备战中考数学二轮专题归纳提升真题二次函数存在性问题(1)—与三角形相关(解析版)
2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)
一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。
2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。
三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。
求△AOB的面积。
【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。
代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。
当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。
因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。
所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。
中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案
中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求P 的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M 为抛物线上的点，使得2BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点()3,0A -，()0,4C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MBC 的周长最小时，求M 点的坐标．(3)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(4)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C 和P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()40A ，、()30B -，两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)如图①，点D 是x 轴下方抛物线上的动点，且不与点C 重合．设点D 的横坐标为m ，以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式．(3)如图①，连结BC ，点M 为线段AB 上一点，点N 为线段BC 上一点，且BM CN n ==，直接写出当n 为何值时BMN 为等腰三角形．5．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结OD ，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横生标为m (05)m <<，连结MQ ，BQ 和MQ 与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t S =己，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC 交于点D ，若E 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求ECD 面积的最大值；(3)如图①，P 是直线AC 上的一个动点，是否存在点P ，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线23432363y x x =++与x 轴交于点A ，B （A 在B 左边），与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，交y 轴于点P ．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN AC ⊥，连GM 和NO ，求GM MN NO ++的最小值；(2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FH x ⊥轴于点H 交AC 于点L ，将AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到A H L '''（点A ，H ，L 分别对应点A '，H '和L '），再将A H L '''绕点H '逆时针旋转(0180)αα︒<<︒，旋转过程中，边A L ''所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点，与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为腰的等腰三角形；若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A -，B ，对称轴是1x =，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点M ，使得BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴交于(3,0)A -、(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上位于第三象限内的一点．(1)求抛物线的解析式．(2)连接AP 、PC 和CB ，求四边形APCB 面积的最大值及此时P 点的坐标．(3)点D 为抛物线对称轴上的一点，当以点A 、C 、D 为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的过程写出来．11．已知拋物线2y ax bx c =++经过点()120B ，和()06C -，，对称轴为直线2x =．(1)求该拋物线的解析式；(2)点D 在线段AB 上，且AD AC =，若动点P 从A 点出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 点出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻t ，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线与x 轴交于1030A C -（，）、（，），与y 轴交于点03B -（，）．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)在x 轴上是否存在点P ，使PBC 为等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M 为抛物线上一动点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以点O 、B 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A B ､两点，与y 轴交于点C ，拋物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()()1,0,0,2A C -．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段BC 上的一个动点（不与B C ､重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线与x 轴交于1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ①当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()60A ，和()10B -，，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 、C 作直线AC ．(1)求抛物线的函数解析式．⊥交AC于点F，过点P作(2)点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PF AC∥交x轴于点E，求AE PFPE AC+的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）问的条件下，将抛物线23=+-沿射线CB方向平移10个单位长度得y ax bx到新抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线交于点M；连接CP，把线段CP沿直线AC平移，记平移后的线段为C P''，当以C'、P'和M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P'点的坐标．参考答案： 1．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为42．(1)223y x x =-++(2)()1,1P(3)M 点横坐标为3172+或3172-或1或23．(1)248433y x x =--+ (2)81,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)252S =，3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)P 的坐标为：()1,0-或()1,13-或()1,13--或131,8⎛⎫- ⎪⎝⎭4．(1)211433=--y x x (2)当30m -<<时28S m =-+；当04m <<时228833S m m =-++． (3)52n =，2511n =和3011n = 5．(1)(5,5) ()2,4-(2)点P 的坐标为()()()()25,025,04,05,0-或或或(3)()21525056224t m m ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，t 的最大值为25246．(1)223y x x =--+(2)98ECD S =最大△(3)点P 的坐标为()535--，或()535+，或5122⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()21-，．7．(1)239745+(2)17333-或8338．(1)211242y x x =-- (2)存在，12PK PD +的最大值为258 335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，M 的坐标为()111，或()111-，或()1219-+，或()1219--，．9．(1)223y x x =-++(2)点P 的坐标为(1,1)(3)存在，点M 的横坐标为352+或35210．(1)223y x x =+-(2)点P 坐标为315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ max 758ABCP S =四边形 (3)1(1,14)D - 2(1,14)D -- 3(1,173)D -- 4(1,173)D --- 5(1,1)D --；11．(1)2116164y x x =--； (2)存在5t =时线段PQ 被直线CD 垂直平分，点Q 的运动速度每秒355单位长度； (3)1(2,0)M 2(33,0)10M -+ 3(33,0)10M -- 4(15,0)M ；12．(1)2=23y x x --(2)3,0-（）或(323,0)+,或(323,0)-+,或0,0（） (3)存在Q 1Q ：321213(,)22+- 2321213,)22(Q -+- 3)213(,22192Q --4)321(,29212Q +-+-13．(1)213222y x x =-++ (2)当2x =时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132，此时()2,1E (3)存在，满足条件的P 点坐标为35353325,,,4,22222216⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，14．(1)245y x x =--+(2)①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；①()38-，或()45-，或()25622--，15．(1)215322y x x =-- (2)AE +PF 的最大值为：9595+；此时()3,6P - (3)点P '的坐标为：172112911,55⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或172412911,55⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭或()11,13--。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题二次函数系数问题(解析版)
专题03 二次函数系数问题【知识点梳理】1、二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系2、常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：（2）韦达定理：若二次函数y =ax 2+bx +c 图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（x 1，0）和（x 2，0），则x 1+x 2=−ba，x 1⋅x 2=ca。
（3）赋值法：在二次函数y =ax 2+bx +c 中，令x =1，则y =a +b +c ；令x =−1，则y =a −b +c ；令x =2，则y =4a +2b +c ；令x =−2，则y =4a −2b +c ；利用图象上对应点的位置来判断含有a 、b 、c 的关系式的正确性。
【典例分析】【例1】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a-b=0；⑥b2-4ac ＞0．下列结论一定成立的是【答案】①②③⑥【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴ac＜0，故①正确；②由图象可知，二次函数与x轴的交点横坐标为-1和3，∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3，故②正确；③当x=1时，y＜0∴a+b+c＜0，故③正确；④∵方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3∴对称轴为x=x1+x22=−1+32=1由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误；⑤∵对称轴−b2a=1∴b=-2a，2a+b=0，故⑤错误；⑥∵二次函数与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac＞0，故⑥正确。
