等比数列(第一课时)
标杆题：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的 第1项和第2项.
• 解：设等比数列的首项为a1，公比为q.
由题意得，a3 12, a4 18
a1q2 12 ①
a1q3 18 ②
② － ①
a1q3 a1q2
18 12
q
3 ③ 2
将③代入①中得
16 a1 3
a2
Байду номын сангаас
a1q
16 3
且 G ab, (ab 0)
对比练习：已知三个数2，a,18成等比数列，则a的值为 。 ．
知识三：等比数列的通项公式
• 学生活动三：问题3、已知数列｛ɑn｝是等比数列，首项
ɑ ɑ ɑ 为 1，公比为q,请问 n与 1与q有什么关系？
3、等比数列的通项公式： an a1qn1, (n N ）
1、等比数列的概念：
（1）、文字语言：
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前 一项的 比 等 于 同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数 叫做等比数列的 公比 ，通常用字母q表示(q≠0).
（2）、数学符号表示：
an q(n 1, n N )或者 an1 q(n N ）
• （1）、文字语言： • （2）、数学符号表示： • 2、等比中项：
• 3、等比数列的通项公式：
作业：
• 课本53页习题2.4A组第一题
•谢谢
2、4等比数列（第一课时）
知识点一：等比数列的概念
• 学生活动一：问题1、请同学们观察下列3组数列，从第二项
起，他们的每一项与前一项有什么共同特征？有这些特征的
数列叫什么数列？ a1 a2 a3
第一组：1， 2， 4，
a4
8，…
11 1
第二组：1， ， ， ， …
24 8
第三组：1， 20， 202， 20，3 …
3 2
8
16 a1 3 , a2 8
对比练习 • 在等比数列{an}中： • (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； • (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. • (3)a4＝2，a7＝8，求an；
2 n5
答案：（1）a6 96; (2)an 5 2n1; (3)an 2 3 。
课堂小结 • 1、等比数列的的概念：
an1
an
对比练习：判断下列正误 1、若一个数列从第二项起，每一项与前一项的比为常数，知该数列为等比数列。 2、数列0，0，0，0，0，…是等比数列。
知识点二：等比中项 • 学生活动二：问题2、如果a , G , b成等比数列，那么G与a和b
有什么关系，a与b的符号有什么特点？
等比中项： 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，
4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
等比数列(第一课时：等比数列的概念)
2.4等比数列（第一课时：等比数列的概念）--------高二数学组李丁丁教学目标１、知识与技能：理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式。
２、过程与方法：通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析和逻辑推理能力。
３、情感、态度与价值观：通过等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度。
教学重点与难点重点：等比数列的定义、通项公式的推导。
难点：等比数列通项公式的初步应用。
教学过程一、问题情境首先请同学们看以下几个事例（幻灯片展示）情境1、国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：第1个方格放1颗麦粒，第2个方格放2颗麦粒，第3个方格放4颗麦粒，第4个方格放8颗麦粒，以此类推，直到第64个方格，应该放多少颗麦粒，国王能否满足他的要求？情境2、“一尺之锤，日取其半，万世不竭。
”情境3、一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。
如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮。
邮件接收者发送病毒称为第二轮，以此类推，假设每一台计算机感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机构成什么样的数列？问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？问题2：上述例子有何共同特点？二、学生活动通过观察、联想、发现：1、上述例子可以与数列联系起来（有等差数列的学习做基础）2、得到以下3个数列：① 1,2,22，…，263② 1，，，4121…,n21⎪⎭⎫ ⎝⎛,… ③ 1,20,202,203,…,通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）三、 数学建构1、问题：①②③这样的数列和等差数列一样是一类重要的数 列，谁能试着给这样的数列取个名字？（学生通过联想、尝试、得出最恰当的命名：等比数列）2、归纳总结，形成等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示（q ≠0）(引导学生经过类比等差数列的定义得出)3、对等比数列概念的深化理解问题1：上述三例的公比分别是什么？问题2、刚才我们得到了等比数列的概念，是用文字语言来表达的，但是在使用时往往需要符号化，请同学们类比等差数列，将等比数列定义的内容用数学表达式写出（由学生活动得出，判定方法：)(1为常数q q a a nn =+ 问题3、在学习等差数列时，我们可以用公差d ，项数n 以及首项1a 表示数列的任一项，也就是可以表示它的通项公式n a ，那么在等比数列中，要表示该数列，需先确定几个条件？怎样用这些条件表示这个等比数列的每一项？（启发引导，引导学生类比等差数列大胆尝试，讨论回答）归纳法：根据等比数列的定义：3134212312q q q a a a q a a a q a a =====，， ，…,∴11-=n n q a a (分析式子结构：1、只要知道q a ，1可求等比数列 中的任一项；2、任一项都可表示成q a 和1的形式，知三求一)四、 数学运用例3、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
等比数列的概念及通项公式第一课时
A．± 4 1 C．± 4
解析： 项为± 4.
