资本资产定价模型(CAPM)详细数学推导过程
资本资产定价模型阿尔法
资本资产定价模型阿尔法
资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel,CAPM）是一种用于估计资本资产价格的模型。
阿尔法（Alpha）是CAPM模型中的一个因素，表示投资组合相对于市场组合的超额收益率。
阿尔法可以用以下公式计算：
Alpha = 投资组合预期收益率 - （无风险利率 + β * （市场组合收益率 - 无风险利率））
其中，β表示投资组合相对于市场组合的风险敞口。
如果一个投资组合的阿尔法为正，意味着该投资组合的表现优于市场平均水平，反之则表现不如市场平均水平。
CAPM模型中的阿尔法因素为投资者提供了一个衡量投资组合的能力的指标。
通过比较不同投资组合的阿尔法值，投资者可以选择表现更好的投资组合进行投资。
然而，阿尔法因素也存在一定的局限性。
例如，它假设市场组合是唯一的有效投资组合，并将所有的风险都归因于市场风险。
这些假设在现实中可能不一定成立，因此投资者应该在使用CAPM模型时注意其局限性。
- 1 -。
第十一章 资本资产定价模型
1 假设你现在有30000元，可以投资下列四种证 券，构成证券组合，情况如下： 证券 金额 β A 5000 0.75 B 10000 1.10 C 8000 1.36 D 7000 1.88
现在市场上无风险利率4%，市场组合收益率 15%，请依据CAPM，计算这个组合的期望收益
2 假设现在市场上无风险收益率为6.3%，市场 组合期望收益率为14.8%，市场组合的方差为 0.0121。现有一个证券组合A，它与市场相关 系数为0.45,方差为0.0169,请依据CAPM计算 证券组合A的期望收益率
（3）对方程的解释 rF 无风险收益率 时间的价格 rm-rf 市场证券组合的预期收益率与无风险利率之 差，度量了持有市场证券组合所需要的风险升水 σm 组合的风险 斜率：承受每一单位风险的报酬，单位风险的价 格，决定了每一单位风险变化所需要的额外收益 率 升水=风险市场价格×用标准差表示的风险数量 ∴CML方程表示的是证券组合的预期收益率等于无 风险利率加上风险的升水
i 1 n
rp
β=1 rp=rm β>1 rp>rm β<1 rp<rm
rm
M
rf
1.0
p
证券市场线的经济含义：
期望收益有两部分组成： 一部分是无风险利率，是对放弃即期消费的补 偿； 另一部分是对承担风险的补偿，称为风险溢价
注意区分CML和SML
CML：描述无风险资产与有效率的风险资产 组合再组合后的有效风险资产组合的收益和风 险的关系 SML：描述任何一种资产或资产组合的收益和 风险之间的关系
4 应用 （1）资产估值 SML线上的各点，是市场处于均衡状态时的价格， 这一价格与资产的内在价值是一致的 可利用CAPM计算的内在收益率，发现高估或低 估进而投资 （2）资源配置 根据不同的投资策略（风险偏好）选择不同的组合 消极组合：组合中有无风险资产，组合不轻易改 变 积极组合：根据市场走势，调整资产组合的结构
资本资产定价模型及实证分析
资本资产定价模型及实证分析
资本资产定价模型CAPM是现代金融理论中最具影响力的理
论之一，它的核心原理是资产预期收益等于无风险收益加上市场风险溢价乘以资产市场风险系数。
该模型旨在解释资产价格的变化，包括证券、股票、债券和其他投资。
CAPM的模型公式是：Er=Rf+β(Rm-Rf)，其中Er为预期收益率，Rf为无风险利率，β为资产市场风险系数，Rm为市场风
险溢价。
该模型的一个关键假设是投资者风险厌恶程度相同，即所有投资者都期望高风险的资产具有更高的预期收益率。
CAPM的实证分析主要是通过经验数据的计算来验证CAPM
的理论。
大多数研究表明，CAPM的模型在某些情况下可以
解释资产收益的变化。
但是，一些研究也表明，CAPM的模
型存在某些缺陷，如无法解释市场失衡和非正常收益率等现象。
因此，CAPM模型尽管在理论上受到广泛认可，但在实际应
用中需要结合具体情况进行分析和修正。
金融数学课件第四章资本资产定价模型CAPM
E (r ) O’ EO’ Q m O A
Em EQ’ B
Q’
rf
0
βmm =1
βim
β 系数含义
β 系数表示证券或组合的系统风险 根据β 系数将证券或组合分为两种 SML上的B点在m点的左边，其β 系数值 小于1。表明证券B的变动幅度小于整个 市场的变动，称为防卫性证券或证券组 合（defensive securities） SML上的A点在m点的右边，其β 系数值 大于1。表明A的变动幅度大于整个市场 的变动，称为攻击性证券或证券组合 （Aggressive securities）
