(人教版)八年级数学下册16.3 第2课时 二次根式的混合运算教案
第2课时 二次根式的混合运算
1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)
2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)
一、情境导入
如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？
毛毛是这样算的：
梯形的面积：1
2(22＋43)×6＝(2
＋23)×6＝2×6＋23×6
＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．
他的做法正确吗？ 二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算
计算： (1)12
223
×9145
÷35
； (2)⎝
⎛⎭⎫312－2
13＋48÷
23＋⎝
⎛⎭
⎫132
；
(3)2－(3＋2)÷3.
解析：先把各二次根式化为最简二次根
式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．
解：(1)原式＝1
2×9×
83×145×53＝1
2
×9×229
＝2；
(2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝
2833×123＋13＝143＋1
3
＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷1
3
＝2－3＋23
＝2－1－23
3.
方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算
计算：
(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝
⎛⎭
⎫6－
1
332－3424×(－26)．
解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．
解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－
218)＝2－9＋62＝－7＋62；
(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；
(3)原式＝⎝
⎛⎭
⎫
6－
66－326×(－26)＝－2
3
6×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，
整式乘法的运算律同样适用．
探究点三：二次根式混合运算的综合运用
【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型
对于任意的正数m 、n 定义运算※
为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），
m ＋n （m <n ）.
计算
(3※2)×(8※12)的结果为( )
A ．2－46
B ．2
C ．25
D ．20
解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)
＝2.故选B.
方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．
【类型二】 二次根式运算的拓展应用
请阅读以下材料，并完成相应的
任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，
被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第
n
个数可以用
1
5
⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n
表示(其中，
n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．
解：第1个数，当n ＝1时，
1
5
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n
＝15[1＋52－1－52]＝
1
5
×5＝1； 第2个数，当n ＝2时，
1
5⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n
＝15⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝
15
⎝
⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－
52⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋52－1－52＝15
×1×5＝1.
方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
三、板书设计
1．二次根式的四则运算
先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
2．运用乘法公式和运算律进行计算
在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．
本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
人教版数学八年级(下)教案设计：16.3.2二次根式的混合运算
3、结果要化为最简二次根式
作业布置：《长江全能学案》
三、难点释疑 拓展延伸
同学们，我们以前学过完全平方公式 ，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ ）2，5=（ ）2，下（1）；
（2）你会算 吗？
四、反思小结 当堂测评
反思小结：
1、混合运算的运算顺序；
初备人： 审核人：八年级数学组 编写时间：2019-3-5
总课题
第十六章二次根式
总课时
7
第三节二次根式的加减
课题
16.3.2二次根式的混合运算
学习目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
重难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
学法指导
学习过程
学 习 内 容
二次备课
课前准备及预习：
一、激趣导入，呈现目标
1、复习：计算：
（1） · · （2） （3）
2、呈现目标：
二、自学探究，交流展示
合作交流（小组互助）
1、探究计算：
（1）（ ）× （2）
2、探究计算：
（1） （2）
计算： （1） （2）
（3） （4）（ - ）（- - ）
人教版八年级数学下册16.3 第2课时 二次根式的混合运算 教案
第2课时 二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点) 一、情境导入 如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？ 二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3. 解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算： (1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为()A．2－46B．2C．25 D．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1；第2个数，当n＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
人教版数学八年级下册16.3第2课时《 二次根式的混合运算》教学设计
人教版数学八年级下册16.3第2课时《二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3第2课时《二次根式的混合运算》主要介绍了二次根式的混合运算，包括加减乘除和乘方。
