高等数理统计2011
2 x 0 < x < 1 ， 从该总体随机抽取一个容量为 4 的样 其它 0
第 2 页 共 5 页
三、综合题：(20 分)
得分 评阅人
（1） 检查 Poisson 布族的完备性； （2） 判断分布族 { pθ = θ (1 − θ ) x , x = 0,1, 2,L ;θ > 0} 是否为指数族；
考试日期： 试日期： 150 分钟
三 20 四 25 五 25
2011 年 6 月 19 日
考试形式（开卷或闭卷） ： 考试形式（开卷或闭卷）
六 七 八 九 十 总分 100 累分人 签名
考生注意事项：1、本试卷共
页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
第 5 页 共 5 页
一、证明题： (15 分)
得分 评阅人
Y2 = X 1 − X 2 的联合分布。
设 X1
N (0,1) ， X 2
N (0, 4) ， 且 X 1 与 X 2 独 立 ， 求 Y1 = X 1 + X 2 与
第 1 页 共 5 页
二、计算题：(15 分)
得分 评阅人
设总体 X 有密度函数 p ( x ) = 本，计算概率 P( X (3) > 0.5) 。
南昌大学研究生 2010～2011 学年第 2 学期期末考试试卷 ～
试卷编号： 试卷编号： 课程名称： 课程名称： 姓名： 姓名： 学院： 学院： 考试占用时间： 考试占用时间：
题号 题分 得分 一 15 二 15
( A )卷 卷
高等数理统计 学号： 学号：
适用专业： 适用专业： 专业
ห้องสมุดไป่ตู้
数学 专业： 专业：
2
（3） 计算 θ 的无偏估计的方差的 C-R 下界。
第 4 页 共 5 页
五、综合题：(25 分)
得分 评阅人
设 X 1 ， X 2 独立同分布，其共同的密度函数为： p ( x;θ ) = 3 x 2 θ 3 , 0 < x < θ , θ > 0
2 7 （1） 证明 T1 = ( x1 + x2 ) 和 T2 = max( x1 , x2 ) 都是 θ 的无偏估计； 3 6 （2） 计算 T1 和 T2 的均方误差并进行比较； （3） 证明：在均方误差意义下，在形如 Tc = c max( x1 , x2 ) 的估计中， T8 7 最优。
第 3 页 共 5 页
四、应用题：(25 分)
得分 评阅人
设 X 1 ,L , X n 为独立同分布变量， 0 < θ < 1 ， 1−θ 1 θ Pr( X 1 = −1) = ， Pr( X 1 = 0) = ， Pr( X 1 = 1) = ， 2 2 2 ˆ 并问 θ 是否是无偏的； ˆ （1） 求 θ 的 MLEθ1 1 ˆ； （2） 求 θ 的矩估计 θ
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高等数理统计假设检验
1概率分布
2似然比 率密度族
与 是不同的；
(x) p(x;2) p(x;1)
是1 T 2x的单调函数;则称概
p(x;)c()exp{Q()T(x关)}h(于x)Tx具有单调似然比
MLRmontone likeli hood ratio
如单数指数型分布族
(T ( x))
1
r
0
T ( x) c T ( x) c
上两个不同的
概率测度;关于某个 有限的测度 E0(;X)有
H0:0, H 1:1
设原假设和备择假设分别为:
(x) 0 1
p(x;1)kp(x;0) p(x;1)kp(x;0)
则
1对给定的水平 使得
存在一个检验函数
(x)
p( x;1 ) p(x;0 )
(x) 01
(x)k (x)k
及 (常x )数k;
所以在很多情况下;对于一个复合假设的检验 问题;UMPT不存在 所以必须找出构造检验法 不管是简单假设还是复合假设的一般方法
人们提出了似然比检验方法
似然比检验
设X=X1; X2; …; Xn 的分布密度函数是px;θ;对于 简单假设：
(x) 0 1
p(x;1)kp(x;0) p(x;1)kp(x;0)
由常识得知;如果这个实验是随机的;则不大可 能出出太多的1或0的游程
P(R r)
原假设成立时;算出 或 n,mnr 以做检验了
的值;也就可 P(Rc1)及P(Rc2)
在m或n不大时;可直接计算得出
ZR2m/(1r) N(0,1 ) 4rm/(1r)3
而当样本很大时;即 下
时;在零假设 2m n z 2m n z
定义似然检验比函数
上海财经大学2011年 数理统计试卷答案
