7.2 力学量(算符)的矩阵表示
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量子力学 第7章-2(第20讲)
H
p' p"
p2 2m
p
'
p "
V
i
p
'
p
'
p
"
2． 力学量的表象变换
力学量 Fˆ 在表象A中的表示矩阵：
Fmn
m
(
x)Fˆ
n
(
x)d
x
在表象B中的表示矩阵：
F (x)Fˆ (x)d x
F Fmn
F F
Sm
m
(
x)
Fˆ
n
(
x)d
x Sn
mn
Sm FmnSn
问题？
坐标算符、动量算符、动能算符、任意力 学量算符在坐标表象、动量表象、 Q表象 （任一力学量表象）中分别如何表示？
力学量算符从一个表象如何变换到另一个 表象？
幺正变换有何主要性质和特点?
力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆx i
x
Tˆ
2
2m
2 x2
动量表象
xˆ i p x
a1(t)
(q, t)
an
(t
)
任一态矢 (x, t) an (t)un (x)
n 1
(r, t)
an (t)
un*
(r)
(r ,
t
)
d
3
r
(q, t)是粒子状态波函数 (r , t) 在Q 表象中的表示，
称为Q 表象波函数
量子力学表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象
Ai Aei
矢量:
A1
A
A2
量子力学_7.1量子态的不同表象和幺正变换
(10)
0 1/ 2 ( pmn ) ia 0 0
1/ 2 0 2/2 0
0 2/2 0 3/ 2
0 3 / 2 0 0
(11)
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
而
( k , j ) kj (10)
ak k (11)
对于任意态矢量 ，可以用它们展开 其中
k
ak ( k , )
这一组数 （a1 , a2 ,）就是态(矢)在F表象中的表示， 它们分别是态矢与各基矢的标积. 与平常解析几何不同的是： ①这里的“矢量”(量子态)一般是复量； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的. 现在考虑同一个态在另一组力学量完全集 F′中的表示. F′表象的基矢,即F′的本征态 'a ,它们满足正交归一性
四、不同表象中基矢的关系 量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。
形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量 子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一 组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组 正交归一完备的基矢（称为F表象）
或记为
A1 A1 R ( ) A2 A2
cos R( ) sin sin cos (6)
把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵 矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积， 它表示基矢之间的关系.故当R 给定，则任何一个矢 量 在 两 坐 标 系 间 的 关 系 也 随 之 确 定 .
(12)
是一个对角矩阵 任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.
算符的矩阵表示_
例 一电子处于态Ψ32m ，测力学量L2，测量值为几？ 测量值为几？ ∧ Lz可能取哪些值？ 可能取哪些值？在Lz表象中， 表象中，Lz自身的矩阵形式是什么？ 自身的矩阵形式是什么？
2 2 ˆ L ψ = l ( l + 1 ) h ψ 32 m 解： 32 m = 2(2 + 1)h 2ψ 32 m 2 = 6h ψ 32 m ˆ ψ = mhψ L z 32 m 32 m
p47 (3.1-8)式
∫
=
{∫ u
* nm
* n
ˆ u ( x ) dx (x)F m
}
*
=F
厄密算符的矩阵 厄密算符的矩阵 是厄密矩阵
* ˆ Fnm = ∫ un F ( x ,− ih ∂ )um ( x ) dx ∂x
7 算符的矩阵表示
对角矩阵与单位矩阵: 对角矩阵与单位矩阵:
对角矩阵
An ( m = n ) Anm = Anδ nm = 0 ( m ≠ n ) 除对角元外其余为零
§4-2-2 厄密算符的矩阵
* * A A A13 * 11 12 A = 复共轭 A* A* A23 21 22
* A13 * A23
m列n行 n 列m 行 转置矩阵： 转置矩阵：把矩阵A * * A A A A 的行和列互相调换， 的行和列互相调换， 11 21 11 21 * ~ + * 所得新矩阵称为A的 A = A A 共轭矩阵 A = A12 A22 12 22 转置矩阵 A* A* A A
+
~ * * A → ( A ) mn = ( Amn ) = Anm + * 定义矩阵A 的共轭矩阵 Amn = Anm
2 2 ˆ L ψ = l ( l + 1 ) h ψ 32 m 解： 32 m = 2(2 + 1)h 2ψ 32 m 2 = 6h ψ 32 m ˆ ψ = mhψ L z 32 m 32 m
p47 (3.1-8)式
∫
=
{∫ u
* nm
* n
ˆ u ( x ) dx (x)F m
}
*
=F
厄密算符的矩阵 厄密算符的矩阵 是厄密矩阵
* ˆ Fnm = ∫ un F ( x ,− ih ∂ )um ( x ) dx ∂x
7 算符的矩阵表示
对角矩阵与单位矩阵: 对角矩阵与单位矩阵:
对角矩阵
An ( m = n ) Anm = Anδ nm = 0 ( m ≠ n ) 除对角元外其余为零
§4-2-2 厄密算符的矩阵
* * A A A13 * 11 12 A = 复共轭 A* A* A23 21 22
* A13 * A23
