(完整版)三元一次方程组课件
3x - y - z = 9
3． 三元一次方程组 2x + y - 2z = 6
x + y + z = 15 x = 6
y = 4
的解是___z__=__5______．
x = 13
x 4．三元一次方程组y
+ +
y z
= =
36
y = 23
56的解是___z__=__3_3__．
x + z = 46
②
x＋y＋z=17
③
x－y=2
①
y－z=3
②
x＋y＋z=17
③
②＋③，得
x＋2y=20 ④
①与④组成方程组
x－y=2
x＋2y=20
解这个方程组，得
x=8 y=6
x=8
∴ y=6
z=3
把y=6代入②，得 6－z=3
所以z=3
解三元一次方程组的步骤：
①利用代入法或加减法，消去一个未知数， 得出一个二元一次方程组；
新课导入
问题：甲、乙、丙三数的和是33，甲数比乙数大 2，甲数的两倍与丙数的和比乙数大24， 求这三个数．
思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？ 你能根据题意列出几个方程？ x + y + z = 33 根据题意，列方程组：x - y = 2 2x + z - y = 24
讨论：上面方程组具有什么特点？
解：根据题意，得三元一次方程组
a + b + c = 9 ①
4a + 2b + c = 26 ②
c = 6
③
把③代入①②，化简，得到一个新的 二元一次方程组
a + b = 3 2a + b = 10
解这个二元一次方程组，得
a = 7 b = -4
a = 7 因此，b = -4
c = 6
答：a=7，b=－4，c=6．
例5 某车间每天能生产甲种零件180个， 或者乙种零件150个，或者丙种零件300个，甲， 乙，丙3种零件分别取3个，2个，1个，才能配 一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲， 乙，丙3种零件各应生产多少天？
解：设甲种零件生产x天，乙种零件生 产y天，丙种零件生产z天，根据题意，得
x + y + z = 30 180x :150y : 300z = 3 : 2 :1
5x-4y-29z=0
5．已知
并且Z≠0，求x：y的值．
X-3y+3z=0
解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为 5x－4y=29z x－3y=－3z
x=9z 解这个方程组，得
y=4z
∴x：y=9：4
6．己知：
3x - 4y - 5z x + 2y -15z
= =
0 0
(x , y , z?0)
③
解：①×4－③×3，得 －22y＋13z=8 ④
②与④组成方程组 5y－z=6 －22y＋13z=8
解这个方程组，得 y=2
z=4 把y=2 ，z=4代入①，得 3x－4×2＋4=11 所以 x=5 因此，三元一次方程组的解是
x=5
y=2
z=4
x+y=7 ① 例2 解三元一次方程组 y+z=9 ②
③
解：①＋②＋③，得（x＋y＋z）2=81
∴ x＋y＋z=±9
④
①÷④，得x=±1
②÷④，得y=±3
③÷④，得z=±5 x=1
∴原方程组的解为 y=3 z=5
x=－1 或 y=－3
z=－5
例7
己知x ， y ， z 满足方程组
x - 2y + z = 0 5x - 4y - 7z = 0
求 x ： y ： z的值．
x + y + z = 30 化简，得 x = 5z
y = 4z
解这个方程组，得
x = 15 y = 12 z = 3
答：甲种零件生产15天，乙种零件生产 12天，丙种零件生产3天．
x(x + y + z) = 9
①
例6 解方程组：y(x + y + z) = 27
②
z(x + y + z) = 45
解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为
x－2y=－z
5x－4y=7z 解这个方程组，得
x y
= =
10 z 3 13 z 6
∴x：y：z=20：13：6
课堂小结
解三元一次方程组的基本思路：
通过“代入”或“加减”进行消元，把 “三元”化为“二元”，将三元一次方程组转 化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方 程进行求解．
②解这个二元一次方程组，求得两个未知 数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程中较简 单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这 三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组 的解．
解方程组
x：y：z=2：3：5 x+y+z=200
x yz 解：此方程组即为 2 3 5
x y z 200
3x=2y
①
代入②得，3t＋5t－9t=－2
∴t=2
∴ x=2， y=10，z=18
x = 2 ∴方程的解是y = 10
z = 18
习题答案
x = 2,
1． （1）y = -3,
z
=
1
;
2
x
=
-
3 4
,
（2）y
=
5， 3
z = 2.
2．
x = 5,
（1）y = -2,
z
=
1
;
3
x = -1,
（2）y
=
1 2
,
z = 3.