答案： A
第一章 数列
9 1 2 3．若等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这 8 3 3 个数列的项数为________．
解析： ∴n＝4. 9 2n－1 1 an＝8×3 ＝3
答案： 4
第一章 数列
4．下面各数列是等比数列的是________． ①0,0,0,0，②1，－1,1，－1,1，－1，③－ 2 2，4， ④a 1，a 2，a 3，a 4.
2 2 n－1 当 q＝3 时，a1＝9，∴an＝9· ＝2×3n－3 3
第一章 数列
方法二：设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0， a3 2 a2＝ q ＝q，a4＝a3q＝2q， 2 20 1 ∴q＋2q＝ 3 .解得 q1＝3，q2＝3. 1 当 q＝ 时，a1＝18. 3
1 － 18 n 1＝ n－1＝2×33－n. ∴an＝18× 3 3
第一章 数列
2．对等比数列通项公式的理解 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式 为an＝a1qn－1.要注意： (1)公式成立的条件是n∈N＋，q≠0； an＋1 (2)此公式是按定义： ＝q(q是非零常数)推导出来 an 的，即an＋1＝anq，这是等比数列通项公式的一种递推关系 的表现形式；
第一章 数列
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7
的等比中项． [策略点睛]
第一章 数列
[规范作答]
设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，因
a1＋a1q＋a1q2＝168 q≠1， 由已知， 得 a1q－a1q4＝42
为 a2－a5＝42， 所以
，
等比数列第一课时
2．4等比数列（第1课时）学习目标：1．理解等比数列的定义．2．掌握等比数列的通项公式推导3．会借助等比数列的通项公式解决实际问题学习重点：1． 等比数列的概念；2． 等比数列的通项公式及其应用。
学习过程一、 新课导入观察如下一些数列：(1)7，72，73，74，75，76;(2)1，2，4，8，16，32;(3)1，-1/2，1/4，-1/8，1/16，-1/32(4)2，2，2，2，2，2，2，2 。
分析上述每个数列特征：二、 讲授新课1．等比数列（1）定义： ；（2）用符号表示： ；练习一、判断下列数列是否为等比数列？若是，公比是多少？（1）-5，6，-5，6，-5，6；（2）1，1，1，1，1，1，…;(3)0，0，0，0，0。
2、按照数列前几项的规律，在括号内填上所缺项。
（1）1,2,2,22,(...);（2）1，0.1,0.01,(...).注：1、定义中要求：从第二项起，每一项与前一项的比为 ；2、判断一列数列是等比数列⇔ ；3、等比数列中任一项n a 有何要求？ 公比q 有何要求？对数列产生什么影响？2．等比数列的通项公式按定义有：21321,a a q a a q a === ，41a a = ，…,1n a a =所以：n a = 。
练习二、1． 一个等比数列的第9项是49，公比1,3-求它的第1项。
2． 一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。
小结----通项公式中，共有 量，知道三个量可求第 个量。
3． 等比中项。
如等差数列一样，在实数,a b 之间插入一个数A ，使,,a A b 成等比数列，则称A 为,a b 的 ，三者关系是 。
练习三1．若lg ,lg ,lg a b c 成等差数列，则（ ）A 2a c b +=B 1(lg lg )2b ac =+ C ,,a b c 成等差数列 D ,,a b c 成等比数列 2．设,αβ是方程257250x x ++=的两实数根，则,αβ的等比中项是（ ）A 5B 5-C 25 5或5-3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =（ ）A 4-B 6-C 8-D 10-4．例题自学阅读P50-P51例1、2、3。
等比数列ppt第一课时
审题视角
(1) 可 以 利 用等 比 数 列 的 定 义证 明 {cn }是 等 比 数列 , 即 推 导 出
cn 1 q cn ;(2)由 cn 求 an
(1)证明
∵an＋S n ＝n ， ∴an ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.
① ②
②－①得 an ＋1－an＋an ＋1＝1，
1 a 1 1 ∴2an ＋1＝an ＋1，又∵cn ＝an －1∴cn+1＝an+1－1= 2 n
1
3
解决等比数列问题的常见思维方法
a1 1－qn a －a q (1)等比数列的通项公式 an＝a1q 及前 n 项和公式 Sn＝ ＝ 1 n (q≠1)共涉 1－q 1－q
n －1
及五个量 a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．
(2)
对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
课堂小结 1．等比数列的定义、通项、中项、求和； 2．方程的思想、整体代换思想、类比思想； 3．适当注意等比数列性质的应用，以减少运算量 而提高解题速度。
cn 1 则 cn
1 an 1 1 2 an 1 2
故{cn }是等比数列．
(2)解
1 1 1 － － 由(1)可知 cn ＝ 2 · 2 n 1＝－ 2 n ， 1 ∴an ＝cn＋1＝1－ 2 n .