处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图 中的m、Q点和O点 高于或低于直线SML的点，表示投资组合不是处 于均衡状态。如图中的 O’点和Ｑ’点 市场组合m的β 系数β mm＝1，表示其与整个市 场的波动相同，即，其预期收益率等于市场平 均预期收益率Em SML对证券组合价格有制约作用 市场处于均衡状态时，SML可以决定单个证券或 组合的预期收益率，也可以决定其价格
事后β 系数的估计
所谓事后β 系数，是从市场的实际表现，来估计过 去到现在一段时期以来，实际表现的β 值是多大， 因而它属于一个实证而非预测的范畴 由于用的是历史的数据，所以也称为历史的β 方法 假定α i，β i为常数。用资产i的收益率和市场价格 指数收益（市场组合收益率替代物）的历史数据， 建立线性回归模型，得到α i和β i的估计值α *i， β *i： rit＝α i+β irmt+ε it ，t＝1，2，…，T 具体估计过程分选取样本和估计两个步骤 分段计算β 系数
一般所说的CAPM就是传统的标准的 在一定假设条件下成立 不“传统的标准的”CAPM，是对假设 条件的一些放宽 本章主要介绍“传统的”
capm资本资产定价公式中
capm资本资产定价公式中CAPM资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）是一种用于计算资产预期回报率的经济模型。
它基于投资者的风险厌恶程度，将资产的风险与预期回报率联系起来，帮助投资者进行投资决策。
CAPM模型的核心是一个简单的线性方程，该方程用于计算资产的预期回报率。
该方程的形式为：E(Ri) = Rf + βi * (E(Rm) - Rf)。
其中，E(Ri)表示资产i的预期回报率，Rf表示无风险利率，βi表示资产i 的贝塔系数，E(Rm)表示市场组合的预期回报率。
CAPM模型的基本假设是：投资者在进行投资决策时，会考虑资产的风险和预期回报率。
投资者会根据资产的贝塔系数来衡量其风险，贝塔系数反映了资产相对于市场的敏感性。
如果资产的贝塔系数为1，表示资产的风险与市场风险相同；如果贝塔系数大于1，表示资产的风险高于市场风险；如果贝塔系数小于1，表示资产的风险低于市场风险。
根据CAPM模型，投资者可以通过计算资产的预期回报率来判断该资产是否具有投资价值。
如果资产的预期回报率高于其风险调整后的预期回报率，那么该资产被认为是具有投资价值的；反之，如果资产的预期回报率低于其风险调整后的预期回报率，那么该资产被认为是不具有投资价值的。
CAPM模型在实际应用中具有重要意义。
首先，它可以帮助投资者进行资产配置决策。
根据CAPM模型，投资者可以选择具有高贝塔系数的资产来获取高回报，或选择具有低贝塔系数的资产来降低风险。
其次，CAPM模型还可以用于评估投资者的投资组合。
投资者可以通过计算投资组合的贝塔系数和预期回报率，来评估投资组合的风险和回报水平，从而优化投资组合的结构。
然而，CAPM模型也存在一些局限性。
首先，该模型基于一系列假设，例如投资者具有理性和风险厌恶程度相同等。
这些假设在现实中并不总是成立，因此CAPM模型的预测结果可能存在误差。
其次，CAPM模型只考虑了市场风险对资产回报率的影响，而忽略了其他风险因素的影响，例如政治风险、货币风险等。
资本资产定价模型(CAPM)详细数学推导过程
ErP x E rM 1 x r f
P P E rM 1 M M
E rM
rf
P
M
P rf
rf
M
E rM r f
M
P rf
故： E rP
E ri E rM
1 1 2 2 2 x i 2x 1 M 2 4 x Covri , rM 2 2 2 2 2 x i (1 x) M 2 x(1 x)Covri , rM
2E ri E rM
E rM r f
M
P r
可见：CML 的斜率为
E rM r f
M
，它在纵轴上的截距为 r f 。
任何在资本市场线上资产组合， 都是具有均值方差效率的资产组合， 而单一证券和无效 率的证券组合必然位于该线的下方。处在均衡状态下的证券市场有两个特征： （1）资本市场线的截距被视为等待（时间）的报酬（无风险证券收益率） ； （2）资本市场线的斜率就是承受每一单位风险的所得到的报酬。 CML 也可以表示为：
即：
iM i E rM r f M
E ri r f
Er r
