正弦、余弦、正切函数的简单应用(20201018162048)
简单易懂的三角函数正弦余弦和正切
简单易懂的三角函数正弦余弦和正切三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学和三角测量中发挥着至关重要的作用。
本文将详细介绍三角函数中的正弦、余弦和正切，并解释它们的定义、性质和应用。
一、正弦函数（sin）正弦函数是以圆的弧长和半径的比值定义的。
给定一个角度θ（单位为弧度），我们可以通过以下公式来计算它的正弦值：sin(θ) = 对边 / 斜边其中，对边表示角θ对应的直角三角形中与θ相对的边的长度，斜边表示直角三角形中斜边的长度。
正弦函数的定义域是所有实数，其值域在-1到1之间。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0到2π之间重复。
正弦函数在数学和物理学中有广泛的应用，比如描绘波动、震动和周期性现象等。
二、余弦函数（cos）余弦函数也是以圆的弧长和半径的比值定义的。
给定一个角度θ，我们可以通过以下公式来计算它的余弦值：cos(θ) = 邻边 / 斜边其中，邻边表示角θ对应的直角三角形中与θ相邻的边的长度。
余弦函数的定义域是所有实数，其值域也在-1到1之间。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，它在0到2π之间同样重复。
余弦函数同样在数学和物理学中有广泛的应用，比如计算力的分解、描述周期性变化等。
三、正切函数（tan）正切函数是以正弦和余弦的比值定义的。
给定一个角度θ，我们可以通过以下公式来计算它的正切值：tan(θ) = 正弦 / 余弦 = 对边 / 邻边正切函数的定义域是所有不等于(2n + 1)π/2的实数，其中n是任意整数。
其值域是所有实数。
正切函数的图像有一些特殊的性质，比如在某些角度上取无穷大的值。
正切函数在解决直角三角形问题、物体运动中的速度和加速度等方面有着重要的应用。
综上所述，三角函数中的正弦、余弦和正切是数学中重要的概念，它们不仅在几何学和三角测量中起到关键作用，而且在物理学、工程学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
通过理解和熟练运用这些函数，我们可以更好地理解和解决与角度有关的各种问题。
三角函数公式 典型应用
三角函数公式典型应用引言三角函数是数学中常见的函数类型，它们在许多领域和行业中都有典型的应用。
本文将介绍三角函数的公式及其在几个典型应用中的具体应用情况。
三角函数公式正弦函数正弦函数（sin）是一个周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的公式如下：$$\sin(x) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$余弦函数余弦函数（cos）也是一个周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
余弦函数的公式如下：$$\cos(x) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$正切函数正切函数（tan）是一个周期函数，其定义域是除了其奇数倍的$\frac{\pi}{2}$的实数集外的所有实数，值域是整个实数集。
正切函数的公式如下：$$\tan(x) = \frac{opposite}{adjacent}$$典型应用几何学三角函数在几何学中有广泛应用。
例如，在解决三角形的各种问题时，我们可以利用正弦定理和余弦定理来计算三角形的边长和角度。
三角函数还可以帮助我们计算三角形的面积和高度。
物理学三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，在力学中，我们经常需要计算物体在斜面上的运动，这时可以利用三角函数来计算物体在斜面上的分解力和加速度。
此外，波动和振动等物理现象的描述也使用了三角函数的概念。
工程学三角函数在工程学中也是必不可少的。
例如，在测量和定位方面，三角函数被广泛应用于测量角度和距离。
在电路分析中，三角函数可以帮助我们分析和计算交流电流的相位和幅值。
结论三角函数的公式和应用广泛存在于几何学、物理学和工程学等多个领域。
熟练掌握三角函数公式和它们在不同应用中的具体应用情况，对于解决实际问题和深入理解数学的应用是非常重要的。
参考文献:。
正弦、余弦、正切函数的简单应用
ο
30
ο
45
ο
6028.1 正弦、余弦、正切三角函数的简单应用 一、知识回顾
特殊角三角函数：
锐角三角函数 锐角A
sinA cosA tanA
小试牛刀：
1. ==
==∠AB BC AC Rt ，那么，，中，在31ο
90C △ABC
tanB= , B ∠= A ∠= cosB= cosA=
2. 460==∠=∠b A Rt ，，中，在ο
ο
90C △ABC ,那么B ∠=
AB AC = AB= AC
BC
= BC= tanA= tanB=
二、新知应用
例：1.如图，在Rt △ABC 中，的度数。
，求，，A BC AB C ∠===∠3690ο
2.如图，AO 是圆锥的高，OB 是地面半径，的度数。
，求αOB AO 3=
三、易错点总结
四、知识点升华
1. 根据图中条件可以解决那些问题
已知平行四边形ABCD 中，ο
45522=∠==A DC AD ，，
2. 在△ABC 中，645,5
2
sin 90==∠==∠DC BDC AC D A C ，上的一点，为，
οο
求AB 的长。
3. 根据图中给出的条件，ο
ο4530=∠=∠BAC D ，，AD=400，我们可以解决哪些问题？
4. 已知，如图，⊙O 的半径 OA=4，弦 AB= ，求劣弧 AB 的长．
5.在四边形ABCD 中，cm CD cm AB DC AD BC AB A 10,20,60==⊥⊥=∠，，ο
，求AD,BC 的长。
O O。
正弦、余弦、正切函数的简单应用
正弦、余弦、正切 函数的简单应用
回顾与思考
直角三角形b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
sin A cos B a , cos A sin B b ,
c
c
互余两角之间的三角函数关系:
解法1:如图,根据题意知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.