H 0 : μ = 1, H 1 : μ = 2 ,
确定拒绝域为 W = { X > 1.5} ，求（1）此时犯第一类错误的概率 α 和犯第二类错误的概 率β ， （2）若 n = 9 的样本值为 1.8,1.7,1.4,1.5,1.9,2.0,1.7,1.7,1.6，问 H 0 是否成 立。 解： （1）当 H 0 成立时， n ( X − 1) ~ N (0,1) ，所以 (本题满分 12 分)
t 分布，参数为 2 。
则当 C =
2 时，统计量 Z 服从
5． u 检验和 t 检验都是关于
均值
的假设检验，当
方差
已知时，
1
用 u 检验，当
方差
未知时，用 t 检验。
2 2
6．设 X 1 , X 2 , L , X n 是 N ( μ , σ ) 分布总体 X 的样本，其中 μ , σ 均为未知参数。记 X
4．比较两种安眠药 A, B 的疗效，对 A, B 分别抽取 10 位失眠者为试验对象，设 X , Y 分别 为使用 A, B 后延长的睡眠时间（单位：h） ，计算两组样本数据的样本均值和样本方差分 别 为 x = 2.33, s1 = 4.132; y = 0.75, s 2 = 3.201 ， 假 设 X , Y 分 别 为 正 态 总 体
得 分 一、填空题(每小题 3 分，共计 30 分)
1．为了了解某专业本科毕业生的就业情况，我们随机调查了某地区 30 名 2009 年毕业的该专业本科生实习期满后的月薪情况。那么研究总体是 某专业本科毕业生的就业情况,样本是 某地区 30 名 2009 年毕业的该专业本科生实习期 满后的月薪情况。 2．若从某总体中抽取容量为 13 的样本
而 T = 1.845 < 2.8784 ，所以认为无显著差异。 5. 设 X 1 , X 2 ,L , X n 为总体 p ( x, θ ) = 信下限。 解： （1）由数值解法 θ 的极大似然估计量为 X (1) ； （2）由总体的分布函数 F ( x) = ⎨
(完整)高等数理统计2011
南昌大学研究生2010～2011学年第 2 学期期末考试试卷试卷编号： ( A )卷课程名称： 高等数理统计 适用专业： 数学 姓名： 学号： 专业： 学院： 考试日期： 2011年6月19日 考试占用时间： 150分钟 考试形式（开卷或闭卷）：题号 一 二 三 四 五 六七八九十总分 累分人 签名题分 1515202525100 得分考生注意事项：1、本试卷共 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。
如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、证明题： (15分)得分 评阅人设1(0,1):X N ，2(0,4):X N ，且1X 与2X 独立，求112=+Y X X 与212=-Y X X 的联合分布。
二、计算题：(15分)得分 评阅人设总体X 有密度函数201()0<<⎧=⎨⎩其它x x p x ，从该总体随机抽取一个容量为4的样本，计算概率(3)(0.5)>P X 。
三、综合题：(20分)得分 评阅人（1） 检查Poisson 布族的完备性；（2） 判断分布族{(1),0,1,2,;0}θθθθ=-=>L x p x 是否为指数族；四、应用题：(25分)得分 评阅人设1,,L n X X 为独立同分布变量，01θ<<，11Pr(1)2θ-=-=X ， 11Pr(0)2==X ， 1Pr(1)2θ==X ， （1） 求θ的1ˆθMLE 并问1ˆθ是否是无偏的； （2） 求θ的矩估计2ˆθ； （3） 计算θ的无偏估计的方差的C-R 下界。
五、综合题：(25分)得分 评阅人设1X ，2X 独立同分布，其共同的密度函数为：23(;)3, 0,0θθθθ=<<>p x x x（1） 证明1122()3=+T x x 和2127max(,)6=T x x 都是θ的无偏估计；（2） 计算1T 和2T 的均方误差并进行比较； （3） 证明：在均方误差意义下，在形如12max(,)=c T c x x 的估计中，87T 最优。
概率论与数理统计专业硕士研究生培养方案070103
概率论与数理统计专业硕士研究生培养方案（070103）Probability and Mathematical Statistics一、培养目标和要求（一）掌握马克思主义、毛泽东思想的基本原则和邓小平理论。
坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，学风严谨，品德良好，适应社会主义市场经济发展的要求，积极为社会主义现代化建设服务。
（二）掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能做出创造性的研究成果。
（三）积极参加体育锻炼，身体健康。
（四）硕士应达到的要求：①掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态。
②具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有一定的公关能力及和谐的人际关系。
③具有良好的和职业道德、很强的责任心和敬业精神。
④广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。
⑤有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。
（五）本专业主要学习概率论与数理统计的基础理论与方法，加强应用现代统计方法解决社会、经济和自然科学等领域中有关数据收集和推断的实际问题的基本技能的训练。
毕业生可在高等院校、科研机构、政府机构和其他企事业单位从事统计分析与数据处理工作。
二、学习年限学制3年，学习年限最长不超过5年。
三、研究方向本学科专业主要研究方向有：试验设计与分析、面板（纵向）数据分析、可靠性统计与生存分析等。
主要导师有：岳荣先、吴鑑洪、王蓉华、吴月琴、许佩蓉等教授和副教授。
每年招生导师和研究方向，详见招生简章。
（一）试验设计与分析主要研究基于线性模型、非线性模型、广义线性模型及混合效应模型的最优设计与稳健设计等。
（二）面板（纵向）数据分析主要研究高维因子分析，面板（纵向）数据模型的随机效应和序列相关性检验，高维纵向数据的特征筛选和变量选择，基于这些数据的模型检验等。
（三）可靠性统计与生存分析可靠性统计主要研究寿命试验与加速寿命试验在全样本和不完全样本场合下产品性能参数的点估计、区间估计以及拟合检验等问题。
中科院 高等数理统计 第一章
Fθ1 = Fθ2 。为避免此种情形，我们一般要求参
数是可识别的(identifiable)。 定义 1.3.1：统计模型(Ω, A , Fθ ) ，θ ∈ Θ称为 参数可识别的，若 Fθ1 = Fθ2 ⇒ θ1 = θ 2 。 注：除非特别指明，本讲义所指的统计模型 假定都是可识别的。
T ( X ) = X = ∑ X i / n 为统计 例 1.3.4： 设 X = ( X 1 ,L X n ) ，
Θ = θ = ( μ ,σ 2 )T −∞ < μ < ∞,0 < σ 2 < ∞ 。
θ ∈ Θ 构成一个统计问题的基本要素，它的确定或指
定，给予问题一个确定的统计模型。 注：对于概率测度族 P θ ,θ ∈ Θ 都 对 应 一 个 分 布 族
Fθ ,θ ∈Θ，故等价地可用(Ω, A , Fθ ) ，θ ∈ Θ表示统计模
n
此时称二元组 (X , A ) 为可测空间(measurable space), A 中的元素(集合)称为可测集。
1
定义 1.2.2：设可测空间(X , A )，定义在 A 上取值 非负的函数 μ 称为测度(measure)，若对任意可数 ⎛ ⎞ 两 两 不 交 集 列 { An } ⊂ A ， μ ⎜ U An ⎟ = ∑ μ ( An ) ⎝ n ⎠ n (称为σ -可加性)。此时三元组 (X , A , μ ) 称为测度 空间(measure space)。如果X 能被可数个有有限 测度的 An 所覆盖，则称 μ 为σ -有限的。 例 1.2.1： （计数测度）(counting measure)设X 可 数点集， A 为其所有子集的全体。∀A ∈ A ，μ ( A) 为 A中点的个数。
T
n
统计学博士入学考试初试参考书目：.doc
出版时间：2008-10-01，ISBN：9787543215139
3.计量经济学（第六版）上下册
作者：[美]格林著，出版社：中国人民大学出版社
出版时间：2011-6-1，ISBN：9787300127798
③3002统计学
1.统计学：从数据到结论（第3版）
作者：吴喜之，出版：中国统计出版社，
出版时间：2009-09，ISBN：9787503758010
2.国民经济统计学
作者：杨灿，出版社：科学出版社，
出版日期: 2008-1-1，ISBN: 9787030204240
071400统计学
01数理统计
石磊
费宇
白鹏