M f
M
iM
i
，可以这样理解： ）
对于上式右侧的风险补偿的第二个部分（
E r r
M f
M
iM
由于整个市场存在风险，那么对它给予的风险补偿应是 E rM r f ，注意到市场风险 的大小是用 M 来表征的， 于是
dE rP ）和 EF-Ⅰ在 M 点的导数相同，由前面 d P x 0
CAPM的推导
CAPM 的推导均值方差分析 n 种风险资产1(,)n r r r =111212122211n n n n nn V σσσσσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求解：2in .. 1T p T p T M mize w Vw s t w r r w I σ===构造拉格朗日函数：12()( 1)T T T p w Vw w r r w I λλ+-+-解得：[]112112w V r λλ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令：111T T T a r V r b r V I c I V I---=== [][]112111T T TT T a b r V rr V I d ac b r I V rI b c r V II V I -----⎡⎤⎡⎤=-===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11221p r d λλ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是：[]1111p r w V r d --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21211111p p T p p p r cb r w Vw r d r b a ac b σ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎣⎦⎣⎦⎣⎦进一步:22221()(2)p p p p p c b a r r cr br a d c c dσ=-+=-+ 最小方差组合点：2220p g gb cr r σ∂=-+=∂推出：21g g b r c cσ==[][]111121111g g b c b c V r b a r V I w V r d ac b c ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎣⎦===⎢⎥-⎣⎦均方效率资产组合的特征定义效率曲线上，任意两种资产组合（期望收益）的协方差：[][][][]21111121211121121cov(,)11:cov(,)11Tr r r r w Vw r d V VV rI d I r V VV r I dI r so r r r d -------⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可以证明：除了最小方差资产组合点g w 外，对于均方效率曲线上任意一资产组合点p w ，总能够在最小方差曲线上找到另外唯一一点o w ，使得他们的协方差等于0，称他们为一对正交资产。
capm模型公式及参数含义
capm模型公式及参数含义CAPM模型是一种常用于估计资产预期回报率的金融模型，全称为Capital Asset Pricing Model。
它的基本假设是，投资者的预期回报率与资产的系统风险成正比。
CAPM模型的公式为：E(Ri)=Rf+βi(E(Rm)-Rf)其中，各个符号的含义如下：E(Ri)：表示资产i的预期回报率，即投资者期望该资产能够创造的收益。
Rf：表示无风险资产的回报率，即投资者选择不承担任何风险只投资无风险资产所能获得的回报。
βi：表示资产i的β系数，也称为β值或β系数。
它是一个衡量资产i相对于市场总体风险的指标。
β值大于1表示资产的风险大于市场风险，β值小于1表示资产的风险小于市场风险，β值等于1表示资产的风险等于市场风险。
E(Rm)：表示市场总体的预期回报率，即投资者期望整个市场能够创造的收益。
E(Rm)-Rf：表示市场风险溢价，即市场总体的超过无风险资产回报率的额外收益。
CAPM模型的核心思想是，投资者要求高回报率的资产通常伴随着高风险。
因此，根据CAPM模型，一个资产的预期回报率取决于无风险回报率、市场的风险溢价以及该资产相对于市场的风险敞口。
如果一个资产的风险敞口（β值）越高，那么投资者对该资产的要求回报率就会越高。
