3.3等比数列(第2课时)
等比数列
已知数列{a ，满足a 【例2】(1)已知数列 n}，满足 1＝1，a2=3，an+2=3an+1-2an， 】 已知数列 ， ， ， （n∈N*), ∈ 证明数列 为等比数列， 证明数列 {an＋1－an}为等比数列，并求数列 n}的通项公式 为等比数列 并求数列{a 的通项公式 ＋ (2)设 {an}， {bn}是公比不相等的两个等比数列 ， cn ＝ an ＋ bn ， 设 是公比不相等的两个等比数列， ， 是公比不相等的两个等比数列 证明：数列 证明：数列{cn}不是等比数列． 不是等比数列 证明： 解答：(1)证明：由an+2=3an+1-2an得 an+2-an+1=2（an+1-an） 证明 （ ∴数列 {an＋1－an}是以 是以 ＋ 2为首项，公比为2的等比数列。这时 n+1-an=2n， 为首项，公比为 的等比数列 这时a 的等比数列。 为首项 an=a1+(a2-a1)+a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+22+23+…+2n-1 =2n-1
＋ ； (1)an＋1＝3an＋2；(2)an＋1＝an＋2n＋1. ＋ ＋
解答： 由 ＋ ＝－1， 解答：(1)由an＋1－λ＝3(an－λ)与an＋1＝3an＋2，比较可得 ＝－ ， ＝ 与 ＋ ，比较可得λ＝－
高中数学 3.3等比数列及其性质配套课件 理 新人教A版
【即时应用】
(1)思考:G2=ab是a，G，b成等比数列的什么条件？G= ab 呢？ 并说明理由.
提示:G2=ab是必要不充分条件；
G= ab 既不是充分条件也不是必要条件. 因为若G=0，a=0，则有G2=ab，G= ab ，而a，G，b不是等比数 列；若a，G，b成等比数列，则 G b ，
【规范解答】(1)设公比为q,则由5S2=S4知q≠1, 又a1=1,∴5(1+q)= 1 q4 ,
1 q
∴q2=4,又q＞0,
∴q=2.
∴a5=a1q4=1×24=16. 答案：16
(2)设{an}的公比为q，由题意得
a1q 6a1
6 a1q2
， 30
解得 aq123 或 aq132,
aG
所以G2=ab，不能推出G= ab .
(2)思考:若a，b存在等比中项，则a，b应满足什么条件？ 提示:a，b同号(a·b＞0)时，a，b存在等比中项，即a，b同为 正或同为负时，a，b存在等比中项.
(3)若等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则它的第5 项为______.
aa11qq52
2 16
解得
a1
1 2，
q 2
∴an= 1 ×2n-1=2n-2.
2
答案：(1) 2 (2)an=2n-2
8
3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，则G叫做 a与b的等比中项，且_G_2_=_a_b_，即G=___a_b_.
【解析】(1)不是.等比数列中的项不能为0. (2)第二项与第一项的比值不等于常数2,故不是等比数列. (3)当a=0时,不满足等比数列的概念,故不一定是等比数列. (4)是等比数列. 答案：(1)否 (2)否 (3)否 (4)是
【高中数学】第4章 4.3.1 等比数列的概念(第2课时)
4.3.1 等比数列的概念(第2课时)素养目标学科素养1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质．2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点)3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！1．等比数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m ·a n . (2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 仍为等比数列．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)在等比数列{a n }中，若a m a n ＝a p a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×)(2)若数列{a n }，{b n }都是等比数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等比数列．(×) (3)若数列{a n }是等比数列，则{λa n }也是等比数列．(×)2．等比数列性质的应用一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或aq ，a ，aq ，此时公比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，aq，aq ，aq 3(公比为q 2)．(1)在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前五项的积为__1__.(2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列D 解析：当下标成等差数列时，对应的项成等比数列． 2．在等比数列{a n }中，若a 2a 8＝9，则a 3a 7＝( ) A ．3 B ．±3 C ．9D ．±9C 解析：∵2＋8＝3＋7，∴a 3a 7＝a 2a 8＝9.3．在等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( ) A ．48 B ．72 C ．144D ．192D 解析：∵a 6a 7a 8a 3a 4a 5＝q 9＝8(q 为公比)，∴a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8q 9＝24×8＝192.4．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．43 解析：因为a 4a 6＝a 25，所以a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.因为a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，所以log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. 5．在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.b 9a 8 解析：因为a 19＋a 20＝a 9q 10＋a 10q 10＝(a 9＋a 10)q 10＝aq 10＝b ，所以q 10＝b a ，a 99＋a 100＝q 90(a 9＋a 10)＝a ⎝⎛⎭⎫b a 9＝b 9a 8.【例1】(1)在等比数列{a n }中，若a 3＝12，a 9＝2，则a 15＝________.(2)已知公比为q 的等比数列{a n }，a 5＋a 9＝q ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为________． (3)在等比数列{a n }中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10等于________．(1)8 (2)1 (3)32或23解析：(1)∵a 3a 15＝a 29，∴a 15＝a 29a 3＝2212＝8.(2)∵a 5＋a 9＝q ，∴a 4＋a 8＝1，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝1.(3)设公比为q .∵a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2，∴q 10＝a 14a 4＝32或23，∴a 20a 10＝q 10＝32或23.等比数列的常用性质：(1)设{a n }为等比数列，m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p .(2)若{a n }为等比数列，m ，n ∈N *，则a m a n ＝q m －n .(3)若{a n }为等比数列，则数列{a 2n }为等比数列．(4)若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．(5)等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k ＋1.