有放回与无放回的探讨
c82排列组合公式_解释说明以及概述
c82排列组合公式解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文将重点介绍和解释排列组合公式C82及其应用。
排列组合是高中数学中的重要内容，它涉及到在给定条件下对对象进行有序或无序选择的问题。
排列指的是对一组对象进行有序选择的方式，而组合指的是对这些对象进行无序选择的方式。
通过掌握排列组合公式和相应的推导过程，我们能够更好地解决排列组合问题，从而提高解题效率。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开：- 引言：介绍本文主题和目标。
- 排列组合公式：介绍排列和组合的基本概念，并讨论它们在实际生活中的应用。
- C82排列组合公式的说明与推导：详细阐述C82排列组合公式的定义、推导过程以及相关应用案例分析。
- 其他常见排列组合公式介绍：介绍阶乘、二项展开、Pascal三角形以及全排列、循环排列和重复排列等常见排列组合公式。
- 结论与总结：分析排列组合在实际生活中的应用价值，并对文章进行总结。
1.3 目的本文旨在深入讲解和说明排列组合公式C82的概念、推导过程以及应用。
通过学习本文，读者将能够更好地理解排列组合的基本原理，掌握相关计算方法，并能够灵活应用于实际问题中。
同时，本文还会介绍其他常见的排列组合公式，进一步丰富读者对该领域的知识储备。
最终，希望读者可以通过阅读本文，加深对排列组合的理解和运用，并从中得到启发和提升。
2. 排列组合公式2.1 定义与基本概念排列和组合是数学中的两个重要概念，用来描述从给定的元素集合中选择若干元素并按照一定顺序排列或不排列的方式。
- 排列：指从n个不同元素中选取m（m ≤n）个元素进行排序的方式。
排列可以分为有放回（重复使用元素）和无放回（不重复使用元素）两种情况。
- 组合：指从n个不同元素中选取m（m ≤n）个元素但不考虑其顺序的方式。
组合只有一种情况，即无放回的选取。
2.2 排列公式的应用排列公式在许多实际问题中都具有广泛的应用，如：- 考生作答顺序：假设考生需要回答n道题目，那么他们能够选择题目作答顺序的方式总数即为n个元素进行排列的情况数，计算公式为n！（阶乘）。
有放回与不放回抽样的概率
教育前 沿
有放回与不放 回抽样的概率
王建 忠
青海 省西 宁市 湟 源县一 中，青 海 西宁 ８ １ ２ １ Ｏ ０
摘Ｊ ｒ － ： 常 见 的抽 样 方 法 有 “ 放 回 抽样 ”与 “ 不放回抽样 ” ， 求概 率 时要 对 它 们加 以 区分 。 关 键 词 ： 有放 回 ：不放 回 中 图分 类号 ： Ｇ ６ ３ ４ ． ６ 文 献标 识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ １ — ５ ８ ６ １ （ ２ ０ １ ５ ） １ ２ — ０ ０ ７ ９ － ０ １ 般 的 ，事 件 的概 率 与 抽 样 方 式 有 关 ，常 见 的抽 样 方 法 有 “ 放 回抽样 ”与 “ 不放 回抽样 ” ，求 概率时要对它们 加 以 区分 。本 文将 对这两种方式下概率的求法及注意 的问题做简
解： Ｐ ： Ｃ 。 ３ ３ ； Ａ
一
不放 回时第一次取出红球的概率是 ｌ Ｏ， 第二次取 出红球 的概
６
率是 ９。
５
（ ２ ）对放回抽样来说 ：事件 Ａ ＝“ 有放 回地逐个取 ｋ个 产 品”与事件 Ｂ ＝“ 一次任取 ｋ个产 品”的概率一般是不相等 的；而对 不放 回抽 样来讲：事件 Ａ ＝“ 不放 回地 逐个 取 ｋ个产 品”与事件 Ｂ ＝“ 一次任取 ｋ个产 品”的概率相等 。
｜ ＿ ｔ
Ｐ ：
。
３ ３
例 ２ ：箱 中有 ａ个 正 品 ， 个 次 品 ，从 中 随机 连 续 抽 取 ３次，每次取 １ 个 ，取 出后不放 回，问：① 取出的 ３个 都是 正 品的概率 是多少 ？② 若改为放 回抽样呢 ？
（ ３ ）样本点个数较少的总体 ，采 取放回与不放回抽样 ， 事件 的概率 会有 较大差别 。但 当总体样本 点个数 很大，样本 容量 不大时，这两种 抽样方式对所求事件的概率影响不大 。 例５ ：某批数量很大 的商 品的次 品率是 ０ ． ０ ５ ，从 中任 意 连 续取 出 ５件，求恰有 ２件次品的概率 。 分 析：这是不放 回抽样 问题 ，但 由于总体个数很 大，而样本
抽样调查第3章 不等概抽样
N
i
2、对自然数集合{ 1,2, … , X }作有放回简单随机抽 样，根据抽得随机数a决定入样单元.若
a {1,2,, X1}, 则第一个单元入样
若a { X j 1, X j 2,, X j },
j 1 j 1 j 1 i 1 i 1 i
则第i个单元入样，i =2,3,…, N 3、重复2，直至抽得n个单元.