这一节内容是学生学习二次根式的重要部分，也是后续学习更高阶数学的基础。
教材通过具体的例题和练习，帮助学生掌握二次根式的混合运算规则，提高他们的数学运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的基本概念和性质，能够进行简单的二次根式运算。
但是，对于复杂的混合运算，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例题和练习，引导学生理解和掌握二次根式的混合运算规则，提高他们的运算能力。
三. 教学目标1.理解二次根式的混合运算规则，能够正确进行二次根式的加减乘除和乘方运算。
2.提高学生的数学运算能力，培养他们的逻辑思维能力。
3.通过对二次根式混合运算的学习，激发学生对数学的兴趣和热情。
四. 教学重难点1.二次根式的混合运算规则的理解和运用。
2.复杂二次根式混合运算的解决方法。
五. 教学方法1.采用讲解法，教师通过讲解二次根式的混合运算规则，引导学生理解和掌握。
2.采用示例法，教师通过具体的例题，演示二次根式混合运算的解题过程，帮助学生理解和掌握。
3.采用练习法，教师布置相应的练习题，学生通过练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教师准备相关的教学PPT，包括二次根式的混合运算规则的讲解，例题的演示，以及练习题的布置。
2.学生准备笔记本，用于记录所学知识和做练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次根式的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现二次根式的混合运算规则，讲解并引导学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）教师通过PPT展示具体的例题，引导学生跟随解题，并解释解题思路和步骤。
4.巩固（10分钟）教师布置相应的练习题，学生独立完成，教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
人教版数学八下 16.3.2 二次根式的混合运算 教案
16.3.2 二次根式的混合运算学习目标1、使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用.2、会利用乘法公式进行二次根式的乘法运算及分母有理化.3、培养学生进行类比的学习思想和理解运算律、乘法公式的广泛意义.4、激发学生的求知欲和提高学生的运算能力.教学重难点教学重点：二次根式的乘除,乘方等运算规律.教学难点：利用乘法公式进行计算及分母有理化.教学过程旧知回顾：1.计算：(1)(3x2＋2x＋2)·4x＝12x3＋8x2＋8x；(2)(2x2y＋3xy2)÷xy＝2x＋3y.2.简便计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)＝4x2－9y2；(2)(2x＋1)＋(2x－1)2＝8x2＋2.探究新知复习引入请大家跟着老师一起回忆一下前面学到的知识:1、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb2、多项式与单项式的除法法则是什么?(ma+mb+mc)÷m=a+b+c3、思考若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？知识归纳1、对于实数我们学过哪些运算定律？分别用式子表示出来.(1)加法交换律：a+b=b+a ；(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；(3)乘法交换律：ab=ba ；(4)乘法结合律：(ab)c=(ac)b ；(5)乘法对加法的分配律：(a+b)c=ac+bc.1、单项式乘以多项式的法则是什么？(a+b)c=ac+bc ；多项式乘以多项式的法则是什么？(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.2、二次根式的加减法怎样计算？乘除法怎样计算？(口述)(1)加减法：先化简每一个二次根式，再把被开数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变.(2)乘除法：利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质. a ⨯b =ab (a≥0.，b≥0)a b =a b (a>0，b≥0)1、以前我们学过哪些乘法公式？平方差公式ba b a b a 22))((-=-+ 完全平方公式b a b a ab 2222)(+±=±课堂检测1、教材P147例3分析：(1)小题类似单项式乘以多项式，应用分配律后，先做乘法，再做减法，按法则进行，注意化简二次根式；(2)小题类似多项式乘以多项式，利用多项式的乘法法则进行计算.解：(1)2836⨯-）（32323322832628326=-=⨯-⨯=⨯-⨯=(2)()()2-1232+ 242322622323222223-2322-2+-=+--=⨯-+-=⨯+=2、已知a ＝2＋3,b ＝2－3,则1a ＋1b ＝4.3、计算(2＋3)2 016·(2－3)2 0154、计算： ()()2737315225+--+-+ 解：原式=()272731--++-=2472732+-++- =275-。
新人教版初中八年级数学下册16.3 第2课时 二次根式的混合运算公开课优质课教学设计
第2课时二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm，43cm，高为6cm，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62 (cm2)．他的做法正确吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35；(2)⎝⎛⎭⎪⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎪⎫132；(3)2－(3＋2)÷ 3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫63－23＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5；(3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算： (1)(2＋3－6)(2－3＋6)；(2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－46B ．2C ．2 5D ．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1；第2个数，当n＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
新人教版初中数学八年级下册16.3第2课时二次根式的混合运算公开课优质课教学设计
1第2课时 二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】 二次根式的四则运算计算： (1)12223×9145÷35； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎪⎫132； (3)2－(3＋2)÷ 3. 解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5；(3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)；(2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎪⎫6－1332－3424×(－26)． 解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行2计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8.方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－4 6B ．2C ．2 5D ．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】 二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1；第2个数，当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.3。
