第二十二届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
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第03届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题1.根据国家版权局《书籍稿酬暂行规定》，书籍稿酬由基本稿酬和印数稿酬组成．基本稿酬的标准为：（1）著作稿酬每千字10至30元，确有学术价值的，可适当提高，但每千字不超过40元；（2）词书稿有两种计酬方法：其一是按一般著作稿标准另加15%至20%计算（词条书目）；其二是按每千字20元至30元计算，另增加20%至30%的基本稿酬（百科全书词条）．印数稿酬的标准为：（1）一般书籍，印数在一万册以内的，以一万册计算付基本稿酬的8%．印数超过一万册的，其超过部分每千册付基本稿酬的0.8%．（2）确有学术价值而印数较少的专著，印数在一万册以内的，以一万册计算付基本稿酬的30%，印数超过一万册的，计算方法同（1）．根据以上内容，解答下列问题．（1）若印x千册，试写出每千字最高稿酬f(x)和每千字最低稿酬g(x)的函数关系式；（2）若王教授出版了一本25.4万字的书，印数1.8万册，试计算他可获得的最高稿酬和最低稿酬．2．小童的父亲要到美国访问，受人之托希望多带点东西．中国民航的《国际旅客须知》中有关规定："计件免费行李额"中规定"适用中美、中加国际航线上的行李运输……．经济和旅游折扣票价，免费交运的行李数为两件，每件箱体三边之和不超过62英寸（158厘米），但两件之和不得超过107英寸（273厘米），每件最大重量不得超过32公斤．"试问这两个箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请到市场上看看，商店出售的行李箱的尺寸与你计算所得结果是否近似？为什么？3．今年年初由中国建设银行北京市分行印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题．其中指明贷款额最高为拟购买住房费用总额的70%；贷款期限最长为20年．个人住房贷款利率如附表1所示．借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息．附表2列出了不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和．试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的．近年来国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房．各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年．每笔贷款年限由商业银行依据借款个人的年龄、工作年限、还款能力等因素与借款人协商确定．5．据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为2.5亿，1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，到1999年底，地球上的人口数达到了60亿．请你根据20世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100亿？到2100年地球上将会有多少人口？6．国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米，方阵纵列95人，每列长度192米，问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果？7．在某1000个人中有10个人患有一种病，现要通过验血把这10个病人查出来，若采用逐个人化验的方法需化验999次，（这里所需化验次数是指在最坏情况下化验次数，如果碰巧，可能首先化验的10个人全是病人，10次化验就够了．下面讨论的化验次数均指最坏情况下的化验次数）．为了减少化验次数，人们采用分组化验的办法，即把几个人的血样混在一起，先化验一次，若化验合格，则这几个人全部正常，若混合血样不合格，说明这几个人中有病人，再对它们重新化验（逐个化验，或再分成小组化验）．试给出一种分组化验方法使其化验次数尽可能地小，不超过100次．参考解答1.解(1)（2）此时x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44，因此此书25.4万字（254千字），所以最高稿酬为65.472×254=16629.888≈16629.89（元），最低稿酬为11.44×254=2095.76（元）2．解设长、宽、高分别为a,b,c显然a>0,b>0,c>0.若a+b+c一定（≤158）,根据a+b+c≥,当且仅当a=b=c时等号成立，因此箱子为正方体时体积最大．设两个正方体箱子的边长分别为a,b,(a>0,b>0).由条件知3(a+b)≤273,，为求最大取等号，故得a+b=91设代入b=91-a，则显然，当时，有最小值，且根据题意及上述，要在且a+b=91，即，的条件下求f(a)的最大值，而,于是得两个箱子的边长分别为厘米和厘米时，其体积之和为最大．即为：市场调查思考：①商店出售的箱子三边长与计算所得误差很大，原因：（1）正方体箱子不易携带．（2）正方体箱子容量大，但易超重．②很多货运箱的形状与手提行李箱相比，近似于正方体，因为货运箱可更多地考虑其容积问题．3．解设贷款额（本金）为A（元），货款期限为n（月），月利率为，月均还款额为B，令为第k个月末还款后的本利金额，则根据题意，当k=n时，,于是例如贷款期5年时，由元，得还款总额60B=11784.60，利息负担总额60B-A=1784.60，得到附表2上相应的值．降低货款利率后，月均还款总还款60B=11408.4，总利息60B-A=1408.4，与原附表2中的同期货款的负提相比，每月少交6.27元．一共少负担376.2元．对于n>60（10年），,同理可得20年，月均还款69.24,总还款16617.6,总利息6617.6,与原来比，每月省11.69元，共省2805.6元．4．解设不改造设备，按原条件生产，n个月累计收入为a(n)，改造设备后生产，n个月累计收入为b(n)．由已知条件a(n)=70n，且可设于是101=b(1)=a+b+c204=b(2)=4a+2b+c309=b(3)=9a+3b+c解此方程组，得到a=1,b=100,c=0于是经过简单计算可以发现，5个月内投资不能见效．这是因为b(5)-500+100=125<315=a(5)-[3+5+7+9+11],令b(n)-500+100>a(n)-[3n+2n(n-1))/2]，(n>5 ),即, 化简得当时当时所以，经过9个月投资才可见效．5．解题目中的数据均为大致时间，粗略估计的量，带有较多的误差．因此寻找人口增长规律时不需要，也不应该过分强调规律与数据完全吻合．数据中20世纪以前的人口资料更加粗略，况且人口的预报准确程度主要受到20世纪人口增长规律的影响，因而组建预报模型时，不必要考虑20世纪以前的数据资料，在20世纪人口增长速度是逐渐变快的，因此用直线变化（匀速增长）建模做预报是不恰当的；做为人口增长的模型，一般可以使用指数关系，其中N(t)为t时人口数，a,r为参数．将式取对数可得它是关于t的线性模型，这里ln为以e底的对数．利用1930~1999年的数据可以得到lna=-28.33,r=0.0162,模型为(亿) (193 0≤t≤1999)模型的拟合效果为（人口单位：亿）年代1930 1960 1974 1987 1999人口数20 30 40 5060拟合数19.49 31.70 39.78 49.11 56.61拟合效果较好，可用于预报．令N(t)=100，可求出t=2030.84，故可知如果照此规律大约在2031年世界人口将达到100亿，而于2100年世界人口将达到307亿．6．解下面给出一个简单的解法，但它是较粗糙的，不过也实用．所谓满意，可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的．设观礼者居高a米，从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为b米．依题意，每列从第一个人到最后一个人（第95人）有94个间空，列长192米，则每列相邻二人平均间距约2米．为简单起见，不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米，则设第一、二排间距为x米，则于是，（米）7．解我们给出如下的方法：从1000人中任取64人，把他们的血样混合化验（一般地，n个人中有k个病人，令s使，则从n个人中任取个人一组，当n=1000，k=10时，若这64人混合血样合格（化验是阴性），则这64个人正常，可排除，无需再化验，再从剩下未化验的人中任取64个人，混合血样化验．若这64人混合血样不合格（化验呈阳性），说明这64人中有病人．把这64个人，分为两组，每组32人．任取一组的混合血化验，即可确定有病人的一组．（即只需化验一次，若化验的这组血样成阴性，则病人在另一组．若化验的这组血样成阳性，这组有病人，但此时，另一组也可能有病人）．作为最坏的可能情形，我们无法保证另一组的32人中没有病人，故选定有病人的一组后，把另一组人退回到未化验的人群中去．把有病人的这组32人，再分为两组，每组16人，重复上述过程．即化验一次，确定有病人的一组，把另一组退回到未化验的人群中．依次下去，直到找到一个病人为止．至此一共化验了7次．再从未化验的人中任取64人重复上述过程．总之，对每次64人混合血化验成阳性的，通过7次化验可找到1个病人，由于共有10个病人，因此，这样的情形，化验次数不超过7×10=70次．对每次64人混合血化验成阴性的，由于1000=15×64+40，化验次数不超过15次．故总的化验次数不超过70+15=85次．。
第二十一届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
１ １ １ ＋ ） ＋ … ＋ （ｋ－１ ＋…＋ ｋ） ＋ …， １ ６ ２ ＋１ ２ 不难看出 ， 每一个括号内的值都大于 １ ． 这是 ２ １ １ １ ｋ ｋ －１ 因为 ，ｋ－１ ＋ ｋ－１ ＋…＋ ｋ 中有２ －２ ＋２ ２ ＋１ ２ ２
ｋ －１ 项． 除了最 后 一 项 外 ， 其它各项都大于１ ＝２ ｋ． ２
（ ） １ （ ） ２