不等概πPS抽样的实现
实现步骤
2、取出第一个样本单元后不放回，当第一个样本 单元为U j时，以概率pi抽取第二个样本单元 pi pi (i j ) 1 p j
i 2 pi
Ui ,U j同时入样的概率为：
2 pi p j D (1 pi p j ) (1 2 pi )(1 2 p j )
每次抽取后抽中的单元不放回要求各单元的入样概率正比于规模测度ps抽样的概念修正概率修正概率数必须给一个修正概率在不同的抽取次抽样次数较多时确定修正概率很麻烦通常将总体分成许多层在每层使用样本量为2的ps抽样不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现brewerbrewer抽样方法抽样方法抽取第一个样本单元以概率1963年由brewer提出大体思路设计好第一次抽取概率令第二次抽取概率正比实现步骤的入样概率表示不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现抽取第二个样本单元时以概率单元为后不放回当第一个样取出第一个样本单元不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现durbindurbin抽样方法抽样方法抽取第一个样本单元以概率大体思路第一次抽取概率正比于p调整第二次的抽取概率使总的入样概率正比于x实现步骤抽取第二个样本单元时以概率单元为后不放回当第一个样取出第一个样本单元不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现sensenmidzunomidzuno抽样方法抽样方法抽取第一个样本单元以概率大体思路解决样本量超过2的麻烦使ii近似地正比于近似地正比于xxii实现步骤2从剩下的n1个单元中抽取容量为n1的简单随机样本不放回估估值值法法horvitzhorvitzthompsonthompson估计估计其均方偏差为的无偏估计是总体总估计抽样ps321htht估计估计总体总数总体总数yy的估计值为的估计值为估估值值法法无偏估计量为估计的均方偏差的两个定理htps322ijijsinghrao1973且较少负值较稳定通过大量模拟发现例
抽样技术第6章不等概率抽样
不等概率抽样
不等概率抽样是抽样调查中一个重要 的方法，如当所要研究的总体单元规模相 差很大，采用不等概率抽样可以提高估计 的精度，减少抽样误差。本文首先介绍不 等概率抽样原理，并以抽取一个初级样本 单元psu(n=1)为例,介绍其思想；然后考 虑抽取多个初级样本单元(n>1)，分别详 细讨论采用有放回和无放回方法得到的估 计量的均值和方差。
• 令 为第i个psu中元素个数，K为总体中
元素个数，则
。有了概率 ，我
们得到pps抽样。对于一阶段pps抽样，
所以：
3.两阶段有放回抽样
• 两阶段有放回的不等概率抽样的估计量与 一阶段的相同。具体的，有放回的抽取一 些psu’s，以已知概率 抽取第i个psu。 如一阶段抽样一样， 是在样本中出现的 次数。然后在第i个psu中，抽取一个 子单元的概率样本。虽然其他任何概率抽 样方法都可用，无放回的简单随机抽样或 系统抽样通常用于选取子样本。
• 两阶段有放回抽样和一阶段有放回抽样的 唯一区别在于：在两阶段抽样中，我们需 要估计 。如果psu i在样本中出现多次， 则会产生 个总体估计值：
• 子样本抽样程序必须满足两个要求：
①无论何时被抽取作为样本，同样的子样本 抽样设计用于从这个中选取第二个子样本, 即ssu’s。虽然是从同一个抽取不同的子样 本，但必须是独立的抽取。
单元i在至少一次在样本中的总概率为:
• 这样，不等概率抽样思想变得非常简单。 有放回抽取n个psu’s。然后估计总体总值， 使用前部分的估计量，独立的抽取每一个 初级样本单元（psu）。有些psu’s可能被抽 取多次，使用一个给定psu计算的总体总值
包括的次数跟psu被抽取的次数一样多。因 为psu’s被有放回地抽取，所以我们可得到n 个独立的总体总值估计值。则我们去这n个
小专题(八)概率中的“放回”与“不放回”问题
小专题(八) 概率中的“放回”与“不放回”问题【例】 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球； ①求两次取出的小球的标号的和等于4的概率；②求第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的概率；(2)随机摸取一个小球然后不放回，再随机摸出一个小球，求两次取出的小球的标号的和等于4的概率是多少？请直接写出结果．【思路点拨】 (1)①先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种，然后根据概率的概念计算即可；②由①可知有16种等可能的结果数，其中第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的有8种，进而可求出其概率；(2)根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出两次取出的小球的标号的和等于4的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】【方法归纳】 在解决有关摸取(球、卡片或扑克牌)的概率问题时，一定要注意条件中有没有放回．