故答案为：①②③⑥【练1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C 点，OA=OC．则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0；②4ac-b2＞0；③a-b+c＞0；④ac+b+1=0．其中正确的个数是（）A.4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故①正确；②由图象可知，二次函数与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0故②错误；③当x=-1时，y＞0∴a-b+c＞0，故③正确；④∵C（0，c），OA=OC，∴A（c，0）∴当x=c时，y=0，即（c）²+bc+c=0∵c≠0正确错误.故答案为：B.【练2】小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0．你认为其中正确的信息是（）A.①②③⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ②③④⑤【答案】A【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，故①正确；②abc＞0，故②正确；③由图象可知当x=-1时，y＞0∴a-b+c＞0，故③正确；④∵对称轴−b2a =13∴3b=-2a，2a+3b=0，故④错误；⑤∵当x=2时，y＞0即4a+2b+c＞0∵3b=-2a∴2×（-3b）+2b+c=c-4b＞0，故⑤正确.故答案为：A.【例2】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−1，其图象如图所示．下列结论：①abc<0；②(4a+c)2<(2b)2；③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点，则当|x1+1|>|x2+1|时，y1<y2；④抛物线的顶点坐标为(−1,m)，则关于x的方程ax2+bx+c=m−1无实数根．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】解：①∵抛物线图象开口向上，∴a>0，∵对称轴在直线y轴左侧，∴a，b同号，b>0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c<0，∴abc<0，故①正确．②(4a+c)2−(2b)2=(4a+c+2b)(4a+c−2b)，当x=2时ax2+bx+c=4a+2b+c，由图象可得4a+2b+c>0，当x=−2时，ax2+bx+c=4a−2b+c，由图象可得，4a−2b+c<0∴(4a+c)2−(2b)2＜0，即，(4a+c)2<(2b)2故②正确．③|x1+1|=|x1−(−1)|，|x2+1|=|x2−(−1)|，∵|x1+1|>|x2+1|∴点(x1，y1)到对称轴的距离大于点(x2，y2)到对称轴的距离，∴y1>y2，故③错误．④∵抛物线的顶点坐标为(−1,m)，∴由图象知，y＞m，∴ax2+bx+c>m，∴ax2+bx+c=m−1无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故答案为：B．【练1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示．已知图象经过点(−1,0)，其对称轴为直线x =1．下列结论：①abc <0；②4a +2b +c <0；③8a +c <0；④若抛物线经过点(−3,n )，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=≠的两根分别为−3，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解：①由图象可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x = −b2a =1，且图象与x 轴交于点（﹣1，0）， ∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a ， ∴根据图象，当x =2时，y =4a +2b +c ＞0，故②错误；③根据图象，当x =﹣2时，y =4a ﹣2b +c =4a +4a +c =8a +c ＜0，故③正确； ④∵抛物线经过点(−3,n )，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点(5,n )，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =n 的交点坐标为（﹣3，n ）和（5，n ）， ∴一元二次方程ax 2+bx +c −n =0(a ≠0)的两根分别为−3，5， 故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④， 故答案为：C ．【练2】已知抛物线y =ax 2+bx +c （a,b,c 是常数，a ≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x =−2时，与其对应的函数值y >1．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程ax 2+bx +c −3=0有两个不等的实数根；③a +b +c >7．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c （a,b,c 是常数，a ≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x =−2时，与其对应的函数值y >1． ∴c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1， ∴a -b = -2,2a -b ＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵ax2+bx+c−3=0,∴△=b2−4a(c−3)=b2+8a＞0,∴ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故答案为：D．【例3】抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A(1,0)，B(m,0)（−2< m<−1），下列结论：①2b+c>0；②2a+c<0；③ a(m+1)−b+c>0；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，则244ac b a-<．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0把A(1,0)，B(m,0)代入y=ax2+bx+c得{a+b+c=0am2+bm+c=0，∴am2+bm=a+b∴am2+bm−a−b=0(m−1)(am+a+b)=0∵−2<m<−1∴am+a+b=0∴am=c,a(m+1)=−b∴c>0∴−1<m+1<0∵m+1<0∴−12<m+12<0∴−12<−b2a<0∴1>ba>0∴a<b<0①2b+c=2b−a−b=b−a>0，故①正确；②2a+c=2a−a−b=a−b<0，故②正确；③ a(m+1)−b+c=−2b+c=−2b−a−b=−3b−a>0，故③正确；；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，即ax2−a(m+1)x+am−1=0Δ=a2(m+1)2−4a(am−1)=a2(m+1)2−4a2m+4a=b2−4a2⋅−a−ba+4a=b2+4a2+4ab+4a=b2+4a(a+b)+4a=b2−4ac+4a>0∴4ac−b2<4a，故④正确，即正确结论的个数是4，故答案为：A．【练1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①abc >0；②﹣2＜b<−53；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上，∴a＞0，∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），∴对称轴x=−b2a=1，∴b=-2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c＜-2＜0，>0；故①正确；∴abc∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0），∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0），∵b=-2a，∴c=3b2＜-2，∴-3＜3b2∴﹣2＜b<−4，故②错误；3∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0），∴a-b+c=0，∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确；∵a＞0，∴-a＜0∵b=-2a∴3a+2b=-a＜0∴2c﹣a＞2（a+b+c），∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），∴a+b+c=n，∴2c﹣a＞2n；故④错误；故答案为：B【练2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2−4ac ＞0；③4a+b=0；④不等式ax2+（b−1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故①正确；∵抛物线与x轴没有交点∴b2−4ac＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）{a+b+c=19a+3b+c=3∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x交于这两点∴ax2+(b−1)x+c＜0可化为ax2+bx+c<x，根据图象，解得：1＜x＜3故④错误．故答案为：A．【练3】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A(−2,0)>0；②2b−4ac=1；和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB=2OC，则下列结论：①a−bc；④当−1<b<0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点③a=14M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①从图像观察，开口朝上，所以a>0，对称轴在y轴右侧，所以b＜0，图像与y轴交点在x轴下方，所以c<0<0，所以①不正确；∴a−b>0,a−bc②点A(−2,0)和点B，与y轴的负半轴交于点C(0,c)，且OB=2OC设B(−2c,0)代入y=ax2+bx+c,得：4ac2−2bc+c=0∵c≠0∴2b−4ac=1，所以②正确；③∵A(−2,0)，B(−2c,0)设抛物线解析式为：y=a(x+2)(x+2c)过C(0,c)∴c=4ac∴a=14，所以③正确；④如图：设AN,BM交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，根据抛物线的对称性，△APB是等腰直角三角形，∵A(−2,0)，B(−2c,0)∴AB=2−2c，PQ=12AB=1−c又对称轴x=−2+(−2c)2=c+1∴P(c+1,c−1)由顶点坐标公式可知D(c+1,4ac−b24a)∵a=14∴D(c+1,c−b2)由题意c−b2<c−1，解得b>1或者b<−1由①知b<0∴b<−1，所以④不正确．综上所述：②③正确共2个故答案为：B．【例4】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为x=12，且经过点(2,0)．下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若(−12,y1)，(52,y2)是抛物线上的两点，则y1<y2；⑤14b+c>m(am+b)+c（其中m≠12）．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，∴a<0,c>0，∵抛物线的对称轴为x =−b 2a =12，∴b=-a ＞0，∴abc <0，则结论①正确；将点(2,0)代入二次函数的解析式得：4a +2b +c =0，则结论③错误；将a =−b 代入得：−2b +c =0，则结论②正确；∵抛物线的对称轴为x =12，∴x =32和x =−12时的函数值相等，即都为y 1，又∵当x ≥12时，y 随x 的增大而减小，且32<52，∴y 1>y 2，则结论④错误；由函数图象可知，当x =12时，y 取得最大值，最大值为14a +12b +c =−14b +12b +c =14b +c ，∵m ≠12， ∴14b +c >am 2+bm +c ，即14b +c >m(am +b)+c ，结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故答案为：B ．【练1】二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②4a −2b +c <0，③()a b x ax b -≥+，④3a +c <0，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即−b 2a =−1，∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，∴a-b+c≥ax2+bx+c，∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；故答案为：C．