高学习难度，有效提高学习效率，避免学生出现学习困难。
二、梯形教学的不足之处2.1 缺乏灵活性：梯形教学可能会限制学生的学习速度和学习方式，导致学生学习不够主动，缺乏灵活性。
2.2 忽视学生个体差异：梯形教学可能会忽视学生的个体差异，导致一些学生被忽略或者被边缘化，影响教学效果。
2.3 学习压力过大：梯形教学可能会给学生带来过大的学习压力，导致学生焦虑和厌学，影响学习积极性。
三、改进梯形教学的方法3.1 引入个性化学习：在梯形教学中引入个性化学习的元素，根据学生的不同需求和水平，进行差异化教学，提高教学效果。
3.2 增加互动性：增加学生与教师之间的互动，让学生更加主动参与学习过程，提高学习的积极性和效果。
3.3 结合实践：在梯形教学中增加实践环节，让学生通过实际操作来巩固所学知识，提高学习的实效性。
四、梯形教学的应用领域4.1 在学校教育中的应用：梯形教学可以在学校教育中广泛应用，帮助学生更好地掌握知识和技能，提高学习效率。
4.2 在培训机构中的应用：梯形教学可以在培训机构中应用，帮助学员逐步提高技能水平，达到培训的预期效果。
4.3 在企业内部培训中的应用：梯形教学可以在企业内部培训中应用，帮助员工逐步提高工作能力，提高企业绩效。
五、结语梯形教学是一种有效的教学方法，但也需要不断反思和改进，以适应不断变化的教育环境和学生需求。
通过引入个性化学习、增加互动性、结合实践等方法，可以提高梯形教学的效果，更好地服务于学生的学习和发展。
存在性问题专题
存在性问题存在性问题是一种常见的探索性问题，也是中考中命题者用来考查同学们探索能力、猜想能力和归纳能力的常用题型之一，其解法的一般思路是假设存在，然后导出某个结论，如果该结论合理，则说明假设成立，其结论存在；如果该结论不合理，则说明假设错误，所探索的结论不存在．1、如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，3）两点，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ． （1）求直线AB 的解析式；（2）若S 梯形OBCD C 的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P ，使得以P ，O ，B 为顶点的三角形与△OBA 相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由2、如图，在平面直角坐标系中，点A 是动点且纵坐标为4，点B 是线段OA 上的一个动点．过点B 作直线MN 平行于x 轴，设MN 分别交射线OA 与X •轴所形成的两个角的平分线于点E 、F ．（1）求证：EB=BF ； （2）当OBOA为何值时，四边形AEOF 是矩形？并证明你的结论； （3）是否存在点A 、B ，使四边形AEOF 为正方形．若存在，求点A 与点B 的坐标；• 若不存在，请说明理由．3、如图，Rt △OAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O 与原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，CAO=30°，将Rt △OAC •折叠，•使OC 边落在AC 边上，点O 与点D 重合，折痕为CE ． （1）求折痕CE 所在直线的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）设点M 为直线CE 上的一点，过点M 作AC 的平行线，交y 轴于点N ，是否存在这样的点M ，使得以M 、N 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为x=1，B （3，0），C （0，-3）．（1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，C 为切点，AC=6cm ，AB=10cm ． （1）试猜想∠ACM 与∠B 的大小有什么关系？并说明理由．（2）在切线MN 上是否存在一点D ，使得以A 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请确定点D 的位置；若不存在，请说明理由．B6、如图，抛物线y=ax 2+bx 过点A （4，0），正方形OABC 的边BC •与抛物线的一个交点为D ，点D 的横坐标为3，点M 在y 轴负半轴上，直线L 过D 、M •两点且与抛物线的对称轴交于点H ，tan ∠OMD=13． （1）写出a ，b 的值：a=_____，b=______，并写出点H 的坐标（______，______）．（2）如果点Q 是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q ，使得以点O ，M ，•Q ，H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7、已知：如图，抛物线经过A （-3，0），B （0，4）和C （4，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）已知AD=AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1•个单位长度的速度移动；同时．．另一动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？•若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（注：抛物线y=ax 2+bx+c 的对称 轴为x=-2ba）8、如图，已知抛物线L 1：y=x 2-4的图像与x 轴交于A 、C 两点． （1）若抛物线L 1与L 2关于x 轴对称，求L 2的解析式； （2）若点B 是抛物线L 1上的一个动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C •三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D ，求证：点D 在L 2上；（3）探索：当点B 分别位于L 1在x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，•并求出它的面积；若不存在，请说明理由．9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=8cm ，CD=2cm ，AD=6cm ，点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 运动；点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CD 、DA 向终点A 运动（P 、Q 两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P 、Q 同时出发并运动了t 秒．