在等比数列{a n }中，a 2＋a 5＝18，a 3·a 4＝45，求a n .解：设等比数列{a n }的公比为q .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 5＝a 3a 4＝45，a 2＋a 5＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 5＝15或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，a 5＝3.∴q ＝513或q ＝5－13.∴a n ＝3×5n －23或a n ＝3×55－n 3.【例2】2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a 和25a ，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%. (1)哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？ 解：(1)由题意可得16a (1＋25%)n －1＝25a (1－20%)n －1， 解得n ＝2，故到2019年两林场木材的总存量相等．(2)令n ＝5，则a 5＝16a ⎝⎛⎭⎫544＋25a ⎝⎛⎭⎫454<2(16a ＋25a )， 故到2021年不能翻一番．一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．45 解析：3分钟后占据内存22 KB ，两个3分钟后占据内存23 KB ，三个3分钟后占据内存24 KB ，……，n 个3分钟后占据内存为2n ＋1 KB ．令2n ＋1＝64×210＝216，得n ＝15.所以15×3＝45(分钟)，故开机后45分钟，该病毒占据内存64 MB ．探究题1 已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．2D ．－2A 解析：∵a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴a 22＝a 1a 5＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3.探究题2 已知等比数列{a n }，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．3＋2 2B ．1－ 2C ．1＋ 2D ．3－2 2 A 解析：∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2.∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，即q 2－2q －1＝0， ∴q ＝1±2.∵a n >0，∴q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝(a 7＋a 8)q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 探究题3 有四个实数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，前三个数之积为27，中间两个数之和为9，求这四个数．解：(方法一)设前三个数分别为aq ，a ，aq (a ≠0)，则第四个数为2aq －a .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·qa ＝27，a ＋aq ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝2，∴这四个数分别为32，3,6,9.(方法二)设后三个数分别为a －d ，a ，a ＋d (a ≠0)，则第一个数为(a －d )2a.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )2a (a －d )a ＝27，a －d ＋a ＝9，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝3，2a －d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝3，∴这四个数分别为32，3,6,9.(方法三)设前三个数分别为a ，aq ，aq 2(a ≠0)，则第四个数应为2aq 2－aq .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，aq ＋aq 2＝9，化简得⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，aq (1＋q )＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，q ＝2，∴这四个数分别为32，3,6,9.探究题4 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这三个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．解：由题意，这三个数成等差数列，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .∵a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2，即三个数分别为2－d,2,2＋d .①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )， 解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )， 解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则有22＝(2＋d )(2－d )， 解得d ＝0(舍去)．综上可知，这三个数是－4,2,8或8,2，－4.探究题5 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1， 可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又∵a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d . 又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10. ∵等差数列{b n }的各项为正， ∴d >0， ∴d ＝2，∴b 1＝3.∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .巧设等差数列、等比数列的方法：(1)若三个数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d ；若三个数成等比数列，常设成aq ，a ，aq或a ，aq ，aq 2(a ≠0，q ≠0)．(2)若四个数成等比数列，可设为aq，a ，aq ，aq 2(a ≠0，q ≠0)．等差数列{a n }中，a 4＝10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列得，a 3a 10＝a 26， 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0， 解得d ＝0或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.因此，S 20＝200或S 20＝330.1．在等比数列{a n }中，a 3＝－9，a 7＝－1，则a 5的值为( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3D ．不存在C 解析：a 25＝a 3·a 7＝9，所以a 5＝－3或a 5＝3(舍去)． 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 8＝( ) A ．243 B ．128 C ．81D ．64B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∴q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2，∴a 1＋a 2＝3a 1＝3，即a 1＝1，∴a 8＝a 1q 7＝128.3．