探究提高
由 an ＋S n＝n 及 an ＋1＋S n ＋1＝n ＋1 转化成 an 与 an ＋1 的递推 关系后，用 an 表示 an＋
2
（3） 在等比数列{an }中，a1 ＋a2＝1，a3＋ a4＝1，则 a7＋a8＋a9＋a10 的值为___ ．
等比数列的概念课件(第一课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
（第一课时）
教学目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.能在具体问题的情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题；3.体会等比数列与指数函数的关系。
1.等差数列的定义是什么？
3.它的通项公式是什么？
2.递推公式是什么？
探究：将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。
解：（1）由题意得，2与8的等比中项为 .（2） 和 的等比中项为 .
不存在
4
练习2：如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解：因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.
题型三：等比数列的判定方法
课堂小结
等差数列
等比数列
通项公式推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
公差公比
公差d可正、可负、可为零
公比q可正、可负、不可为零
通项公式
等差/比中项
累乘法
新知探究
例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
两个，需对和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
解法2：
因为是和的等比中项，所以
因此，的第5项是24或-24
例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
定义
a，A，b成等差数列
4.3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式(课件(人教版))
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列， 证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列 的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列 逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时 等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．
等比数列,第一课时
等比数列定义和通项公式（第1个课时）教学目标1.理解等比数列的定义，等比中项的概念， 2.掌握等比数列的通项公式，并学会推导方法； 3.掌握等比数列的几种等价形式； 4.理解并掌握等比数列的重要性质。
教学过程一、等比数列的定义复习回顾等差数列的定义，让学生类比着学习等比数列。
创设等比数列的问题情境如下：（1）利用游标卡尺测量一张纸的厚度.得数列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0)（2）一辆汽车的售价约15万元,年折旧率约为10%,计算该车5年后的价值。
得到数列 15 ,15×0.9 ,15×0.92 ,15×0.93 ,…，15×0.95。
（3）复利存款问题，月利率5%，计算10000元存入银行1年后的本利和。
得到数列10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.0512.让学生们探究三个数列的共同点，由此慢慢引出等比数列的定义。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q 表示。
数学表达式：1()n n a q n N a *+=∈或1(2)n n a q n a -=≥ 注意：1. 等比数列的各项均不为零；2. 等比数列的公比一定不能为零；3. 从数列第二项起的任意一项都满足该表达式关系；4. 公比q=1时，等比数列{a n }为常数列。
5. 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。
在学生对等比数列的定义初步了解的基础上，讲解例题中给出具体的数列，让学生利用定义判断是否为等比数列，增强学生对定义的理解。
例1．判断下列数列是否为等比数列？若是，找出公比；若不是，请说明理由。
(1) 1, 4, 16, 32．(2) 0, 2, 4, 6, 8.(3) 1,－10,100,－1000,10000．(4)a, a, a, a, a.在巩固学生们对定义理解的同时，也要加强对定义的应用，如下例的证明；这个例子也是为了让学生发现等比数列隔项同号的规律。
等比数列(第1课时)
问题情境:
情境一:折纸 如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折， 再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你 相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之 间建一座桥？
对折 纸的 次数
n
对 折 一 次
对 折 二 次
对 折 三 次
对 折 四 次
…... …...
对 折
n 次
纸的 层数
2
4
8
16 …...
2
n
G是a、b的等比中项 G ab ( ab 0)
2
G ab ( ab 0)
注意：若a，b异号则无等比中项,
若a，b同号则有两个等比中项.
练习：
（）求 1 45与80的等比中项
60
（2）已知b是a与c的等比中项，且 abc 27, 求b
b3
等比中项中的细节
例：求等比数列1,a,b,c,9中，a、b、c的值。 解：由于b是1、9的等比中项，故b2=1X9, 得b=3或-3。…… 错啦！原因：G2=ab表明G是a,b的等比中项， 还有一个暗示就是ab>0，即ab同号！表现 在等比数列中的一个特征就是隔项必同号。 故本例中b不可能为-3，且a、c也要同号。 因而只有两组可能的解。 b = 3, a = 3，c = 3 3或b = 3, a = - 3，c = - 3 3 正解：
解得，
a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解：设它的第一项是 a1，公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20 解得， a1 5 ， q 2 a4 a1q3 40 因此 答：它的第一项是5，第4项是40.
等比数列的概念(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1
am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为