小波分析在信号去噪中的应用

小波分析在信号去噪中的应用
摘要：利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。

小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对几种去噪方法不同阀值的选取比对分析和基于MATLAB 信号去噪的仿真试验，比较各种阀值选取队去噪效果的影响。

关键词：小波去噪；阀值；MATLAB 工具
1、 小波去噪模型的建立
如果一个信号()f n 被噪声污染后为()s n ，那么基本的噪声模型就可以表示为
()()()s n f n e n σ=+
式中：()e n 为噪声；σ为噪声强度。

最简单的情况下()e n 为高斯白噪声，且σ=1。

小波变换就是要抑制()e n 以恢复()f n ，从而达到去除噪声的目的。

从统计学的观点看，这个模型是一个随时间推移的回归模型，也可以看作是在正交基上对函数()f n 无参估计。

小波去噪通常通过以下3个步骤予以实现：
a)小波分解；
b)设定各层细节的阈值，对得到的小波系数进行阈值处理； c)小波逆变换重构信号。

小波去噪的结果取决于以下2点：
a)去噪后的信号应该和原信号有同等的光滑性；
b)信号经处理后与原信号的均方根误差越小，信噪比越大，效果越好。

如何选择阈值和如何利用阈值来量化小波系数，将直接影响到小波去噪结果。

2、小波系数的阈值处理
2．1由原始信号确定阈值
小波变换中，对各层系数降噪所需的阈值一般是根据原信号的信噪比来决定的。

在模型里用σ这个量来表示，可以使用MATLAB 中的wnoisest 函数计算得到σ值，得到信号的噪声强度后，根据下式来确定各层的阈值。

thr =式中n 为信号的长度。

2．2基于样本估计的阈值选取
1)无偏似然估计(rigrsure)：是一种基于Stein 无偏似然估计原理的自适应阈值选择。

对于给定的阈值T ，得到它的似然估计，再将似然T 最小化，就得到了所选的阈值，这是一种软件阈值估计。

2)阈值原则(sqtwlolg)：固定阈值T 的计算公式为。

3)启发式阈值原则(heursure)：是无偏似然估计和固定阈值估计原则的折
中。

如果信噪比很小，按无偏似然估计原则处理的信号噪声较大，在这种情况下，就采用固定阈值形式。

4)极值阈值原则(minimax)：采用极大极小值原理选择阈值，它产生一个最小均方误差的极值，而不是没有误差。

统计学上，这种极值原理用来设计估计器。

因为被消噪的信号可以看作与未知回归函数的估计器相似，这种极值估计器可在给定的函数中实现最大均方误差最小化。

2．3软阈值和硬阈值 在确定阈值后，可以采用硬阈值或软阈值的处理方法对小波系数做阈值处理。

硬阈值法只保留大于阈值的小波系数并将其他的小波系数置零，其表达式如下：
软阈值法将小于阈值的小波系数置零，并把大于阈值的小波系数向零做收缩，其表达式如下：
3 、小波去噪的MATLAB 仿真对比试验
给定函数cos(10)x f e x -=作为原始信号，然后加一组随机噪声，然后分别选取不同阀值对信号用小波以为信号的自动消噪进行去噪处理。

采用的小波为sym8，分解层数为5，小波函数为wden 。

结果如图一所示
图一 不同阀值系数软阀值去噪效果图
由图一可大致看出去噪效果对比heusure 和minimaxi 阀值的去噪效果较好，sqtwolo 阀值降噪效果相对较差。

而rigrsure 看不出明显差别。

图二 不同阀值系数硬阀值去噪效果图
图二可看出，对硬阀值去噪minimaxi 阀值的效果最差。

为了精确的表示去噪效果，可与计算去噪后的信噪比（SN R ）和均方根误差（RMSE ）。

计算公式如下：
2()10log [()()]n
SN
n x n R x n x n ⎡⎤⎢
⎥=⎢⎥'-⎢⎥⎣⎦
∑∑
RMSE =
信号的信噪比越高，原始信号和去噪信号的均方根误差越小，去噪信号就越接近原信号，去噪的效果也就越好。

表一给出了各种阀值选取得信噪比和均方根误差的比较。

表一 几种阀值软阀值去噪后的SN R 和RMSE
4、结论
本文对基于小波分析的去噪方法进行了研究，指出小波去噪阀值的选取对去噪效果的影响，并利用MATLAB 的小波分析工具箱进行了仿真试验，试验表明利用
小波分析方法可以达到良好的去噪效果，并且minimaxi阀值的去噪效果最好。

参考文献：
[1] 胡昌华李国华基于MATLAB 6.0的系统分析与设计——小波分析西安电子科技大学出版社
[2] 吴伟，蔡培升基于MATLAB的小波去噪仿真(西安石油大学机械工程学院，陕西西安710065)
附：
Matlab程序
clear
clc
x=0:0.01:3;
f=exp(-x).*cos(10*x);%原始信号函数
subplot(3,2,1);
plot(f);title('原始信号图形');%画出原始信号图形
noise=0.2*randn(size(f));
f1=f+noise; %噪声信号
subplot(322)
plot(f1); title('加噪后语音图像')
lev=5;
%对f1用sym8小波分解到第五层，并对高频系数用heusure硬阀值
xd=wden(f1,'heursure','h','one',lev,'sym8');
subplot(323)
plot(xd); title('用heusure硬阀值去噪后图像')
D=f-xd;
MSE=sqrt(sum(D(:).*D(:))/prod(size(f))) %均方根误差
PSNR=10*log10(sum(f(:).*f(:))/sum(D(:).*D(:))) %信噪比
%用rigrsure阀值对信号的标准差单车估计，并降噪
xd1=wden(f1,'rigrsure','h','one',lev,'sym8');
subplot(324)
plot(xd1); title('用rigrsure硬阀值去噪后图像')
D1=f-xd1;
MSE1=sqrt(sum(D1(:).*D1(:))/prod(size(f))) %均方根
PSNR1=10*log10(sum(f(:).*f(:))/sum(D1(:).*D1(:)))%信噪比
%用sqtwolog阀值对信号的标准差单车估计，并降噪
xd2=wden(f1,'sqtwolog','h','sln',lev,'sym8');
subplot(325)
plot(xd2); title('用sqtwolog硬阀值去噪后图像')
D2=f-xd2;
MSE2=sqrt(sum(D2(:).*D2(:))/prod(size(f))) %均方根
PSNR2=10*log10(sum(f(:).*f(:))/sum(D2(:).*D2(:)))%信噪比
%用minimaxi阀值对信号的标准差单车估计，并降噪
xd3=wden(f1,'minimaxi','h','sln',lev,'sym8');
subplot(326)
plot(xd3); title('用minimaxi硬阀值去噪后图像')
D3=f-xd3;
MSE3=sqrt(sum(D3(:).*D3(:))/prod(size(f))) %均方根PSNR3=10*log10(sum(f(:).*f(:))/sum(D3(:).*D3(:)))%信噪比。