等比数列{a n }不具有单调性，且a 5是a 4和3a 3的等差中项，则数列{a n }的公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．－3 A 解析：∵a 5是a 4和3a 3的等差中项，∴2a 5＝a 4＋3a 3，得2a 1q 4＝a 1q 3＋3a 1q 2，解得q ＝32或q ＝－1.又等比数列{a n }不具有单调性，故q ＝－1.故选A ．4．等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ≥Q B ．P <Q C ．P ≤QD ．P >QD 解析： P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 6，Q ＝log 0.5a 3＋a 92≤log 0.5a 3a 9＝log 0.5a 6 (当且仅当a 3＝a 9时取等号)． ∵{a n }各项均为正数且q ≠1，∴a 3≠a 9， ∴Q <log 0.5a 6.∴P >Q .故选D ．5．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 3＝34a 2.求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 3a 2＝34.因为a 1＝1，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫34n －1.1．等比数列的性质及其应用一方面，等比数列的性质要与等差数列的性质对比记忆，加深理解并作区分；另一方面，等比数列一般运算量大，巧用等比数列的性质，减少计算量这一点很重要．2．等比数列各项之间可由公比建立关系，在三个(四个)数成等比数列问题中，应注意灵活设项．课时分层作业(八) 等比数列的概念(第2课时)(60分钟 110分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列的性质1．(5分)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，若a 2a m ＝4，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11B 解析：∵公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，∴a 5a 6＝a 4a 7＝4. ∵a 2·a m ＝4，∴2＋m ＝5＋6＝11，解得m ＝9.故选B ．2．(5分)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A ．12B ．22C ． 2D ．2B 解析：∵a 3a 9＝a 26，∴a 6＝2a 5，∴q ＝ 2. ∵a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝22. 3．(5分)在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于( ) A ．－213 B ．213 C ．26D ．－26A 解析：a 1·a 2·…·a 13＝(a 7)13＝(－2)13＝－213. 知识点2 等比数列的实际应用4．(5分)一张报纸的厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为( ) A ．8a ，18bB ．64a ，164bC ．128a ，1128bD ．256a ，1256bC 解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和12， ∴对折7次后的厚度为27·a ＝128a ，面积为⎝⎛⎭⎫127·b ＝b 128. 5．(5分)某工厂去年产值为a ，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ？( )A ．6B ．7C ．8D ．9C 解析：由题意知每年的产值构成以1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，则a n ＝a ·1.1n . ∴a ·1.1n >2a .∵1.17<2,1.18>2，∴n ＝8.知识点3 等比数列的综合应用6．(5分)已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 均不为零，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3D 解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d .又d ≠0，a 1≠0，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1≠0，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝a 1＋5a 1＋9a 12a 1＋3a 1＝3.故选D ． 7．(5分)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则数列{a n }前6项的和为( )A ．－20B ．－18C ．－16D ．－14B 解析：∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1·a 4.∴(a 1＋4)2＝a 1·(a 1＋6)．∴a 1＝－8.∴S 6＝6×(－8)＋6×5×22＝－18. 8．(5分)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值为( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15A 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，∴log 3a n ＋1a n ＝1， ∴a n ＋1a n＝3，∴{a n }是等比数列，公比为3. ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[(a 2＋a 4＋a 6)·q 3]＝log 13(9×27)＝－5. 9．(5分)已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6＝a 2a 10.设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9＝2a 7，则S 17＝( )A ．34B ．39C ．51D ．68D 解析：∵a 6＝a 2a 10＝a 26， ∴a 6＝1.∴a 7＝2a 6＝2.∴b 9＝4.∴S 17＝17(b 1＋b 17)2＝17b 9＝17×4＝68. 能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠±1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝q 10＝a 11，∴m ＝11.11．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．84C ．72D ．189B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 1＋a 3＝4a 2，即12＋3q 2＝4×3q ，解得q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3×(22＋23＋24)＝84.12．(5分)(多选)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则( )A ．q 2＝3B ．a 32＝4C ．a 4a 6＝2 3D ．n ＝14BD 解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a 32＝4，a 35＝12，AC 不正确．又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.故选BD ．13.(5分)已知数列{a n }是等比数列，且a 3＋a 5＝18，a 9＋a 11＝144，则a 6＋a 8＝________.±362 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 9＋a 11a 3＋a 5＝q 6＝14418＝8， ∴q 3＝±2 2.