２ ２ ２ ２ （ （ ） ｘ－ ａ ｂ ｚ－ ｃ ｒ ３ ｙ－ ３ ）＋ （ ３ ）＋ （ ３ ）＝ ３ 对这三个关 于 （ ｘ， ｚ）的 联 立 方 程 求 解 就 ｙ，
由此可以得到 １＋ １ １ … １ ＋ ＋ ＋ ｋ ２ ３ ２
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 其中 Ａ＝ ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ Ｂ＝ １－ ２＋ ２－ １＋ ２－ １＋ ２－ １， ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 便可 ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ １－ ３＋ ３－ １＋ ３－ １＋ ３－ １是 实 常 数， 解出用 ｚ 表示的 （ ｘ， ． ｙ）
五月 晚 ２ ０ ８ ９ １ ２ ８ １ ３ ３ ７ ０ 无 无 ３ １ １ １ １ ２ ８ ３ ０ ５ ７ ３ ８ ４ ８ ４ １ １ ９ ２ １ １ ６ １ ８ ４ ８ ７ ９ ９ ２ ２ ０ ３ ３ ４ ９ 早 ２ ４ ８ ９ ２ ６ ８ ６ ３ ９ ５ ４ 无 无 ４ ０ ５ ２ ３ ３ ６ ８ ６ ６ ５ ４ ２ ７ ２ ０ ３ ７ ２ ５ １ ５ ２ ３ ４ １ １ ９ ８ ０ ８ ７ ３ ４ ５ ９
六月 晚 ２ ２ ５ １ ４ １ １ １ １ ０ ３ ５ ４ ４ 无 无 ３ ０ ５ １ ６ ３ ７ ６ ３ ６ ０ １ ７ ２ ２ ５ ０ ４ ８ １ ３ ２ ９ ０ ８ ３ ３ ８ ４ ３ ５ ４ ９
第十八届北京高中数学应用竞赛初赛试题(PDF版)
第十八届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答一、（满分20分）一片枫叶紧紧地嵌在一个矩形框内部，即矩形的各边上都有枫叶边缘上的点，如右图．假设这个矩形框的每一条边都可以伸缩，令枫叶不动，矩形框转动，依靠框的伸缩始终保持这片枫叶紧紧地嵌在它的内部，而框始终是矩形．请说明，存在一个转动位置，这时的这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形的内部．解：设转动前的矩形的长和宽的长度分别为a 和b ．若a −b =0，这个矩形就是正方形．若a −b ≠0，不妨设a −b ＜0．在矩形转动时，a −b 的值也会随之变化．当旋转90º后，得到的矩形和最初的矩形重合，但a −b ＞0了．即a −b 的值是在[0,90º]上的转动角θ的连续函数，设a −b =f (θ)，于是，f (0)＜0，f (90º)＞0，由函数的零点存在定理可知，在上述转动中，一定有一个位置θ0，使f (θ0)=0，即a −b =0，这时的矩形框就是正方形框．从而这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形框内部．二、（满分20分）野外失火，火势以失火点为中心，匀速的向四周呈圆形蔓延．在火情发生t 0时间后，消防队员发现火情，随即迅速开始修建防火带．（1）消防队员修建的防火带是以失火点为圆心的圆，从该圆上的某一点同时向这点的两侧分别以火蔓延的速度的4倍修建防火带，求防火带围成的最小面积S ．（2）再给出一个修建防火带的方案？使防火带围成的面积比S 小．解：（1）设修建防火带的时间为t ，火势的蔓延速度为v ，修建的圆形防火带的半径R 不小于火势蔓延的圆的半径r ．因为πR =4vt ，r =v (t 0+t )，当面积取S 时，R =r ，即04()vt v t t π=+，得04t t ππ=−，所以，S =πR 2=24()vt ππ=22216(4)v t ππ−．（2）因为04t t ππ=−≈3.65t 0，不难得出，如果（1）的方案是从A 处开始修建，那么，向失火点方向靠近一点儿取点B （比如AB =1.5t 0，如右图），从这一点向垂直于AB 的两边修建，至C 、D 后，再修建圆弧形，即整个防火带围成的形状比圆少了一个弓形，面积缩小了．（缩小面积的方案很多，只要计算无误即算正确）三、（满分20分）广发银行推出一款理财产品“广发银行薪满益足140925版网银专属版”，42天，投资起点50,000元，高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍．销售费率0.10%—0.30%，托管费率0.03%．年化收益率预计为5.35%，发售期为2014年9月24日至2014年10月7日，收益起始日期为10月8日，收益终止日期为11月19日，单利计算利息．理财产品中途若取出，则按银行活期利率计算利息．收益公式：理财收益=申购本金×理财产品实际年化收益率×365实际理财天数其中，实际年化收益率=年化收益率−销售费率−托管费率．BA CD示例：理财本金为5万元，实际理财天数为197天，理财产品到期实际年化收益率为5.70%，则投资者的理财收益=50000×5.7%×197365=1538.22元．华夏基金公司推出一款货币型基金“华夏财富宝”，该基金的收益分配是按日结转份额的，每日收益支付方式只采用红利再投资（即红利转基金份额）方式．该货币型基金除去法定休息日外，随时可以申购和赎回，没有时间的限制．一般规定在交易日的15:00前赎回，资金到帐为2个交易日（T+2日）．日每万份基金净收益和7日年化收益率的计算方法如下：日每万份基金净收益=当日基金份额的已实现收益当日基金份额总额×100007日年化收益率（%）=365717111100% 1000010000R R⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎞⎛⎞+××+−×⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪⎪⎩⎭⋯其中，R i为最近第i个自然日（包括计算当日）的每万份基金净收益．每万份基金净收益采用四舍五入保留至小数点后第4位，7日年化收益率采用四舍五入保留至百分号内小数点后第2位．表1为2014年10月8日至11月18日“华夏财富宝”的日每万份基金净收益和7日年化收益率．投资人手上恰有10万块钱，10月8日至11月19日期间想进行投资，请问：（1）为了获得最大收益，投资人是投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”还是“华夏财富宝”？两种投资的差额为多少？（2）投资人想尽可能地保持资金的流动性（保证尽可能多的资金随时可用），那么10万块对两种产品如何配置，能使得获得的收益介于两者中最高收益的95%与最小收益的110%之间？解：（1）“广发银行薪满益足140925版网银专属版”单利计算利息，投资42天，当销售费率为0.30%时，收益为42100000 5.35%0.3%0.03%577.64365×−−×=（）．“华夏财富宝”复利计算利息，投资42天，收益为12421000001111496.57100001000010000R R R ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞×+⋅+⋅⋅+−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⋯．因此投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”收益高．二者比较，差额为81.07元．（2）获得的收益介于两者中最高收益的95%和最小收益的110%之间，即为收益小于577.64×0.95=548.758元，大于496.57×1.1=546.227元．设分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”x 1、x 2元，列方程为1124221242546.227(5.35%0.3%0.03%)3651111548.758100001000010000100000x R R R x x x ⎧<⋅−−×⎪⎪⎪⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎨+⋅+⋅+⋅⋅+−<⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎪⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪+=⎪⎩⋯解得1612465.43.726740x <<，但由于高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍，因此分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”62000元和38000元，或63000元和37000元．四、（满分20分）储药柜的结构类似于书橱，从上到下有若干层横向隔板，每一层称为一个储药槽．每个储药槽内用竖向隔板隔开，形成若干个存放药盒的储药格．一个储药槽内只能摆放同一种药品．右图为并排的三个储药柜．为保证药品从储药格内顺利取出，要求放入药盒后，储药格内留有不小于2mm 的横向间隙，同时还要求药盒在储药格内放置时不会出现并排重叠（一个格内不能放两个药盒）、药盒不能在格内侧翻或水平旋转．假设药盒的长度＞宽度＞厚度，并且药盒在格内放置时要求（长×宽）面在左右，（宽×厚）面在前后，（长×厚）面在上下．为方便储药柜的制造，储药格的宽度类型越少越好．不同尺寸的药盒种类有成百上千种．表2所列的仅仅是20个不同的样品．请你就这20种药盒尺寸规格，给出能够存放这些药盒，且满足上述要求的储药格宽度类型最少的设计方案（无需考虑存放药盒的数量多少）．表2（度量单位：mm ）药盒编号长度宽度厚度药盒编号长度宽度厚度112076241195553321257220121086218312576211395553349171151413476205125722115955533612085201685464671173726171257533878652018116761691175656191001001010744740201317738解：药盒的长，宽，厚分别为记为a ,b ,c ．则有a ＞b ＞c ．假设用d 表示出药槽内竖隔板之间的宽度．欲使药盒在格内放置时不会出现并排重叠，必须有c ＜d ＜2c （1）欲使药盒不能在格内侧翻，必须有d（2）欲使药盒不能在格内水平旋转，必须有d（3）由（1）、（2）、（3），隔板之间的宽度必须满足c ＜d ＜min{2c,,（4）由于a ≥b ，再由（4），得c ＜d ＜min{2c,}（*）当b时，有2c ．由（*），隔板之间的宽度应取2c ．当c ≤b≤时，有2c=．由（*），隔板之间的宽度应．综上，隔板之间的宽度应取．这表明，在满足不会出现并排重叠和侧翻、或0+2的储药格内可以存放的药盒厚度c 的范围是c 0≤c0．由表2可知，药盒的厚度分布在10mm 至56mm 之间，于是，最少需要五种间隔，见表（2）．为了寻找S 与A 的关系，先将A =4×10k 变形为4A =10k ，两边取对数，得k =lg 4A，又2=10lg2,于是S =5×2k =5(10lg2)lg 4A =5(10lg 4A )lg2=5(4A )lg2=(lg 254)A lg2=3.29A lg2=3.29A 0.301．即物种的数量是岛屿的面积的函数，其表达式是S =3.29A 0.301．表（2）度量单位：mm 储药格宽度存储药盒的厚度14.1+210.0—14.120.0+214.1—20.028.2+220.0—28.240.0+228.2—40.056.4+240.0—56.4。