若没放回，在画树状图或列表时一定注意考虑两次摸到(球、卡片或扑克牌)的数字不能重复．类型1 “放回”问题1．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是( )A ．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C ．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球2．如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b)在第三象限的概率是( )A.49B.13C.12D.233．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，试求出牌面数字是偶数的概率；(2)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．4．(武汉中考)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球，直接写出摸出小球标号是3的概率；(2)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，计算下列结果： ①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．类型2 “不放回”问题5．一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中红球有2个，黑球有1个，绿球有3个，第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是红球的概率为( ) A.118 B.19 C.215 D.1156．如图，有6张纸牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是( )A.45B.56C.715D.8157．(潜江中考)把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀．从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是____________．8．(宁波中考)一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为12.(1)布袋里红球有多少个？(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．参考答案【例】 (1)①画树状图如图所示：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种，所以两次摸出的小球标号的和等于4的概率为316.②其中第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的有8种，所以其概率为816＝12.(2)列表如下：1 2 3 4 1 —— (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) —— (3，2) (4，2) 3 (1，3) (2，3) —— (4，3) 4(1，4)(2，4)(3，4)——所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和等于4的情况数是2，所以其概率为212＝16.1．A 2.A3．(1)从中随机抽出一张牌，牌面所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种，∴P(牌面是偶数)＝24＝12.(2)根据题意，画树状图如图所示：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好是4的倍数的共有4种，∴P(4的倍数)＝416＝14.。
高中数学中的排列与组合的计算技巧解析
高中数学中的排列与组合的计算技巧解析高中数学中的排列与组合是一种非常重要的数学概念，广泛应用于各种实际问题的计算中。
排列与组合的计算技巧涉及到一系列公式和方法，掌握这些技巧对于解决相关问题至关重要。
本文将从基本概念入手，逐步介绍排列与组合的计算技巧。
一、排列的计算技巧在数学中，排列是指从n个不同元素中取出m个（m≤n），并按照一定的顺序进行排列。
排列的计算可以分为有放回和无放回两种情况。
下面我们将分别介绍这两种情况下的排列计算技巧。
1.1 有放回排列有放回排列是指在每次选择后，所选择的元素又放回到原始集合中，使得下一次选择仍有可能选择到该元素。
