学练优2017年春七年级数学下册3.3第2课时利用完全平方公式进行因式分解习题课件
湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
部审湘教版七年级数学下册3.3 第2课时《利用完全平方公式进行因式分解》教学设计
部审湘教版七年级数学下册3.3 第2课时《利用完全平方公式进行因式分解》教学设计一. 教材分析部审湘教版七年级数学下册3.3节，主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。
这一节内容是学生学习因式分解的重要环节，也是初中数学的重要知识。
通过学习这一节内容，学生能够掌握完全平方公式的运用，提高解决数学问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整式的乘法，完全平方公式的概念，具备了一定的数学基础。
但是，对于如何灵活运用完全平方公式进行因式分解，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行教学。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够掌握完全平方公式的运用，学会利用完全平方公式进行因式分解。
2.过程与方法：通过小组合作，探究完全平方公式的运用，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：完全平方公式的运用，利用完全平方公式进行因式分解。
2.难点：如何灵活运用完全平方公式进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法采用“引导探究，合作学习”的教学方法。
教师引导学生探究完全平方公式的运用，通过小组合作，让学生在实践中掌握利用完全平方公式进行因式分解的方法。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示完全平方公式的运用和因式分解的例子。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生对完全平方公式的运用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，复习完全平方公式的概念，引导学生思考如何利用完全平方公式进行因式分解。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT，展示完全平方公式，以及如何利用完全平方公式进行因式分解的例子。
学生在观看过程中，思考如何运用完全平方公式。
3.操练（10分钟）教师给出一些因式分解的题目，学生独立完成，教师适时给予指导和解答。
4.巩固（10分钟）学生分组合作，共同完成一些综合性的练习题，巩固对完全平方公式的运用。
教学课件：七下湘教公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
学练优七年级数学下册3.2第2课时提多项式公因式教学课件新版湘教版0113173
公因式中含有什么(shén me)式子？
因此(yīncǐ)，－6xy(x+y) 是各项的公因式．含有x + y
解： 12xy2 x y 18x2 y x y
6xy x y2 y 3x
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当堂(dānɡ tánɡ)练习
1.把下列各式进行(jìnxíng)因式分解：
(1) a(m-6)+b(m-6)
(-a+b)3
-
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讲授(jiǎngshòu)新课
提多项式公因式
下列(xiàliè)多项式中各项的公因式是什么？
(1)2am(x 1) 4bm(x 1) 8cm(x 1); (2)2x(3a b) y(b 3a).
解：（1）2am(x+1)，4bm(x+1)与8cm(x+1)的公因式是 2m(x+1)； （2）b-3a可以看作(kàn zuò)-(3a-b)，所以2x(3a-b)与y(b-3a) 的公因式是3a-b.
(2) 3(a-b)+a(b-a)
解： (1) a(m-6)+b(m-6) =(m-6)(a+b)
(2) 3(a-b)+a(b-a) =3(a-b)-a(a-b) =(a-b)(3-a)
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2.分解(fēnjiě)因式：(x-y)2+y(y-x). 解法(jiě fǎ)1：(x-y)2+y(y-x)
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导入新课
回顾(huígù) 与思考
请在下列(xiàliè)各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使
等式成立:
（1）2－a=___-__（a－2）；
湘教版七年级下册数学第3章3.3.2用完全平方公式因式分解习题课件
素养核心练 (1)问题：若 x2＋2y2－2xy－4y＋4＝0，求 xy 的值；
解：原式可变形为(x－y)2＋(y－2)2＝0，所以 x－y＝22＝4.
素养核心练 (2)应用：已知三角形 ABC 的三边长 a，b，c 都是正整数，且满
足 a2＋b2－6a－6b＋18＋|3－c|＝0，请问三角形 ABC 是什么 形状的三角形？ 解：原式可变形为(a－3)2＋(b－3)2＋|3－c|＝0， 所以 a－3＝0，b－3＝0，3－c＝0， 即 a＝b＝c＝3， 所以三角形 ABC 是等边三角形．
素养核心练 19．先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若 m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求 m 和 n 的值． 解：因为 m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， 所以 m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0， 所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0， 所以 m＋n＝0，n－3＝0， 所以 m＝－3，n＝3.
A．(5a－b)2
B．(5a＋b)2
C．(3a－2b)(3a＋2b)
D．(5a－2b)2
【点拨】9(a－b)2＋12(a2－b2)＋4(a＋b)2＝[3(a－b)＋2(a＋b)]2 ＝(5a－b)2.