①100 1英语
②2003概率论与数理统计
1.概率论基础（第二版）
作者：严士健，等著，出版社：科学出版社
出版日期：2009-08，ISBN：9787030251558
2.高等数理统计（第二版）
作者：茆诗松，等著，出版社：高等教育出版社
出版时间：2006-05，ISBN：9787040193213
③3003线性与广义线性模型
1.线性模型引论
作者：王松桂，等著，出版社：科学出版社
出版时间：2004-05-01，ISBN：978703012772
2.Generalized, Linear, and Mixed Models;
统计学博士入学考试初试参考书目：
027000统ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学
01经济统计
李兴绪
赵果庆
①1001英语
②2002经济学基础
1.微观经济理论与应用-数理分析(第二版)
作者：佩洛夫，出版社：格致出版社
出版日期：2013-10，ISBN：9787543222557
3.计量经济学（第六版）上下册
作者：[美]格林著，出版社：中国人民大学出版社
出版时间：2011-6-1，ISBN：9787300127798
③3002统计学
1.统计学：从数据到结论（第3版）
作者：吴喜之，出版：中国统计出版社，
出版时间：2009-09，ISBN：9787503758010
2.国民经济统计学
作者：杨灿，出版社：科学出版社，
出版日期: 2008-1-1，ISBN: 9787030204240
071400统计学
01数理统计
石磊
费宇
白鹏
①100 1英语
②2003概率论与数理统计
1.概率论基础（第二版）
作者：严士健，等著，出版社：科学出版社
出版日期：2009-08，ISBN：9787030251558
2.高等数理统计（第二版）
作者：茆诗松，等著，出版社：高等教育出版社
出版时间：2006-05，ISBN：9787040193213
③3003线性与广义线性模型
1.线性模型引论
作者：王松桂，等著，出版社：科学出版社
出版时间：2004-05-01，ISBN：978703012772
2.Generalized, Linear, and Mixed Models;
统计学博士入学考试初试参考书目：
027000统ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学
01经济统计
李兴绪
赵果庆
①1001英语
②2002经济学基础
1.微观经济理论与应用-数理分析(第二版)
作者：佩洛夫，出版社：格致出版社
出版日期：2013-10，ISBN：9787543222557
中科院 高等数理统计 第四章
信区域。
2
2013-11-19
称随机变量 g ( X , ) 为参数 的一个 pivot。用 此方法得到的 置信区域称为 pivotal method. 例 4.2.1：令 X 1 , X 2 ,, X n i.i.d ~ U (0, ) 。 分 布 为 G ( x) x n ,0 x 1. 故 pivot。找 a, b 使得 P (a
2013-11-19
第 四 章 置 信 区 间 和 区 域 (Confidence Intervals and Regions) 4.1 置信区间(区域) 设 X ( X 1 , X 2 , X n )T 的 联合 分布依 赖 于 位置参数 。 前面已经用各种方法给出 的 (点)估计，以及相应地衡量此估计相对于 真值的波动，例如估计的标准差。如何来 解释估计的波动性。一个解决的途径是估 计 的一个范围。首先考虑简单情形，假 设参数 为一维。
b) 1 。显然有
1
1
pivot。
a n， 即[ X ( n ) , X ( n ) / n ] 无穷多个选择， 但取b 1，
是置信水平为1 的最短置信区间。
在许多情形，难以找到精确的 pivots 或者即 使存在也难以得到其精确分布。此时我们可以 用 近 似 的 pivot ， 即 随 机 变 量 g ( X , ) 满 足 P g ( X , ) x G ( x ) 与 无关。通常这种近似 都是 n 得到。通过近似的 pivot 得到 的近 的某个点估计ˆ 当 n 似置信区域。通常，
少对某个 成立。 1 称为 coverage probability 或者置信 区间的置信水平。在许多情形，可以找到 [ L( X ),U ( X )] 使 得 ， P L( X ) U ( X ) 1 。
北京工业大学参考书
