圆周角和圆心角
圆周角和圆心角的定理
圆周角和圆心角的定理圆周角和圆心角的定理，听起来有点高深莫测，其实也没那么复杂。
想象一下，你在公园里散步，看到一个大圆形的花坛，花坛有棵树。
树的影子就像个小圆心，而你和花坛边缘的距离就形成了一个大圆。
圆心角就是从树的影子到花坛边缘的角度，圆周角呢，就是你站在花坛边上，看着树的影子和花坛另一边的角度。
这个小故事其实就能说明，圆心角和圆周角之间的关系。
圆心角是指从圆心出发，指向圆周上两点的角度。
嘿，这就好比你从花坛中心看着两个花朵，瞧，那两朵花的方向和它们之间的距离就构成了一个圆心角。
然后，圆周角就有点意思了，站在圆周上看向同样的两朵花，形成的角度就是圆周角。
这里面有个小秘密哦，圆心角的大小恰好是圆周角的两倍。
是不是有点儿像“家有一老如有一宝”的道理？这个关系让人觉得很亲切，不是吗？说到这里，很多人可能会想，这样的理论有什么用呢？嘿，别小看这玩意儿。
圆周角和圆心角在我们的生活中其实到处可见。
比如，你在玩转盘游戏，那个转盘就是个大圆。
你转动的时候，转盘的某一部分会被划分成一个个区域，转动的角度就是个圆心角，而转盘上的箭头指向的每个区域的角度，就是圆周角。
想想看，玩得不亦乐乎的时候，这些角度就在你身边悄悄发挥着作用。
再说了，几何图形的美，圆形就是其中之一。
它是最对称的，最完美的。
有时候在学校，老师拿出圆规，跟你讲解如何画圆，那种感觉就像是打开了一扇新世界的大门。
你会发现，几何学里藏着无数有趣的秘密。
你可以用这些知识去解锁一些谜题，或者在生活中解决实际问题。
嘿，这就是圆周角和圆心角的魅力所在。
不仅如此，想象一下，当你在街上骑自行车，转弯的时候，其实你也在无形中用到了这些知识。
你身体的转动角度和车轮转动的角度，恰恰就是那圆心角和圆周角在发挥作用。
你骑得越顺，转弯的感觉就越流畅，嘿，真是一种乐趣！还有一个值得一提的例子是，航海中的导航。
船长们利用这些几何知识，计算出正确的航向，以确保船只不会迷失方向。
海上可是一片茫茫大海，圆心角和圆周角帮助他们保持在正确的航道上，真是了不起的智慧啊。
第16讲 圆心角、圆周角定理
OABC第16讲 圆（二）知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是AB所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BACODC B ACA EFDO B例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠B例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5、如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ）A ．AB =2CD B ．AB >CDC ．AB <2CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）．A ．AB=ACB ．AB=2AC C ．AB<2ACD ．AB>2ACOBA(5) 4．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A ．140° B ．110° C ．120° D ．130°OB2143OB(1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠26．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123D ．5二、填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于 4．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BC21EDOBCOBACED(4) (5) (6)OA CDO BP 5．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，∠A=•60°，则⊙O•半径为_______．三、解答题1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． （1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？OBAC D N M2．如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=65°，求BE 的度数和EF 的度数．BACEDF3.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？4．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．HGIOEDABCF30°B ANOMP OBACy xM5．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB 为⊙C 直径．（2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222.已知在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E,F 为BA 延长线上一点，连接EF,以EF 为直径的⊙O 经过点D,与CD 边交于点G.(1)求∠FDE; (2)判断四边形ACDF 是什么四边形，说明理由（3）若G 为CD 中点，①求证：FD=FI ②设AC =2m ，BD =2n ，求⊙O 的面积与菱形ABCD 的面积之比．ODBAC 课后巩固：1.如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°2.如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
