人教A版高中数学必修三同步阶段质量检测(二)

阶段质量检测（二）

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是( ) A ．长方体的体积与边长 B ．大气压强与水的沸点

C ．人们着装越鲜艳，经济越景气

D ．球的半径与表面积

解析：选C A 、B 、D 均为函数关系，C 是相关关系．

2．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )

A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数

B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差

C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值

D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数

解析：选B 标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.

3．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )

A ．09,14,19,24

B ．16,28,40,52

C ．10,16,22,28

D ．08,12,16,20

解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．

4．如果在一次实验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的回归直线方程是( )

A.y ^

＝x ＋1.9

B ．y ^

＝1.04x ＋1.9

C.y ^＝0.95x ＋1.04

D.y ^

＝1.05x －0.9

解析：选B x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝1

4(3＋3.8＋5.2＋6)＝4.5.因为回归直线方程

过样本点中心(x ，y )，代入验证知，应选B.

5．某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩，按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为( )

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

解析：选B 由茎叶图得，诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有16×10

40

＝4(人)．

6.如图所示是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)与[40,45]的上网人数之和是年龄在[35,40)的上网人数的2倍，则年龄在[35,40)的居民上网的频率为( )

A ．0.04

B ．0.06

C ．0.2

D ．0.3

解析：选C 由频率分布直方图，得年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35.设年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率分别为x ，y ，z ，则

?

????

x ＋y ＋z ＝1－0.05－0.35，x ＋z ＝2y ，解得y ＝0.2，所以年龄在[35,40)的居民上网的频率为0.2.故选C. 7．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93，下列说法正确的是( )

A ．这种抽样方法是一种分层抽样

B ．这种抽样方法是一种系统抽样

C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D ．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数

解析：选C A 不是分层抽样，因为抽样比不同．B 不是系统抽样，因为是随机询问，抽样间隔未知．C 中五名男生成绩的平均数是x ＝86＋94＋88＋92＋905＝90，五名女生成绩

的平均数是y ＝

88＋93＋93＋88＋935＝91，五名男生成绩的方差为s 21＝1

5

(16＋16＋4＋4＋0)

＝8，五名女生成绩的方差为s22＝1

5(9＋4＋4＋9＋4)＝6，显然，五名男生成绩的方差大于五名

女生成绩的方差．D中由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩．

8．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()

图1

图2

A．1% B．2%

C．3% D．5%

解析：选C由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%，故选C.

9．(2019·西安八校联考)图1为某省2019年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1～4月份快递业务收入统计图，则下列选项中对统计图理解错误的是()

A ．2019年1～4月份快递业务量中3月份最高，2月份最低，差值接近2 000万件

B ．2019年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关

C ．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致

D ．从1～4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长

解析：选D 对于A,2019年1～4月份快递业务量中3月份最高，有4 397万件，2月份最低，有2 411万件，其差值接近2 000万件，所以A 正确；对于B,2019年1～4月份快递业务量的同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关，所以B 正确；对于C ，由题中两图易知增量与增长速度并不完全一致，其业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化是3月→4月→1月→2月，保持高度一致，所以C 正确；对于D ，由题图知业务收入2月相对1月减少，4月相对3月减少，整体不具备高速增长之说，所以D 不正确．综上，选D.

10．一组数据中的每个数都乘2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )

A ．40.6,1.1

B ．48.8,4.4

C ．81.2,44.4

D ．78.8,75.6

解析：选A 设原数据的平均数为x ，方差为s 2，则数据中的每一个数都乘2，再减去

80，得一组新数据，新数据的平均数为2x －80，方差为22s 2，由题意得

???

2x －80＝1.2，

22s 2

＝4.4，

解得???

x ＝40.6，s 2

＝1.1.

11．对某种灯泡随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：

寿命(天) 频数 频率 [100,200) 20 0.10 [200,300) 30 y [300,400) 70 0.35 [400,500)

x

0.15

天的是次品，其余的是正品．现从灯泡样品中随机地抽取n (n ∈N *)个，若这n 个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n 的最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：选C 由频率分布表，得x ＝200×0.15＝30，

∴灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个， 即优等品、正品、次品的比为50∶100∶50＝1∶2∶1.

∴按分层抽样方法，抽取的灯泡的个数n ＝k ＋2k ＋k ＝4k (k ∈N *)， ∴n 的最小值为4.故选C.

12．设矩形的长为a ，宽为b ，若其比满足b

a ＝5－12≈0.618，则这种矩形称为黄金矩形．黄

金矩形给人以美感，常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数与标准值0.618比较，正确结论是( ) A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近 B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近 C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

解析：选A 甲批次的样本平均数为1

5×(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639)＝0.617；

乙批次的样本平均数为1

5×(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620)＝0.613.所以可估计：甲

批次的总体平均数与标准值更接近．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．去年，相关部门对某城市“五朵金花”之一的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分布如下表所示：

已知

这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为________万元．

解析：由8

0.05＝

x

0.30，得x＝48，即为该景区游客人数最多的一天的营业额．

答案：48

14．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差)对应相同的是________．

解析：由s2＝1

n

[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]，可知B样本数据每个变量增加2，

平均数也增加了，但s2不变，故方差不变．

答案：方差

15.某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数茎叶图如图，记分员去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．

解析：由于需要去掉一个最高分和一个最低分，故需要讨论：

①若x≤4，∵平均分为91，∴总分应为637分．即89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x＝637，∴x＝1.