3．百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z．
x + z = y, 7x - y - z = 2, x + y + z = 14.
x = 2, y = 7, z = 5.
4．原方程组可转化为
2x - 3y = 0, 4y - 5z = 0, x + y + z = 66.
x = 30, y = 20, z = 16.
三元一次 消元 二元一次 消元 一元一
方程组
方程组
次方程
随堂练习
1．已知x∶y∶z＝1∶2∶3，且x＋y＋z＝30，
则xyz＝___7_5_0___．
x + 2y = 10
2． 三元一次方程组 y - z = -3 的解是
x = 4 y = 3
2z - x = 8
___z__=__6______．
x + y + z = 33 x - y = 2 2x + z - y = 24
三元一次方程组 消元
二元一次方程组
消元 一元一次方程
代入消元法和加减消元法
x + y + z = 33 ①
x - y = 2
②
2x + z - y = 24 ③
解：由②得： x y 2 ④
把④代入①得： y 2 y z 33
a + b + c = -2,
5．a - b + c = 20,
9
a
+
3
b
+
c
=
1
a
+
1
b
+
c.
4 2
93
a = 6, b = -11, c = 3.
z+x=8 ③
解：①+②+③得2x+2y+2z=24 即 x+y+z=12 ④ ④－①得 z=5 ④－②得 x=3 ④－③得 y=4
x=3 因此，三元一次方程组的解为 y=4
z=5
例3 在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时， y=9；当x=2时，y=26；当x=0时，y=6．求a， b，c的值．
把④代入③得： 2y 2 z－y 24
2 y z 31
y
z
20
有一个三位数，已知个位上的数比十位 上的数大2，十位上的数比百位上的数大3， 且个位、十位、百位上的数的和为17，求这 个三位数是多少？
解：设个位上的数是x、十位上的数是y、 百位上的数是z，根据题意，得
x－y=2
①
y－z=3
，
求：（1）x ： z 的值．（2）y ： z 的值．
解：原方程组可化为
3x - 4y = 5z x + 2y = 15z
解此方程组，得
x y
= =
7z 4z
∴x ： z=7：1．y ： z=4：1．
x : y : z = 1: 5 : 9 ①
7．解方程组
3x + y - z = -2
②
解：由①可设x=t，则y=5t，z=9t，
x + y + z = 33
x - y = 2
x y z 33
2x + z - y = 24
含和有二三元一个次方方程程类；似，含有三个未知数，且 含含三有有元三未一知次个数方不的程同项。的的次未数知都数是一；次的方程叫做
未由知三数个的一项次的方程次组数成都，是并1且. 含有三个未
知数的方程组叫做三元一次方程组
即： 3z=5y
②
x+y+z=100
③
③×3 －① － ②，得 y=75
把y=75分别代入①②，得 3x=2×75 所以x=50 3z=5×75 所以Z=125
因此，三元一次方程组的解为
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八年级数学上册教学课件《三元一次方程组》
类似于二元一次方程组，可以得到下边的方程组：
x y z 23
x
y
1
2x y z 20
思考 这个方程组和前面学过 的二元一次方程组有什么区 别和联系，又如何求解？
探究新知
5.8 三元一次方程组
观察方程x+y+z=23 和2x+y-z=20 1．它们有什么共同特点？
它们都含有三个未知数，并且所含未知数 的项的次数都是1； 2．类比二元一次方程，你能说出这两个方 程是什么方程吗？
依题意,得
x y z 51 4x 8y 5z 300 x y 2z 67
x 15
解得：
y
20
z 16
答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.
连接中考
5.8 三元一次方程组
小明妈妈到文具店购买三种学习用品,其单价分别为2元、4元、6 元,购买这些学习用品需要56元,经过协商最后以每种单价均下调 0.5元成交,结果只用了50元就买下了这些学习用品,则小明妈妈的 购买方法有( D )
x y z 23, ①
x
y
1,
②
2x y z 20.③
能不能像以前一样“消元”， 把“三元”化成“二元”呢？
探究新知
x y z 23, ①
例
解方程组
x
y
1,
②
2x y z 20.③
5.8 三元一次方程组
类似二元一次方程组 的“消元”,把“三 元”化成“二元”.
解：由方程②得x=y+1④,把④分别代入①③得
10y 5z 0.