第 4 页，共 10 页
科目代码 3560 3580 3600 3610 3620 3630 3640 3660 3680 3690 3710
科目名称 光学信息处理 非线性光学 数字图象处理与多媒体技 术 计算机图形学 人工智能原理 逻辑程序设计 数字图像处理I 量子力学 面向对象分析与设计 信息系统安全 操作系统
第 6 页，共 10 页
参考书目 周群英.《环境工程微生物学》(第三版).高等教育出版社,2008 Steven Weinberg.《The Quantum Theory of Theory -Supersymmety》,Vol. 3 . Cambrigde University Press 郝吉民，马广大.《大气污染控制工程》(第二版).高等教育出版 社，2002 1、王术.《Sobolev空间与偏微分方程引论》.科学出版社,2009.4 严士健、汪隽骧、刘秀芳等.《测度与概率》. 北京师范大学出版 社， 2003年及以后版 1、Wlter Rudin.《Real and Complex Analysis(前五章)》.机械 工业出版社,2004 2、陆善镇、王昆扬.《实分析》.北京师范大学 出版社,2006 蓝信钜.《激光技术》.科学出版社,北京,2007 黄昆 原著,韩汝琦 改编.《固体物理学》（第六至十一章 ）.高 等教育出版社,1998 1、邵学才 等.《离散数学》.机械工业出版社,2000.1 2、耿素 云.《离散数学》.北京大学出版社,2002.9 A.S.Tanenbaum.《计算机网络》(第四版).清华大学出版社,2004.8 Jiawei Han,Micheline Kamber,范明 孟小峰 等译.《数据挖掘-概 念与技术》.机械工业出版社,2001.8 边肇祺,张学工 等.《模式识别》(第二版).清华大学出版 社,2007.10 陈火旺.《程序设计语言编译原理》（第三版）.国防工业出 社,2004.10 1、郑大钟《线性系统理论》（第二版）第一部分：时间域理论.清 华大学出版社,2005 2、郑大钟 《线性系统理论（第二版）习 题与解答》第一部分：时间域理论.清华大学出版社, 2010 徐恒钧.《材料科学基础》.北京工业大学出版社,2009 1、李京文 等.《跨世纪重大工程技术经济论证》.社会科学文献出 版社,2002 2、李京文、钟学义.《中国生产率分析前沿》.社会 科学文献出版社,2007 理查德·达夫特（Richard L.Daft).《管理学》（第七版）.清华 大学出版社,2009 不指定参考书 李进金,李克典,林寿.《基础拓扑学导引》（前四章）.科学出版 社，2009 1、刘克州 等.《人类病毒性疾病》.人民卫生出版社,2002 2、 徐耀光.《分子病毒学》.湖北科学技术出版社，2000 1、余传霖 等.《分子免疫学》.复旦大学出版社,2001 2、董德 祥.《疫苗技术基础与应用》.化学工业出版社,2002 沈同 等.《生物化学》.高等教育出版社,2006 1、荣国斌.《高等有机化学基础》.化学工业出版社,2001 1、吴毓林，姚祝军.《现代有机合成化学》.科学出版社,2006 2 、黄宪, 陈振初.《有机合成化学》.化学工业出版社,2003 [美] Willis J. Tompkins 著, 林家瑞 等译.《生物医学数字信号 处理》.华中科技大学出版社,2001 罗述谦，周果宏.《医学图像处理与分析》. 科学出版社,2003 李克安.《分析化学》.北京大学出版社,2006
高等数理统计
0
0
数据压缩准则：
充分性准则
压缩数据时能够保留有效信息的前提下对数据做了一定程度的概括
似然准则
给出了一个由观察样本所决定的参数的函数式，其中包含了样本所能提供的所有关于 的信息
同方差准则
既能保留数据模型特征，又起到压缩数据作用的方法
4.1 点估计量的优劣判断
4.1.1 决策函数理论 平方误差损失函数： 绝对值损失函数 ： Lin-Lin损失函数：
i 1 i 1
这个例子充分说明了在正态分布模型中，用样本均值和方差来概括整 个样本数据集是可行的。因为充分估计量包含了样本是中关于参数的 所有信息。
充分统计量的多重性
已知 X 1 ,..., X n 独立同分布于
显然
N 0，
2
,
计量
Xi )
2
n
X i 为 的充分统计量
2 2
2 1
贝努利分布的充分统计量
已知 X 1 ,..., X n 独立同分布于
n n
Bernoulli
( ) :
P ( X 1 1) 1 P ( X 1 0 ) , 0 1 .