能力提升练
16．a4－2a2b2＋b4 因式分解的结果是( D ) A．a2(a2－2b2)＋b4 B．(a－b)2 C．(a－b)4 D．(a＋b)2(a－b)2
能力提升练
18．已知 x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
解：因为 x2－y2＝20， 所以[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2) ＝(x＋y)2(x－y)2＝[(x＋y)(x－y)]2＝(x2－y2)2＝202＝400.
部审湘教版七年级数学下册3.3第2课时《利用完全平方公式进行因式分解》说课稿
部审湘教版七年级数学下册3.3 第2课时《利用完全平方公式进行因式分解》说课稿一. 教材分析《利用完全平方公式进行因式分解》是部审湘教版七年级数学下册3.3第2课时的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握完全平方公式的推导过程，理解并熟练运用完全平方公式进行因式分解。
教材通过引入平方项、交叉项和常数项的概念，引导学生探究完全平方公式的规律，从而达到培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了实数、代数式的基本知识，对于因式分解有一定的了解。
但在运用完全平方公式进行因式分解时，部分学生可能会对公式的运用产生困惑，特别是在处理交叉项时容易出错。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的掌握情况，针对性地进行辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握完全平方公式的推导过程，理解并熟练运用完全平方公式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、归纳等方法，培养学生发现和总结规律的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：完全平方公式的推导过程，以及如何运用完全平方公式进行因式分解。
2.教学难点：如何引导学生发现并总结完全平方公式的规律，以及处理交叉项时的技巧。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、归纳总结。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，以及网络资源，为学生提供丰富的学习材料。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入完全平方公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究规律：引导学生观察、分析完全平方公式的结构，让学生自主发现完全平方公式的规律。
3.讲解示范：对完全平方公式的推导过程进行详细讲解，并通过例题展示如何运用完全平方公式进行因式分解。
4.练习巩固：布置一些练习题，让学生独立完成，检验学生对完全平方公式的掌握程度。
湘教版数学七年级下册3.3《利用完全平方公式进行因式分解》课件
把（a+b）看成 一个整体，就能 用完全平方公式 分解.
例4 把 x4 -2x2 1 因式分解 .
解: x4 -2x2 1
(x2)2-2x2112
(x2 -1)2 (x1)2(x-1)2
因式分解中必须进行 到每个因式都不能再 分解为止.
例5 把下列完全平方公式分解因式：
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
解：原式 ( 2 0 1 4 ) 2 2 2 0 1 4 2 0 1 3 ( 2 0 1 3 ) 2
(20142013)2
1.
4.分解因式： y22y1x2.
解：原式 (y1)2 x2
(y 1x)(y 1x).
1
5.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2) 3 x2－2x＋3.
小聪和小明的解答过程如下：
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
典例精析 例1 把 x 2 - 3 x 9 因式分解. 4
解： x 2 - 3 x 9 4
x2
-
2
x
3 2
3 2
2
(x - 3 )2
2
例2 把 -4x212xy-9y2 因式分解.
解: - 4x2 12xy - 9y2 -(4x2 -12xy 9y2) -(2x)2 - 2 2x3 (3y)2
-(2x-3y)2
例3 把 (ab)2-12(ab)36因式分解.