∴a 6＋a 8＝(a 3＋a 5)·q 3＝18×(±22)＝±36 2.14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.16 解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，求a 1.解：设{a n }的公比为q (q ≠1)，∵a 1a 2a 3＝a 32＝－18，∴a 2＝－12. ∵a 2，a 4，a 3成等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 3.∴2×⎝⎛⎭⎫－12·q 2＝－12＋⎝⎛⎭⎫－12·q ， 解得q ＝－12或q ＝1(舍)． ∴a 1＝a 2q＝1. 16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，求这四个数．解：设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，q ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝－14.故所求四个数依次为－18，12，－2,8或8，－2，12，－18. 17.(10分)已知数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(1)求证：当0<q <1时，{a n }是递减数列．(2)若对任意k ∈N *，都有a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，求q 的值．(1)证明：∵a n ＝q n －1，∴a n ＋1－a n ＝q n －q n －1＝q n －1(q －1)．当0<q <1时有q n －1>0，q －1<0，∴a n ＋1－a n <0，∴{a n }为递减数列．(2)解：∵a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列， ∴2a k ＋2＝a k ＋a k ＋1.∴2q k ＋1－(q k －1＋q k )＝0，即q k －1·(2q 2－q －1)＝0.∵q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12. 18.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，且b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列．(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得 S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2. 当n ＝1时，由S 2＝4a 1＋2得a 2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知等比数列{b n }中，首项b 1＝3，公比q ＝2，∴a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，则a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， ∴因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列， ∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14， ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.。
3.3.3几个常见的函数(教案)(2课时)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(高教版2021·基础模
3.3.3几个常见的函数（教案）（2课时）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块上册）教学目标：1. 能够掌握常见的函数及其图像特征；2. 能够用图像描述函数的性质及应用；3. 能够解决实际问题中的函数关系。
教学重点：1. 函数与图像关系的认识；2. 常见函数的定义和图像特征；3. 函数在实际应用中的运用。
教学难点：1. 函数的绘制和性质的理解；2. 函数在实际问题中的运用。
教学过程：第一课时：1、引入教师简单介绍函数的定义和基本性质，让学生了解函数的图像和特征。
2、概念讲解讲解以下内容：(1) 常函数：y=k(k为定值，y=k)(2) 一次函数：y=kx+b(k、b为定值，y=kx+b)(3) 二次函数：y=ax^2+bx+c(a、b、c为定值，y=ax^2+bx+c)(4) 等比数列：y=a*q^n(a、q为定值，y=a*q^n)(5) 指数函数：y=b^x(b、x为定值，y=b^x)3、图像分析教师将这几种函数的图像分别绘制出来，和学生一起分析它们的特征和规律，并让学生发现不同函数之间的关系。
4、例题讲解教师用一些具体的例题让学生理解和练习不同函数间的运用。
第二课时：1、巩固上课知识教师可以让学生回答一些简单的选择题，巩固上节课的知识点。
2、大题解析教师用一些带有实际应用的大题，让学生巩固上课所学的知识点，并且培养学生灵活运用函数的能力。
3、小组讨论让学生分成小组，互相讨论在实际生活中哪些情景下可以应用到这些函数，并给出理由和解答方法。
4、作业布置布置一些作业，让学生巩固上课所学的知识，并提示他们将学到的内容与实际问题联系起来。
教学反思：在教学过程中，本人注重理论联系实际，通过一些具体的例题和实际应用问题，让学生能够深入理解函数的概念及其在实际生活中的应用。
同时，也让学生能够加强练习，提高其解决函数问题的能力。
《等比数列的概念》第2课时示范课教学PPT课件【高中数学】
率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率
比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能
否控制在100个以内？
所以，当n≥6时，｛anbn｝递减，
又a13b13≈98＜100，
所以当13≤n≤24时，anbn≤a13b13＜100，
染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ B ）
注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人再传染R0个人为第二轮感染．
2
A．5
B．6
C．7
D．8
已知等比数列｛an｝的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝
10
________．
目标检测
率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率
比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能
否控制在100个以内？
解答：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列｛an｝，｛bn｝，
由题意，知an＝10501.05n－1，bn＝1－［90%＋0.4%（n－1）］＝0.104－0.004n，
9
结论：1．若数列｛an ｝是等差数列，则数列｛ban｝是等比数列；
2．若数列｛an ｝是各项均为正的等比数列，则数列｛logban｝是等差数列．
初步应用
例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂
在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格
所以a12＝a1q11＝104（1＋0.400%）12≈10 490.7．