则 X 1 ,..., X n的联合分布密度为：
1 x
i
i 1
f ( xi ; ) xi
如果 0 , 则称 为 的相合性或一致性估计
p
量
相合性的一个充分条件 均方误差可以分解为方
2
是当 n 时， MSE （ ） 0 0 差与偏差平方的和
2 2
MSE ( ) E ( ) E E ( ) E E ( )
0
数据压缩准则：
充分性准则
压缩数据时能够保留有效信息的前提下对数据做了一定程度的概括
似然准则
给出了一个由观察样本所决定的参数的函数式，其中包含了样本所能提供的所有关于 的信息
同方差准则
既能保留数据模型特征，又起到压缩数据作用的方法
4.1 点估计量的优劣判断
4.1.1 决策函数理论 平方误差损失函数： 绝对值损失函数 ： Lin-Lin损失函数：
i 1 i 1
这个例子充分说明了在正态分布模型中，用样本均值和方差来概括整 个样本数据集是可行的。因为充分估计量包含了样本是中关于参数的 所有信息。
充分统计量的多重性
已知 X 1 ,..., X n 独立同分布于
显然
N 0，
2
,
计量
Xi )
2
n
X i 为 的充分统计量
2 2
2 1
贝努利分布的充分统计量
已知 X 1 ,..., X n 独立同分布于
n n
Bernoulli
( ) :
P ( X 1 1) 1 P ( X 1 0 ) , 0 1 .
则 X 1 ,..., X n的联合分布密度为：
1 x
i
i 1
f ( xi ; ) xi
如果 0 , 则称 为 的相合性或一致性估计
p
量
相合性的一个充分条件 均方误差可以分解为方
2
是当 n 时， MSE （ ） 0 0 差与偏差平方的和
2 2
MSE ( ) E ( ) E E ( ) E E ( )
上海大学2011级概率论与数理统计第4章
3 6
8:50(9:50)
2 6
x
2 e 例4:连续型随机变量X的概率密度为 f x x e 2 求 E(X )
x0 x0
二、数学期望的性质 (1) (2) (3)
E (c ) c
E ( cX ) cE ( X )
E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
(4) 若随机变量 X 和 Y 相互独立，则有
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
其中性质（3）（4）可推广到有限个随机变量的情形。
数学期望简称为期望，又称为均值。
三、随机变量函数的数学期望 1、一个随机变量的函数的数学期望 定理1：(1) 当X为离散型随机变量时，则 Z 期望为
g ( X ) 的数学
2
dt 0
E ( X ) E ( Z ) E (Z )
注： 1.不是任意的随机变量都存在数学期望的； 2.如果一个随机变量的数学期望存在，它就是一个 确定的数； 3.数学期望只能对一维随机变量而言。
例5：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命
X k ( k 1, 2 )
三、六种常见分布的方差
1、（0-1）分布 2、 二项分布 3、 泊松分布
2
D ( X ) p (1 p )
D(X )
n
D ( X k ) np (1 p )
k 1
D(X )
E ( X ) E ( X ( X 1) X ) E ( X ( X 1)) E ( X )
( x ) dx
绝对收敛，则称该积分
为随机变量X的数学期望，记为 E ( X ) 。
8:50(9:50)
2 6
x
2 e 例4:连续型随机变量X的概率密度为 f x x e 2 求 E(X )
x0 x0
二、数学期望的性质 (1) (2) (3)
E (c ) c
E ( cX ) cE ( X )
E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
(4) 若随机变量 X 和 Y 相互独立，则有
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
其中性质（3）（4）可推广到有限个随机变量的情形。
数学期望简称为期望，又称为均值。
三、随机变量函数的数学期望 1、一个随机变量的函数的数学期望 定理1：(1) 当X为离散型随机变量时，则 Z 期望为
g ( X ) 的数学
2
dt 0
E ( X ) E ( Z ) E (Z )
注： 1.不是任意的随机变量都存在数学期望的； 2.如果一个随机变量的数学期望存在，它就是一个 确定的数； 3.数学期望只能对一维随机变量而言。
例5：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命
X k ( k 1, 2 )
三、六种常见分布的方差
1、（0-1）分布 2、 二项分布 3、 泊松分布
2
D ( X ) p (1 p )
D(X )
n
D ( X k ) np (1 p )
k 1
D(X )
E ( X ) E ( X ( X 1) X ) E ( X ( X 1)) E ( X )
( x ) dx
绝对收敛，则称该积分
为随机变量X的数学期望，记为 E ( X ) 。