CAPM模型的参数含义如下：-预期回报率（E(Ri)）：表示投资者对一些资产未来可能产生的收益的期望值。
预期回报率越高，表示投资者对该资产的要求回报率越高，愿意承担更多的风险。
-无风险回报率（Rf）：表示投资者选择不承担任何风险只投资无风险资产所能获得的回报。
一般来说，该值可以通过短期国债等政府债券的收益率来衡量。
-β值（βi）：表示资产i相对于市场总体风险的指标。
β值越高，表示资产的风险相对于市场风险越大；β值越低，表示资产的风险相对于市场风险越小。
β值等于1表示资产的风险等于市场风险。
-市场预期回报率（E(Rm)）：表示投资者期望整个市场能够创造的收益。
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1
那么，
dE rP dE rP dx d P d P dx
2E ri E rM
2x
2 i
2x 1 M 2 4 x Covri , rM
2
x
2
2 i
(1 x) 2 M 2 x(1 x)Covri , rM
, Er 平面上了，而是处在 , Er 平面上的证券市场线（SML） ，就是如
SML
图 9-3 证券市场线（SML） 9.4 关于 的进一步讨论
系数的一个重要性质是具有线性可加性，即在一个包含 n 项证券（资产）的投资组
合里，各项证券（资产）的比重是 i ， 系数是 i ，则组合的 系数为
i 1 i
n
i
。
一项资产的风险补偿应当是它的 系数乘以有风险资产的市场组合的风险补偿。 9.4.1 当 0 时 当 0 时，该证券（资产）的收益率变化与市场同向。 （1） 1 时，该证券（资产）的价格波动大于市场的平均价格波动，风险补偿大于 市场组合的风险补偿，若市场收益率上升，该资产的收益率上升的幅度比市场平均水平高； 若市场收益率下降，其收益率下降的幅度也比市场平均水平高。 （2）0 1 时，该资产的价格波动小于市场的平均价格波动，风险补偿小于市场组 合的风险补偿，若市场收益率上升，该资产的收益率上升的幅度比市场平均水平低；若市场 收益率下降，其收益率下降的幅度也比市场平均水平低。 9.4.2 当 0 时 当 0 时，该证券（资产）的收益率变化与市场反向。
2x
2 i
2x 1 M 2 4 x Covri , rM
2
x
2
2 i
(1 x) 2 M 2 x(1 x)Covri , rM
2
将 x 0 代入上式，可知：
E ri E rM M E rM r f dE rP 2 d P x 0 M Covri , rM M
2
推导过程：
dE rP dE rP dx d P d P dx
1 1 1 2 2 2 2 2 x i (1 x) 2 M 2 x(1 x)Covri , rM 2 2 x i 2x 1 M 2 4 x Covri , rM 2
化简这个公式：
E ri r f
设 i
Covri , rM
2 M
Er r
M f
Covri , rM
2 M
，那么：
任何一个证券 i 的预期收益率的期望可以表达为：
Eri r f i ErM r f
EF-Ⅰ EF-Ⅱ
权重分别为 x 和 1 x ，其中， 0 x 1 中，可以知道： 当 x 0 时，证券市场是均衡的（因为 i 证券可以代表市场中的任何一只证券，如果 对任何一个证券都不存在过度需求，那此时证券市场是均衡的。 ） ； 当 x 0 时，证券市场是不均衡的，也就是说市场上存在着对于这个 i 证券的过度需 求； 这个特殊组合的预期收益率的期望和标准差分别为 E rP 和 P ， 且这个 i 证券与市场 组合 M 预期收益率之间的协方差为 Covri , rM ，那么，我们可以得到：
ErP x E rM 1 x r f
P P E rM 1 M M
E rM
rf
P
M
P rf
rf
M
E rM r f
M
P rf
故： E rP
E rM r f
M
iM i 当然就是证券 i 的风险补偿了。
这样我们利用资本资产定价模型（ E ri r f i E rM r f ）就可以对任一证券的 预期收益率的作出期望（估计） ，但是这里的关键因素是要估算出 ，现实中，如果证券市 场的发展是平稳、有秩序的，我们就可以利用有关历史数据来作回归分析，从而得到 的 估计值。 这样我们又可以作出一张图，只不过这张图的横轴与纵轴不是之前资本市场线（CML） 所处在的那个 图 9-3 所示。
由前面的讨论，可知：
ErP x Eri 1 x ErM
P x 2 i 2 (1 x) 2 M 2 2 x(1 x)Covri , rM