有放回排列的计算公式为P(n,m)=n^m，其中n为元素的总数，m为选择的元素个数。
例如，假设有4个元素：A、B、C、D。
从中选择2个元素进行排列，即计算P(4,2)。
根据有放回排列的公式，P(4,2)=4^2=16。
因此，可以得到排列的结果为：AB、BA、AC、CA、AD、DA、BC、CB、BD、DB、CD、DC。
1.2 无放回排列中，使得下一次选择不可能选择到该元素。
无放回排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n为元素的总数，m为选择的元素个数。
例如，假设有4个元素：A、B、C、D。
从中选择2个元素进行排列，即计算A(4,2)。
根据无放回排列的公式，A(4,2)=4!/(4-2)!=4!/2!=4x3=12。
因此，可以得到排列的结果为：AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC。
二、组合的计算技巧在数学中，组合是指从n个不同元素中取出m个（m≤n），并不考虑其顺序的选择方式。
组合的计算同样可以分为有放回和无放回两种情况。
下面我们将分别介绍这两种情况下的组合计算技巧。
2.1 有放回组合有放回组合是指在每次选择后，所选择的元素又放回到原始集合中，使得下一次选择仍有可能选择到该元素。
有放回组合的计算公式为C(n,m)=C(n+m-1,m)=(n+m-1)!/(n!(m-1)!)，其中n为元素的总数，m为选择的元素个数。
浅议古典概型中的抽样问题
浅议古典概型中的抽样问题靖江市第一中学 侯琰摘 要：古典概型是最基本的一种概率模型。
在概率这一章中，古典概型占有很重要的地位。
古典概型与实际问题联系紧密，案例千变万化，而解决古典概型最基本的思想是列举。
本文针对古典概型中易错的放回与不放回，有序与无序问题进行探讨，从而归纳总结出解决古典概型中抽样问题的思想方法和解题技巧。
关键词：古典概型 抽样方法 列举 放回 不放回 有序 无序苏教版数学3的古典概型，是在随机事件的概率之后，几何概型之前的情况下教学的。
古典概型起着承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。
在“随机事件的概率”这一节中，已经提出了用频率近似估计概率的这种方法。
而这种方法必须依赖大量的重复试验，操作起来并不实际，而古典概型的提出，避免了这个问题，而且得到的是概率精确值。
古典概型（Classical probability model ）必须满足条件：① 所有基本事件有限个② 每个基本事件发生的可能性都相等如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P =， 由计算公式可以看出解决古典概型的关键是求出基本事件的总数n 和事件A 包含的基本事件个数m ，一般有画韦恩图、列表格、画树形图等列举方法。
古典概型的案例千变万化，列举是基本思想，有的题目看似简单，但因学生概念理解不透、审题不清常常造成错解。
因此如能配合分类分步、排列组合的思想，解决问题可事半功倍。
古典概型中的放回与不放回，有序与无序是学生比较出错的问题。
数学3的各章知识前后相辅相成，是比较连贯的。
“算法”一章主讲完成一件事情的方法与步骤，“概率”则主讲完成一件事情的方法种数；“统计”一章中介绍的三种抽样方法均属于不放回抽样,“概率”这章则更进一步探讨放回与不放回抽样的概率问题。
（结构如图）根据是否放回，抽样方法可以分成两类：①是一类；②③是一类。
同济大学概率统计第1章
三、随机事件
1.
随机事件：一个随机试验的样本空间的子集，简称为事件， 常用大写字母A，B，C……表示。 2. 基本事件：仅含一个样本点的随机事件 。 例1: 事件A={出现点数不大4},A={1,2,3,4} 事件B={出现偶数点},B={2,4,6} 例2: 事件C={次品件数不少于空间和随机事件
确定性现象：在确定的试验条件下必然会发生 的现象
在101325Ｐa的大气压下， 将纯净水加热到100℃时必然沸腾
垂直上抛一重物，该重物会 垂直下落
随机现象：在大量重复试验中结果呈现某种规律性的 现象。这种规律性称为统计规律性。
掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点。
Ω
A B
记作
A⊂ B
B⊃A
例如
抛掷两颗骰子，观察出现的点数 B={出现奇数点}
A={出现1点}
A⊂ B
相等事件
A ⑵如果 ⊂ B 且 B ⊂ A ，即 A = B ，那么称事件A与事件B相等。
B ⊃ A且 A ⊃ B
Ω
B A
⇔
A=B
例1：在投掷一颗骰子的试验中， 事件A“出现2点”，事件B“出现偶 数点”，事件c是“出现2或4或6 点”，则
§1.2事件关系和运算
例７：两门火炮同时向一架飞机射击,事件A=｛击落飞机},Bi={击中第i个发 动机},i=1,2, C={击中驾驶员},“击落飞机”等价于“击中驾驶员” 或者
“击中两个发动机”.