设CD=x,则∠ADC=60º,∠BDC=30º,
AC 在Rt△ADC中,tan60º= x
在Rt△BDC中,tan30º= BC x
D
AC x tan 600 , BC x tan 300.
∵AC-BC=AB
x tan 600 x tan 300 50.
怎么做?
我先将它 数学化!
E
2m
C
400
D
5m B
练习解答
解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE 的长.
tan 400 BC , BC BD tan 400.
BD
BE BC 2 BD tan 400 2 6.1955(m).
E
tan BDE BE 5 tan 400 2 1.24.
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直 角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。
随堂练习
钢缆长有多长
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且 DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED 的长度为多少?(结果精确到0.01m).
正弦余弦正切三角函数简单应用课件
C. cos B 3 2
D. tan B 3
B
2 1
A
3
C
中考复习课之 解直角三角形
01 知识梳理
02
03
04
考点精练 展示与评价 归纳小结
05 课堂小测
做一做
01 考点梳理
3、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（C ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 A
8
B
6 D
C
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2 （勾股定理）； (2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° ； b c
(3)边角之间的关系：
Ca B
sin
A
BC AB
ac
;
cos
A
AC AB
bc ; tan
A
BC AC
a b
中考复习课之 解直角三角形
01 知识梳理 01 考点梳理
02
03
考点精练 展示与评价
03
展示与评价
3、如下 图ABC中,∠C = 90,点D在AC上，
已知∠BDC = 45, BD 10 2, AB = 20. 求∠A的度数.
B
A
D
C
中考复习课之 解直角三角形
01 考点梳理
02
03
04
考点精练 展示与评价 归纳小结
05 课堂小测
03
展示与评价
3、如下 图ABC中,∠C = 90,点D在AC上，
01 考点梳理
02 中考真题 02 考点精练
03
04
展示与评价 归纳小结
05 课堂小测
2、如下图，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB于点E，连接OC， 若则OtaCn=∠5C，OEC=D=438，.