分析：可以用平方差公式吗？
解: (ab)2-12(ab)36 (ab)2-2(ab)662 (ab-6)2
湘教版七年级下册3.3运用完全平方公式分解因式(共13张PPT)
运用完全平方公式分解因式
一、唤醒旧知，生长新知
1. 计算填空
(a b)2 =（ a b ）（ a b ）= a2 2abb2 ；
(a b)2 =（ a b ）（ a b ）= a2 2ab b2；
(x 3)2 =（ x 3 ）（ x 3 ）= x2 6x 9 ； (x 2 y)2 =（ x 2y ）（ x 2y ）= x2 4xy 4 y2；
（1）这些多项式由几项组成？ （2）这些多项式各项有何特点？ （3）它们可变形成何种特征的多项式？
二、自主思考，探究新知
归纳总结： （1）变形后具有 a2 2 a b b2 或 a2 2 a b b2外形特征的多 项式，可以运用 完全平方公式 ，进行因式分解。
（2）运用公式
a2 2 a b b2 (a b)2
(2x 3y)2
x4 2x2 1
(x 2 )2 2 x 2 112
(x2 1)2
[(x 1)(x 1)]2 (x 1)2 (x 1)2
五、自主运用、巩固新知
把下列多项式因式分解
x2 5x 25 4
16 y2 24 y 9
x2 2 x 1 39
3x4 6x3 y2 3x2 y4
2. 分解因式
a2 2abb2= (a b)2 ； a2 2ab b2 = (a b)2 ； x2 6x 9 = (x 3) 2 ； x2 4xy 4 y2 = (x 2 y)2 。
二、自主思考，探究新知
1.仔细观察下列多项式，思考下列问题
a2 2abb2 ，a2 2ab b2 ，x2 6x 9 ， x 2 4xy 4 y 2
；
x2 2 x 1 y (1 y)2 22
；
七年级数学下册 第3章 3.3 利用完全平方公式进行因式分解(第2课时)教学设计 (新版)湘教版
公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x 2－4y 2； (2)3x 2－3y 2；(3)x 4－1; (4)(x ＋3y )2－(x －3y )2；2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a 2＋2ab ＋b 2、a 2－2ab ＋b 2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点一：用完全平方公式因式分解 【类型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )(1)a 2＋ab ＋b 2；(2)a 2－a ＋14；(3)9a 2－24ab ＋4b 2；(4)－a 2＋8a －16. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是a ，b 两数的积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是3a 和2b 两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】 运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a 2＋4)2－16a 2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a 2，再把另一个因式(x 2－8x ＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a 2(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2；(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点二：用完全平方公式因式分解的应用【类型一】 运用因式分解进行简便运算 利用因式分解计算： (1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a ±b )2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题【类型二】 完全平方公式的非负性的运用试说明：不论a ，b ，c 取什么有理数，a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 一定是非负数．解析：先提取12后，分组凑成完全平方公式，从而判断它的非负性． 解：a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2ac －2bc )＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＋(a 2－2ac ＋c 2)]＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]≥0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 一定是非负数．方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于把原多项式化为三个完全平方公式和的形式，利用完全平方公式的非负性来作出判断．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第13题【类型三】 整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的能力。
2017春七年级数学下册 3.3 公式法 第2课时 用完全平方公式因式分解导学案 (新版)湘教版
第2课时 用完全平方公式因式分解1.会判断完全平方式.2.能直接利用完全平方式因式分解.3.掌握利用完全平方公式因式分解的步骤.自学指导 阅读课本P65~66，完成下列问题.知识探究1.填空：(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b2.2.根据上面的式子填空：a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2.3.形如a 2+2ab +b 2与a 2-2ab +b 2的式子称为完全平方式.完全平方公式:a 2±2ab+b 2=(a ±b)2.语言叙述：两个数的平方和加上(减去)这两个数积的二倍，等于这两个数的和(差)的平方.自学反馈1.判断下列多项式是否为完全平方式，如果是运用完全平方公式将其因式分解.（1）b 2+b+1;（2）a 2-ab+b 2;（3）1+4a 2;（4）a 2-a+41. 解：（4）(a-21)2.完全平方式其中有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，另一项为这两个数或两个式子积的2倍或2倍的相反数.2.分解因式：（1）x 2+12x+36;（2）-2xy-x 2-y 2;（3）ax 2+2a 2x+a 3.解：（1）(x+6)2；（2）-(x+y)2；（3）a(x+a)2.第（2）小题先提取“-”再判断是否能运用完全平方公式，第③小题先提公因式，关键找准a 、b.活动1 小组讨论例1 把9x 2-3x+41因式分解. 解：（3x-21）2. 例2 把-4x 2+12xy-9y 2因式分解.解：-（2x-3y ）2.例3 把a 4+2a 2b+b 2因式分解.解：（a 2+b ）2.例4 把x 4-2x 2+1因式分解.解：（x+1）2(x-1)2.活动2 跟踪训练1.因式分解：(1)(a 2-4a)2+8(a 2-4a)+16; (2)2x 2-12x+18; (3)21x 2+xy +21y 2; (4)abx 2+2a bxy+aby 2. 解：(1)(a-2)4； (2)2(x-3)2； (3)21(x+y)2； (4)ab(x+y)2. 2.利用因式分解计算：2022+202×196+982.2 解：90000.3.如果x 2+mxy+9y 2是一个完全平方式，那么m 的值是±6. 要注意完全平方式有两个.活动3 课堂小结1.用完全平方式分解因式，关键在于观察各项之间的关系，配凑a 、b.2.分解因式的步骤是：先排列，使首项系数不为负；提取公因式；然后运用公式法；检查各因式是否能再分解.。