【练2】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为x=−1，结合图象给出下列结论：①a+b+c=0；②a−2b+c<0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为-3和1；④若点(−4,y1)，(−2,y2)，(3,y3)均在二次函数图象上，则y1<y2<y3；⑤a−b<m(am+b)（m为任意实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1,0)，∴当x=1时，a+b+c=0，故结论①正确；根据函数图像可知，当x =−1，y <0，即a −b +c <0，对称轴为x =−1，即−b 2a =−1，根据抛物线开口向上，得a ＞0，∴b =2a ＞0，∴a −b +c −b <0，即a −2b +c <0，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)，对称轴为x =−1可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别为-3和1， 故结论③正确；根据函数图像可知：y 2<y 1<y 3，故结论④错误；当x =m 时，y =am 2+bm +c =m(am +b)+c ，∴当m =−1时，a −b +c =m(am +b)+c ，即a −b =m(am +b)，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故答案为：C ．【练3】如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）经过点(2,0)，且对称轴为直线x =12，有下列结论：①0abc >；②a +b >0；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】解：①图像开口朝上，故a >0 ，根据对称轴“左同右异”可知0b <， 图像与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <0∴abc >0故①正确；②x =−b 2a =12得a =−b∴a +b =0故②错误；③∵y =ax 2+bx +c 经过(2,0)∴4a+2b+c=0又由①得c <0∴4a +2b +3c <0故③正确；④根据抛物线的对称性，得到x =2与x =−1时的函数值相等∴当x =−1时y =0，即a −b +c =0∵a=-b∴2a +c =0即c 2a =−1∴y =ax 2+bx +c 经过(c 2a ，0)，即经过(−1,0)故④正确；⑤当x =12时,y =14a +12b +c , 当x =m 时,y =am 2+bm +c∵a >0∴函数有最小值14a +12b +c∴am 2+bm +c ≥14a +12b +c 化简得4am 2+4bm −b ≥0，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【练4】已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc ；②b 2<4ac ；③2c <3b ；④a +2b >m(am +b)（m ≠1）；⑤若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【解析】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点∴b2−4ac>0∴b2>4ac，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b2a=1，∴a=−12b由图象得，当x=−1时，y=a−b+c<0，∴−12b−b+c<0∴2c<3b，故③正确；④当x=1时，y=a+b+c的值最大，∴当x=m(m≠1)时，a+b+c>am2+bm+c，∴a+b>m(am+b)（m≠1），∵b＞0，∴a+2b>m(am+b)（m≠1），故④正确；⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，∴所有根之和为2×（-ba ）=2×2aa=4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A【例5】函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】解∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜0；故①错误．当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2+bx+c ＜x ，∴x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．故④正确．综上所述，正确的结论有③④两个，故答案为：B【练1】已知抛物线y =ax 2+bx +c(a >0)，且a +b +c =−12,a −b +c =−32．判断下列结论：①abc <0；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当2≤x ≤3时，y 最小=3a ；⑤该抛物线与直线y =x −c 有两个交点，其中正确结论的个数（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】解：∵a +b +c =−12,a −b +c =−32，∴两式相减得b =12，两式相加得c =−1−a ，∴c <0，∵a >0,b >0,c <0，∴abc <0，故①正确；∴2a +2b +c =2a +2×12−1−a =a >0，故②正确；∵当x =1时，则y =a +b +c =−12，当x =-1时，则有y =a −b +c =−32， ∴当y =0时，则方程0=ax 2+bx +c 的两个根一个小于-1，一个根大于1， ∴抛物线与x 轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意可知抛物线的对称轴为直线x =−b 2a =−14a <0，∴当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，有最小值，即为y =4a +2b +c =4a +1−1−a =3a ，故④正确；联立抛物线y=ax2+bx+c及直线y=x−c可得：x−c=ax2+bx+c，整理得：ax2−1x+2c=0，2−8ac>0，∴Δ=14∴该抛物线与直线y=x−c有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故答案为：D．。
二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选
九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选y =ax bx C 与X 轴正半轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于点C ,直线y =X -2经过A 、C 两点，且 AB=2. (1) 求抛物线的解析式；(2) 若直线DE 平行于X 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E 、D ,同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，(如图2);当点P运动到原点 O 时，直线 DE 与点P 都停止运动，连 DP ,若点P 运动时间为t 秒；设S = ED O P ,当 ED OPt 为何值时，S 有最小值，并求出最小值。
(3) 在(2)的条件下，是否存在 t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ ABC 相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
∙/ AB=2 ,∙∙∙ B (4, 0)。
y =a X -2 X -4 ,代入点 C ( 0,— 2)得1I O 3•抛物线的解析式为厂一4八2 X"」4X2^2。
由题意：CE=t , PB=2t , OP=4 — 2t 。
【例1 ].已知：如图一，抛物线 ∙可设抛物线的解析式为【答案]由 y=0 得 x=2 ,∙∙∙ A (2,0)。
九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》∙.∙ED 〃BA ,•△CED -COB o ∙O D =CO ,即E 4S o∙ED =2t oED +OP_2t+(4 —2t )_ 4 _ 1^ ED OP 2t 4 —2t -4t 2+8t _ t -1 2+12•••当t=1时，—(t —1 ) +1有最大值1。
•••当t=1时，S=ED OP 的值最小，最小值是 10ED OP(3) 存在。
设 BC 所在直线的解析式为 y=kx+b ,由B (4, 0), C (0,— 2)由题意可得：D 点的纵坐标为t — 2,贝U D 点的横坐标为2to2 2 —• BD= 4 -2t t -2 = 5 2 -t 。
二次函数-存在性问题-备战2023年中考数学考点微专题
考向3.9 二次函数-存在性问题例1、（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数333y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数233y x bx c =++图象过A 、B 两点． （1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于33y x =：当x =0时，3y = 当y =0时，3303x -=，妥得，x =3 ∴A （3，0），B （0，3- 把A （3，0），B （0，3-23y bx c ++得： 33+3+=03b c c ⎧⎪⎨=-⎪⎩解得，233b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：23233y =-（2）抛物线的对称轴为直线23312323b x a -=-=-=⨯故设P （1，p ），Q （m ，n ） ①当BC 为菱形对角线时，如图，∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直， ∴∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴 ∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ ∴PQ ⊥x 轴 ∵点P 在x =1上， ∴点Q 也在x =1上， 当x =1时，232343113=333y =⨯-⨯--∴Q （1，433-）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，∴BC //PQ ，且BC =PQ ∵BC //x 轴，∴令3y =23233=3y解得，120,2x x == ∴(2,3)C - ∴PQ =BC =2 ∵22(3)12+= ∴PB =BC =2 ∴迠P 在x 轴上， ∴P (1,0) ∴Q (3，0)；若点Q 在点P 的左侧，如图，同理可得，Q （-1，0） 综上所述，Q 点坐标为（1，433-）或(3，0)或（-1，0）1、存在性问题的解题思路:假设存在,推理论证,得出结论；2、解決线段存在性问题的方法:将军饮马问题、垂线段问题、三角形三边关系、函数最值等；3、本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．同时注意用分类讨论思想解决问题。
2024年中考数学复习重难点(全国通用版)：二次函数中几何存在性的问题(解析版)
专题17二次函数中几何存在性的问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一二次函数中构成等腰三角形存在性问题】 (1)【考向二二次函数中构成直角三角形存在性问题】 (8)【考向三二次函数中构成三角形相似存在性问题】 (16)【考向四二次函数中构成矩形存在性问题】 (23)【考向五二次函数中构成菱形存在性问题】 (33)【考向六二次函数中构成正方形存在性问题】 (42)【直击中考】【考向一二次函数中构成等腰三角形存在性问题】(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标(3)在坐标轴是否存在一点明理由；设点P 的坐标为∴3PB PC n 在Rt BOP △中，∴ 2253n n 1．（2023秋·陕西商洛·九年级校考期末）如图，已知抛物线24y ax bx （0a ）与x 轴交于 1,0A ， 2,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及点(2)若F 为抛物线上一点，连接存在，请说明理由．【答案】(1)22y x (2)存在，点F 的坐标为则BN CN ，设ON 在Rt NOB 中，2ON ∴ 2224n n ，解得：32n ，∴点N 的坐标为302 ，A (1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当(3)在直线l 上是否存在点M 不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x (2)点P 坐标为 1,2；PAC △(3)存在符合条件的M 点，且坐标为∵点A 与点B 关于直线l 对称，∴PA PB ，∴PC PA PC PB BC ，此时PAC △的周长最小，设直线BC 解析式为y kx b 把 3,0B ， 0,3C 代入得：130k b【考向二二次函数中构成直角三角形存在性问题】(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2=23y x x (2)存在，坐标为 12，或 14 ，∵ 30B ，， 03C ，∴3OB OC ，∴OBC OCB ∴当190PBC 时，1PBO 当290P CB 时，同理可得2P 当90BPC 时，设点P 的坐标为1．（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）如图，抛物线2y x bx c 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x ，顶点为D ，点B 的坐标为 3,0．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC、CD，判断(3)在坐标轴上是否存在一点不存在，说明理由．