三角函数的基本公式与应用
三角函数的基本公式与应用三角函数是数学中重要的一部分，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的基本公式以及一些常见的应用。
一、三角函数的基本公式三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数指的是对于任意一条锐角边，其对边与斜边的比值。
用符号表示为sin。
sinA = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数指的是对于任意一条锐角边，其邻边与斜边的比值。
用符号表示为cos。
cosA = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数指的是对于任意一条锐角边，其对边与邻边的比值。
用符号表示为tan。
tanA = 对边/邻边根据正弦和余弦的定义，可以推导出以下基本公式：sin^2A + cos^2A = 1tanA = sinA/cosA二、三角函数的应用三角函数的应用非常广泛，以下是一些常见的应用领域：1. 几何学：三角函数可以用来解决直角三角形中的各类问题，如求解边长、角度等。
同时，它们也在平面几何和立体几何中起到重要的作用。
2. 物理学：三角函数在力学、波动学、电磁学等物理学领域中应用广泛。
例如，正弦函数可以描述振动和波动的变化规律，余弦函数可以描述交流电的变化规律。
3. 工程学：三角函数在工程学中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，可以利用三角函数来计算建筑物的高度和角度，以确保结构的稳定和安全。
4. 统计学：统计学中的回归分析和相关性分析常常使用三角函数来分析数据之间的关系。
此外，通过傅里叶级数展开，三角函数还可以用来分析周期性数据。
5. 导航与天文学：三角函数在导航和天文学中被广泛应用。
例如，利用三角函数可以计算地球上两个点之间的距离和方位角，用于导航和航海定位。
6. 信号处理：三角函数在信号处理中起着重要的作用。
三角函数的基本概念与应用
三角函数的基本概念与应用三角函数是数学中常见并广泛应用的概念，在几何、物理、工程等领域都有着重要的作用。
本文将介绍三角函数的基本概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数，并探讨其在实际问题中的应用。
一、正弦函数的基本概念与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，以sin(x)表示。
它的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，具有周期性和对称性。
在单位圆中，正弦函数的值可以表示为三角形的对边与斜边的比值。
正弦函数在实际中的应用非常广泛。
例如，在三角学中，正弦函数常用于计算三角形的边长比例以及解决与角度相关的问题。
在物理学中，正弦函数可用于描述波动、振动等现象，如声波、电磁波等。
此外，在工程领域，正弦函数也常用于建模和分析周期性变化的量。
二、余弦函数的基本概念与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，以cos(x)表示。
与正弦函数类似，它的定义域为实数集，值域也在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像是一条连续的曲线，具有周期性和对称性。
在单位圆中，余弦函数的值可以表示为三角形的邻边与斜边的比值。
余弦函数在几何和物理中都有重要的应用。
在三角学中，余弦函数常用于计算三角形的角度以及解决与角度相关的问题。
在物理学中，余弦函数可用于描述摆动、旋转等现象，如钟摆的运动、天体的轨迹等。
三、正切函数的基本概念与性质正切函数是另一种常见的三角函数，以tan(x)表示。
它的定义域为实数集，值域为全体实数。
正切函数的图像是一条连续且无界的曲线，具有周期性和对称性。
在单位圆中，正切函数的值可以表示为三角形的对边与邻边的比值。
正切函数在实际问题中也有广泛的应用。
在几何学中，正切函数可用于计算角度的切线以及解决与切线相关的问题。
在物理学中，正切函数常用于描述斜面的倾斜程度、速度的变化率等。
在工程领域，正切函数也可用于计算斜坡的坡度、测量设备的斜率等。
结论三角函数的基本概念与应用是数学中一个重要的研究领域。
正弦、余弦、正切函数的简单应用 课件
“卡努” 台风将一棵大树刮断,经测量，大树刮断一端的着
地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为 400，你知道这棵大树有多高吗？ 参考数据： (sin40°≈0.643; cos40° ≈0.766; tan40° ≈0.839）
40°
A
4米
1、如图，在⊿ABC中,∠A=30°, tanB= ,AC=2 ,求AB.
（3）已知c=20，∠A=60°，求 ∠B, a，b
（4）已知a=1，b= ，求c, ∠A， ∠B
问题： 1、解直角三角形需要什么条件？
2、解直角三角形的条件可分为 哪几类？
1、解直角三角形除直角外，至少要知道 两个元素（这两个元素中至少有一条边）
2、解直角三角形的条件可分为两大类： ①、已知一锐角、一边 （一锐角、一直角边或一斜边） ②、已知两边 （一直角边，一斜边或者两条直角边）
C
A
D
B
如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1， ∠A= 60°,∠D=∠B= 90°，求此四边形 ABCD的面积。
B
C 2
60°
1
A
D
如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1， ∠A= 60°,∠D=∠B= 90°，求此四边形 ABCD的面积。
B
C 2
60°
1ห้องสมุดไป่ตู้
A
D
E
E
B
C 2
1 A 60°
2. 解直角三角形的依据 (1) 三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90º； Ｂ
(3) 边角之间的关系：
sinA＝
a c
cosA＝
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共13张PPT)
4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanB＝________．
【解析】（1）cos²60°+sin²60°
仔细观察右 （2011·黄冈中考）cos30°=（ ）
tanA·tan(90° ∠A)=1
表，回答下 一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值.
1
仔细观察右表，回答下面问题.
sinA=cos(90°∠A); 思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值.
一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值. cos²60°表示（cos60°）²，即cos60°的平方.