（1）当PQ 将梯形ABCD 分成两个直角梯形时，求t 的值；（2）试问是否存在这样的t ，使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半？若存在，求出这样的t 的值，若不存在，请说明理由．10、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =DC =5，AD =4，BC =10． 点E 在下底边BC 上，点F 在腰AB 上．（1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积； （2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由．11、如图2，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴交于A 、C 两点． （1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式； （2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D ，求证：点D 在l 2上；（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．12、已知关于x 的一元二次方程.0)2(4122=+--m x m x 问是否存在正数m ，使方程的两实根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由。
二次函数中的梯形、菱形存在性问题 学生版
二次函数中的梯形、菱形存在性问题学生版二次函数在数学中起着重要的作用。
学生在研究二次函数时，常常会遇到与梯形和菱形相关的问题。
本文将讨论二次函数中梯形和菱形的存在性问题。
梯形的存在性问题一个梯形是由两个平行线段和连接它们的两个非平行线段组成的四边形。
在二次函数中，存在一个梯形的问题是问是否有一组值可以满足二次函数图像上的四个点构成一个梯形。
具体而言，我们需要找到一组x坐标值，使得对应的y坐标值满足梯形的定义。
在解决梯形的存在性问题时，我们可以利用二次函数的性质。
首先，如果一个函数的二次项系数为正，则函数图像是开口向上的抛物线。
这意味着我们可以通过选择x坐标值，使得对应的y坐标值形成一个梯形。
然而，如果二次项系数为负，则函数图像是开口向下的抛物线。
在这种情况下，我们无法找到一组值构成一个梯形。
菱形的存在性问题一个菱形是一个具有四个相等边长且相邻两边互相垂直的四边形。
在二次函数中，存在一个菱形的问题是问是否有一组值可以满足二次函数图像上的四个点构成一个菱形。
具体而言，我们需要找到一组x坐标值，使得对应的y坐标值满足菱形的定义。
解决菱形的存在性问题与解决梯形的问题类似。
如果二次函数图像是对称的，即以y轴或x轴为对称轴，则可以找到一组值构成一个菱形。
这是因为对称性保证了相邻两边互相垂直，并且相等边长可以通过选择x或y坐标值来实现。
总的来说，在二次函数中，梯形和菱形的存在性问题取决于函数的性质。
通过了解二次函数的开口方向和对称性，我们可以判断是否存在满足梯形和菱形定义的点集。
2020年九年级数学中考复习：二次函数压轴动点问题
二次函数动点问题以不变应万变 一题多问 多题归一类型一 定点问题类型二 抛物线动点存在性问题 ———线段和差问题类型三 抛物线动点存在性问题———等腰三角形存在性问题 类型四 抛物线动点存在性问题———三角形面积最大值类型五 抛物线动点存在性问题 ——— 四边形面积最大值 类型六 抛物线动点存在性问题——— 特殊角度问题类型七 抛物线动点存在性问题———直角三角形存在性问题 类型八 抛物线动点存在性问题——— 相似三角形存在性问题 类型九 抛物线动点存在性问题———平行四边形存在性问题 类型十 抛物线动点存在性问题———梯形存在性问题题干：抛物线32-x y 2-=x 与y 轴交于点B ，与x 轴交于C,D （C 在D 点的左侧），点A 为顶点 。
类型一定点问题（直接三角形判定，两点之间距离公式，勾股定理的运用）（1）判定三角形ABD的形状？并说明理由。
【通法：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】（两点之间距离公式，相似三角形的判定）（2）三角形ABD与三角形BOD是否相似？说明理由。
【通法：用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法】类型二抛物线动点存在性问题———线段和差问题（3）在x轴上是否存在点P，使PB+PA最短？若存在求出点P的坐标，并求出最小值。
若不存在，请说明理由。
【通法：在两定点中任选一个点（为了简单起见，常常取轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连】（4）在y轴上是否存在点P，使三角形PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值;若不存在，请说明理由。
【通法：注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需ＰＡ＋ＰＤ最小】（5）在直线BC上是否存在点P，使三角形PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值;若不存在，请说明理由。
（6）在y轴上是否存在点P，使PAPD-最大？若存在，求出点P的坐标，并求出PAPD-的最大值;若不存在，请说明理由。
存在性问题和最值问题的解法
“存在性”问题和“最值”问题的解决方法一、关于存在性问题1、什么样的情况会引发出“存在性问题？从一个整体情况或一个变化过程中，判断满足某种特殊要求的情况是否存在，并在存在时将其寻找出来，这样的问题就是“存在性”问题。
如：题1如某月的月历，像图中那样用方框框住4个数字，是否存在以下情况：使框住的4个数字和为100？为90？若存在，请写出这4个数字，若不存在，请说明理由。
题 2 如图（1），四边形ABCD 是边长为6的正方形，动点P从A 点P 出发，以每秒1个单位的速度沿AB 边向B 点运动，动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位的速度沿边运动，两点同时出发，点P 到达B 处时两点运动停止，记Q P ,的运动时间为t 。
（1）是否存在时刻t ，使线段PQ 将正方形ABCD 的周长分为相等的两部分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
（2）是否存在时刻t ，，使线段PQ 将正方形ABCD 的面积分为1：2两部分，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