圆周角圆心角定义
圆周角圆心角定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠圆周角和圆心角。
你说这俩家伙像不像一对欢喜冤家呀！
咱先说说圆心角，它呀，就像是圆心这个“老大”派出的代表，那可是正儿八经地对着圆心呢！它的两条边就像是圆心伸出来的两只胳膊，大大方方地拥抱住了一段弧。
这圆心角的度数那可是明明白白的，多直接呀！
再看看圆周角，它可就调皮多啦！它呀，就像是在圆这个大舞台上到处乱窜的小精灵，随便找个地方就站住脚啦。
它的顶点在圆上，两边和圆相交，嘿，就这么独特！
你想想看，一个圆里那得有多少个圆周角呀，就跟一群小猴子似的，到处都是。
可别小瞧了这些圆周角，它们和圆心角之间可有奇妙的关系呢！就好像它们之间有着一种神秘的联系，等着我们去发现。
比如说，在同一个圆里，同一条弧所对的圆周角那可都是相等的哦！这就好比一群小伙伴，面对同一件事情都有着相同的反应。
而且呀，圆周角的度数还等于它所对弧上的圆心角度数的一半呢！这就好像圆周角是圆心角的小跟班，但又有着自己独特的地位。
咱再来打个比方，圆心角就像是舞台上的主角，光芒万丈，而圆周角呢，就是那些配角，但没有配角的衬托，主角也没法那么耀眼呀，对吧？它们相互配合，才能让这个圆的世界变得更加精彩有趣呢！
你说要是没有圆周角，这圆得多单调呀！只有圆心角在那孤孤单单地展示。
而有了圆周角，就好像给圆注入了无限的活力和生机。
所以呀，圆周角和圆心角这对“活宝”，在圆的世界里可是缺一不可呢！它们共同构成了圆的丰富多彩，让我们在数学的海洋里尽情遨游，去探索它们的奥秘，去感受它们带来的乐趣。
这就是圆周角和圆心角，它们是不是很有意思呀？。
同弧所对的圆周角和圆心角关系
同弧所对的圆周角和圆心角关系好吧，咱们今天聊聊同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系。
听上去有点高大上的样子，但其实这玩意儿简单得很。
想象一下，圆就像一个大大的披萨，真的是好吃得让人流口水。
每个角就像披萨上的不同切片，切得好，大家都能享受。
而这个同弧，简单来说，就是同一块披萨上，两种不同的切法。
圆心角就像披萨的中心，指向那些食材的地方。
而圆周角嘛，就像披萨边上的小朋友，偷偷瞄着那些食材。
你看，虽然位置不同，但其实大家都在关注同一个东西。
是不是有点意思？我们再来深挖一下这两位主角的性格。
圆心角，哈哈，绝对是个主场掌控者。
它在圆心那里，权威得不得了。
这个角的大小跟所夹的弧成正比，越大的弧，它的角就越大，真是个显摆的家伙。
就像一个站在舞台的明星，所有的光都洒在它身上。
然后是圆周角，嘿嘿，它的日子也不差。
它就像个听众，坐在一边，听着圆心角的故事。
它的大小，嘿，你猜猜，竟然只跟那段弧的大小有关，和圆心的位置半毛钱关系都没有。
简直是个低调的王者，真让人羡慕。
说到这里，咱们再聊聊这两个角的具体关系。
圆心角和圆周角之间，有个黄金比例哦。
圆心角的大小是圆周角的两倍。
就像一对双胞胎，虽然一个高一个矮，但却是同一个基因。
有人可能会说，这么简单的关系，谁不会啊？可你可别小看这玩意儿，生活中可是常常用得着。
比如在设计一个花坛，或者在绘制地图的时候，这些角的关系可是相当重要的。
得好好把握住。
再说说这个同弧的意思吧。
想象一下，你跟朋友一起分享一块披萨，你吃一口，朋友也来一口。
虽然你们的位置不同，但依然是在分享同一个口味。
也就是说，不论你坐在哪个地方，所看到的都是同一块圆的风景。
没错，这就是同弧带来的乐趣。
数学里常常有这种奇妙的现象，角的关系往往让人惊讶。
就像在生活中，你可能没想到，原来身边的人和事也有着千丝万缕的联系。
还有一个有趣的现象就是，咱们在学习的时候，常常会遇到这种巧妙的关系。
记得我第一次听到这个知识点的时候，简直是惊呆了。
圆心角和圆周角的综合应用
圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库 一．同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。
(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC于点E ，连结DC ，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角 1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ） A.25º B.29º C.30º D.32°3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。
圆周角和圆心角的区分
圆周角和圆心角的区分?
疑点：圆周角和圆心角的区别与联系有哪些?