第二届北京市高中学生数学知识应用竞赛初赛试题和解答
第二届北京市高中学生数学知识应用竞赛初赛试题和解答
佚名
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1999(000)002
【摘要】北京市高中学生数学知识应用竞赛是北京市教委批准的中学生竞赛,是北京市中学生数学知识应用科技活动的一个组成部分。
1998年10月初,中国数学会、中国工业和应用数学学会、中国教育学会中学数学教学专业委员会与教育部基教司领导就在全国范围内开展中学生数学知识应用科技活动之事进行了座谈,教育部领
导高度评价、充分肯定了京沪等地开展的中学生数学知识应用科技活动。
在有关领导的支持下,1998年度以第二后北京市高中学生数学知识应用竞赛为名,邀请上海、广东、广西、浙江、四川、山西、河北、苏州等省市参加,为进一步在全国开展这
一活动积累经验,做好准备。
【总页数】3页(P48-50)
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案
北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案
参考答案：
四、解要估算2000年18岁的人口数．由于2000年的统计资料我们还不能按集到，我们根据以往的统计数据进行推算．即根据2Q00年以前，如 1999年、1998年、…、1990年、…、等年份的数据进行推
算。
这里给出两种估算方法．一种是用年总人口数除以平均寿命，再根据人口分布情况进行调节，从而推算出18岁的人口数。
另一种我们以1998年的人口统计数据为依据，即根据1998年16岁的人口数来估算2000年18岁的人口数． 1998年中国人口统计年鉴中全国分年龄、性别的人口数表显示：1998年全国16岁人口总数为22010千人．全国分年龄、性别的死亡人口状况表显示：1998年16岁到17岁、17岁到18岁人口的死亡率分别为1.21％，1.16％。
假设每年的死亡率是个常数，则我们可以做如下的估算：
1999年17岁的人口数等于1998年16岁的人口数减去这些人成长到17岁的过程中死亡的人数．这些死亡人数由1998年16岁的人口数乘以17岁的死亡率得到．
即22010-22010×I．21％=21983（千人）．
2000年18岁的人口数等于1999年17岁的人口数减去这些人成长到18岁的过程中死亡的人数。
这些死亡人数由1999年17岁的人口数乘以18岁的死亡率得到．
即21983-21983×1.16％o=21957（千人）．
2000年18岁的人口数为21957千人．
注：从不同的资料中收集到的数据差异可能很大．只要说清楚资料的来源，并且数据处理方式合理，就可以认为答案正确，得满分．如果自己假设一些数据作为资料来源，最多给5分；若仅是数据处理方式不当，可以给7分。
2005-09-26。
第二十二届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答
第二十二届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答一、（满分20分）从2018年10月1号我国开始执行的新的个人所得税法，使个人所得税税负水平更趋合理．（1）小王在北京某高新技术产业工作，税前收入每月15000元．执行新税法之后，小王比原来每月少交多少个人所得税？（2）有一种速算个税的办法：应税所得额×对应档的税率−对应档的“速算扣除数”．如应税所得额是10000元，它对应的所得税在旧个税方案下是：10000×25%−1005=1495（元）．请按照这一算法，算出应税所得额是10000元时，在新个人所得税法下对应的所得税是多少？（3）请计算出表2内的数X，并给出各级“速算扣除数”的递推算法的一般表达式．表1个人所得税税率表（执行至2018年9月30日）级数月应税额所在区间（对应起征额3500元）税率速算扣除数（元）1不超过1500元3%02超过1500元至4500元部分10%1053超过4500元至9000元部分20%5554超过9000元至35000元部分25%10055超过35000元至55000元部分30%27556超过55000元至80000元部分35%55057超过80000元部分45%13505表2个人所得税税率表（2018年10月1日起试行）级数月应税额所在区间（对应起征额5000元）税率速算扣除数（元）1不超过3000元3%02超过3000元至12000元部分10%2103超过12000元至25000元部分20%14104超过25000元至35000元部分25%X5超过35000元至55000元部分30%44106超过55000元至80000元部分35%71607超过80000元部分45%15160解：（1）查阅税法，“五险一金”为不计税所得，假设小王的“五险一金”是3000元．按旧税法，应税所得额D旧=15000−3000−3500=8500（元）将D按旧税率表分段，即8500=1500+3000+4000，旧个税上交额M旧=1500×3%+3000×10%+4000×20%=1145（元）；按新税法，应税所得额D新=15000−3000−5000=7000（元）按新税率表分段，即7000=3000+4000，将D新个税上交额M新=3000×3%+4000×10%=490（元）则有M新−M旧=490−1145=−655，即执行新税法之后，小王比原来每月少交个人所得税655元．（注：若不考虑“五险一金”，所得结论为M新−M旧=790−1870=−1080（元），即执行新税法之后，小王比原来每月少交个人所得税1080元．也算对．）（2）应税所得额是10000元时，在新个人所得税法下对应的所得税是10000×10%−210=790（元）（3）由上面的案例可以发现：本级的“速算扣除数”=上一级最高应纳税所得额×(本级税率−上一级税率)+上一级的“速算扣除数”由此可以得到X=25000(25%−20%)+1410=1250+1410=2660（元）一般推导如下：设a n表示应税额依次分段的端点，r n表示应税额区间(a n,a n+1)对应的所得税率，b n表示应税额区间(a n,a n+1)对应的“速算扣除数”，其中n∈{1,2,3,4,5,6}．由表2得到：n0123456a n030001200025000350005500080000r n3%10%20%25%30%35%45%设T表示应税额，T∈(a n,a n+1)，Q表示对应应交的个人所得税额，于是Q=(T−a n)r n−[(a n−a n−1)r n−1+(a n−1−a n−2)r n−2+…+(a1−a0)r0]=T·r n−[(r n−r n−1)a n+(r n−1−r n−2)a n−1+…+(r1−r0)a1]定义“速算扣除数”b n=[(r n−r n−1)a n+(r n−1−r n−2)a n−1+…+(r1−r0)a1]于是得到Q=T·r n−b n，b n=(r n−r n−1)a n+b n−1．由此算出：b1=(r1−r0)a1=7%×3000=210（元）b2=(r2−r1)a2=10%×12000+210=1410（元）b3=(r3−r2)a3=5%×25000+1410=2660（元）b4=(r4−r3)a4=5%×35000+2660=4410（元）b5=(r5−r4)a5=5%×55000+4410=7160（元）b6=(r6−r5)a6=10%×80000+7160=15160（元）．二、（满分20分）在晴空万里，蓝天白云的天气下，也许你看到的是“假蓝天”，原因是臭氧（O3）污染．城市近地层臭氧是典型的二次污染物，主要是由人类活动排放的挥发性有机物、氮氧化物和一氧化碳在太阳光的作用下经过一系列复杂的光化学反应生成的，其带来的温室效应影响着全球的臭氧浓度变化．空气中少量的臭氧使人有一种“新鲜”的感觉，因为臭氧有杀死某些细菌和微生物的能力，但是过量的臭氧对人体和生物都是有害的．王同学在网站上浏览北京综合检测值变化时，感觉到臭氧的浓度变化似乎与温度和湿度变化有关．为了研究在不同季节，温度和湿度对臭氧浓度的影响，王同学记下了2018年7月2日（代表盛夏）和2018年11月2日（代表深秋）的数据，见表1和表2．请依此回答下面的问题：（1）分别画出每一天臭氧浓度关于温度变化的散点图和臭氧浓度关于湿度变化的散点图，并分别建立回归方程；（2）在盛夏和深秋，哪个季节温度变化对臭氧浓度变化的影响大一些?哪个季节湿度变化对臭氧浓度变化的影响大一些?解：（1）臭氧浓度关于温度、湿度变化的散点图如下：表12018年7月2日北京市臭氧浓度变化与温度和湿度变化表22018年11月2日北京市臭氧浓度变化与温度和湿度变化时间臭氧浓度(μg/m 3)温度(℃)湿度(%)时间臭氧浓度(μg/m 3)温度(℃)湿度(%)2:004024762:0055803:003323823:0044824:002923854:0044835:002423845:0033876:002223846:0033897:002223787:0034878:003024758:0036799:003825729:00586611:0062267011:0017115512:0085286412:0027134913:00121295613:0033144614:00146315014:0038164315:00162305315:0041164216:00170315016:0043174317:00179315117:0033155118:00179315018:0012116519:00175305119:008107420:00178295920:00897721:00167285921:00788022:00120285922:00678423:00105276223:006782从图中可以看出，四个图的样本点均呈条状分布，臭氧浓度与温度、湿度都有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线y =ax +b 来近似刻画它们的关系．