②若x＞4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋94＝640≠637，不符合题意，故填1.

答案：1

16．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．

解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，

设[70,80)的小长方形面积为x，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋

85×0.25＋95×0.05＝71.

答案：71

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)某校高三年级在5月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：

[0,400) [400,480) [480,550) [550,750]

文科考生 67 35 19 6 理科考生

53

x

y

z

文科考生抽取了2名．

(1)求z 的值；

(2)如图是不低于550分的6名文科考生的语文成绩的茎叶图，计算这

6名考生的语文成绩的方差．

解：(1)依题意26

＝5－2

z ，得z ＝9.

(2)这6名文科考生的语文成绩的平均分为 111＋120＋125＋128＋132＋134

6＝125，

则这6名考生的语文成绩的方差为

s 2＝1

6×[(111－125)2＋(120－125)2＋(125－125)2＋(128－125)2＋(132－125)2＋

(134－125)2]

＝1

6

×(142＋52＋02＋32＋72＋92)＝60. 18．(12分)2015年春节前，有超过20万名来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个休息站，让过往的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的摩托车驾驶人员每隔50人询问一次省籍，询问结果如图所示：

(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？

(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？

解：(1)根据题意，因为有相同的间隔，符合系统抽样的特点，所以交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．

(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中 广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(人)， 四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)， 设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得5

100＝x 40

， 解得x ＝2，即四川籍的应抽取2名．

19．(12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30] 2 0.05 合计

M

1

(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；

(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数．

解：(1)由分组[10,15)的频数是10， 频率是0.25知，10

M ＝0.25，所以M ＝40.

因为频数之和为40，

所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3. 故p ＝3

40

＝0.075.

因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝25

40×5

＝0.125.

(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加

社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.

20．(12分)(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频率分布表. y 的分组 [－0.20,0)

[0,0.20) [0.20,0.40)

[0.40,0.60)

[0.60,0.80)

企业数 2

24

53

14

7

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)

附：74≈8.602.

解：(1)根据产值增长率频率分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21，产值负增长的企业频率为2100

＝0.02，

用样本频率分布估计总体分布，得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.

(2)y ＝1

100×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，

s 2＝1

100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]

＝0.029 6，

s ＝0.029 6＝0.02×74≈0.17.

所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.

21．(12分)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：

(1)试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？ (2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势．

(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.

月份x

1 2 3 4 利润y (单位：百万元)

4

4

6

6

相关公式：b ^

＝

∑i ＝1

n (x

i －x )(y i －y )∑i ＝1

n

(x i －x )

2

＝

∑i ＝1

n

x i y i －n x ·y

∑i ＝1

n

x 2i －n x

2

，a ^＝y －b ^

x .

解：(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高．

(2)第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百万元)，第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元)，第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元)，

∴这3年的前7个月的总利润呈上升趋势． (3)∵x ＝2.5，y ＝5，∑I ＝1

4

x 2i ＝12＋22＋32＋42＝30，

∑I ＝1

4

x i y i ＝1×4＋2×4＋3×6＋4×6＝54，

∴b ^＝54－4×2.5×530－4×2.52＝0.8，

∴a ^

＝5－2.5×0.8＝3， ∴y ^

＝0.8x ＋3，

当x ＝8时，y ^

＝0.8×8＋3＝9.4(百万元)， ∴估计第3年8月份的利润为940万元．

22.(12分)某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．

(1)求频率分布直方图中各小长方形的宽度；

(2)估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值和中位数(以各组的区间中点值代表该组的取值)；

(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

广告投入x /万元

1

2

3

4

5

表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，计算y 关于x 的回归方程．

附：b ^＝

∑i ＝1

n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1

n

(x i －x )2

＝

∑i ＝1

n

x i y i －n x ·y

∑i ＝1

n

x 2i －n x

2

，

a ^＝y －

b ^

x .

解：(1)设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图中的各小长方形面积总和为1，可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)m ＝0.5m ＝1，故m ＝2.

(2)由(1)知各组依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]， 各组中点分别为1,3,5,7,9,11，

对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，

故可估计平均值为1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5. 设中位数为x ，则0.08×2＋0.10×2＋0.14(x －4)＝0.5， 解得x ＝5，所以中位数为5. (3)由(2)可知M ＝5. 由题意可知x ＝1＋2＋3＋4＋5

5

＝3，

y ＝

2＋3＋2＋5＋7

5

＝3.8，

∑i ＝15

x i y i ＝1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＝69，

∑i ＝1

5

x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52

＝55， 所以b ^＝69－5×3×3.855－5×32＝1210＝1.2，

a ^

＝3.8－1.2×3＝0.2.

即所求的回归方程为y ^

＝1.2x ＋0.2.

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