⑤
⑤+④,得
5x 5y 10z 35,
①
10y 30z 70, ④
3.8 三元一次方程组 课件(共23张PPT) 湘教版七年级数学上册
问题3：如何解这个方程呢？
x＋y＋2z＝3， ① －x－y＋z＝－3，② x＋2y－4z＝－5 ③
可以消元求解！
x＋y＋2z＝3， ① －x－y＋z＝－3，② x＋2y－4z＝－5 ③ 将方程①两边同乘 2，得 2x＋2y＋4z＝6.
④＋②，得
y＋5z＝3. ⑤
①－③，得
－y＋6z＝8. ⑥
解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得
第3章 一次方程组
3.8 三元一次方程组
教学目标
1. 了解三元一次方程组的概念. 2. 会用代入法和加减法解简单的三元一次方程组. 3. 通过三元一次方程组的解法练习，培养分析问题的能
力，并能根据题目的特点，确定消元的方法和消元的 对象. 重点：正确地解三元一次方程组. 难点：三元一次方程组的应用.
z
1.
2.
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的
3 4
，
百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大
1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原
三位数大 495，求原三位数．
解： 设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x、
y、z. 由题意，得
x 3,
y
3 4
z,
x y z 1,
含三个未知数 未知数的次数都是 1
三元一次方程
含两个未知数 未知数的次数都是 1 二元一次方程
因这个三位数各位上的数字必须同时满足上
述三个方程，故将三个方程联立在一起.
x＝2(y＋z)， ①
z＝3y，
②
x＋y＋z＝12. ③
总结
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都
是 1 的方程组叫作三元一次方程组. 一般地，三元
三元一次方程组课件ppt
5x-4y-29z=0
5．已知
并且Z≠0，求x：y的值．
X-3y+3z=0
解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为 5x－4y=29z x－3y=－3z
x=9z 解这个方程组，得
y=4z
∴x：y=9：4
6．己知：
3x - 4y - 5z x + 2y -15z
= =
0 0
(x , y , z?0)
②
x＋y＋z=17
③
x－y=2
①
y－z=3
②
x＋y＋z=17
③
②＋③，得
x＋2y=20 ④
①与④组成方程组
x－y=2
x＋2y=20
解这个方程组，得
x=8 y=6
x=8
∴ y=6
z=3
把y=6代入②，得 6－z=3
所以z=3
解三元一次方程组的步骤：
①利用代入法或加减法，消去一个未知数， 得出一个二元一次方程组；
x + y + z = 33 x - y = 2 2x + z - y = 24
三元一次方程组 消元
二元一次方程组
消元 一元一次方程
代入消元法和加减消元法
x + y + z = 33 ①
x - y = 2
②
2x &#y 2 ④
把④代入①得： y 2 y z 33
x + y + z = 30 化简，得 x = 5z
y = 4z
解这个方程组，得
x = 15 y = 12 z = 3
答：甲种零件生产15天，乙种零件生产 12天，丙种零件生产3天．
x(x + y + z) = 9
三元一次方程组及其解法-完整版课件
能说出你这节课的收获和体验 让大家与你分享吗？
布置作业
1、作业本 2、课后练习
x2y5z22
x 4y
合作探究
1.什么是三元一次方程组？ 2.解三元一次方程组的基本思路
是什么？
探索新知
1.含有三个未知数，且含有未知数的项的
次数都是一次的方程，叫做三元一次方程.
2.由三个方程组成，并且含有三个未知数 的方程组叫做三元一次方程组.
3.同时满足三元一次方程组中各个方程的解 叫做这个三元一次方程组的解.
一、什么是二元一次方程组？
二、解二元一次方程组的基本思路 是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
问题引入
小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的 纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币 数量的4倍。求1元、2元、5元的纸币各多少张？
设1元、2元、5元的纸币分别为 x 张、y 张、z 张， xyz12
4.基本思路:
ห้องสมุดไป่ตู้
消元
消元
三元方程组:
二元方程组
一元方程
探索新知
x + y + z = 12
①
x
+
2y +
5z
=
22
②
x = 4 y
③
解：把③分别代入① ②，得
4y y z 12 4y 2y 5z 22
5y z 12
即
6
y
5z
22
解这个方程组，得
y
z
2 2
把 y 2 代入③，得
x8
所以原方程组的解是
x 8
y
2
z 2
例1
x 2y z 1 ①
简单的三元一次方程组ppt课件
所以原方程组的解为
易错：
错因：解三元一次方程组时，由于粗心漏乘常数项. 易错警示：在给方程变形时一定要注意，在方程两边同时乘一个常数时， 注意不要漏乘任何一项.