计算回归方程的斜率与截距的公式为：121()()()ni i i n i i x x y y a x x b y ax==⎧--⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎩∑∑设x 1为7月2日北京市的温度，x 2为7月2日北京的湿度，x 3为11月2日北京市的温度，x 4为11月2日北京市的湿度；y 1为7月2日北京市的臭氧浓度，y 2为11月2日北京市的臭氧浓度．经计算，y 1=19.42x 1−425.34（Ⅰ）y 1=−4.72x 2+408.34（Ⅱ）y 2=2.91x 3−11.52（Ⅲ）y 2=−0.80x 4+70.40（Ⅳ）（2）2018年7月2日平均臭氧浓度为105.48μg/m 3，2018年11月2日平均臭氧浓度为16.48μg/m 3．1°根据回归方程（Ⅰ）和（Ⅲ），温度每变动1℃，7月2日的臭氧浓度变化：19.42/105.48×100%=18.41%；11月2日的臭氧浓度变化：2.91/16.48×100%=17.65%．2°根据回归方程（Ⅱ）和（Ⅳ），湿度每变动1%，7月2日的臭氧浓度变化：4.72/105.48×100%=4.47%；11月2日的臭氧浓度变化：0.80/16.48×100%=4.85%．因此，就温度而言，盛夏的温度对臭氧浓度变化影响大一些；就湿度而言，深秋的湿度对臭氧浓度变化影响大一些．三、（满分20分）将一个8×8的棋盘分割成四个部分，其中两个是梯形，另外两个是三角形，如图1所示．将这四个部分重新拼接，可以得到一个5×13的长方形，多出了一个小正方形，如图2所示．（1）对这种现象你如何解释?给出解释的数学证明．（2）对于n ×n 的正方形棋盘，n 取什么正整数时，可以用这种切割重拼的方式得到一个k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n +1？举出一个例子．（3）对于n ×n 的正方形棋盘，做类似的切割和拼接，会不会出现k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n −1？如果存在，试给出一般的规律．解：（1）猜测：拼接有缝隙．为了观看清楚，将缝隙夸张地用图4所示，首先证明∠ENG ＜180°．由图3可知，tan ∠2=83，tan ∠4=−tan ∠3=−52，显然83＞52，所以∠2＞∠3；图3ABCD3412图42413EFGH MN 图1图2所以∠2+∠4=∠2+180°−∠3=180°+(∠2−∠3)＞180°．即∠ENG ＜180°．易证∠ENG =∠EMG ，即四边形EMGN 是平行四边形．S EMGN =|EN |·|NG |·sin ∠ENG =|EN |·|NG |·(−sin(∠2+∠4))=|EN |·|NG |·(−sin ∠2·cos ∠4−cos ∠2·sin ∠4)=|EN |·|NG |·(82||||EN NG ⋅−35||||EN NG ⋅)=1．（2）设分割方式同上，如图5所示，AD 边上分割点为P ，AP :PD =a :b ，则a +b =n ．同（1）的过程，得平行四边形EMGN ，令S EMGN =1，即EN |·|NG |·(||||n b a EN NG -⋅−||||b aEN NG ⋅)=1即n (b −a )−ba =1即(b +a )(b −a )−ba =1即b 2−ab −a 2−1=0显然a ≠b ,且b ＞a ．解关于b的一元二次方程得1(2b a =+．枚举得：a 1382155144b 25133489233n382155144377当n 取3,8,21,55,144,377,…时，即n 取斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…从第四项起的偶数项时，边长为n 的正方形经过切割，可以再拼接成一个k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n +1．例如55×55的正方形，将55分成21+34，拼成长方形，则正方形的面积为55×55=3025，长方形的面积为(55+34)34=3026．事实上，a ,b 取值依顺序构成从第二项起的斐波那契数列：1,2,3,5,8,13,21,34,…．（3）如果n ×n 的正方形经分割再拼接成k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n −1，应该满足以下关系：∠2+∠4＜180，即拼接时会形成重合，重合部分是一个平行四边形ENGM ，如图6．令S ENGM =1，即S EMGN =|EN |·|NG |·sin ∠ENG =|EN |·|NG |·sin(∠2+∠4)=1EN |·|NG |·(−||||n b a EN NG -⋅+||||b aEN NG ⋅)=1即−(b +a )(b −a )+ba =1即b 2−ab −a 2+1=0解关于b 的一元二次方程得1(2b a =+．枚举得：a 125133489b 1382155144n25133489233图5A BCD3412P abn 2413EFGHM N 图6当n 取2,5,13,34,89,233,…时，即n 取斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…从第三项起的奇数项时，边长为n 的正方形经过切割，可以再拼接成一个k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n −1．山毛榉和被害虫侵害的云杉这三种群落状态，这个林地被划分为成行成列的状态，我们可以用Z k (i ,j )表示在第k 年时林地中第i 行、第j 列的方块地区的群落状态．令Z k (i ,j )=0表示第k 年时该地块为绿叶云杉林地，Z k (i ,j )=1表示第k 年时该地块为山毛榉林地，Z k (i ,j )=2表示第k 年时该地块为被云山蚜虫危害的云杉林地．请回答下列问题：（1）依据题目给出的相互更替规则，使用Z k (i ,j )表示法给出从第k 年到第k +1年各方块林地植物群落更替的表达式，即群落更替模型；（2）根据上述模型，选择一种算法语言，写一个小程序，通过计算机计算初始状态为右图，经过一年、两年、三年更替后这个林区的群落格局．解：（1）群落更替的模型：如果Z k (i ,j )＞0，则Z k +1(i ,j )=Z k (i ,j )−1；如果Z k (i ,j )=0，则当max{Z k (i −1,j ),Z k (i +1,j ),Z k (i ,j −1),Z k (i ,j +1)}=2时，Z k +1(i ,j )=2；当max{Z k (i −1,j ),Z k (i +1,j ),Z k (i ,j −1),Z k (i ,j +1)}=0或1时，Z k +1(i ,j )=0．00000000000000000000000000000000021210000001212000000000000000000000000000000000（2）使用上述模型编制的MATLAB计算程序是>>A0=[zeros(20,20)],A1=A0,A0(10:11,9:12)=[2,1,2,1;1,2,1,2];>>For i=2:19>>For j=2:19>>B2=[A0(i-1,j),A0(i+1,j),A0(i,j-1),A0(i,j+1)]>>if A0(i,j)>0,A1(i,j)=A0(i,j)-1>>elseif max[B2]=2,A1(i,j)=A0(i,j)+2>>elseif max[B2]=0,A1(i,j)=A0(i,j),end>>end>>end根据此程序的计算，经过一年、两年、三年更替后这个林区的群落格局如下图所示：第一年后第二年后第三年后000000000000000000000002020000000000000000020000000021212000 000202000000212120000210101200 002101000002100002002100202120 000010120000200001200212020012 000020200000021212000021010120 000000000000002020000002121200 000000000000000000000000202000五、（满分20分）中国高铁发展迅速，使有些原本乘飞机到某地出行的旅客改乘高铁了．现在要模拟一次寒假与父母或亲友外出旅行，先选定一个时间，并设定一个既可以乘飞机（经济舱）到达，也可以乘高铁（二等座）到达的目的地．（1）列出影响选择交通工具的各种因素；（2）为这次模拟出行选定乘坐交通工具的方案，并说明选择的理由．解：答题要点（1）影响因素主要有两大方面，一方面是由交通工具产生的，包括乘坐交通工具的时间成本，交通工具的舒适性，安全性，正点率，价格；另一方面是由旅行者产生的，对于不同的旅行者，其价值取向不同，个人感受不同，还有个性化的需求．（2）要先调查上述影响因素在这次出行中的具体情况，将各种影响因素的情况进行主次排序，或进行量化，在多因素分析中，作出相对优化的选择，形成出行方案．（注：这个题的解答是很开放的，只要有来自实际的调查分析，逻辑清楚，比较完整，自圆其说，即看作正确．酌情给分，宜粗不宜细．）。
2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试数学试题(解析版)