2、能熟练计算三角函数的运算式. sinA=cos(90° ∠A);
由三角函数c的o定s义A知=coss30i°n=(90°∠A)
cos²60°表示（cos60°）²，即cos60°的平方. 【例】求下列各式的值.
cos²60°表一示（个cos6锐0°）角²，的即cos余60°弦的平值方.等于这个角余角的正弦值.
锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的应用
tanA·tan(90°∠A)=1 =（ ）²+（ ）²
1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数； cosA=sin(90° ∠A)
仔细观察,说一说你个发现锐这张角表有的哪些正规律切? 值与这个角ห้องสมุดไป่ตู้角的正切值互为倒数.
【例】求下列各式的值. 思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 一个锐角的正切值与这个角余角的正切值互为倒数.
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中一类非常重要且广泛应用的函数，广泛应用于几何、物理、工程、计算机图形学以及其他科学领域。
本文将讨论三角函数的几个主要应用领域及其相关实际问题。
一、三角函数在几何中的应用1. 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是三角函数在解决三角形相关问题中最常使用的工具。
正弦定理描述了三角形的边与其对应角度之间的关系，即：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C 为对应边的角度。
余弦定理则描述了三角形的边与角度之间的另一种关系，即：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)。
这两个定理在解决三角形的边长、角度和面积等问题中非常实用。
2. 三角函数在坐标系中的表示在直角坐标系中，三角函数可以表示点在平面上的位置。
正弦函数和余弦函数可以描述点在x轴和y轴上的投影位置，而正切函数可以描述点相对于x轴的斜率。
通过这些函数，我们可以根据坐标计算角度或者根据角度计算坐标，从而解决与平面几何相关的问题。
二、三角函数在物理中的应用1. 机械波的描述机械波是一种在介质中传播的能量传递现象，而正弦函数可以很好地描述机械波的形态。
例如，正弦函数可以表示声波的压强随时间的变化规律，也可以表示电磁波的电场或者磁场随时间的变化规律。
这种描述方式不仅在物理学中有重要作用，也在音乐、电子通信等领域有广泛应用。
2. 振动现象的分析振动现象广泛存在于物理世界中，例如弹簧的振动、天体运动中的周期性变化等。
而三角函数的周期性特点使其成为描述振动现象的理想工具。
三角函数的角频率可以表示振动的频率，并且通过调整振动的初相位，我们可以描述系统在不同时刻的状态。
三、三角函数在工程中的应用1. 电路中的交流信号在电路设计与分析中，交流电信号是最常见的信号形式之一。
交流电信号可以用正弦函数或者余弦函数来表示，其振幅对应电压的大小，角频率对应信号的频率。
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特殊角的三角函数值练习设计及课外补充
主备人：范艳琼巫山县白坪初级中学
［师］下面请同学们完成下表:
30
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据3 0°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点•先看第一列30°、45°、60°
角的正弦值，你能发现什么规律呢？
［生］30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为1, 2， : 3随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
［师］再来看第二列函数值，有何特点呢？
［生］第二列是30°、45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2,而分子从大到
小分别为3, 2, 1,余弦值随角度的增大而减小.
［师］第三列呢？
［生］第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45。
角是等腰直角三角形中的
一个锐角，所以tan45 ° = 1比较特殊.
［师］很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了 .下面同桌之间可互相检查一下对3 0°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况•相信同学们一定做得很棒.
一.例题讲解
例4计算:
(1) 2sin60 °3tan30 °+tan45 ° (2) cos 245 °tan60 °os30 °
•分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊 角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外
COS 260°表示(cos60 ° ) 2•
[3
3 解：(1)2sin60 °3tan30 °tan45 ° = 2
+3x1 +1=2寸富+1
2
3
⑵ cos
2
45°+tan60 °cos30°=( —2 )2+ .. 3 x_3 = - 3 = 2.
2 2 2 2
想一想 1、tan Z A= —3
Z A=
3
2 、sin (90° -
a )= _ \'3
5
a
2
.能力提升
1.Rt ?ABC 中 Z C=90O 求证：sin 2A+cos 2A=1 2
、/ABCD 中Z A=60°, AB=6 AD=4.求平行四边形面积。
C
B
3、 Rt?ABC 中 Z C=90o ,
4、 . 比较大小：sin50 °
tan25 °
sinA= , COS B=
3
sin40 °, cos20°
tan35 ° , sin40 °
cos15 COS 50 °。