试建立A,B1,B2,C之间的联系.
包含
⑴如果 A ⊂ B（或） B ⊃ A ，那么称事件B包含事件A，它的含义是：事 件A发生必定导致事件B发生。事件A是事件B的子事件。
几何概型
假定样本空间Ω是某个区域（可以是一维、二维和三维的）每个 样本点等可能的出现，我们规定事件A的概率为：
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有放回与无放回的探讨（一）
——小议抽样方式
在各种资料中经常会出现这样的问题:
在20000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求检查得不合格品数的数学期望.
学生在做这类题目时感到困惑：题目没有指明抽样方式，应视为有放回抽样还是无放回抽样？应视为什么样的概率分布？
【分析】若设ξ：表示检查得不合格品数，则所求数学期望为)(ξE ，故解此题的关键是求概率)(k P =ξ.
为了解决学生提出的问题先看下面的例题.
例1:一个口袋装有大小相等的10个球,其中6个白球,4个红球.在下列三种情况下分别求事件“取出的球颜色相同”发生的概率
(1)一次取出3个球;
(2)“无放回”逐次取球3次,每次一个;
(3)“有放回”逐次取出3个球,
解:(1) 一次取出3个球共有310
120C =种等可能情况,其中事件“取出的球颜色相同”包含有336424C C +=种等可能情况,它发生的概率为2411205
P ==. (2) “无放回”逐次取出3个球, 共有310
1098720A ⨯⨯==种等可能情况, 其中事件“取出的球颜色相同”包含有3364654432144A A ⨯⨯+⨯⨯=+=种等可能情况,它发生的概率为14417205
P ==. (3)“有放回”逐次取出3个球共有3101000=种等可能情况, 其中事
件“取出的球颜色相同”包含有3364280+=种等可能情况,它发生的概率为2807100025
P ==. 通过以上分析得出如下结论:
① “无放回抽样”是指每次抽出的一个体不再放回总体中，下次再抽取时，球总体的总数比前一次少一个，每次抽取的概率发生变化,无放回抽取各次抽取作为一个事件，它们不是相互独立。
②对无放回抽取事件“无放回地逐个取k 个球”与事件“一次性任取k 个球”的概率相等，是古典概型，服从超几何分布。
③“有放回抽样”是指每次抽出一个个体完成后还要把这个个体放回总体中（即袋内），下次再抽取时，球的总数不变，每次摸球的概率保持不变；有放回摸球各次抽取作为一个事件，则它们是相互独立的，是独立重复试验(贝努力概型)，服从二项分布。
例2: 在100件产品中有10件不合格品，从中任意抽取3件进行检查，求检查得不合格品数的数学期望.
解法一: 如视为“有放回抽样” 用独立重复试验(伯努利概型)计算： 设ξ：3件产品中的不合格品数，则ξ的可能取值为：0，1，2，3抽取3件产品可看成进行了3次独立重复试验(3重伯努利试验)
ξ=k ：3件产品中恰有k 件不合格品，其中0,1,2,3k = 每次抽得不合格品的概率为10110010
P == 由独立重复试验(伯努利概型)公式：331
9()()()1010k k k P k C ξ-==于是
30()()k E kP k ξξ===∑3
33119()()1010k k k k kC -==∑31131(1)211193()()101010k k k k C -----==⨯∑
2(31)(1)3101193()()101010k k k k C ----==⨯∑130.310
=⨯= 解法二:如视为“无放回抽样”(服从超几何分布)
设ξ：3件产品中的不合格品数。
则ξ的可能取值为：0，1，2，3抽取3件产品可看成是从100件产品中无放回地连续抽取3次.由古典概型公式得：
310903100
()k k C C P k C ξ-== （k=0，1，2，3） 从而ξ服从超几何分布即
30()()k E kP k ξξ===∑331090311001k k k kC C C -==∑0312213010901090109010903100
1(023)C C C C C C C C C =+++ 0.29980.3=≈
从上例讨论可知，因产品数量不够大，由不放回抽样与有放回抽样分别得到的期望有一定的差别，但在精度要求不高时它们的期望近似相等，而教材中通常是做为超几何分布来处理的。