【答案】(1)13 y△是直角三角形；∴BCD（3）存在，点P的坐标为①当点P在x轴上时，设BD ，BP∴2162若BP 为斜边，则有 2222396162x x ，解得15x ，∴ 115,0P ，若DP 为斜边，则有 2222963162x x ，解得3x ，∴ 23,0P ；②当点P 在y 轴上时，设 0,P y ，∴2162BD ， 223BP y ， 22296DP y ，若BP 为斜边，则有 222396162y y ，解得15y ，∴ 30,15P ，若DP 为斜边，则有 222963162y y ，解得3y （与B 点重合舍去），综上所述，点P 的坐标为 15,0， 3,0 或 0,15 ．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，能够利用勾股定理证明直角三角形是解题的关键．3．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）抛物线 240y ax bx a 与x 轴交于点 2,0A 和 4,0B ，与y 轴交于点C ，连接C B ．点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于M ，交x 轴于N ．(1)求该抛物线的解析式；(2)过点C 作CH PN 于点H ，3BN CH ，①求点P 的坐标；②连接CP ，在y 轴上是否存在点Q ，使得CPQ 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．②由题可知，显然PCQ 不能为如图，当90CPQ 时，在Rt CPH 中，14CH PH ，如图，当90CQP 时，显然，OQPN 为矩形，∴92OQ NP ，∴点Q 的坐标为90,2；(1)求抛物线的表达式；(2)求证：BOC 是直角三角形；(3)若点P 是抛物线上第一象限内的一个动点，过点M ，A 为顶点的三角形与【答案】(1)22y x x设(,)P x y ，由题意知由（2）知，BOC 为直角三角形，①若PMA COB ∽，则即223(2)x x x ，得1x ，2x （舍去）【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、两点间距离、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查数形结合的数学思想方法．【变式训练】(1)求抛物线的表达式；(2)在直线BC 上存在一点(3)在x 轴上是否存在一点标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2122y x【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，勾股定理和勾股定理的逆定理，正方形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）顶点 1,4D ，过点A 的直线与抛物线相交于点(1)求该抛物线解析式；AC y x ；∴直线:1二次函数的性质，清晰的分类讨论与数形结合的方法都是解本题的关键．【考向四二次函数中构成矩形存在性问题】1．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，抛物线223与x轴交于A、B两点（点A在点B的y x x左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．，求线段∴FGN 为等腰直角三角形，∴22FG FN ，设2,23F x x x ，则∴2231FN x x x 当12x 时，FN 有最大值9设直线AM 的解析式为y 把 1,0A 、 1,4M 分别代入得同理可得： 2210y 解得：92y ，即90,2P 由平移的性质可得：Q综上：72,2Q 或12,2Q∴【考向五二次函数中构成菱形存在性问题】例题：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市广全学校校考阶段练习）如图，抛物线2y ax bx c 与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴负半轴交于点C ， 40A ，， 10B ，，90ACB ．(1)点C 的坐标为______；抛物线的函数表达式为______；E1．（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）如图：已知直线:22l y x 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，∴N例题：（2022秋·辽宁抚顺·九年级校考阶段练习）如图，直线y kx 与抛物线2y x c 交于A ，B 两点，其中点B 的坐标是2,2(1)求直线AB 及抛物线的解析式；(2)C 为抛物线上的一点，ABC 的面积为3，求点C 的坐标；(3)P 在抛物线上，Q 在直线AB 上，M 在坐标平面内，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形为正方形时，直接写出点M 的坐标．【答案】(1)直线AB 的解析式为y x ，抛物线的解析式是22y x∴22 CD t t ，∴ABC DBC ADC S S S∴2CD ，∴222 t t ，解得1211712t t ，∴22 CD t t ，∴ABC BBC ADC S S S∴2CD ，∴222 t t ，∴120,1t t ，∴222 t 或1 ，∵AP AB∴直线AP 的解析式为y ∴0,2P ∴M 点与A 点关于y 轴对称∴1,1M ∵()1,1-在抛物线22y x 上，∴当 1,1P 时， 0,2M ；当M 点关于A 点对称时， 1,3M ；如图，当AQ 是正方形的对角线时，∴点P 的纵坐标为-1∴1,1P ∴2AP ∵AM AP∴1,1M 综上所述：M 点坐标为 23411,1021113M M M M ,,-,-,,-,-【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键【变式训练】1．（2022秋·湖南长沙·九年级校考期末）如图，抛物线 230y ax bx a 与x 轴交于 3,0A ，D 两点，与y 轴交于点B ，抛物线的对称轴与x 轴交于点 10C ，，点E ，P 为抛物线的对称轴上的动点．∵A 、D 关于直线1x 对称，∴DE AE ，∴BE DE AE BE AB ，当A 、B 、E 三点共线时，BE DE 的值最小，∵3OA OB ，∴45OAB ，∴AC CE ，∵2AC ，∴2CE ，∴ 1,2E ；（3）解：存在点P ，M ，N ，使得以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为正方形，理由如下：设 1,P t ，当AM 为正方形的对角线时，如图2，PM PA ，过M 点作MG PC 交于G ，。
2023学年二轮复习解答题专题二十七：二次函数中直角三角形的存在性问题探究(解析版)
2023学年二轮复习解答题专题二十七：二次函数中直角三角形的存在性问题探究方法点睛一、构造直角三角形的一般思路:构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.二、解题思路是否存在一点，使之与另外两个定点构成直角三角形的问题：首先弄清题意，注意区分直角顶点；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．方法一：利用勾股定理进行边长的计算，从而来解决问题；方法二：往往可以利用到一线等三角之K字（90°）类型和母子相似型类型，尝试建构相应的相似来进行处理；方法三：两条直线互相垂直的条件，即=-1来解决．典例剖析类型一：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题例1. （2022滨州中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．（1）求线段AC 的长；（2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；（3）若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM V 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1（2）()11，-（3）()14-，或()25-，或-或-【解析】【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x =1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m ,m 2-2m -3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，k 1k2222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．【小问1详解】223y x x =--与x 轴交点：令y =0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x =0，解得y =-3，即C （0，-3），∴AO =1,CO =3,∴AC ==;【小问2详解】抛物线223y x x =--的对称轴为：x =1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t + ()213t =++∴t =-1，∴P （1，-1）；【小问3详解】设点M （m ,m 2-2m -3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M -或-；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或-或-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．类型二：构造相似来解决直角三角形存在性问题例2.（2021巴中中考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣），有最大值；（3）D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得＝，则求的最大值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣）；（3）∵P（3，﹣），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D（3，6）；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，设D（3，m），∵DT＝BC，∴|m+|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．专题过关1. （2022柳州中考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【答案】（1）b=4，c=5，m=5（2）当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）（3）所有符合条件的点P的坐标为（2，233），（2，﹣9）【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG 是矩形，而224,45,DE x DF x x =-=-++ 可得四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；（3）过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，证明△MCH ≌△NCK （AAS ），再求解N （﹣4，3），求解直线BN 的解析式为：15,33y x =-+ 可得50,,3Q æöç÷ç÷èø设P （2，p ），再利用勾股定理表示2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èø BP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø再分两种情况建立方程求解即可．【小问1详解】把A （﹣1，0），C （0，5）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，105b c c ì--+=ï\í=ïî ，解得：4,5b c ì=ïí=ïî∴这个抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5，令y ＝0，则﹣x 2+4x +5＝0，解得x 1＝5，x 2＝﹣1，∴B （5，0），∴m ＝5；【小问2详解】∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴对称轴为x ＝2，设D （x ，﹣x 2+4x +5），∵DE x ∥轴，∴E （4﹣x ，﹣x 2+4x +5），∵过点D 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点E 作EF ⊥x 轴，∴四边形DEFG 是矩形，∴224,45,DE x DF x x =-=-++∴四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，∴当x ＝3时，四边形DEFG 的周长最大，∴当四边形DEFG 的周长最大时，点D 的坐标为（3，8）；【小问3详解】过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，∴∠NKC ＝∠MHC ＝90°，由翻折得CN ＝CM ，∠BCN ＝∠BCM ，∵B （5，0），C （0，5）．∴OB ＝OC ，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH x∥轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴43,50m nm nì-+=ïí+=ïî解得：13,53mnì=-ïïíï=ïî∴直线BN的解析式为：15,33 y x=-+∴50,,3 Qæöç÷ç÷èø设P（2，p），∴2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èøBP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，BP 2＝PQ 2+BQ 2，∴22106125925,399p p p +=-+++ 解得：23,3p = ∴232,,3P æöç÷ç÷èø②当∠QBP ＝90°时，P ′Q 2＝BP ′2+BQ 2，∴22106125925,399p p p -+=+++ 解得：9,p =-∴点P ′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P 的坐标为232,3æöç÷ç÷èø或()2,9P -．