m列n行 n 列m 行 转置矩阵： 转置矩阵：把矩阵A * * A A A A 的行和列互相调换， 的行和列互相调换， 11 21 11 21 * ~ + * 所得新矩阵称为A的 A = A A 共轭矩阵 A = A12 A22 12 22 转置矩阵 A* A* A A
+
~ * * A → ( A ) mn = ( Amn ) = Anm + * 定义矩阵A 的共轭矩阵 Amn = Anm
量子力学的矩阵形式与表象变换
练习3：求Lz算符在（L2,Lz)的共同表象： (Y11,Y10,Y1-1)的矩阵。 答案：
0 0 Lz 0 0 0 0 0
练习4：求Lx算符在（L2,Lz)的共同表象： (Y11,Y10,Y1-1)的矩阵。（答案见周世勋书P130 习题4.5）
∆. 本征矢在自身Q表象的表示。
C）表象例子
D）不同表象间变换
设F表象，基矢为｛ψ k}, F′表象，基矢为｛ψ ′k},
m 由 ak k am
k m
, k )a k S mk ak －＞ a´=Sa am （ m
, k ) 就是么正变换矩阵 Smk （ m
Δ .本征矢的归一化:
X i X i 1
C 1 X i X i
Δ .未归一的归一化系数C:
X Ci X i
i
Δ .任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开
Cj X j X
(练习1）
9.矩阵迹（spur or trace） 定义：spA= Ann ， （或写成trA）.
n
公式：sp(AB)=sp(BA).
A1 A A2 A 3
A1 A A2 A 3
以二维坐标系间变换为例。 ( e ) 相对原坐标系 1, e2 ) 顺时针 设新坐标系 (e1, e2 转过θ角。则
c1e1 c2 e2 , e1 d1e1 d 2e2 , e2
2、算符、本征矢在自身表象的矩阵表示特点
ˆ 在自身Q表象的表示 ∆. 即 Q
。
* ˆ 分立谱：Qmn U m QU n d q n mn ，
Q是对角矩阵 ，对角元是本征值qn 。
力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/2 /2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
Fk1
Fk 2
F1k a1(t)
F2k
a2
(t
)
Fkk
ak
(t
)
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表
量子力学典型例题解答讲解
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
量子力学__07量子力学的矩阵形式与表象变换
x
')
k
则任一态函数 在F表象中的具体形式： ak k
k
a1
a
2
或者
ak
其中 ak ( k , )
在 F 表象中 F 的基矢集 { , 1, 2,...} 满足
( , )
正交归一性
*(x ') (x) (x x ')
完备性
则任一态函数 在 F 表象中的具体形式： a
具有分立本征值的情况
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn , ...。 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函 数展开：
证：
( x, t) an(t)un( x)
n
an(t) un *(x)(x.t)dx
证明：变换矩阵 S 为一幺正矩阵。即 S S I , SS I
描述基矢之间的关系。
因此，当R矩阵给定后，任何矢量在两个坐标系中的表示 之间的关系，也随之确定。
4. 变换矩阵R的性质 由于变换矩阵具有如下性质：
R( )R( ) R( )R( ) 1 det R( ) 1
这种矩阵称为真正交矩阵。
又由于 R*( )=R( ) 所以 R ( )R( )=R( )R ( )=1
an(t)
aq (t )
a1(t)* a2(t)* an(t)* aq(t)*
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
量子态在不同表象中具体形式的变换
在F表象中 F的基矢集 { k , k 1, 2,...} 满足
( k , j ) kj
正交归一性 完备性
* k
(
x
力学量的矩阵形式与表象变换
表象变换的应用
要点一
总结词
表象变换在量子力学中有着广泛的应用，它可以用于解决 各种实际问题。
要点二
详细描述
表象变换可以用于计算量子态的演化、求解薛定谔方程、 理解量子纠缠等现象。通过选择适当的表象，我们可以将 复杂的问题简化为更易于处理的形式，从而更好地理解和 应用量子力学的基本原理。此外，表象变换在量子计算和 量子信息处理等领域也有着重要的应用，它可以用于实现 量子算法和量子通信等任务。
02
表象变换
表象变换的概念
总结词
表象变换是量子力学中一个重要的概念，它涉及到对物理系统的描述方式的改变。
详细描述
在量子力学中，一个物理系统可以用不同的方式进行描述，这些描述方式被称为表象。表象变换就是从一个表象 变换到另一个表象的过程。通过表象变换，我们可以选择最适合问题解决的方式进行描述，从而简化计算和问题 解决过程。
应用于量子模拟
通过表象变换，可以更好地模拟和分析一些复杂的量子系 统，例如凝聚态物质中的强关联效应等。
感谢观看
THANKS
简化计算
通过选择合适的表象，可以简化 某些物理过程的计算过程，提高 计算效率。
表象变换在量子力学中的具体应用
角动量表象
在角动量表象中，角动量算符可以表示为矩阵形式，方便进行计 算和表示。
位置和动量表象
在位置和动量表象中，位置和动量算符可以表示为简单的算术运 算，有助于理解量子力学的非经典性质。
哈密顿表象
力学量的矩阵形式 与表象变换
目 录
• 力学量的矩阵表示 • 表象变换 • 力学量的本征值与本征态 • 力学量算符的变换规则 • 表象变换在量子力学中的应用
01
力学量的矩阵表示
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, a (y k ,y ) k
ˆ 力学量 L
L1 1 L ( L kj ) L 2 1 ˆ L kj (y k , Ly j )
L1 2 L22
... ...