-13-
6.4 简单的三元一次方程组*
[题型探究]
■题型一 三元一次方程组与非负数性质的综合
例1 若
，求 x-y-z 的值.
解析：根据非负数的性质列出三元一次方程组，即可求得 x，y，z 的值，
所以原方程组的解为
把 x=a，y=2a，z=3a 代入 x-2y+3z=-10，得 a-2× 2a+3×3a=-10， 解
得 a=
.
题型解法：当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以将三个方 程相加，再分别减去每个方程，即可求出方程组的解.
-16-
6.4 简单的三元一次方程组*
[方法总结]
■灵活求解三元一次方程组 解三元一次方程组时，先仔细观察每个方程中同一个未知数的系数的特点，
然后代入 x-y-z 中即可.
答案：解：因为
，
所以 x-y-z=1.5-（-3）-（-1）=5.5. 题型解法：如果几个非负数的和为 0，那么每一个非负数都是 0.利用非 负数的这条性质可以建立方程组，进而求出有关字母的取值.
-14-
6.4 简单的三元一次方程组*
■题型二 利用三元一次方程组的解求未知字母的值
解法二（参数法）：由①②，得 x∶y∶z=3∶4∶5. 设 x=3k，y=4k，z=5k，并代入③， 得 3k+4k+5k=36， 解得 k=3， 所以 x=9，y=12，z=15， 所以原方程组的解为
-20-
6.4 简单的三元一次方程组 *
▍考点集训/夯实基础
易错：
错因：解三元一次方程组时，由于粗心漏乘常数项. 易错警示：在给方程变形时一定要注意，在方程两边同时乘一个常数时， 注意不要漏乘任何一项.
-13-
6.4 简单的三元一次方程组*
[题型探究]
■题型一 三元一次方程组与非负数性质的综合
例1 若
，求 x-y-z 的值.
解析：根据非负数的性质列出三元一次方程组，即可求得 x，y，z 的值，
所以原方程组的解为
把 x=a，y=2a，z=3a 代入 x-2y+3z=-10，得 a-2× 2a+3×3a=-10， 解
得 a=
.
题型解法：当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以将三个方 程相加，再分别减去每个方程，即可求出方程组的解.
-16-
6.4 简单的三元一次方程组*
[方法总结]
■灵活求解三元一次方程组 解三元一次方程组时，先仔细观察每个方程中同一个未知数的系数的特点，
然后代入 x-y-z 中即可.
答案：解：因为
，
所以 x-y-z=1.5-（-3）-（-1）=5.5. 题型解法：如果几个非负数的和为 0，那么每一个非负数都是 0.利用非 负数的这条性质可以建立方程组，进而求出有关字母的取值.
-14-
6.4 简单的三元一次方程组*
■题型二 利用三元一次方程组的解求未知字母的值
解法二（参数法）：由①②，得 x∶y∶z=3∶4∶5. 设 x=3k，y=4k，z=5k，并代入③， 得 3k+4k+5k=36， 解得 k=3， 所以 x=9，y=12，z=15， 所以原方程组的解为
-20-
6.4 简单的三元一次方程组 *
▍考点集训/夯实基础
《三元一次方程组》教学演示精品PPT课件
z=x＋y＋12 y-x=z-y．
3
这个问题的解必须同时满足上面的三个方 程.将这三个方程联立，得到方程组
x y z 120 ①
z
x
y
12
②
y
x
z
y
②
4
三元一次方程组
解:设小亮x岁，爸爸y岁，爷爷z岁，
x＋y＋z=120, ①
x y z 120 ①
z=x＋y＋12 ②
z
x
y
12
16
例2 解方程组 解: ③ - ②，得
x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
x y 1
④
① + ④，得
2x 2
∴ x 1
把 x=1 代入方程①、③，分别得
y 2, z 3
x 1
所以,原方程组的解是
y
2
z 3
17
可不可以只用方程组中的两个就求解出方程的解？
例2 解方程组
x y 3 ①
②
x-z=4.
③
解法三：消去z
由③得，z=x-4 ④
把④代入①、②得
x+y+(x-4)=2,⑤ x-y+(x-4)=0,⑥
化简得， ⑦
2x+y=6
4-y=0 ⑧
13
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例1中的③）中 缺少的那个元。缺某元，消某元。
,