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．2. （2022雅安中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），且与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D 的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E ，使△ACE 为Rt △，若存在，试求点E 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P ，满足PA ⊥PD ，求线段PB 的最小值．【答案】（1）()223,1,4y x x D =--- （2）E 的坐标为：21,3æöç÷èø或81,3æö-ç÷èø或()1,1-或()1,2.- （3）BP-【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为()()13,y a x x =+-再代入C 的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），再利用勾股定理分别表示210,AC = 224,AE n =+ 22610,CE n n =++ 再分三种情况讨论即可；（3）如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥ 则P 在以H 为圆心，HA为半径的的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，再求解H 的坐标，结合勾股定理可得答案．【小问1详解】解：Q 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），∴设二次函数为：()()13,y a x x =+-把C （0，﹣3）代入抛物线可得：33,a -=-解得：1,a =∴抛物线为：()()()2213231 4.y x x x x x =+-=--=-- ()1,4.D \-【小问2详解】如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），()()222100310,AC \=--++= ()2222114,AE n n =++=+ ()()2222103610,CE n n n =-++=++ 当90EAC Ð=°时，22610410n n n ++=++，解得2,3n = 即21,,3E æöç÷ç÷èø当90ACE Ð=°时，22410610,n n n +=+++ 解得：8,3n =- 即81,,3E æöç÷-ç÷èø当90AEC Ð=°时，22461010,n n n ++++=整理得：2320,n n ++=解得：121,2,n n =-=-()()1,1,1,2,E E \--综上：E 的坐标为：21,3æöç÷èø或81,3æö-ç÷èø或()1,1-或()1,2.-【小问3详解】如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥则P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，()()1,0,1,4,A D --Q()0,2,H AD HP \-= ()3,0,B QBH \==BP \即BP -【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB 最小时，P 的位置是解本题的关键．3. （2022广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．【答案】（1）2142y x x =+-（2）（-2，-4） （3）P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12---，【解析】【分析】（1）直接将B （0，-4），C （2，0）代入2y ax x m =++，即可求出解析式；（2）先求出直线AB 关系式为：4y x =--，直线AB 平移后的关系式为：4y x n =--+，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D 距AB 最大，此时△ABD 的面积最大，由此即可求得D 点坐标；（3）分三种情况讨论，①当∠PAB =90°时，即PA ⊥AB ，则设PA 所在直线解析式为：y =x+z ，将A （-4,0）代入y =x+z 得，解得：4z =，此时P 点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA =90°时，即PB ⊥AB ，则设PB 所在直线解析式为：y x t =+，将B （0，-4）代入y x t =+得，4t =-，此时P 点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB =90°时，设P 点坐标为：()1p y -，，由于PA 所在直线斜率为：3py ，PB 在直线斜率为：41p y +-，3py g 41p y +-=-1，则此时P点坐标为：(12--+，，(12--，．【小问1详解】解：将B （0，-4），C （2，0）代入2y ax x m =++， 得：4420m a m =-ìí++=î，解得：412m a =-ìïí=ïî，∴抛物线的函数解析式为：2142y x x =+-．【小问2详解】向下平移直线AB ，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D 时，此时点D 到直线AB 的距离最大，此时△ABD 的面积最大，∵21402x x +-=时，12x =，24x =-，∴A 点坐标为：（-4,0），设直线AB 关系式为：0y kx b k =+¹（），将A （-4,0），B （0，-4），代入0y kx b k =+¹（），得：404k b b -+=ìí=-î，解得：14k b =-ìí=-î，∴直线AB 关系式为：4y x =--，设直线AB 平移后的关系式为：4y x n =--+，则方程21442x n x x --+=+-有两个相等的实数根，即21202x x n +-=有两个相等的实数根，∴2n =-，即212202x x ++=的解为：x =-2，将x =-2代入抛物线解析式得，()2122442y =´---=-，∴点D 的坐标为：（-2，-4）时，△ABD 的面积最大；【小问3详解】①当∠PAB =90°时，即PA ⊥AB ，则设PA 所在直线解析式为：y =x+z ，将A （-4,0）代入y =x+z 得，40z -+=，解得：4z =，∴PA 所在直线解析式为：4y x =+，∵抛物线对称轴为：x =-1，∴当x =-1时，143y =-+=，∴P 点坐标：（-1，3）；为②当∠PBA =90°时，即PB ⊥AB ，则设PB 所在直线解析式为：y x t =+，将B （0，-4）代入y x t =+得，4t =-，∴PA 所在直线解析式为：4y x =-，∴当x =-1时，145y =--=-，∴P 点坐标为：（-1，-5）；③当∠APB =90°时，设P 点坐标为：()1p y -，，∴PA 所在直线斜率为：3py ，PB 在直线斜率为：41p y +-，∵PA ⊥PB ，∴3py 41p y +-=-1，解得：12p y =-22p y =--，∴P 点坐标为：(12--+，，(12--，综上所述，P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--，，(12---，时，△PAB 为直角三角形．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．4. （2022呼和浩特中考）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和点(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC 、BC ．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）如图1，若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在点E ，使得BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P 是第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PQ y ∥轴，分别交BC 、x 轴于点M 、N ，当PMC △中有某个角的度数等于OBC Ð度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．【答案】（1）213222y x x =-++；A （-1，0）； （2）存在E （0，3）或（0，-1），使得BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形； （3）2或32【解析】【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）先根据中点坐标公式可得点1,12D æö-ç÷èø，设点E （0，m ），再根据两点坐标公式可得()22221501224DE m m m æö=--+-=-+ç÷èø，2222181424BD m m æö=++=+ç÷èø，2216BE m =+，再由勾股定理，即可求解；（3）先求出1tan 2OC OBC OB Ð==，再求出直线BC 的解析式，然后设点213,222P a a a æö-++ç÷èø，则1,22M a a æö-+ç÷èø，CF =a ，可得2122PM a a =-+，再分三种情况讨论：若∠PCM =2∠OBC ，过点C 作CF ∥x 轴交PM 于点F ；若∠PMC =2∠OBC ；若∠CPM =2∠OBC ，过点P 作PG 平分∠CPM ，则∠MPG =∠OBC ，即可求解．【小问1详解】解：把点(4,0)B 和点(0,2)C 代入，得：1164022b c c ì-´++=ïíï=î，解得：322b c ì=ïíï=î，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++，令y =0，则213222y x x =-++，解得：121,4x x =-=，∴点A （-1，0）；【小问2详解】解：存在，理由如下：∵点A （-1，0），点(0,2)C ，点D 是线段AC 的中点，∴点1,12D æö-ç÷èø，设点E （0，m ），∴()22221501224DE m m m æö=--+-=-+ç÷èø，2222181424BD m m æö=++=+ç÷èø，2216BE m =+，∵BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形，∴22258116244m m m m ++-+=+，整理得：2230m m --=，解得：3m =或-1，∴点E 的坐标为（0，3）或（0，-1）；【小问3详解】解：∵点B （4，0），C （0，2），∴OB =4，OC =2，∴1tan 2OC OBC OB Ð==，设直线BC 的解析式为()10y kx b k =+¹，把点B （4，0），C （0，2）代入得：11402k b b +=ìí=î，解得：1122k b ì=-ïíï=î，∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设点213,222P a a a æö-++ç÷èø，则1,22M a a æö-+ç÷èø，CF =a ，∴2213122222122PM a a a a a -æöæö=-++-=-+ç÷ç÷èøèø+，若∠PCM =2∠OBC ，过点C 作CF ∥x 轴交PM 于点F ，如图甲所示，∴∠FCM =∠OBC ，即1tan tan 2FCM OBC Ð=Ð=，∴∠PCF =∠FCM ，∵PQ y ∥轴，∴CF ⊥PQ ，∴PM =2FM ，∴214FM a a =-+，∴21142a a a -+=，解得：解得：a =2或0（舍去），∴点P 的横坐标为2；若∠PMC =2∠OBC ，∵∠PMC =∠BMN ，∴∠BMN =2∠OBC ，∵∠OBC +∠BMN =90°，∴∠OBC =30°，与1tan 2OC OBC OB Ð==相矛盾，不合题意，舍去；若∠CPM =2∠OBC ，如图乙所示，过点P 作PG 平分∠CPM ，则∠MPG =∠OBC ，∵∠PMG =∠BMN ，∴△PMG ∽△BMN ，∴∠PGM =∠BNM =90°，∴∠PGC =90°，∵PG 平分∠CPM ，即∠MPG =∠CPG ，∴∠PCM =∠PMC ，∴PC =PM ，∴2122a a -+=，解得：32a =或0（舍去），∴点P 的横坐标为32；综上所述，点P 的横坐标为2或32．图甲 图乙【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．5. （2022抚顺中考） 如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45°得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标；（3）当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．【答案】（1）234y x x =--+（2）(1,6)D -或(3,4)D -（3）()3,4-或(0,4)或2ö÷÷ø或2ö÷÷ø【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点D 作DG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，先求出直线AC 的解析式，设()()2,34,,4D n n n H n n --++，则24DH n n =--，证明△EDH ∽△EOC 得到DH DE OC OE=，即可求出DH =3，据此求解即可；（3）分D 和F 为直角顶点进行讨论求解即可．【小问1详解】解：将(4,0),(0,4)A C -代入23y ax x c =-+得：161204a c c ++=ìí=î，解得14a c =-ìí=î，∴抛物线解析式为234y x x =--+；【小问2详解】解：过点D 作DG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，设过点(4,0),(0,4)A C -的直线的解析式为y kx b =+，则404k b b -+=ìí=î，解得14k b =ìí=î，∴直线AC 的解析式为4y x =+，设()()2,34,,4D n n n H n n --++，则24DH n n =--．