L11 L ( L b ) L 2 1 ˆ L b (y , Ly b )
k
k
S ky
*
k
S k (y , y k ) yb
y j (y j , y b )
j
j
S b jy
*
j
(1 3)
得 即
L b
kj
* ˆ S k (y k , Ly j )S b j
kj
S k L kj S j b ( S L S ) b
L SLS
SLS
1
(1 4 )
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
L ( L kj ) L ' ( L ' b ˆ 分别表示力学量 L 在 F 和 F′表象中的矩阵表示 )
S (S k ) S k
(y ,y k )
d
n 1 2
m , n 1
n
m , n 1 2
n m , n 1 2
pmn
(y m , i y n ) i dx
n 1 2
m , n 1
注意：这里的m、n都是由0开始取值.这样
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
B 2 A1 ( e 2， R e 1 ) A2 ( e 2， R e 2 )
即
B1 ( e 1， R e 1 ) B 2 ( e 2， R e 1 ) co s q sin q
( e 1， R e 2 ) A1 ( e 2， R e 2 ) A 2 (3)
令
B R (q ) A
(2)
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
写成分量的形式，有
B1 e1 B 2 e 2 A1 R e1 A2 R e 2
e 1、 e 2
分别点乘上式得 （2）式的 矩阵表示
B1 A1 ( e1， R e 1 ) A2 ( e1， R e 2 )
xy
n
1
n 2
y
n 1
n 1
y n 1 2
(9 )
d dx
y
n
n 2
y
n 1
n 1
y n 1 2
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
可以计算出
x mn 1 (y m , x y n )
量子力学教程(第二版)
0 1 / 2 1 ( xmn ) 0 0 1/ 0 2/2 0 2 0 2/2 0 3/2 0 0 3/2 0
(1 0 )
0 1 / 2 ( p m n ) i 0 0
L12 L22
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
*7.2 力学量（算符）的矩阵表示
一、直角坐标系中的类比
仍以平面矢量作类比
A B
（逆时针转动q角） 在坐标系x1x2中，它们分别表示成
A A1 e1 A2 e 2 A ( A1 , A2 )
B B1 e 1 B 2 e 2 B ( B1 , B 2 ) (1)
量子力学教程(第二版)
三、力学量的表象变换
ˆ L kj (y k , Ly j ) F表象（基矢yk）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵 元 ˆ F′表象（基矢y）中，力学量L表示为矩阵（L'b）,矩阵元 L b (y , Ly b )
y
y k (y k , y )
sin q A1 co s q A 2
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
把矢量逆时针方向旋转q角的操作可用R(q )刻画
co s q R (q ) sin q
sin q
co s q
(4)
它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的. 例如第一列元素
0 3/2 0 0 0 0 5/2 0 0 0 0 7/2
mn
1 / 2 0 ( H mn ) 0 0
(1 2 )
是一个对角矩阵 任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
是从F表象→F′表象的么正变换
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
三、总结与比较
F 表象（基矢y k）
F 表象（基矢y ）
a 1 a a 2 , a (y ,y )
量子态
y
a1 a a2
a
k
k
ˆ Ly
k
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
两边左乘 y
bj
j
,取标积，得
ˆ (y j , Ly k )a k
k
L
k
jk
ak
(6 )
其中
ˆ L jk (y j , Ly k )
(7 )
式(6)表示成矩阵形式则为
b1 b2 L1 1 L21 L1 2 L22 ... a 1 ... a 2
R 1 1 co s q ( e 1 , R e 1 ) R 2 1 sin q ( e 2 , R e 1 )
ˆ 与上类比,设量子态y经过算符 L 运算后变成另一个态f
ˆ f Ly
在F表象中,上式表示为
(5)
k k
by
k
(8)
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
二、例：求一维谐振子的坐标 x、动量 p以及Hamilton量 H 在能量表象中的表示. [分析]：不同体系的Hamilton量不一样，能量表象的基矢 也不一样.这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamilton量 的本征函数 y n ( x ) 解：利用一维谐振子波函数的递推关系
1 / 0
2
0 2/2 0 3/2
0 0 3/2 0
2/2 0
(1 1)
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
而
所以
H
mn
1 ˆy ) E (y m , H n ( n ) n mn 2