人教版高中数学选择性必修第二册 等比数列的概念(第2课时)分层作业(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第2课时)分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等比数列的性质1．(5分)公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2a m＝4，则m的值为() A．8B．9C．10D．112．(5分)已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A．12B．22C．2D．23．(5分)在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于()A．－213B．213C．26D．－26知识点2等比数列的实际应用4．(5分)一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为()A．8a，18b B．64a，164bC．128a，1128b D．256a，1256b5．(5分)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？()A．6B．7C．8D．9知识点3等比数列的综合应用6．(5分)已知等差数列{a n}的首项a1和公差d均不为零，且a2，a4，a8成等比数列，则a1＋a5＋a9 a2＋a3＝()A．6B．5C．4D．37．(5分)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则数列{a n}前6项的和为()A．－20B．－18C．－16D．－14(a5＋a7＋8．(5分)已知数列{a n}满足log3a n＋1＝log3a n＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13a9)的值为()A．－5B．－15C．5D．159．(5分)已知数列{a n}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b9＝2a7，则S17＝()A．34B．39C．51D．68能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)在等比数列{a n}中，a1＝1，公比q≠±1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9B．10C．11D．1211．(5分)已知等比数列{a n}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于() A．33B．84C．72D．18912．(5分)(多选)在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n－1a n a n＋1＝324，则()A．q2＝3B．a32＝4C．a4a6＝23D．n＝1413.(5分)已知数列{a n}是等比数列，且a3＋a5＝18，a9＋a11＝144，则a6＋a8＝________.14.(5分)公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3＝－1，a4，a3成等差数8，且a2列，求a1.16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，求这四个数．17.(10分)已知数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列．(1)求证：当0<q<1时，{a n}是递减数列．(2)若对任意k∈N*，都有a k，a k＋2，a k＋1成等差数列，求q的值．18.(10分)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋2，且b n＝a n＋1－2a n.(1)求证：数列{b n}是等比数列．(2)求数列{a n}的通项公式．人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第2课时)分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等比数列的性质1．(5分)公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2a m＝4，则m的值为() A．8B．9C．10D．11B解析：∵公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4.∵a2·a m＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故选B.2．(5分)已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A．12B．22C．2D．2 B解析：∵a3a9＝a26，∴a6＝2a5，∴q＝2.∵a2＝a1q＝1，∴a1＝2 2 .3．(5分)在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于()A．－213B．213C．26D．－26A解析：a1·a2·…·a13＝(a7)13＝(－2)13＝－213.知识点2等比数列的实际应用4．(5分)一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为()A．8a，18b B．64a，164bC．128a，1128b D．256a，1256bC解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和12，∴对折7次后的厚度为27·a＝128a，面积为·b＝b128.5．(5分)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？()A．6B．7C ．8D ．9C解析：由题意知每年的产值构成以1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，则a n ＝a ·1.1n .∴a ·1.1n >2a .∵1.17<2,1.18>2，∴n ＝8.知识点3等比数列的综合应用6．(5分)已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 均不为零，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝()A ．6B ．5C ．4D ．3D解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d .又d ≠0，a 1≠0，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1≠0，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝a 1＋5a 1＋9a 12a 1＋3a 1＝3.故选D ．7．(5分)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则数列{a n }前6项的和为()A ．－20B ．－18C ．－16D ．－14B解析：∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1·a 4.∴(a 1＋4)2＝a 1·(a 1＋6)．∴a 1＝－8.∴S 6＝6×(－8)＋6×5×22＝－18.8．(5分)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值为()A ．－5B ．－15C ．5D ．15A解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，∴log 3a n ＋1a n ＝1，∴a n ＋1a n＝3，∴{a n }是等比数列，公比为3.∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[(a 2＋a 4＋a 6)·q 3]＝log 13(9×27)＝－5.9．(5分)已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6＝a 2a 10.设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9＝2a 7，则S 17＝()A ．34B ．39C ．51D ．68D解析：∵a 6＝a 2a 10＝a 26，∴a 6＝1.∴a 7＝2a 6＝2.∴b 9＝4.∴S 17＝17(b 1＋b 17)2＝17b 9＝17×4＝68.能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠±1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于()A ．9B ．10C ．11D ．12C解析：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝q 10＝a 11，∴m ＝11.11．