2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试数学试题一、单选题1．集合2{|03},{|9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M ⋂=A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x|0≤x<3}D ．{x|0≤x≤3}【答案】B【解析】先化简集合集合M ，再由交集的定义可得结果. 【详解】因为{}2{|03},{|9}3,2,1,0,1,2,3P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤=---，所以两集合的公共元素为0,1,2，P M ⋂={0,1,2}，故选：B. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．对于任意实数,,,,a b c d 给定下列命题正确的是（ ） A ．若,0a b c >≠，则ac bc > B ．若,a b >，则22ac bc > C ．若22,ac bc >则a b > D ．若,a b >则11a b< 【答案】C【解析】试题分析：若,0a b c >≠，取0c <，则ac bc <，故A 错误；若,a b >，0c =，则22ac bc =，故B 错误；若22,ac bc >则20c >，所以a b >，故C 正确；若,a b >取1,1a b ==-，则11a b>，故D 错误．故选C ． 【考点】不等式的性质点评：判断不等式是否成立，可通过取值进行排除． 3．已知命题:0p a ∀>，有1a e ≥成立，则p ⌝为（ ） A ．0a ∃≤，有1a e <成立B ．0a ∀≤，有1a e <成立C ．0a ∃>，有1a e <成立D ．0a ∀>，有1a e <成立【答案】C【解析】由全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【详解】全称命题的否定是特称命题， 所以p ⌝：0a ∃>，有1a e <成立. 故选：C 【点睛】本题主要考查含义量词的命题的否定，属于简单题.4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．sin y x = B ．3y x =-C ．12log y x = D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据奇偶性和单调性的性质对选项分别判断即可. 【详解】对选项A ，sin y x =是奇函数，在定义域上不是单调函数，故错误；对选项B ，3y x =-是奇函数，在定义域上单调递减，故正确；对选项C ，12log y x =是非奇非偶函数，故错误；对选项D ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，故错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性，属于简单题.5．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题：①如果//a α，//b α，那么//a b ；②如果//αβ，a α⊂，b β⊂，那么//a b ；③如果αβ⊥，a α⊂，那么a β⊥；④如果a β⊥，//a b ，b α⊂，那么αβ⊥；其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】利用空间中线线、线面和面面间的位置关系对选项逐一分析即可. 【详解】对①，如果//a α，//b α，那么a 和b 可能相交、平行或异面，故错误； 对②，如果//αβ，a α⊂，b β⊂，那么a 和b 可能平行或异面 ，故错误； 对③，如果αβ⊥，a α⊂，那么a 和β可能相交、平行或者a β⊂，故错误； 对④，如果a β⊥，//a b ，b α⊂，由面面垂直的判断定理可得αβ⊥，故正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查线线、线面和面面的空间关系，考查学生空间想象能力，属于基础题. 6．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位【答案】A【解析】根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可. 【详解】根据函数平移变换,由变换为,只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.7．已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,4 D ．()4,+∞【答案】C 【解析】【详解】因为(2)310f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.8．设平面向量,,a b c r r r均为非零向量，则“()0a b c ⋅-=r r r ”是“b c =r r ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】【详解】由b c =r r 得，0b c -=r r r ，可得()0a b c ⋅-=r r r，由()0a b c ⋅-=r r r 可得()a b c ⊥-r rr ，故()0a b c ⋅-=r r r是b c =r r 的必要而不充分条件，故选B ．【考点】充分条件与必要条件的判定．9．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形, PA ⊥底面ABCD ，1,AB =π1,(0)2PA AC ABC θθ⋅=∠=<≤，则四棱锥P ABCD -的体积V 的取值范围是（ ）A ．21[)63 B ．21(]126 C ．21(]63 D ．21[,)126【答案】A【解析】试题分析：由已知，四边形ABCD 的面积S=sinθ， 由余弦定理可求得22cos 22cos AC PA θθ=-=- 1322cos V θ∴=-22sin 21cos 61cos 6V θθθ∴==+-，所以，当cosθ=0，即θ= 2π时，四棱锥V-ABCD 的体积V 的最小值是26，当cosθ=0，即θ=0时，四棱锥V-ABCD 的体积V 的最小值是13，∵0＜θ≤2π∴P-ABCD 的体积V 的取值范围是1[,)63【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积二、填空题 10．复数1012iz i=-.在复平面内对应点的坐标为__________，z =__________.【答案】()4,2-【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再分别求出其对应点的坐标和模即可. 【详解】 由题意，()()()1012102010421212125i i i i z i i i i +-+====-+--+， 所以z 在复平面内所对应点的坐标为()4,2-，z ==故答案为：()4,2-；【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算、复数的几何意义和复数模的求解，属于基础题.11．若1sin 3α=，且α为第二象限，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________，()tan -=p a __________.【答案】13-4【解析】由诱导公式化简cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可求出；再由平方关系求出cos α，由诱导公式化简()tan p a -即可. 【详解】由诱导公式可知，cos sin 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 因为1sin 3α=，所以1cos sin 23παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭；由22sin cos 1αα+=，1sin 3α=，且α为第二象限，解得cos 3α=-，()sin tan tan cos 4a a p a a =-=-=-.故答案为：13-【点睛】本题主要考查诱导公式和三角函数平方关系的应用，属于基础题.12．设()()()ln 020x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则1f f e ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________；若()1f x <，则x 的取值范围为__________. 【答案】12()(),00,e -∞⋃ 【解析】先求1()1f e=-，再求(1)f -即可求出1f f e ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；分别求解0x ≤时和0x >时x 的取值范围，再求并集即可. 【详解】由题意，11()ln1f e e==-， 所以111(1)22f f f e -⎡⎤⎛⎫=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当0x ≤时，()2x f x =单调递增，(0)1f =， 所以()(0)<f x f ，即0x <；当0x >时，()ln f x x =单调递增，()ln 1f e e ==， 所以()()1f x f e <=，所以0x e <<；综上，()1f x <时，则x 的取值范围为()(),00,e -∞⋃. 故答案为：12；()(),00,e -∞⋃ 【点睛】本题主要考查函数值的求法，指对函数的图像性质和分段函数的性质，属于基础题. 13．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=______，ϕ=_______.【答案】23π【解析】由图像得2A =，再由对称轴和对称中心的距离为4T，可求出T π=，由2Tπω=求解出ω；再由()212f π=和2πϕ<求解出ϕ即可.【详解】由图像知，函数的最大值为2，又0A >，所以2A =， ()f x 的一个对称轴为12x π=，一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以43124T πππ=-=，即T π=， 由2Tπω=，所以2ω=； 则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()212f π=，所以()2sin 221212f ππϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭， 即sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()262k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=.