x 2 i (1 x) 2 M 2 x(1 x)Covri , rM 2
ErP x Eri 1 x ErM
P x 2 i 2 (1 x) 2 M 2 2 x(1 x)Covri , rM
这个方程表示的是证券 i 和市场组合 M 形成的特殊组合的投资可行集， 它们所组成的 有效前沿是可行集的一个子集。 如图 9-2 所示： EF-Ⅰ是包含全部风险证券的有效前沿，EF-Ⅱ是证券 i 和市场组合 M 形成的特殊组合 的有效前沿，因为， i 与 M 的组合的可行集是全部风险证券可行集的一个子集，那么 EFⅡ肯定位于 EF-Ⅰ的右下方，当且仅当 x 0 时， i 和 M 的组合过 M 点，即 EF-Ⅱ过 M 点， 那么 EF-Ⅱ必然与 EF-Ⅰ相切，且切点为 M 。 那么， EF-Ⅱ在 M 点切线的导数（
dE rP ）和 EF-Ⅰ在 M 点的导数相同，由前面 d P x 0
E rM r f
的讨论我们知道 EF-Ⅰ在 M 点的导数即是 CML 的斜率
M
，那么：
E rM r f dE rP d P x 0 M
所以我们要先求导出
dE rP 。 d P
E rM r f
M
P r
可见：CML 的斜率为
E rM r f
M
，它在纵轴上的截距为 r f 。
任何在资本市场线上资产组合， 都是具有均值方差效率的资产组合， 而单一证券和无效 率的证券组合必然位于该线的下方。处在均衡状态下的证券市场有两个特征： （1）资本市场线的截距被视为等待（时间）的报酬（无风险证券收益率） ； （2）资本市场线的斜率就是承受每一单位风险的所得到的报酬。 CML 也可以表示为：
E ri E rM
1 1 2 2 2 x i 2x 1 M 2 4 x Covri , rM 2 2 2 2 2 x i (1 x) M 2 x(1 x)Covri , rM
2E ri E rM
即：
iM i E rM r f M
E ri r f
Er r
M f
M
iM
i
，可以这样理解： ）
对于上式右侧的风险补偿的第二个部分（
E r r
M f
M
iM
由于整个市场存在风险，那么对它给予的风险补偿应是 E rM r f ，注意到市场风险 的大小是用 M 来表征的， 于是
ErP x E rM 1 x r f
P 2 x 2 M 2 (1 x) 2 f 2 2 x(1 x) Mf M f x 2 M 2
即：
P x M ，可知： x
P ，代入新组合 P 的期望公式，得到： M
E ri E rM
1 1 2 2 2 2 2 x i (1 x) 2 M 2 x(1 x)Covri , rM 2 2 x i 2x 1 M 2 4 x Covri , rM 2
E ri E rM
这就是我们千呼万唤的 CAPM 模型。它有时候也可以表示成为：
Eri r f i ErM r f
CML
图 9-2 资本市场线（CML） 从 CAPM 模型，我们可以看到，任一证券的期望收益率可分成两部分：一部分是无风险 利率 ，另一部分是由于风险存在而增加的利率补偿 ，风险越大，则第二部分也就越大，亦 即对该证券的期望收益率就越大，这是与我们的生活常理相符合的。 在 CAPM 模型中，我们发现 是一个非常重要的变量。所以在这里非常有必要对 多解 释一下，从 CAPM 模型中我们很显然可以看出， i 在那里实际上已成为证券风险大小的衡量 标志了，因为 E rM 和 r f 是给定的。事实上，如果 i 1 ，则说明证券 i 的风险大于市场证 券组合 M 的风险，因而 E ri 当然应大于市场证券组合收益率的期望值 E rM ；反之若
E rP r f
E rM r f
M
P
我们把资本市场上任何一只证券的预期收益率高过无风险收益率的部分称为风险溢价 （Risk Premium）,证券组合的风险溢价为 E rP rf ，市场组合的风险溢价为 E rM r f ， 而市场组合的风险溢价除以市场组合的风险水平就是 CML 的斜率， 这个斜率被定义为风险的 市场均衡价格。 风险的市场均衡价格乘以组合的风险水平，就是组合的风险溢价，即是：
i 1 ，很显然，我们同样得到 E ri E rM 。
我们知道： i 写成：
Covri , rM
2 M
iM i M iM i ，于是，我们可以把 CAPM 模型改 2 M M
E ri r f i E rM r f r f
第 9 章 资本市场均衡模型：资本资产定价模型
识别出在均衡时刻，切点资产组合就是市场证券组合，正是夏普-林特纳分析的所做出 的重要贡献。 为了进一步理解 CML，我们有必要给出 CML 的具体方程：