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于()A ．33B ．84C ．72D ．189B解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 1＋a 3＝4a 2，即12＋3q 2＝4×3q ，解得q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3×(22＋23＋24)＝84.12．(5分)(多选)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则()A ．q 2＝3B ．a 32＝4C ．a 4a 6＝23D ．n ＝14B D解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a 32＝4，a 35＝12，AC 不正确．又a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.故选BD ．13.(5分)已知数列{a n }是等比数列，且a 3＋a 5＝18，a 9＋a 11＝144，则a 6＋a 8＝________.±362解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 9＋a 11a 3＋a 5＝q 6＝14418＝8，∴q 3＝±2 2.∴a 6＋a 8＝(a 3＋a 5)·q 3＝18×(±22)＝±36 2.14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.16解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，求a 1.解：设{a n }的公比为q (q ≠1)，∵a 1a 2a 3＝a 32＝－18，∴a 2＝－12.∵a 2，a 4，a 3成等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 3.∴2q 2＝－12＋q ，解得q ＝－12或q ＝1(舍)．∴a 1＝a2q＝1.16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，求这四个数．解：设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，4q 6＝1，(1＋q )＝－32，＝－18，＝－4＝8，＝－14.故所求四个数依次为－18，12，－2,8或8，－2，12，－18.17.(10分)已知数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(1)求证：当0<q <1时，{a n }是递减数列．(2)若对任意k ∈N *，都有a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，求q 的值．(1)证明：∵a n ＝q n －1，∴a n ＋1－a n ＝q n －q n －1＝q n －1(q －1)．当0<q <1时有q n －1>0，q －1<0，∴a n ＋1－a n <0，∴{a n }为递减数列．(2)解：∵a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，∴2a k ＋2＝a k ＋a k ＋1.∴2q k ＋1－(q k －1＋q k )＝0，即q k －1·(2q 2－q －1)＝0.∵q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.18.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，且b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列．(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2.当n ＝1时，由S 2＝4a 1＋2得a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知等比数列{b n }中，首项b 1＝3，公比q ＝2，∴a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，则a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，∴a n ＝(3n －1)·2n －2.。
等比数列(第二课时)课件PPT
放射性衰变过程中，原子核的数目按 照等比数列的方式减少。
透镜的焦距按照等比数列的方式排列， 可以用于制造不同焦距的透镜。
声音传播
在声波传播过程中，振动的次数按照 等比数列的方式增加，形成不同的音 高。
等比数列在计算机科学中的应用
数据压缩
在数据压缩算法中，等比数列可 以用于高效地存储和传输数据。
网络传输
在等比数列 { a_n } 中， 已知 a_2 = 4，a_6 = 32，求首项 a_1 和公比 q。
基础练习题3
已知等比数列 { a_n } 的 前 n 项和 S_n = 3^n + r，求 a_3 和 r 的值。
提升练习题
1 2
提升练习题1
在等比数列 { a_n } 中，已知 a_1 = 1，a_4 = 8， 求数列的前 4 项和 S_4。
推导求和公式
通过等比数列的性质，我们可以将等比数列的各项进行分组 求和，再利用等比数列的性质化简，最终得到等比数列的求 和公式：S_n=a_1*(1-r^n)/(1-r)。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式可以应用于解决一 些实际问题，例如计算复利、评估投 资回报等。
简化计算
对于一些特殊的等比数列，如几何级 数，等比数列求和公式可以大大简化 计算过程。
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮 助投资者了解投资收益的增长情
况计算未来价值 和赔偿金额。
股票分析
股票价格的增长往往呈现出等比数 列的特点，投资者可以通过分析等 比数列来预测股票价格的走势。
等比数列在物理领域的应用
放射性衰变
光学透镜
提升练习题2
已知等比数列 { a_n } 的公比 q = 2，前 n 项和 S_n = 63，求首项 a_1。
等比数列公开课课件PPT
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
高中数学 第三章 3.4 等比数列(2)教案.doc
3.4 等比数列（二）教学目的：1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.深刻理解等比中项概念.3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 教学重点：等比中项的理解与应用教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．二、讲解新课：1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G Gba G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则Gba G =，即a ,G ,b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0） 2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则k p n m a a a a =3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法4．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;三、例题讲解例1 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证：3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 证明：由题设：b 2=ac 得：22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 例2 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++Θ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列.