∵DH OA OC OA ⊥，⊥，∴DG OC ∥，的∴,ECO EHD EOC EDH Ð=ÐÐ=Ð，∴EDH EOC V V ∽，∴DH DE OC OE=，∵3,44DE OC OE ==，∴3DH =，∴243n n --=解得1n =-或3n =-将1,3n n =-=-分别代入234y x x =--+得6,4y y ==∴(1,6)D -或(3,4)D -；【小问3详解】解：如图1所示，当点D 与点C 重合时，∵点A （-4，0），点C （0，4），∴OA =OC =4，∴∠OCA =∠OAC =45°，当点C 与点D 重合时，∵OP 是OD 逆时针旋转45°得到的，∴∠POD =45°，即∠FOC =45°，∴∠AOF =∠FOC =45°，又∵OA =OC ，∴OF ⊥AC ，即∠OFC =90°，∴△OFC 是直角三角形，∴此时点D 的坐标为（0，4）；如图2所示，当∠DFO =90°时，连接CD ，由旋转的性质可得∠DOF =45°，∴△DOF 是等腰直角三角形，∴OF =OD ，∠FDO =∠FCO =45°，∴C 、D 、F 、O 四点共圆，∴∠FCD =∠FOD =45°，∴∠OCD =∠FCD +∠FCO =90°，∴CD ⊥OC ，∴点D 的纵坐标为4，∴当y =4时，2344x x --+=，解得3x =-或0x =（舍去），∴点D 的坐标为（-3，4）；如图3所示，当∠ODF =90°时，过点D 作DH ⊥y 轴于H ，过点F 作FG ⊥DH 交HD 延长线于G ，同理可证△DOF 是等腰直角三角形，∴OD =DF ，∵FG ⊥DH ，DH ⊥y 轴，∴∠FGD =∠DHO =90°，∴∠GDF +∠GFD =90°，又∵∠GDF +∠HDO =90°，∴∠GFD =∠HDO ，∴△GDF ≌△HOD （AAS ），∴GD =OH ，GF =DH ，设点D 的坐标为（m ，234m m --+），∴234DH GF m OH GD m m ==-==--+，，∴244GH m m =--+，∴点F 的坐标为（244m m +-，224m m --+），∵点F 在直线AC ：4y x =+上，∴2244424m m m m +-+=--+，∴2320m m +-=，解得m =∴点D 的坐标为2ö÷÷ø或2ö÷÷ø；综上所述，点D 的坐标为（-3，4）或（0，4）或2ö÷÷ø或2ö÷÷ø【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．6. （2022恩施中考） 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线2y x c =-+向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q ，平移后的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．判断以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC 与抛物线2y x c =-+交于M 、N 两点（点N 在点M 的右侧），请探究在x 轴上是否存在点T ，使得以B 、N 、T 三点为顶点的三角形与ABC V 相似，若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线2y x c =-+进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线2y x c =-+平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【答案】（1）24y x =-+（2）以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析（3）存在，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø，（4527,88æöç÷èø【解析】【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；（2）分别求得B 、C 、Q 的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；（3）由CBA NBT Ð=Ð，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；（4）如图，作l BC ∥且与抛物线只有1个交点，交y 轴于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，则DEC V 是等腰直角三角形，作EF DC ⊥于F ，进而求得直线l 与BC 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ∴4c =\抛物线解析式为24y x =-+【小问2详解】以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：Q 24y x =-+的顶点坐标为()0,4P 依题意得，()1,4Q -\平移后的抛物线解析式为()214y x =-++令0y =，解()2140x -++=得123,1x x =-=()()1,03,0A B \-，令0x =，则3y =，即()0,3C()222222222331811231420BC CQ QB \=+==+==-++=，，222BC CQ QB \+=\以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形【小问3详解】存在，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø，理由如下，()3,0B -Q ，()03C ，，3OB OC \==\OBC V 是等腰直角三角形设直线BC 的解析式为y kx b =+，则303k b b -+=ìí=î，解得13k b =ìí=î，\直线BC 的解析式为3y x =+，联立234y x y x =+ìí=-+î解得11x y ì=ïïíïïî，22x y ì=ïïíïïîN \Q ()()1,0,3,0A B -，()0,3C ，OBC V 是等腰直角三角形\4AB =，BC ==设直线AC 的解析式为y mx n =+,03m n n +=ì\í=î33m n =-ì\í=î\直线AC 的解析式为33y x =-+当NT AC ∥时，BNT BCA V V ∽设NT 的解析式为3y x t =-+，由NT 过点N3t =-+解得1t =+\NT 的解析式为31y x =-++，令0y =解得x =T ö\÷÷ø3BT \=+=Q BNT BCA V V ∽，BT BN BA BC\==BN \=②当BNT BAC V V ∽时，则BT BN BC BA ==解得154BT =+3OB =QT ö\÷÷ø综上所述，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø【小问4详解】如图，作l BC ∥，交y 轴于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，则DEC V 是等腰直角三角形，作EF DC ⊥于FQ 直线BC 的解析式为3y x =+设与BC 平行的且与24y x =-+只有一个公共点的直线l 解析式为y x b=+则24y x y x bì=-+í=+î整理得：240x x b ++-=则()21440b D =--=解得174b =\直线l 的解析式为174y x =+175344CD \=-=，1528EF FC CD ===54CE\===即拋物线2y x c=-+EC方向()0,4PQ∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标\平移后的顶点坐标为55,488æö-ç÷èø，即52788æöç÷èø，【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．7. （2022海南中考）如图1，抛物线2y ax2x c=++经过点(1,0)(0,3)A C-、，并交x 轴于另一点B，点(,)P x y在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P 的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP 的面积；（3）点Q 在抛物线上，当PD AD的值最大且APQ V 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；【答案】（1）2y x 2x 3=-++（2）152（3）点Q 的横坐标为76，113，52，1．【解析】【分析】（1）将A 、C 两点坐标代入解析式求解即可；（2）如图，连接OP ，令2230y x x =-++=，求得点B 的坐标，再根据各点的坐标确定OC 、OB 的长，然后再根据POC BOP BOCP S S S +=V V 四边形求解即可；（3）如图，作PF x ∥轴，交直线BC 于点F ，可得PFD ABD △∽△，即PD PF AD AB =，进一步说明当PF 最大时，PD PF AD AB=最大．设()2,23P m m m -++，则()222,23F m m m m --++，根据线段的核查运算求得PF 的最大值；设点()2,23Q t t t -++，若APQ V 是直角三角形，则点Q 不能与点P 、A 重合，∴3,12t t ¹¹-，再分90APQ Ð=°、90PAQ Ð=°、90AQP Ð=°三种情况解答即可．【小问1详解】解：∵抛物线2y ax 2x c =++经过点(1,0)(0,3)A C -、,∴203a c c -+=ìí=î解得13a c =-ìí=î∴该抛物线的函数表达式为2y x 2x 3=-++．【小问2详解】解：如图，连接OP ，令2230y x x =-++=，∴121,3x x =-=．∴(3,0)B ∵(0,3),(1,4)C P ，∴3,3,1,4P P OC OB x y ====．∴131,6222POC P BOP P S OC x S OB y =×==×=△△．∴152POC BOP BOCP S S S +==V V 四边形．【小问3详解】解：如图，作PF x ∥轴，交直线BC 于点F ，则PFD ABD △∽△．∴PD PF AD AB=．∵4AB =是定值，∴当PF 最大时，PD PF AD AB=最大．设BC y kx b =+，∵(0,3),(3,0)C B ，∴3BC y x =-+．设()2,23P m m m -++，则()222,23F m m m m --++．∴()222392324PF m m m m m m æö=--=-+=--+ç÷èø．∴当32m =时，PF 取得最大值94，此时315,24P æöç÷èø．设点()2,23Q t t t -++，若APQ V 是直角三角形，则点Q 不能与点P 、A 重合，∴3,12t t ¹¹-，下面分三类情况讨论：①若90APQ Ð=°，如图，过点P 作2PP x ⊥轴于点2P ，作12QP P P ⊥交2PP 的延长线于点1P ，则12PPQ AP P △∽△．∴1212QP PP PP AP =．∴23152415323142t t t -=-++-+．∵32t ¹，∴13122t =-．∴76t =．②若90PAQ Ð=°，如图，过点P 作直线1PA x ⊥轴于点1A ，过点Q 作2QA x ⊥轴于点2A ，12APA QAA ∽△△．∴1212PA AA AA QA =．∴2151432312t t t +=--+．∵1t ¹-，∴3123t =-．∴113t =．③若90AQP Ð=°，如图，过点Q 作1Q Q x ⊥轴于点1Q ，作21PQ Q Q ⊥交1Q Q 的延长线于点2Q ，则21PQQ QAQ ∽△△．∴2121PQ QQ QQ AQ =．∴()223232151234t t t t t t --++=+--++．∵3,12t t ¹¹-，∴2321t t =--．∴1251,2t t ==．综上所述，当PD AD 的值最大且APQ V 是直角三角形时，点Q 的横坐标为76，113，52，1．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何图形的综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想，灵活应用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键．8. （2022山西侯马二模）如图，抛物线23y ax bx =+-经过()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，P 为第四象限内抛物线上一点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接AC ，AP ，AP 与y 轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当∠MPA ＝2∠PAC 时，求直线AP 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E ，使以E ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）4433y x =--； （3）存在，点E 坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè【解析】【分析】（1）把()1,0A -，()3,0B 分别代入23y ax bx =+-，解方程组即可；（2）先根据平行线的性质得到∠MPA ＝∠ODA ，然后再由三角形外角的性质得到△ADC 为等腰三角形，求出点D 的坐标，由A 、D 两点的坐标即可求得直线AP 的函数解析式；（3）先求出M 点坐标，设点E 的坐标为()1,n ，用含n 的代数式分别表示出2CM ，2CE ，2ME ，然后进行分类谈论依次解出点E 对应的坐标．【小问1详解】的解：把()1,0A -，()3,0B 分别代入23y ax bx =+-，得309330a b a b --=ìí+-=î．解得12a b =ìí=-î．∴抛物线的函数表达式为223y x x =--；【小问2详解】解：根据题意，得MP OD ∥．∴∠MPA ＝∠ODA ．又∵∠MPA ＝2∠PAC ，∴∠ODA ＝2∠PAC ．又∵∠ODA ＝∠DAC ＋∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ．∴CD ＝AD ．在223y x x =--中，令0x =，解得3y =-，∴()0,3C-．设OD ＝m ，则AD ＝CD ＝3－m ．∵()1,0A -，∴OA ＝1．