信息光学总结
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第1章
二维傅里叶分析
第一讲 光学中常用的几种非初等函数 δ函数
Ⅰ重要的基本概念和公式 δ函数性质 (1)筛选特性 0000(,)δ(,)d d (,)f x y x x y y x y f x y +∞-∞
--=⎰⎰
(2)可分离变量 0000δ(,)δ()δ()x x y y x x y y --=--
(3)乘法性质 000000(,)δ(,)(,)δ(,)f x y x x y y f x y x x y y --=-- (4)坐标缩放 1
δ(.)δ(,)ax by x y ab
=
(5)积分形式 1
1
δ()cos , δ()d 22i x
x xd x e
ωωωωππ∞∞
±-∞
-∞
=
=⎰⎰
Ⅱ 例题讲解:
证明:()x df e x x
f j x δπ=⎰
∞
∞
-±2 ()()[]()()()
x x f x f f df x f df
x f i x f df e x x x f x
x x
x
x
x x
f j x x δππππππ===±=∞
→∞
∞
∞
-∞
∞-±⎰⎰⎰
22sin 22cos 22sin 2cos lim 20
2
此证明利用了关系式()()Nx c N x f N sin =; ()()y x f x N N ,lim ∞
→=δ
Ⅲ 练习题: 一、计算题
1. 已知连续函数f (x ), a >0和b >0 。求出下列函数: (1) ()()()0x ax x f x h -=δ
(2) ()()()[]x x comb x f x g 0-=
(提出:本题主要复习δ函数的缩放性质和筛选性质;梳妆函数的抽样特征和平移复制功能)
第二讲 卷积和相关
Ⅰ重要的基本概念和公式
1. 卷积定义:设f (x )和h (x )是两个复函数,其卷积定义为:
⎰∞
∞
--=
*=ξξξd x h f x h x f x g )()()()()(
卷积运算的意义:一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一
函数的重叠面积。
2. 相关的定义及其运算性质
两个复函数f (x ,y )和h (x ,y )的互相关定义为:
()()()()()()fh e x f h x d f x h d f x ξξξξξξ∞
∞
*
*-∞
-∞
=+=-=⎰
⎰
★()h x
相关运算的四个步骤:第一函数取共轭→两函数变量变换→第二函数平移→相乘积分。
3. 互相关与卷积的比较:
1)互相关时有一函数要取复共轭,而卷积没有; 2)互相关图形不需要反转;
3)两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。
4. 互相关的意义:衡量两个函数间存在的关联程度,两信号关联程度高互相关值就大。 Ⅱ 例题讲解:
证明:⎪⎭
⎫
⎝⎛=*a x atri a x rect a x rect )()(
证明:相关与卷积的关系 ()()()()()fh e x f x h x f x h x *
==-*★
[]()()()()()()()()()
fh e x f x h x f x h d h f
x d f
x h x ξξξ
ξξξ∞
*-∞
∞
*
*
-∞==-=--=-*⎰⎰证明:★
Ⅲ 练习题: 一、证明题
1. 若
)()()(x g x h x f =*,试证明)()()(00x x g x h x x f -=*-;即参
与卷积的一个函数发生平移,卷积的结果也仅仅发生平移。 证明:根据卷积的定义,已知 ⎰∞
∞
--=*t t x h t f x h x f d )()()()(
)
('d )'()'('
d )'()'(d )()()()(000'000
x x g t t x x h t f t x t x h t f t t x h x t f x h x x f x t t -=--=--=
--=*-⎰⎰
⎰∞
∞
-∞
∞
--=∞
∞
-
2. 证明)()()(00x x f x f x x -=*-δ
根据卷积的定义写出积分表达式,然后再根据δ函数的筛选性质。
)(d )()()()(000x x f t t x f x t x f x x -=--=*-⎰∞
∞
-δδ
二、思考题
1. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a ,光栅常数为d ,缝数为N 。
()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛*⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=d x comb d a x rect Nd x rect x g 1
第三讲 第四讲 傅里叶变换的基本性质和基本定理
Ⅰ重要的基本概念和公式 复函数f(x,y)的傅里叶变换定义为:
2()2()1(,){(,)}(,)d d (,){(,)}(,)d d x y x y i f x f y x y i f x f y x y x y x y
F f f FT f x y f x y e x y
f x y FT F f f F f f e f f ππ∞-+-∞
∞
+--∞
⎧==⎰⎰⎪⎪⎨⎪==⎰⎰⎪⎩ 其中(,)x y F f f 称为像函数(或频谱),f(x,y)称为原函数.两者构成傅里叶变换对; 傅里叶变换基本定理(重点)
1.线性定理 {(,)(,)}(,)(,)x y x y FT af x y bg x y aF f f bG f f +=+
2.缩放和反演定理 1{(,)}(,){(,)}()y x x y f
f FT f ax by F FT f x y F f f ab
a b
=→--=--
3.位移定理 {}2()
(,)(,)x y i f a f b x y FT f x a y b F f f e
π±+±±=
{}12()
(,)(,)i x y x y FT F f f f x y e
πξηξη-+±±=
4. Parseval 定理
2
2
d d (,)
(,)
x y x y df df x y f x y F f f ∞
∞
-∞
-∞
=⎰⎰⎰
⎰ (能量守恒定理)
5.卷积定理 {}{}1(,)(,)(,)(,)
(,)(,)(,)(,)
x y x y x y x y F f x y g x y F f f G f f F F f f G f f f x y g x y -⎧*=⎪⎨*=⎪⎩