例3(1)已知{na }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +(2) a ≠c,三数a, 1, c 成等差数列，22,1,c a 成等比数列，求22ca ca ++ 解：(1) ∵{n a }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25,又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a ＋c ＝2,又a 2, 1, c 2成等比数列, ∴a 2 c 2＝1, 有ac ＝1或ac ＝－1, 当ac ＝1时, 由a ＋c ＝2得a ＝1, c ＝1,与a ≠c 矛盾，∴ ac ＝－1, 62)(222=-+=+ac c a c a ∴3122=++ca c a . 例4 已知无穷数列ΛΛΛΛ,10,10,10,105152515-n ，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1）5152511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列（2）101101010154515===-+-+n n n n a a ，即：5101+=n n a a （3）525151101010-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--+51n 521010q p ，（第1-+q p 项） 例5 设d c b a ,,,均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ，求证：c b a ,,成等比数列且公比为d证一：关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根，∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ，∴()022≥--acb则必有：02=-ac b ，即ac b =2，∴c b a ,,成等比数列 设公比为q ，则aq b =，2aq c =代入()()02422222222=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵()0122≠+a q ，即0222=+-q qd d ，即0≠=q d 证二：∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a∴()()022222222=+-++-c bcd db babd d a∴()()022=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd = ∵d c b a ,,,非零，∴d bca b == 四、练习： 1．求2323-+与2323＋－的等差中项；解：21(2323-+＋2323＋－)＝5; 2．求a 4＋a 2b 2与b 4＋a 2b 2的等比中项解：±))((224224b a b b a a ++＝±ab(a 2＋b 2). 五、小结 本节课学习了以下内容：1．若a ，G ，b 成等比数列，则G ab G ,2=叫做a 与b 的等经中项. 2．若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法六、课后作业：1、在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a 解：∵109181a a a a =，∴205100110918===∴a a a a 2、在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前七项之积 解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b =∵53627124b b b b b b b ===Θ，∴前七项之积()2187333732==⨯3、在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ，解：145825454255358-=-⨯=⋅==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴)2(5482-⨯=a∴14588-=a 七、板书设计（略） 八、课后记：。
3.4《等比数列》第二课时
3.4 等比数列第二课时一、教学目标：1．掌握等比数列的性质；2．掌握等比中项概念；3．进一步熟练掌握等比数列通项公式，培养学生应用意识。
二、教学重难点：重点：等比数列的性质及等比中项的理解与应用、等比数列定义及通项公式的应用。
难点：灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题。
三、教学过程：（一）复习：1．等比数列定义：1(0)n na q q a +=≠（n N *∈） 2．等比数列通项公式：)0,(111≠⋅=-q a q a a n n。
（二）新课讲解：1．等比数列的性质：（1）若{}n a 是等比数列，0c≠，那么数列{}n c a ⋅也是等比数列，公比仍为q ； （2）从一个公比为q 等比数列中取出等距离的项组成一个新的数列仍是等比数列，其公比为m q ，m为等距离的项数之差； （3）若数列{},{}n n a b 是等比数列，则{}nn a b ⋅是等比数列，公比为原公比之积；（P123例3）（4）若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅；等积性（5）若{}n a 为等比数列，则n m n ma q a -=，n m n m a a q -= （6）在等比数列中，k S ，2k k S S -，32k k S S -…也成等比数列 （7）从数列分类来研究：①当10,1q a >>或10,01q a <<<时，递增数列②当10,01q a ><<或10,1q a <>时，递减数列③当1q =，常数列④当0q <，摆动数列2．等比中项：（1）如果在a 与b 中间间插入一个数G ，使a ，G ，b 成GP ，则G 叫做a 与b 的等比中项。
（2）若a ，G ，b 成GP，则2,ab G G==a 、b 同号）。
（3）b G a ,,成等比数列2Gab ⇒=，即b G a ,,成等比数列是2G ab =的充分不必要条件。
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第 讲
数列
(第二课时)
题型3：等比数列性质的应用
1. 等比数列{an}的公比为 ，前n项和为Sn， 3 n∈N*.若S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，则其 公比为( ) A. C.
1 3 1
2
1
B. 1
3 D. 2
6
3
3
设{an}的公比为q，首项为a1.
a1+4d=21，
解得a1=5，d=4.
所以数列{an}的通项公式为an=4n+1.
(2)令bn=2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 由an=4n+1， 得bn=24n+1， 所以数列{bn}是首项为b1=25，公比q=24的 等比数列， 于是得数列{bn}的前n项和
Sn 2 ·2 (
4 5 4n
3n
,又c n
3
n
1
,
【点评】:1.本例主要复习用等差、等比 数列的定义证明一个数列为等差、等比数列， 求数列的通项公式与前n项和.解决本题的关 键在于由条件Sn+1=4an+2得出递推公式. 2.解综合题要总览全局，尤其要注意上一 问的结论可作为下面论证的已知条件，在后 面求解的过程中适时应用.
(2)若b3·5=39，a4+a6=3， b
求b1b2…bn的最大值.
由b3·5=39， b
得a3+a5=9.又a4+a6=3，
a 所以d=-3， 1 27 ， 2 27 所以 a n n 1 · 3 . 2
于是
n n a1 a n
b1 b 2 b n ( b1 b n ) 2 ( 3
q， 即
an2 an
q，
所以数列a1，a3，a5，…，a2n-1，…和a2， a4，a6，…，a2n，…都是公比为q的等比数 列.
当q≠1时，
Sn=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
1q
n
1q
2 (1 q )
n
1q
3 (1 q )
n
1q
( q 1 ).
1)
2 1
32 24n 1 15
.