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得()22213m m +=-．解得43m =．∴40,3D æö-ç÷èø．设直线AP 的函数表达式为y kx c =+．把()1,0A -，40,3D æö-ç÷èø分别代入，得0,4.3k c c -+=ìïí=-ïî解得4,34.3k c ì=-ïïíï=-ïî∴直线AP 的函数表达式为4433y x =--；【小问3详解】解：存在，点E 的坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè．令2442333x x x --=--，解得11x =-，253x =．∴点P 的横坐标为53．∵PM ⊥x 轴，∴5,03M æöç÷èø．由223y x x =--，得抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，由（2）可得()0,3C -．设点E 的坐标为()1,n ，则2225106339CM æö=+=ç÷èø，()22213CE n =++，22254139ME n n æö=-+=+ç÷èø．若∠MCE ＝90°，则222CM CE ME +=，即()22210641399n n +++=+，解得329n =-．若∠CME ＝90°，则222CM ME CE +=，即()22210641399n n ++=++，解得1027n =．若∠CEM ＝90°，则222CE ME CM +=，即()22241061399n n ++++=，解得132n =-+，232n =--．综上所述，点E 的坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像与性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．9．（2021烟台中考）（14分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，0），B （4，0），与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2OA ，抛物线的顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．直线y ＝mx +n 经过B ，C 两点．（1）求抛物线及直线BC 的函数表达式；（2）点F 是抛物线对称轴上一点，当FA +FC 的值最小时，求出点F 的坐标及FA +FC 的最小值；（3）连接AC ，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是否存在以点E 为直角顶点的Rt △PEQ ，且满足tan ∠EQP ＝tan ∠OCA ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC 于点F ，则点F 为所求点，此时，当FA +FC 的值最小，进而求解；（3）①当点Q 在点P 的左侧时，证明△QME ∽△ENP ，则＝tan ∠EQP ＝。
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专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关【典例分析】【例1——最值存在性问题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）当m时，S△PAC最大.【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）如图，过点P作PE∥y轴，交AC于E，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴S△ACP PE•（x C﹣x A）[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）（m2﹣3m）（m ）2，∴当m时，S△PAC最大.【练1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B 与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．（1）求二次函数解析式；（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当m时，S最大.【解析】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）S有最大值．如图1，设直线BM的解析式为y＝kx+a，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物的顶点坐标为M（1，4），把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得，解得，∴y＝﹣2x+6，∵D（m，0），∴P（m，﹣2m+6）；由S△PCD PD•OD，得S m（﹣2m+6）＝﹣m2+3m；∵当点P与点B重合时，不存在以P、C、D为顶点的三角形，∴1≤m＜3，∴S不存在最小值；∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，∴当m时，S最大，∴S的最大值为．【练2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当x为多少时，线段PQ长度有最值。
【答案】（1）y＝x2﹣5x+4（2）当x＝2时，PQ的最大值为4【解析】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4【练3】如图，直线y x+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线y x2+bx+c 经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．（1）求抛物线的函数解析式．（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的最大值．【答案】（1）（2）△ABM的面积的最大值；【解析】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入抛物线，∴解得，∴抛物线的函数解析式为：；（2）∵M是x轴的下方的抛物线上一动点，且△ABM的面积最大，∴点M为抛物线的顶点，∴M（﹣1，﹣2），∴△ABM的面积的最大值；【例2——二次函数中等腰三角形存在性问题】如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；（2）m的值为﹣3，﹣4，﹣5【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）存在点P，∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），∵∠BMP＝45°，当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°为顶角，即MP＝MB，∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，∴﹣m2﹣5m m，解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．【练1】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A(2，t)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）y＝x2（2）P点坐标为(－25，0)(25，0)或(4，0)；【解析】解：(1)把A(2，t)代入y＝2x中，得t＝4，∴A(2，4)，把A(2，4)代入y＝ax2中，得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2；(2)设P点的坐标为(m，0)，当OA＝OP时，有m2＝22＋42，解得，m＝25，或m＝－25，∴此时P点的坐标为P(－25，0)，(25，0)；当OA＝PA时，有(m－2)2＋42＝22＋42，解得，m＝0(舍)，或m＝4，∴此时P点坐标为(4，0)，综上，在x轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，其P点坐标为(－25，0)(25，0)或(4，0)；【练2】如图，直线y x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式．（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）B（4，0），C（0，2）．（2）y（x﹣4）（x+1）x2x+2．（3）存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．【解析】解：（1）对直线y x+2，当x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，2）．（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），∴y＝a（x﹣4）（x+1），把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：a（0﹣4）（0+1）＝2，解得：a，∴y（x﹣4）（x+1）x2x+2．（3）∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），∴对称轴为x，∴D（，0），∵C（0，2），∴CD，①如图1，当CD＝PD时，PD，∴P1（），P2（），②如图2，当CD＝CP3时，过点C作CH⊥DP3于点H，∵CD＝CP3，CH⊥DP3，∴DH＝P3H，∵C（0，2），∴DH＝2，∴P3H＝2，∴P3D＝4，∴P3（，4），综上所述：存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．【练3】如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；（2）点D不在抛物线上；（3）m的值为﹣3，﹣4，﹣5．【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）如图，作AC⊥y轴于点C，作DH⊥y轴于点H，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠HBD，在△ABC和△DBH中，，∴△ABC≌△DBH（AAS），∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，∴OH＝2，∴D（﹣3，2），把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，∴点D不在抛物线上；（3）存在点P，∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），由（2）知：∠BMP＝45°，当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°为顶角，即MP＝MB，∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，∴﹣m2﹣5m m，解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．【例3——二次函数中直角三角形存在性问题】如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．【解析】解：（1）令抛物线y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；故答案为：（﹣1，0），（3，0）；（2）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，∴有两种情况：①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠BCO＝∠OBC＝45°．∵P1C⊥BC，∴∠DCB＝90°，∴∠DCO＝45°，又∵∠DOC＝90°，∴∠ODC＝45°＝∠DCO，∴OD＝OC＝3，∴D（﹣3，0），∴直线P1C的解析式为y＝x+3，联立，解得或（舍）；∴P1（1，4）；②点B为直角顶点，如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，∴P1C∥BP2，∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，将B（3，0）代入，得0＝3+b，∴b＝﹣3，∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，联立，解得或（舍），∴P2（﹣2，﹣5）．综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．如图，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，设点Q（﹣1，n），则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，∵△QAC为直角三角形，∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，解得：n＝﹣2，∴Q1（﹣1，﹣2）；②当∠ACQ ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ 2+AC 2＝AQ 2， ∴n 2﹣6n +10+18＝n 2+4， 解得：n ＝4， ∴Q 2（﹣1，4）；③当∠AQC ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ 2+AQ 2＝AC 2， ∴n 2﹣6n +10+n 2+4＝18， 解得：n 1，n 2，∴Q 3（﹣1，），Q 4（﹣1，）；综上所述，点Q 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【练2】已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y 轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点P 在直线BC 下方的抛物线上，点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫3，－154作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝14x 2－x －3；（2）当△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为(3，6)或(3，－9)或⎝⎛⎭⎫3，－352－32或⎝⎛⎭⎫3，352－32.