故答案为：2；3π 【点睛】本题主要考查正弦函数的图像和性质，考查学生数形结合的思想，属于中档题.14．已知向量a r ，b r 满足：1a =r ，6b =r ，()2a b a ⋅-=r r r ，则a r 与b r的夹角为________；2a b -=r r________.【答案】3π【解析】设a r 和b r 的夹角为θ，利用数量积的定义求出6cos a b θ⋅=r r，再展开()2a b a ⋅-=r r r 求出cos θ，再求出θ；利用2a b -=r r 2a b -r r .【详解】设a r 和b r的夹角为θ，则cos 6cos a b a b θθ⋅==r r r r ，()26cos 12a b a a b a θ⋅-=⋅-=-=r r r r r r ，所以1cos 2θ=，又[]0,θπ∈，所以3πθ=；2a b -====r r故答案为：3π； 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算和向量模的求法，考查学生转化和计算能力，属于基础题.15．设D ，E 分别是ABC V 的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r（1λ，2λ为实数），则1λ=__________；2λ=__________. 【答案】16-23【解析】由向量的运算表示出1263DE AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，结合12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r 即可求出1λ和2λ. 【详解】由题意，作图像如图所示，()121212232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r ，所以116λ=-，223λ=.故答案为：16-；23【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，属于基础题. 16．设函数()y f x =在(),-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,K f x f x K f x K f x K⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，取函数()2xf x -=，当12K =时，12K f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________，函数()K f x 的单调递增区间为__________. 2[]1,0- 【解析】当12K =时，由11()22K f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求解即可；根据函数定义求出()K f x 的解析式，得到一个分段函数，利用指数函数的单调性即可求出()K f x 的单调增区间. 【详解】由题意，12K =时，12112()222K f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭当1()2f x ≥时，即122x-≥，即1x -≥-，解得11x -≤≤， 同理，1()2f x <时，解得1x <-，或1x >，所以()2,11,1012,0121,12xx K x f x x x x ⎧⎪⎪-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭>-⎩<⎪⎪⎪，所以()K f x 的单调递增区间为[]1,0-. 故答案为：22；[]1,0-【点睛】本题主要考查函数值的求解、分段函数的应用和指数函数的单调性，考查学生对题目的分析理解能力，属于中档题.17．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 【答案】30【解析】试题分析：本题要列出总费用y 与x 的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用60032y x x=⨯+ 120≥=，当且仅当60032x x⨯=，即30x =时等号成立. 【考点】函数的应用与基本不等式.三、解答题18．在锐角ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且sin a A =． （1）确定角C 的大小．（2）若c =ABC V 的面积为2，求22a b +的值． 【答案】（1）π3C =；（2）13【解析】试题分析：（1）由正弦定理可知，sin C =，所以60C ∠=︒；（2）由题意，6ab =，2221cos 22a b c C ab +-==，得到2213a b +=．试题解析：（1）sin sin a c A C ==∴sin C =，∵090C <∠=︒，∴60C ∠=︒．（2）1sin 2ABC S ab C ==V 6ab =， 2221cos 22a b c C ab +-==，∴2213+=．a b19．（本小题共13分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间及其图象的对称轴方程．【答案】解：（Ⅰ）………………………2分, …………………………3分因为最小正周期为,所以，解得,………………………4分所以, …………………… 5分所以. …………………………6分（Ⅱ）分别由，可得，………8分所以,函数的单调增区间为；的单调减区间为………………………10分由得.所以，图象的对称轴方程为. ………………………13分【解析】试题分析：（Ⅰ）,因为最小正周期为,可得, 可得,即可求出．（Ⅱ）分别由，即可求出单调区间；再根据，可得图象的对称轴方程．试题解析：解：（Ⅰ）,因为最小正周期为,所以，解得,所以,所以．（Ⅱ）分别由，可得，所以,函数的单调增区间为；的单调减区间为由得．所以，图象的对称轴方程为．【考点】1．三角函数的图象与性质；2．三角恒等变换．20．已知函数()cos 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.（1）若()7210f α=，求sin 2α的值； （2）求函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值并求出相应的x 的值. 【答案】（1）2425；（2）0x =时，max 1()2g x =；3x π=时，min 1()4g x =-【解析】（1）由()72cos 4f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭以及二倍角的余弦公式和诱导公式即可求出sin 2α的值；（2）利用诱导公式和二倍角公式化简得到1()cos 22g x x =，再根据x 的范围求出()g x 的最大值和最小值即可. 【详解】（1）由题意，()72cos 4f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由二倍角的余弦公式和诱导公式，227224cos 2sin 22cos 121241025ππααα⎛⎛⎫⎛⎫-==--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以24sin 225α=； （2）由题意，()()()cos cos 2442g x f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos sin 2cos 244222x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()g x 在,06π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，11()cos 6234g ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，11(0)cos 022g ==，121()cos 3234g ππ==-，所以当0x =时，()max 1()02g x g ==， 当3x π=时，min 1()34g x g π⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用、余弦函数的性质，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ==，90ABC ∠=︒，D 是BC 的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求二面角1C AD C --的余弦值；（3）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与面1ADC 所成角的正弦值为13？若存在，求出此时AE 的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）23；（3）不存在，理由见解析 【解析】（1）连接1A C 交1AC 于点P ，得PD 是1A BC V 的中位线，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）建立直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角即可得出二面角；（3）设点()0,,1E a ，[]0,2a ∈，表示出向量AE u u u r，由线面角的夹角公式求出a 的值即可判断. 