2014全国大纲高考数学(文科)

2014高考大纲（文）

一、选择题

1．设集合M ＝{1，2，4，6，8}，N ＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．已知角α的终边经过点(-4，3)，则cos α＝( ) A.

45 B. 35 C. -35 D. -45

3．不等式组(2)0

1

x x x +>??

A. {21}x x -<<-

B. {10}x x -<<

C. {01}x x <<

D. {1}x x > 4．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )

A.

16 B. 6 C. 13 D. 3

5．函数y 1)(1x >-)的反函数是( )

A. 3(1)(1)x y e x =->-

B. 3(1)(1)x y e x =->-

C. 3(1)()x y e x R =-∈

D. 3(1)()x y e x R =-∈. 6．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a -b )·b ＝( )

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2

7．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 ( )

A ．60种

B ．70种

C ．75种

D ．150种 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )

A ．31

B ．32

C ．63

D ．64

9．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交

C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )

A.

22132x y += B. 22

13x y += C. 221128x y += D. 221124

x y += 10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积

为( ) A.

814

π B. 16π C. 9π D. 274π

11．双曲线C:22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2

C 的

焦距等于( )

A. 2

B.

12．奇函数()f x 的定义域为R . 若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8

)(9)f f +＝( )

A ．-2

B ．-1

C ．0

D ．1

二、填空题．

13．6(2)x - 的展开式中3

x 的系数为________．(用数字作答) 14．函数 22y cos x sinx ＝＋的最大值为________．

15．设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -≥??

+≤??-≤?

则4z x y ＝＋的最大值为________．

16． 直线1l 和2l 是圆222=+y x 的两条切线，若1l 与2l 的交点为)3,1(，则1l 与2l 的夹角的正切值等于________． 三、解答题．

17．数列}{n a 满足11=a ，22=a ，2212+-=++n n n a a a ． （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求}{n a 的通项公式．

18．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.已知32acosC ccosA ＝，1

3

tanA ＝，求B . 19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A

在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=?，1BC =，12AC CC ==．

（1）证明：1AC ⊥1A B ；

（2）设直线1AA 与平面11BCC B

1A AB C --的大小．

20．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值． 21．函数32()33(0)f x ax x x a =++≠ （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若函数()f x 在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围．

22．已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5

||||4

QF PQ =． （1）求Q 的方程；

（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．

参考答案

一、选择题 1．B

解析: 根据题意知{}1246812356712{}{}6M N ??＝

，，，，，，，，，＝，，，所以M N ?中元素的个数是3.

考点: (1)1.1.3集合的基本运算 难度:A

备注:高频考点 2．D

解析: 由题意可知435x y r =-==，，，所以4

cos 5

x r α==-.故选D 考点:(1)4.1.2三角函数的定义 难度: A

备注:高频考点 3．C

解析: 原不等式组可化为2x>0

11

x x <-??

-<

考点: (1)7.2.1一元二次不等式的解法(2)12.3.1含绝对值不等式的解法 难度: B

备注:高频考点 4．B

解析:如图所示，取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，则EF ∥BD ，故EF 与CE 所成的角即为异面直线CE 与BD 所成的角．设正四面体的棱长为2，则CE ＝CF

EF ＝1.在△CEF 中，

cos ∠CEF

＝2222EF EC CF EF EC +-=

??，所以异面直线CE 与BD

. 考点: (1)9.3.3异面直线所成的角

难度:A

备注:高频考点 5．D

分析：1)(1y y x e =+>-+=，3

3

(1),(1)y

x

x e y e =-=-故排除A ，C ，

因为1110,x y R >->->∴∈，原函数的值域就是反函数的定义域，故选D 考点: (1)2.5.4反函数及应用 难度:A

备注:高频考点 6．B

解析: 1

(2)22102

-?=?-?=?

-=a b b a b b b 考点: (1)5.1.1平面向量的概念辨析(2)5.3.1平面向量的数量积运算 难度:A

备注:高频考点

7．C

解析: 第一步从6名男医生中选2名26C ；第二步从5名女医生中选1名15C ，则26C 15C =75 考点: (1)10.6.2分步乘法计数原理的应用(2) 组合问题 难度: B

备注:高频考点 8．C

解析:由题意，2424,,S S S S -成等比数列，则2

6-=3（153）（S -15）

?，663S =． 考点: (1)6.3.3等比数列的性质及应用(2)6.2.4等差数列的前n 项和及综合应用 难度:A

备注:高频考点 9．A

解析: 由题意知，1AF B ?的周长4a =，a ∴=，又c e a =

=，1c ∴=，22b =，故选A.