（1） （2）题 3 如图（2），在ABC ∆中，︒=∠90C ，在斜边AB 上是否存在点O ，使以O 为圆心，以OA 为半径的圆，恰好与BC 相切？若存在，请作出⊙O （保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。
像以上三个题目都属于“存在性”问题。
2、“存在性”问题的基本类型和解决方法 “存在性”问题大体可分为两类：Ⅰ、由数量关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）； Ⅱ、由位置关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求）。
（1）由数量关系确定的“存在性”问题这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要是借助于构造方程。
例1 （见前面的题1）【观察与思考】第一，框住的4个数字，若设左上角的数字为a ，则这4个数字的和为164)8()7()1(+=++++++a a a a a 。
本题就是判断图中有无数字a ，使和164+a 分别为100，90？有这样的数字a 时，求出a 的值。
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梯形存在性问题解析（二）
（1）定方向：梯形；直角梯形；等腰梯形； （2）定分类：过确定的三点构造梯形，即过每个顶点做对边的平行线；直角梯形要围绕直角做平行线,等腰梯形在平行线的基础上要利用圆规截取两腰相等。
（2）定解法：代数法求解联立两个解析式求交点，几何法寻找代求点的横纵坐标之间的关系。
（4）定结果：将结果汇总。
【典型例题】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OA 、OC 分别与x 轴、
y 轴重合，OC AB //,,21245,90==∠=∠BC BCO AOC 点C 的坐标为()018-，
. （1）求点B 的坐标；
（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D,交y 轴于点E ,且.2,4BD OD OE ==求直线DE 的解析式；
（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ,使以Q P E O 、、、为顶点的四边形是菱形?若存在请写出点Q 的坐标，若不存在请说明理由。
解：(1)过点B 作x BF ⊥轴交于点F. 12,212,45==∴==∠︒BF CF BC BCO
C 的坐标为()0,18-，
B ∴的坐标为()12,6-.
(2) .
560,6).12,6(),12,0(22=+==∴-AB OA B AB B A .543
2,2==∴=OB OD BD OD OB 的解析式为∴-=.2x y 设D 的坐标为()x x 2,-.即可求出点D 的坐标为)8,4(-D .所以直线DE 的解析式为4+-=x y 。
(3) 结论：存在．
设直线y=﹣x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ，
则E （0，4），F （4，0），
OE=OF=4，EF=4．
如答图2所示，有四个菱形满足题意．
①菱形OEP1Q1，此时OE 为菱形一边．
则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF ﹣P1E= 4
﹣4．
易知△P1NF 为等腰直角三角形， ∴P1N=NF=P1F=4﹣2；
设P1Q1交x 轴于点N ，
则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2
）=2，
又ON=OF ﹣NF= 2
， ∴Q1（2，﹣2）； ②菱形OEP2Q2，此时OE 为菱形一边．
此时Q2与Q1关于原点对称，
∴Q2（﹣2，2）；
③菱形OEQ3P3，此时OE 为菱形一边．
此时P3与点F 重合，菱形OEQ3P3为正方形，
∴Q3（4，4）；
④菱形OP4EQ4，此时OE 为菱形对角线．
由菱形性质可知，P4Q4为OE 的垂直平分线，
由OE=4，得P4纵坐标为2，
代入直线解析式y=﹣x+4，得P4横坐标为2，
则P4（2，2），
由菱形性质可知，P4、Q4关于OE 或x 轴对称，
∴Q4（﹣2，2）．
综上所述，存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形；
点Q 的坐标为：Q1（2，﹣2），
Q2（﹣2，2），
Q3（4，4），Q4（﹣2，2）． 【例2】如图1-1
，四边形ABCD 是直角梯形，.28cm 24AD ,90,cm BC B BC AD ===∠︒，∥点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点后，另一个点也随之停止运动。
从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD 成为平行四边形？成为梯形？
解析：这道题目中蕴含了一个经典的判断题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形？答案是否定的。
它可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，区别在于另一组对边是否平行。
如图1-2，如果四边形PQCD 是平行四边形，那么PD=QC.
所以24-t=3t.解得t=6.
如图1-3,如果四边形PQCD 是等腰梯形，作BC DN BC PM ⊥⊥,,垂足分别为M,N ，那么QM=CN.所以
t-(28-3t)=4.解得t=8.
【例3】如图3-1A,B 是双曲线x
y 2=上的两点，A,B 的
横坐标分别为2和-1，x BC ⊥轴，垂足为C.在双曲线
上是否存在点D ，使得以A,B,C,D 为顶点的四边形是梯
形？如果存在，求出点D 的坐标，如果不存在，请说
明理由。
解析：ABC ∆确定的，过每个顶点画对边的平行线，
与双曲线的交点就是要求的点 D.已知
A(2,1）,B(-2,-1),C(-1,0).
①过点A 作BC 的平行线，则不存在点D 。
②过点B 作AC 的平行线交双曲线与点1D ，因为直线AC 的解析式为3
131+=x y ，所以直线1BD 的解析式为3131-=x y ，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x
y x y 23131解得3,(221=-=x x 舍去）.所以)32
,3(1D
③过点C 作AB 的平行线交双曲线与32,D D 两点。
同理)417
1,217
1(),4171,2171(32--+-+--D D。