【详解】（1）如图，连接1A C 交1AC 于点P ，因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形11ACC A 是矩形， 点P 为1A C 的中点，又D 为BC 中点， 所以PD 是1A BC V 的中位线，所以1//A B OD ， 又PD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ∠=︒，所以BA 、BC 、1BB 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系B xyz -，设11AA =， 则()0,2,0A ，()1,0,0D ，()12,0,1C ，所以()11,0,1DC =u u u u r ，()1,2,0AD =-u u u r， 设平面1ADC 的法向量()1,,n x y z =u r，则111020n DC x z n AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u v u u u u v u v u u u v ，令1y =，则2x =，2z =-， 所以()12,1,2n =-u r，易知平面ADC 的法向量()20,0,1n =u u r，由二面角1C AD C --是锐角，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅-===⨯u r u u r u r u u r ur u u r ， 即二面角1C AD C --的余弦值为23；（3）设线段11A B 上存在点()0,,1E a ，[]0,2a ∈，则()0,2,1AE a =-u u u r，由（2）知，平面平面1ADC 的法向量()12,1,2n =-u r， 因为AE 与面1ADC 所成角的正弦值为13， 所以()112141cos ,3321AE n a AE n AE n a ⋅-===-+u u u r u r u u u r u ru u ur u r ， 解得1124a =>， 所以在线段11A B 上不存在点E ，使得AE 与面1ADC 所成角的正弦值为13. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量法求二面角和线面角，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题.22．将所有平面向量组成的集合记作2R ，f 是从2R 到2R 的对应关系，记作()y f x =v v或()()1212,,y y f x x =，其中1x 、2x 、1y 、2y 都是实数，定义对应关系f 的模为：在1x =v 的条件下y v的最大值记作f ，若存在非零向量2x R ∈v ，及实数λ使得()f x x λ=v v，则称λ为f 的一个特殊值；（1）若()12121,,2f x x x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，求f ； （2）如果()()121212,,f x x x x x x =+-，计算f 的特征值，并求相应的x v； （3）若()()1211221122,,f x x a x a x b x b x =++，要使f 有唯一的特征值，实数1a 、2a 、1b 、2b 应满足什么条件？试找出一个对应关系f ，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ，②f λ=，并验证f 满足这两个条件.【答案】(1) 1f =；(2)当λ=,)1,1x m=v;当λ=,()1x m =-v .其中m R ∈且0m ≠；(3) ()2122140a b a b -+=,证明见解析【解析】(1)由新定义得2222121214y y x x +=+,再利用22121x x +=得22121y y +≤即可. (2)由特征值的定义可得121122x x x x x x λλ+=⎧⎨-=⎩,由此可得f 的特征值,及相应的x r(3) 解方程组1122111222a x a x x b x b x x λλ+=⎧⎨+=⎩,再利用平行向量的方法求解证明即可.【详解】(1)由于此时2222121214y y x x +=+,又因为是在22121x x +=的条件下,有22212213144y y x +=+≤,当21x =±时取最大值,所以此时有1f =; (2)由()()()12121212,,,f x x x x x x x x λ=+-=,可得：121122x x x x x x λλ+=⎧⎨-=⎩,解此方程组可得：()()111λλ-+=,从而λ=当λ=,解方程组121122x x x x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无穷多个解,为)1,1x m =r(写出一个即可),其中m R ∈且0m ≠.当λ=,同理可得,相应的()1x m =r(写出一个即可),其中m R ∈且0m ≠ (3)解方程组1122111222a x a x x b x b x x λλ+=⎧⎨+=⎩,可得()()111222,,0x a b x a b λλ-+-=从而向量()11,a b λ-与()22,a b λ-平行,从而有1a 、2a 、1b 、2b 应满足：()2122140a b a b -+=. 当()f x λλ=u rr时,f 有唯一的特征值,且f λ=.具体证明为：由f 的定义可知：()()1212,,f x x x x λ=,所以λ为特征值.此时2112,0,,0a a b b λλ====满足：()2122140a b a b -+=,所以有唯一的特征值.在22121x x +=的条件下()()22212x x λλλ+=,从而有f λ=.【点睛】本题主要考查了新定义的内容,需要根据新定义的方法列出对应的关系式,再化简求解出对应的参数满足的条件进行分析.属于难题.。
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案一、选择题（满分36分）1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是A. f(x)=x2B. f(x)=ax2+5C. f(x)=x2+xD. －x2+20042. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33. 恰有3个实数解，则a等于A. 0B. 0.5C. 1D.4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1<x2，就有f(x1)>f(x2)，则A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0B. f(a)+f(b)+f(c)<0C. f(a)+f(b)+f(c)>0D. f(a)+2f(b)+f(c)=20045. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c 被9除余5，d被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是A. a、bB. b、cC. c、dD. d、a6. 正实数列a1，a2，a3，a4，a5中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，且公比不等于1，又a3，a4，a5的倒数成等比数列，则A. a1，a3，a5成等比数列B. a1，a3，a5成等差数列C. a1，a3，a5的倒数成等差数列D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列二、填空题（满分64分）1. 已知，试确定的值。
2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。
3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。
4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。
2022全国高中数学竞赛真题及答案详解
2022全国高中数学竞赛真题及答案详解高中数学竞赛一直以来都是对学生数学能力的高难度挑战，2022 年的全国高中数学竞赛也不例外。
接下来，让我们一起深入剖析这次竞赛的真题及详细答案。
首先来看第一道题，这是一道关于函数性质的题目。
已知函数 f(x)＝ x³ 3x ＋ 1，求其在区间-2, 2上的最大值和最小值。
对于这道题，我们先对函数求导，f'（x) ＝ 3x² 3，令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ ±1。
然后分别计算函数在端点和极值点处的值，f(－2) ＝－1，f(－1) ＝ 3，f(1) ＝－1，f(2) ＝ 3。
所以，函数在区间-2, 2上的最大值为 3，最小值为-1。
再看第二道题，它是一道几何证明题。
在三角形 ABC 中，AD 是角A 的平分线，且 BD ： DC ＝ 2 ： 1。
求证：AB ： AC ＝ 2 ： 1。
这道题我们可以利用角平分线定理来解决。
因为 AD 是角 A 的平分线，所以根据角平分线定理，AB/AC ＝ BD/DC ＝ 2/1，从而得证。
接下来是第三道题，是一个数列问题。
已知数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，求数列{aₙ}的通项公式。
我们可以通过构造等比数列来求解。
将等式两边同时加 1，得到aₙ₊₁＋ 1 ＝ 2(aₙ ＋ 1)，所以数列{aₙ ＋ 1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
根据等比数列通项公式可得 aₙ ＋ 1 ＝2ⁿ，所以 aₙ ＝2ⁿ 1。
然后是第四道题，这是一道关于复数的题目。
已知复数z ＝1 ＋i，求 z 的模和辐角。
复数 z ＝ 1 ＋ i 的模为｜z| ＝√（1²＋ 1²) ＝√2，辐角为 arctan(1/1) ＝π/4。
接着看第五道题，是一个概率问题。
从 1，2，3，4，5 这五个数字中随机抽取三个数字，求这三个数字能构成等差数列的概率。
总的组合数为 C₅³＝ 10 种。
第十三届应用竞赛初赛试题及参考解答
第十三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答一、（满分20分）一游客在马台长城游览后，乘坐缆车下山。
缆车运行了一会儿，她开始注意到，自己乘坐的是50号缆车，这时离自己最近的迎面上山的缆车是81号，接下来是82号，再往下的缆车上所标数字依次连续出现，她又记下了自己乘坐的缆车与对面相邻缆车相遇的时间间隔是9秒。
对面缆车号的最大数字是112，接着就是1号缆车。