【解析】解：(1)将点A(－2，0)、B(6，0)、C(0，－3)代入y ＝ax 1＋bx ＋c ， 得{4a －2b ＋c ＝0，36a ＋6b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝14，b ＝－1，c ＝－3，∴y ＝14x 2－x －3；(2)∵P ⎝⎛⎭⎫3，－154，D 点在l 上， 如图2，当∠CBD ＝90°时，过点B 作BH ⊥x 轴，过点D 作DGH ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作DG ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，∴∠DBG ＋∠GDB ＝90°，∠DBG ＋∠CBH ＝90°， ∴∠GDB ＝∠CBH ， ∴△DBG ∽△BCH ， ∴DG BH ＝BG CH ，即33＝BG6， ∴BG ＝6，∴D(3，6)； 如图3，当∠BCD ＝90°， 过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，∵∠KCD ＋∠OCB ＝90°，∠KCD ＋∠CDK ＝90°， ∴∠CDK ＝∠OCB ， ∴△OBC ∽△KCD ， ∴OB KC ＝OC KD ，即6KC ＝33， ∴KC ＝6，∴D(3，－9)； 如图4，当∠BDC ＝90°时，线段BC 的中点T ⎝⎛⎭⎫3，－32，BC ＝35， 设D(3，m)，∵DT ＝12BC ，∴|m ＋32|＝352，∴m ＝352－32或m ＝－352－32， ∴D ⎝⎛⎭⎫3，352－32或D ⎝⎛⎭⎫3，－352－32； 综上所述：当△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为(3，6)或(3，－9)或⎝⎛⎭⎫3，－352－32或⎝⎛⎭⎫3，352－32.【练3】如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B （3，0）．C （0，3），点M 是抛物线的顶点．点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，若OD ＝m ． （1）求二次函数解析式；（2）在MB 上是否存在点P ，使△PCD 为直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3． （2）点P 的坐标为（，3）或（，）．【解析】解：（1）把B （3，0）、C （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）存在．若∠DPC＝90°，如图2，则PC∥x轴，∴P（m，3），且在直线y＝﹣2x+6上，∴﹣2m+6＝3，解得m，∴P（，3）；若∠PCD＝90°，如图3，则PC2+CD2＝PD2，∴m2+（﹣2m+6﹣3）2+m2+32＝（﹣2m+6）2，整理得m2+6m﹣9＝0，解得m1＝（，m2（不符合题意，舍去）；∴P（，）；若∠PDC＝90°，则CD2+PD2＝PC2，∴m2+32+（﹣2m+6）2＝m2+（﹣2m+6﹣3）2，整理得12m＝36，解得m＝3，此时不存在以P，C，D为顶点的三角形，∴m＝3舍去．综上所述，点P 的坐标为（，3）或（，）．【例4——二次函数中全等或相似三角形存在性问题】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)x 轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D. (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED 上，若以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与△BOC 相似，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝－x 2－2x ＋3；（2）点P 的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).【解析】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A(1，0)，B(－3，0)， ∴{a ＋b ＋3＝0，9a －3b ＋3＝0， 解得{a ＝－1，b ＝－2，∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3； (2)令x ＝0，y ＝3，∴OC＝OB ＝3，即△OBC 是等腰直角三角形， ∵抛物线的解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3， ∴抛物线对称轴为：x ＝－1， ∵EN∥y 轴， ∴△BEN∽△BCO， ∴BN BO ＝ENCO ， ∴23＝BN 3， ∴EN＝2，①若△PQE∽△OBC，如图所示，∴∠PEH＝45°，过点P作PH⊥ED垂足为H，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE，∴设点P坐标(x，－x－1＋2)，∴代入关系式得，－x－1＋2＝－x2－2x＋3，整理得，x2＋x－2＝0，解得，x1＝－2，x2＝1(舍)，∴点P坐标为(－2，3)，②若△PEQ∽△CBO，如图所示，设P(x，2)，代入关系式得，2＝－x2－2x＋3，整理得，x2＋2x－1＝0，解得，x1＝－1－2，x2＝－1＋3(舍)，∴点P的坐标为(－1－2，2)综上所述点P的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).【练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．【答案】（1）解析式：y ＝－x 2＋3x ＋4；D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，254.（2）当△PQC 与△ABC 相似时，△PQC 的面积576125或605128.【解析】解：(1)解析式：y ＝－x 2＋3x ＋4；D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，254.(2)由B 、C 两点坐标易求直线BC 解析式：y ＝－x ＋4，不难得出∠CPQ＝∠BCO＝∠OBC，即在△CPQ 和△ABC 中，∠CPQ＝∠ABC. 接下来求角两边对应成比例：表示点：设P 点坐标为(0<m<4)，则Q 点坐标为(m ，－m 2＋3m ＋4)， 表示线段：PC ＝2m ，PQ ＝－m 2＋4m. 如图所示，分类讨论情况一：当△CPQ∽△ABC 时，则CP AB ＝PQBC，代入得：2m 5＝－m 2＋4m 42，解得：m 1＝125，m 2＝0(舍)，对应P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，85，PQ ＝9625， S △PCQ ＝12×125×9625＝576125情况二：当△CPQ∽△CBA 时，则CP CB ＝PQBA，代入得：2m42＝－m 2＋4m 5，解得：m 3＝114，m 4＝0(舍)，对应P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫114，54，PQ ＝5516，S △PCQ ＝12×114×5516＝605128. 综上所述，当△PQC 与△ABC 相似时，△PQC 的面积576125或605128.【练2】如图，抛物线y ＝3＋36x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝3CD.(1)求b ，C 的值；(2)求直线BD 的函数解析式；(3)点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．【答案】（1）b ＝－3＋33，c （2）y ＝－33＋ 3 （3）【解析】解：(1)∵OB＝3OA ＝3，∴B(3，0)，A(－1，0)．∴{ 3＋36−b ＋c =03＋36×9＋3b ＋c =0 解得：b ＝－3＋33，c ＝－3＋32(2)如图，过点D 作DE⊥y 轴于E ，∵∠ECD＝∠BCO，∠DEC＝∠BOC＝90°∴△CDE∽△CBO∴CD BC ＝DE OB ∴13＝DE 3，DE ＝ 3 即D 点横坐标为－3，其坐标为D(－3，3＋1)由B(3，0)得直线BD 解析式为：y ＝－33＋ 3 (3)由A(－1，0)，B(3，0)，D(－3，3＋1)，知 S △ABD ＝2(3＋1)，BD ＝2(3＋1)，AD ＝2 2如图，过点A 作AH⊥BD 于H ，∴AH＝2，DH ＝2，∴tan∠ADB＝1，tan∠ABD＝33， tan∠DAM＝2＋ 3 设Q(x ，0)，P(1，m)，其中m<0，x<3，①当△ABD ∽△BPQ 时，∠DAB ＝∠QBP(由题意知∠QBP<90°，∠DAB>90°，不存在)②当△ABD ∽△BQP 时，同理，此种情况不存在；③当△ABD∽△QBP 时，tan∠ADB＝tan∠QPB＝1，tan∠ABD＝ tan∠QBP＝33， tan∠PQO＝tan∠DAM＝2＋3， ∴－m 2＝33，即m ＝233，－m x －1＝2＋3，x ＝43－33即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－33，0 ④当△ABD∽△QPB 时，同理，∴－m 2＝1，即m ＝－2，－m x －1＝2＋3， x ＝5－23即Q(5－23，0)⑤当△ABD∽△PQB 时，同理，∴－m 2＝1，即m ＝－2，－m x －1，＝33， x ＝1－2 3即Q(5－23，0) ⑥当△ABD∽△PBQ 时，同理，∴－m 2＝33，即m ＝233，－m 1－x ＝1，x ＝1－233即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. 综上所述：当△ABD 与△BPQ 相似时，点Q 的坐标为：Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－33，0、Q(5－23，0)或Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0.【练3】如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BD 、CD ，设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为s.试求出s 与m 的最大值；(3)如图2，设AB 的中点为E ，作DF⊥BC，垂足为F ，连接CD 、CE ，是否存在点D ，使得以C ，D ，F 三点为顶点的三角形与△CEO 相似？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝－x 2＋2x ＋3.（2）S 与m 的函数关系式为S ＝－32m 2＋92m ，s 的最大值为278. （3）点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，74或⎝⎛⎭⎫32，154.【解析】解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)， ∴y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)如图，过点D 作DM ∥y 轴，交BC 于点M.∵当x ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝3，∴c(0，3)．∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋3.∴D(m ，－m 2＋2m ＋3)，M(m ，－m ＋3)．∴DM ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m.∴S ＝S △DMB ＋S △DMC ＝12×MD(x B －x D )＋12(x M －x C )＝12OB·DM ＝32m 2＋92m ＝－32⎝⎛⎭⎫m －322＋278(0＜m ＜3)，∴S 与m 的函数关系式为S ＝－32m 2＋92m ，s 的最大值为278. (3)存在点D ，使得以C ，D ，F 三点为顶点的三角形与△CEO 相似如图，连接BD设点D 的横坐标为m ，∵点EAB 中点，A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)∴E(1，0)，OE ＝1，OC ＝3，CD 2＝m 2＋(－m 2＋2m ＋3－3)2∴CE ＝OE 2＋OC 2＝12＋32＝10.∴sin ∠OCE ＝OE CE ＝110＝1010，cos ∠OCE ＝OC CE ＝310＝31010. ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝32，DF ⊥BC.∴由(2)知，面积S ＝12BC·DF ＝－32m 2＋92m. ∴DF ＝2S BC ＝－3m 2＋9m 32＝－m 2＋m32∵以C 、D ，F 三点为顶点的三角形与△CEO 相似，∠CFD ＝∠COE ＝90° ∴△CFD ∽△COE 或△CFD ∽△EOC①若△CFD ∽△COE ，则∠FCD ＝∠OCE∴sin ∠FCD ＝DF CD ＝1010∴10DF 2＝CD 2∴10⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＋3m 22＝m 2＋(－m 2＋2m)2. 解得：m 1＝4(舍去)，m 2＝52. ∴－m 2＋2m ＋3＝－254＋5＋3＝74. ∴D ⎝⎛⎭⎫52，74.②若△CFD ∽△EOC ，则∠FDC ＝∠OCE ， ∴cos ∠FDC ＝DF CD ＝31010. ∴10DF 2＝9CD 2.∴10⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＋3m 2＝9[m 2＋(－m 2＋2m)2]解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝32. ∴－m 2＋2m ＋3＝－94＋3＋3＝154. ∴D ⎝⎛⎭⎫32，154.∴综上所述：点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，74或⎝⎛⎭⎫32，154.。