人教版八年级数学下册教案 16-3 第2课时 二次根式的混合运算
第2课时二次根式的混合运算教学目标【知识与技能】1.使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用;2.会类比整式的乘法、乘法公式等进行二次根式的加、减、乘、除混合运算;3.能正确进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.【过程与方法】经历探究二次根式的加、减、乘、除混合运算的过程,能够用类比的方法,用整式的乘法法则和乘法公式,进行二次根式的计算.【情感、态度与价值观】通过二次根式的加、减、乘、除混合运算解决生活中的实际问题,体会数学知识的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】二次根式的加、减、乘、除混合运算.【教学难点】二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学过程一、复习导入1.对于实数我们学过哪些运算律?2.计算:(1)(3a+b)·ac;(2)(2m2n3+3m3n2)÷m2n2;(3)(3x+y)(3x-y);(4)(x+2)2+(x-2)2.3.二次根式的乘除法怎么计算?加减法怎么计算?二、合作探究探究点二次根式的混合运算典例1计算:(1)(√8+√3)×√6;(2)(4√2-3√6)÷2√2;(3)(√2+3)(√2-5);(4)(√5+√3)(√5−√3).[解析](1)(√8+√3)×√6=√8×√6+√3×√6=√48+√18=4√3+3√2.(2)(4√2-3√6)÷2√2=4√2÷2√2-3√6÷2√2=2-3√3.2(3)(√2+3)(√2-5)=(√2)2-5√2+3√2-15=2-2√2-15=-13-2√2.(4)(√5+√3)(√5−√3)=(√5)2-(√3)2=5-3=2.【技巧点拨】二次根式的混合运算,可以类比于整式的混合运算,如单项式乘以单项式、多项式乘以多项式,也可以使用运算律简化计算,在类似的多项式乘以多项式中,能用乘法公式也可以运用乘法公式,使运算变得简便.三、板书设计二次根式的混合运算1.运算顺序与实数的运算顺序一致2.可类比于整式的混合运算3.类似于多项式的乘法,可用乘法公式简化计算教学反思二次根式的加减乘除混合运算,除去应用二次根式的四个运算法则外,还用到了二次根式的性质、整式的乘法、完全平方公式和平方差公式等,讲授新知识前复习相关的知识很有必要,使学生用到这些知识时,可以信手拈来,不感到突兀.二次根式的混合运算先算乘除,再算加减,有括号先算括号里面的.在进行二次根式的加减时,先将二次根式化为最简二次根式,然后将被开方数相同的最简二次根式进行合并.合并二次根式时,要注意系数及其符号.二次根式的结果一定要化成最简二次根式,整式运算的运算律和整式乘法公式在二次根式的运算中仍然适用,这些在课堂上都应当进行强调.。
人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案设计
16.3二次根式的混合运算
（一）教学目标
知识与技能目标：
1.能根据运算律和法则进行二次根式的四则运算.
2.会说出二次根式四则运算的依据并用这些依据评估运算的正确性．
过程与方法目标：
通过类比的方法学习二次根式的加、减、乘、除混合运算，体会数学研究方法多样性．情感态度与价值观：独立思考、合作探究，培养科学的思维方法．
教学重点：综合运用运算法则和运算律进行二次根式的运算．
教学难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用.
（二）教学过程。
人教版八年级下册数学16.3二次根式的加减教案
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过二次根式加减法则的推导与应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑思维和推理能力。
2.提升数学运算能力：使学生掌握二次根式的加减运算方法，培养他们准确、迅速地进行数学计算的能力。
3.增强数学抽象素养：引导学生从实际问题中抽象出二次根式加减的数学模型，培养学生运用数学语言表达现实问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调合并同类项和化简二次根式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如如何将$\sqrt{8}$化简为$2\sqrt{2}$。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题，如计算两个物品的长度的和或差。
-在进行二次根式加减运算时，对于含有不同根号的表达式，不知道如何将其转换为同类项；
-难以理解二次根式的乘除运算与加减运算之间的关系，例如$\sqrt{ab} \neq \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$；
-对于复杂的二次根式加减问题，不知道如何选择合适的策略进行求解。
-教学策略：
-通过对比不同类型的二次根式，引导学生发现合并同类项的规律；
此外，小组讨论的环节学生们表现得非常积极，他们能够提出自己的观点，并与小组成员进行交流。这说明学生们在合作学习中能够更好地理解和掌握知识。今后，我会继续增加这种形式的教学活动，让学生在互动交流中提高自己的数学素养。
人教版八年级数学下册教案-16.3二次根式的加减
-实验操作：指导学生进行简单的二次根式加减计算；
-分组讨论：学生分成小组，讨论解决实际问题时如何应用二次根式加减。
4.学生小组讨论（10分钟）
-主题：围绕“二次根式在实际生活中的应用”展开讨论；
-引导与启发：提出问题，引导学生思考，激发他们的想象力。
5.成果展示（5分钟）
-每个小组选派一名代表分享讨论成果；
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过对二次根式性质的探究，理解并掌握二次根式的加减法则；
2.培养学生数学运算能力，能够熟练运用二次根式加减法则进行混合运算；
3.培养学生数学抽象能力，从实际问题中抽象出二次根式加减的数学模型，提升解决实际问题的能力；
4.培养学生合作交流能力，通过小组讨论、问题探究等形式，提高学生团队协作和沟通表达能力。
(2)指导学生在混合运算中如何识别同类二次根式，如√18 + √50，化简后为3√2 + 5√2，进而合并为8√2；
(3)通过设计不同类型的实际应用题，帮助学生克服在具体问题中应用二次根式加减法则的困难，例如在几何图形面积计算中，如何将不同长度的边转化为同类二次根式进行计算。
直接输出：
三、教学流程
1.导入新课（5分钟）
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握二次根式的定义及性质，特别是二次根式乘除法的运算规律；
-熟练运用二次根式的加减法则进行计算，并能解决相关问题；
-能够将实际问题抽象为二次根式加减的数学模型。
举例解释：
(1)重点讲解二次根式乘除法的运算规律，如√a × √b = √(ab)等，并通过例题演示；
(2)强调二次根式加减法则，如√a + √b ≠ √(a+b)，通过具体计算题指导学生正确运用；