（1）从与81号缆车相遇开始，50号缆车大约还有多久能够到站？（2）下山后，见牌子上写：“索道全长1200米”。
请计算一下缆车的速度是多少？解答：假设：1.缆车间隔相同；2.缆车匀速运动；3.当第49号缆车迎面出现时，所乘缆车到站。
…………………………………4分（1）t =(112−81+49)÷2×18=720（秒），即50号缆车还有12分钟到站。
………12分（2）根据已知条件，可得全程运行的总时间是T =(112−51+49)÷2×18=990（秒）。
于是，速度v =S/T =1200÷990≈1.21(米/秒)。
即缆车的速度约为1.21米/秒。
……………20分二、（满分20分）视野，是指人的眼睛固定注视一定目标时，所能见到的范围，常用角度来表示。
一般来说，在静止状态下，人的双眼视野可达210°；在驾驶车辆时，随着车速的增加，驾驶员的双眼视野度数减小。
右面是一组车速与视野关系的实验数据：（数据来自/bbs/thread-c-774-2558157-1.html ）请根据这些数据估计车速在120km/h 时的视野。
解：用二次函数拟合，可以得到函数y =0.0155x 2−3.217x +208.75，其图像如下左图所示。
代入x =120得：y =45.9°。
这表示车速在120km/h 时的视野大于车速在100km/h 时的视野，显然不合理。
说明为估计车速在120km/h 时的视野而选择拟合二次函数是错的，故舍去此结论。
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度变化影响大一些．
三、（满分２０ 分）将 一 个 ８×８ 的 棋 盘 分 割 成
四个部分，其中 两 个 是 梯 形，另 外 两 个 是 三 角 形，
４２
１７
４３
１５
５１
１１
６５
１０
７４
９
７７
８
８０
７
８４
７
８２
２０１９年 第５８卷 第１期 数学通报
５１
（１）分别画 出 每 一 天 臭 氧 浓 度 关 于 温 度 变 化 的散点图和臭 氧 浓 度 关 于 湿 度 变 化 的 散 点 图，并 分别建立回归方程；
（２）在 盛 夏 和 深 秋 ，哪 个 季 节 温 度 变 化 对 臭 氧 浓度变化的影响大一些？哪个季节湿度变 化 对 臭 氧浓度变化的影响大一些？
经计算，
ｙ１ ＝ １９．４２ｘ１ －４２５．３４
（Ⅰ）
ｙ１ ＝ －４．７２ｘ２ ＋４０８．３４
（Ⅱ）
ｙ２ ＝ ２．９１ｘ３ －１１．５２
（Ⅲ）
ｙ２ ＝ －０．８０ｘ４ ＋７０．４０
（Ⅳ）
（２）２０１８ 年 ７ 月 ２ 日 平 均 臭 氧 浓 度 为
１０５．４８μｇ／ｍ３，２０１８年１１月２日平均臭氧浓度 为
二、（满分２０ 分）在 晴 空 万 里，蓝 天 白 云 的 天 气下，也 许 你 看 到 的 是 “假 蓝 天 ”，原 因 是 臭 氧 （Ｏ３）污 染．城 市 近 地 层 臭 氧 是 典 型 的 二 次 污 染 物 ，主 要 是 由 人 类 活 动 排 放 的 挥 发 性 有 机 物 、氮 氧 化物和一氧化碳在太阳光的作用下经过一系列复 杂的光化学反 应 生 成 的，其 带 来 的 温 室 效 应 影 响 着全球的臭氧 浓 度 变 化．空 气 中 少 量 的 臭 氧 使 人 有一种“新鲜”的 感 觉，因 为 臭 氧 有 杀 死 某 些 细 菌 和微生物的能 力，但 是 过 量 的 臭 氧 对 人 体 和 生 物 都是有害的．
解 （１）臭 氧 浓 度 关 于 温 度 、湿 度 变 化 的 散 点 图如下：
从图中可以看 出，四 个 图 的 样 本 点 均 呈 条 状
分 布 ，臭 氧 浓 度 与 温 度 、湿 度 都 有 比 较 好 的 线 性 相
关关系，因 此 可 以 用 回 归 直 线 ｙ＝ａｘ＋ｂ 来 近 似
刻画它们的关 系．计 算 回 归 方 程 的 斜 率 与 截 距 的
臭 氧 浓 度 （μｇ／ｍ３）
４０ ３３ ２９ ２４ ２２ ２２ ３０ ３８ ６２ ８５ １２１ １４６ １６２ １７０ １７９ １７９ １７５ １７８ １６７ １２０ １０５
温度（℃） 湿度（％）
２４
７６
２３
８２
２３
８５
２３
８４
２３
８４
２３
７８
２４
７５
２５
７２
２６
７０
２８
６４
２９
５６
３１
５０
３０
５３
３１
５０
３１
５１
３１
５０
３０
５１
２９
５９
２８
５９
２８
５９
２７
６２
时间
２：００ ３：００ ４：００ ５：００ ６：００ ７：００ ８：００ ９：００ １１：００ １２：００ １３：００ １４：００ １５：００ １６：００ １７：００ １８：００ １９：００ ２０：００ ２１：００ ２２：００ ２３：００
（２）有一种速算个税的办法：应税所得额 × 对 应档的税率－ 对 应 档 的 “速 算 扣 除 数”．如 应 税 所 得额是１００００元，它 对 应 的 所 得 税 在 旧 个 税 方 案 下是：１００００×２５％ － １００５＝１４９５（元）．
请按照这 一 算 法，算 出 应 税 所 得 额 是 １００００ 元 时 ，在 新 个 人 所 得 税 法 下 对 应 的 所 得 税 是 多 少 ？
Ｍ新 ＝３０００×３％＋４０００×１０％＝４９０（元）， 则有
Ｍ新 － Ｍ旧 ＝４９０－１１４５＝－６５５， 即执行新税法 之 后，小 王 比 原 来 每 月 少 交 个 人 所 得 税 ６５５ 元 ． （注：若 不 考 虑 “五 险 一 金 ”，所 得 结 论 为 Ｍ新 － Ｍ旧 ＝７９０－１８７０＝ －１０８０（元），即 执 行 新 税 法 之 后，小王比原来 每 月 少 交 个 人 所 得 税 １０８０ 元．也 算 对 ．）
５０
数学通报 ２０１９年 第５８卷 第１期
由此可以得到 Ｘ＝ ２５０００（２５％ －２０％）＋１４１０ ＝１２５０＋ １４１０＝２６６０（元）． 一般推导如下：设ａｎ表 示 应 税 额 依 次 分 段 的 端点，ｒｎ表示应税额区间（ａｎ，ａｎ＋１）对 应 的 所 得 税 率，ｂｎ表示应 税 额 区 间 （ａｎ，ａｎ＋１）对 应 的 “速 算 扣 除 数 ”，其 中 ｎ∈ ｛１，２，３，４，５，６｝． 由表２得到：
２０１９年 第５８卷 第１期 数学通报
４９
第二十二届北京高中数学知识应用竞赛初赛 试题及参考解答
一 、（满 分 ２０ 分 ）从 ２０１８ 年 １０ 月 １ 号 我 国 开 始执行的新的 个 人 所 得 税 法，使 个 人 所 得 税 税 负 水平更趋合理．
（１）小 王 在 北 京 某 高 新 技 术 产 业 工 作 ，税 前 收 入 每 月 １５０００ 元 ．执 行 新 税 法 之 后 ，小 王 比 原 来 每 月少交多少个人所得税？
表 ２ ２０１８ 年 １１ 月 ２ 日 北 京 市 臭 氧 浓度变化与温度和湿度变化
时间
２：００ ３：００ ４：００ ５：００ ６：００ ７：００ ８：００ ９：００ １１：００ １２：００ １３：００ １４：００ １５：００ １６：００ １７：００ １８：００ １９：００ ２０：００ ２１：００ ２２：００ ２３：００
１６．４８μｇ／ｍ３．
１° 根 据 回 归 方 程 （Ⅰ ）和 （Ⅲ ），温 度 每 变
动 １℃ ，
７月 ２ 日 的 臭 氧 浓 度 变 化：１９．４２／１０５．４８×
１００％ ＝１８．４１％ ；
１１ 月 ２ 日 的 臭 氧 浓 度 变 化：２．９１／１６．４８×
１００％ ＝１７．６５％ ．
２° 根 据 回 归 方 程 （Ⅱ ）和 （Ⅳ ），湿 度 每 变 动 １％ ，
（２）应税所得额是１００００元时，在新个人所得税 法下对应的所得税是１００００×１０％－２１０＝７９０（元）．
（３）由 上 面 的 案 例 可 以 发 现 ： 本 级 的 “速 算 扣 除 数 ”＝ 上 一 级 最 高 应 纳 税 所 得额×（本级税率 － 上 一 级 税 率）＋ 上 一 级 的 “速 算 扣 除 数 ”．
超 过 ８００００ 元 部 分
４５％ １３５０５
表 ２ 个 人 所 得 税 税 率 表 （２０１８ 年 １０ 月 １ 日 起 试 行 ）
级数
月应税额所在区间 （对 应 起 征 额 ５０００ 元 ）
速算扣除 税率
数 （元 ）
１
不 超 过 ３０００ 元
３％
０
２ 超过３０００元至１２０００元部分 １０％ ２１０
臭 氧 浓 度 （μｇ／ｍ３）
５ ４ ４ ３ ３ ３ ３ ５ １７ ２７ ３３ ３８ ４１ ４３ ３３ １２ ８ ８ ７ ６ ６
温度（℃） 湿度（％）
５
８０
４
８２
４
８３
３
８７
３
８９
４
８７
６
７９
８
６６
１１
５５
１３
４９
１４
４６
１６
４３
１６
表 １ ２０１８ 年 ７ 月 ２ 日 北 京 市 臭 氧 浓度变化与温度和湿度变化
ｂ１ ＝ （ｒ１ －ｒ０）ａ１ ＝７％ ×３０００＝２１０（元 ）， ｂ２ ＝ （ｒ２ －ｒ１）ａ２ ＝１０％ ×１２０００＋２１０＝１４１０（元 ）， ｂ３ ＝ （ｒ３ －ｒ２）ａ３ ＝５％ ×２５０００＋１４１０＝２６６０（元 ）， ｂ４ ＝ （ｒ４ －ｒ３）ａ４ ＝５％ ×３５０００＋２６６０＝４４１０（元 ）， ｂ５ ＝ （ｒ５ －ｒ４）ａ５ ＝５％ ×５５０００＋４４１０＝７１６０（元 ）， ｂ６＝（ｒ６－ｒ５）ａ６＝１０％×８００００＋７１６０＝１５１６０（元）．
８５００＝１５００＋３０００＋４０００， 个税上交额
Ｍ旧 ＝１５００×３％ ＋３０００×１０％ ＋４０００× ２０％ ＝１１４５（元 ）；
按 新 税 法 ，应 税 所 得 额 Ｄ新 ＝１５０００－３０００－５０００＝７０００（元）， 将 Ｄ新 按新税率表分段，即
７０００＝３０００＋４０００， 个税上交额
７ 月 ２ 日 的 臭 氧 浓 度 变 化：４．７２／１０５．４８×
１００％ ＝４．４７％ ；
１１ 月 ２ 日 的 臭 氧 浓 度 变 化：０．８０／１６．４８×
１００％ ＝４．８５％ ．
因 此 ，就 温 度 而 言 ，盛 夏 的 温 度 对 臭 氧 浓 度 变
化 影 响 大 一 些 ；就 湿 度 而 言 ，深 秋 的 湿 度 对 臭 氧 浓
７
超 过 ８００００ 元 部 分
４５％ １５１６０
解 （１）查 阅 税 法，“五 险 一 金 ”为 不 计 税 所 得 ，假 设 小 王 的 “五 险 一 金 ”是 ３０００ 元 ．
按 旧 税 法 ，应 税 所 得 额 Ｄ旧 ＝１５０００－３０００－３５００＝８５００（元）， 将 Ｄ旧 按旧税率表分段，即
ｎ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
ａｎ ０ ３０００ １２０００ ２５０００ ３５０００ ５５０００ ８００００