题型5：等比数列中的探究性问题
3. 已知数列{an}中，Sn是其前n项和，并 且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1. (1)设数列bn=an+1-2an(n=1,2,…)，
求证：数列{bn}是等比数列；
(1)证明：由Sn+1=4an+2，
Sn+2=4an+1+2，
两式相减，得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，
即an+2=4an+1-4an.
(根据bn 的构造，如何把该式表示成bn+1 与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变 形能力的训练.)
所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).
又bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn.①
由S2=4a1+2，a1=1，得a1+a2=4a1+2， 解得a2=5，则b1=a2-2a1=3.② 由①和②知，
数列{bn}是首项为3，
公比为2的等比数列，
故bn=3·n-1. 2
(2)设数列 c n n (n=1,2,…)，求证：数列 2 {cn}是等差数列； 证明：因为c n 所以 c n 1 c n
又bn=a1qn-1+a2qn-1=3qn-1，
所以 S
3 (1
n
q
3 1q
bn )
q q 1
bn
3 1q
.
因为Sn=2bn+k，所以
q q 1
2，得q=2，
所以 k
3 1q
3 12
3.
当q=1时，a2n-1=1，a2n=2，
从而bn=3，Sn=3n，不满足题设条件，
)2 3
3 2
( n 10 n )
2
,
75
所以，当n=5时，b1b2…bn
3 2. 取得最大值
【点评】：等比数列是指数型函数，其 指数的变化恰好是成等差数列变化的，即对 一正项等比数列求对数后，就构成了一个新 的等差数列.
已知等差数列{an}，a2=9，a5=21. (1)求数列{an}的通项公式； (1)设数列{an}的公差为d. 依题意得方程组 a1+d=9
bn 2 a1
n 1
an
an
n
(n∈N*),
a n 1 2 a n 2
n 1
a n 1 2
n 1 n 1
2 an
3 4
2n .
3· 2
2n 1
， 又 c1 故数列{cn}是首项为 ， 公差 2 2 2 3 3 1 为 的等差数列，所以 c n n . 4 4 4
1
1
(3)求数列{an}的通项公式及前n项和.
因为 c n
所以
an 2
n
an
n
当n≥2时，Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2； 当n=1时，S1=a1=1也适合上式. 综上可知， 所求的前n项和为Sn=2n-1(3n-4)+2.
4 4 12 , 所以an=(3n-1)·n-2. 2 4 4
1 2 . 1
n
从而a n
( ) ( n N *). 2
题型4：等比数列与等差数列交汇 2. 已知等比数列{bn}与数列{an}满足 bn=3an(n∈N*).
(1)若a8+a13=m，求b1b2…b20; 易证得{an}是以log3q为公差的等 差数列(q为等比数列{bn}的公比). 又a8+a13=m， 所以b1b20=3a1·a20=3a1+a20=3m， 3 b2b19=3a2+a19=3m， b10b11=3a10+a11=3m，… 所以b1b2…b20=(b1b20)10=310m.
an
已知数列{an}满足：a1=1，a2=2， 且数列{anan+1}是公比为q的等比数列. 设bn=a2n-1+ a2n,数列{bn}的前n项和为Sn, 试推断是否存在常数k，使对任意n∈N*， 都有Sn= 2bn+k成立？ 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由.
由已知
a n 1 · n 2 a a n · n 1 a
设正项等比数列{an}的首项 a 1 ， 前n项 2 和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0， 求数列{an}的通项公式.
1
由已知得210(S30-S20)=S20-S10， 即210·10(S20-S10)=S20-S10. q 因为an＞0，所以S20-S10≠0， 所以210·10=1， q 所以q
由S2=a1+a1q，S4-S2=q2(a1+a1q)，
S6-S4=q4(a1+a1q)，及S2，S4-S2，S6-S4成 2 等比数列，可得其公比为 q 2 1 ， 故选A.
3
【点评】:等比数列有着许多同构性质， 如①{an}是等比数列，则{a2n}也是等比数列， {akn+b}也是等比数列；②Sn是等比数列{an}的 前n项的和，若Sm≠0，则数列Sm ，S2m-Sm ， S3m-S2m，…成等比数列.
故k=-3为所求.
1. 在等比数列中，每隔相同的项抽出来 的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍 然是等比数列.
2. 一个等比数列的奇数项，仍组成一个 等比数列，它的公比是原数列公比的二次幂.
3. 若{an}，{bn}为等比数列，则{λan}(λ≠0)， 1 {|an|}， {manbn} { }≠0)n2 仍为等比数列. (m ，a }， { 4. 解题时，应注意等比数列性质的应用， 以减少运算量而提高解题速度.