高等数学(同济大学版)课程讲解1.9-1.10连续函数的性质

课时授课计划

课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性

§1.10 闭区间上连续函数的性质

二、课型：新授课

三、目的要求：1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；

2.了解反函数和复合函数的连续性；

3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．

四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理

证明方程解的存在性.

教学难点：闭区间上连续函数的性质.

五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．

六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，

高等教育出版社；

2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．

七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1

八、授课记录：

九、授课效果分析：

复习

1.连续的定义：0

0lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；

2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则． 定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()

()()()()()

f x f x

g x f x g x g x ±⋅、、 （g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．

如多项式函数0

()n

k n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos x

x x

=

在其定义区间内连续．

二、反函数的连续性

定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．

从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．

如sin y x =在[,]22

ππ

-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．

三、复合函数的连续性

由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理． 定理3 设函数[()]y f x ϕ=是由函数(),()y f u u x ϕ==复合而成的复合函数，

0()f g U x D ⊆．如果()u x ϕ=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ϕ=处连续，则

[()]y f x ϕ=在点0x 处连续．

推论 若在某极限过程有lim ()x ϕ=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续， 则

lim [()]f x ϕ=f （A ）

， 即 lim [()][lim ()]f x f x ϕϕ= 例1 求1

limsin(1)x

x x

→∞

+．

解 1

1lim sin(1)sin lim(1)sin e x

x x x x

x →∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭

．

例2 试证0ln(1)

lim

1x x x

→+=．

证 因为ln y u =(u ＞0)连续, 故

1

00ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x →→+=+100ln(1)

lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→⎡⎤+==+=⎢⎥⎣⎦

． 由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]

()

()g x f x 的极限问题． 幂指函数的定义域

要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()

()g x f x 也是连续函数．在

求[]

()

lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:

(1) 如果0

lim ()x x f x →=A ＞0, 0lim ()x x g x →=B ,则[]

()

lim ()g x x x f x →=A B ．

(2) 如果0

lim ()x x f x →=1, 0lim ()x x g x →=∞,则[]

()

lim ()g x x x f x →=[]0

lim ()1()

e

x x f x g x →-.

(3) 如果0

lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0lim ()x x g x →=±∞,则[]

()

lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接

求得．

例如，0

lim ()x x f x →=A ＞1，0lim ()x x g x →=+∞，则[]

()

lim ()g x x x f x →=+∞． 又如,0

lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0lim ()x x g x →=+∞,则[]

()

lim ()g x x x f x →=0．

上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程仍然成立．

例3 求10

sin 2lim x

x x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭

．

解 因为10

0sin 2lim 2,lim(1)1x

x x x x x +→→⎛⎫

=+= ⎪⎝⎭, 所以 110

sin 2lim 22x

x x x +→⎛⎫

== ⎪⎝⎭

．