解析：圆心角：圆心角的顶点在圆心上。
如下图：∠AOB 是弧AB所对的圆心角。
圆周角：圆周角的顶点在圆上。
如下图：∠ACB是弧AB所对的圆周角。
注意：一条弧所对的圆心角只有一个，一条弧所对的圆周角却有无数个，但是它们的大小都相等。
重要结论： 1、同一条弧所对的圆心角等于圆周角的两倍。
如上图，圆心角∠AOB、圆周角∠ACB 是同一段弧AB所对的两个角，此时有：∠AOB=2∠ACB。
2、同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90°。
如下图：
图1中：∠AB1C和∠AB2C都是弧AC所对的圆周角，此时有：∠AB1C=∠AB2C;
图2中：∠AB1C和∠AB2C均是直径AC所对的圆周角，此时有：∠AB1C=∠AB2C=90°;
结论：圆心角的顶点是圆心，圆周角的顶点在圆上。
同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
索罗学院整理。
九年级数学圆周角与圆心角的关系
解决几何作图题
在数学竞赛中，利用圆周 角定理可以解决一些几何 作图题。
05
练习与思考
基础练习题
1、题目
已知⊙O的半径为5cm，圆心角 ∠AOB = 100°，则弦AB的长为
_______．
2、题目
已知$angle AOB = 60^{circ}$， 点$P$是$OB$上一点，$OP =
5$，则以点$P$为圆心，与 $OA$相切的圆中最小的半径为
学习目标
理解圆周角和圆心角 的定义及性质。
能够运用圆周角与圆 心角的关系解决实际 问题。
掌握圆周角与圆心角 之间的定理及其证明。
02
圆周角与圆心角的基本概 念
圆周角的定义
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫 做圆周角。
圆周角等于它所夹弧所对的圆心角的 一半。
圆心角的定义
顶点在圆心上，两边都和圆相交的角叫做圆心角。 圆心角等于的半径
利用圆周角定理，可以确定一个点在 圆上的位置。
通过圆周角定理，可以计算出圆的半 径。
绘制圆的切线
利用圆周角定理，可以绘制出圆的切 线。
在数学竞赛中的应用
解决几何证明题
在数学竞赛中，利用圆周 角定理可以证明一些几何 命题。
解决几何计算题
通过圆周角定理，可以解 决一些几何计算题，例如 计算角度或长度。
证明过程还可以通过其他方法，如利用相似三角形来证明。
定理的应用示例
应用示例1
证明两个圆周角相等。如果两个 圆周角所对的弧相等，那么这两 个圆周角相等，这是圆周角定理
的一个直接应用。
应用示例2
计算圆心角的大小。已知一个圆周 角的大小，可以利用圆周角定理计 算出它所对的圆心角的大小。
应用示例3
初中数学知识点精讲精析 圆周角和圆心角的关系
3·3圆周角和圆心角的关系1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．1.已知：⊙O 中，所对的圆周角是∠ABC ，圆心角是∠AOC ．求证：∠ABC ＝12AOC ． 【解析】证明：∠AOC 是△ABO 的外角，∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO ．∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∴∠AOC ＝2∠ABO ．即∠ABC ＝12∠AOC ．如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD)，即∠ABC ＝12∠AOC ．在图(2)中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有 ∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ．∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ，的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论.【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，.BDCABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.B【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC . ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。
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圆周角
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圆周角概念
圆周角角度及其推论
圆周角推理
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圆周角概念
概念：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角(angle in a circular segment)。
圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交。
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圆周角角度及其推论
①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等
④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑥圆心角所对的圆周角，当角的顶点在这个角所对的劣弧上时，解答就需要分情况证明，此时的圆周角不为圆心角的一半
圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想,3种,半径相等)
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圆周角推理
圆周角推论1: 半圆(弧)和直径所对圆周角是90°.
90°圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90°圆周角,作其所对弦,即直径.)
圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.
命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与
点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C
(图略,证明:三角形一外角等于不相邻两内角和.)
命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差.
顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.
(图略,证明略)
例题
例7. 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC、AD为弦，且AD平分∠BAC，若AB=10，AC= 6，
求AD的长.
解：连结BD并延长交AC的延长线于点E，连结BC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
∴BC⊥AE，AD⊥BE
又∵AD平分∠BAC
∴AE=AB，DE=BD
∵AB= 10，AC= 6
∴CE= AE-AC= 4 ，
在Rt△ABC中BC=8
在Rt△BCE中，BE=4√5
∴BD=2√5
在Rt△ABD中，
∴AD= 4√5
圆心角
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数学术语
1概述
2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
3圆心角与圆周角的关系
圆心角
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数学术语
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1概述
顶点在圆心的角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角α的取值范围是-360°<α<360°，即α∈[-2π, 2π]
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2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
理解：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．
（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
（4）圆心角最大为360°.
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3圆心角与圆周角的关系
条件：在同圆或等圆中。
定理：在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。