考点: (1)8.5.2椭圆的标准方程 难度:A 备注:典例 10．A

解析: 由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R ，球心为O ，

2

2

24（-）R R +

=，解得94R =

，所以球的表面积为28144

S R π

π== 考点: (1)9.2.4棱锥、棱柱的外接球与内切球问题 难度:B 备注:典例 11．C

解析: 由已知可知渐近线的斜率b k a =

=2c a =解得231c -=，所以2,24c c ==，故选C.

考点: (1)8.6.3双曲线的几何性质(2)8.2.3距离公式的应用 难度: B 备注:典例 12．D

解析: 因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又因为(2)f x -是偶函数，所以(2)(2)f x f x --=-，所以(8)(6+2)(6+2)(4)(4)f f f f f ==-=-=-，而

(4)(22)(22)(0)0f f f f =+=-+==，(8)0f =，同理(9)(72)(72)(5)f f f f =+=-+=，所以(8)(9)1f f +=，故选D ． 考点: (1)2.3.5函数性质的综合应用 难度: B

备注:高频考点 二、填空题． 13．－160

解析: 8()x y +展开式的通项为616-(0,1,,6)（2）-+==r r r

r T C x r ，令6－y =3，得y =3，

∴6)2(-x 的展开式中3x 的项为3336-（2）C x ，故系数为-160．

考点: (1)10.7.1求二项展开式的指定项或指定项系数 难度:A

备注:高频考点 14.

3

2

解析: 函数x x y sin 22cos +==221312sin +2sin =2(sin )+22x x x ---，当sin x =21

时，y 取得

最大值为

32，故填3

2

． 考点: (1)4.5.3倍角、半角公式的应用(2)2.2.4求函数的最值 难度:B

备注:高频考点 15．5 解析: 作出可行域如图：y x z 4+=，即1z

44

=-+y x ，当直线过()1,1B 时，max 145=+=z ，y x z 4+=的最大值为5．

考点: (1)7.4.1二元一次不等式（组）表示平面区域(2)7.4.2求线性目标函数的最值问题 难度:A

备注:高频考点 16.

4

3

解析:方法1:由已知条件易知过)3,1(点的切线的斜率是存在的，设切线的斜率为k ，在过)3,1(的的切线方程为3(1)y =k x --，化简得，30kx y k -+-=，则由圆心(0,0)到直线的

距离等于半径可得

7k =?=-或1k =，设两直线的夹角为θ，由两直线的夹角计算公式可得 2112174

tan |

|||1173

k k k k θ-+===+-．

方法2:由图可知，ABO 为直角三角形，AO 则AB=则tan 1

2

BAO ∠=，设两直线的夹角为θ，则2

2tan 4

tan 1tan 3

θ∠=

=-∠BAO BAO 考点: (1)8.4.2圆的切线问题(2)4.1.2三角函数的定义 (3)4.5.3倍角、半角公式的应用 难度:C

备注:高频考点 三、解答题．

17．（Ⅰ）由2122n n n a a a ++=-+，2112n n n n a a a a +++-=-+，即12n n b b +=+，又

1211b a a =-=．

所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得12(1)21n b n n =+-=-，即121n n a a n +-=-，

于是

1

1

1

()(21)n

n

k k k k a

a k +==-=-∑∑．

所以211n a a n +-=，即211n a n a +=+，又11=a 所以}{n a 的通项公式222n a n n =-+． 考点: (1)6.2.1等差数列的判定或证明(2)6.1.2已知数列的递推公式求通项公式 难度:B

备注:高频考点 18．0

135

解析: 由题设和正弦定理得：3sin cos 2sin cos A C C A =，故3tan cos 2sin A C C =，

因为1tan 3A =，所以cos 2sin C C =，1

tan 2

C =，

所以tan tan tan tan[180()]tan()1tan tan 1

A C

B B

C B C A C -=?-+=-+=

=--即135B =?．

考点: (1)4.6.1利用正弦定理求解三角形(2)4.2.2三角函数的诱导公式的应用(3)4.5.2两角和与差的公式的应用 难度:B

备注:高频考点

19．(1)详见解析(2) 4

1arccos

解析: 解法1：（Ⅰ）因为1A D ⊥平面ABC ，?D A 1平面C C AA 11，故平面C C AA 11⊥平面

ABC ．

又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面C C AA 11． 连结C A 1，因为侧面C C AA 11为菱形，故C A AC 11⊥，

由三垂线定理得B A AC 11⊥．

（Ⅱ）⊥BC 平面C C AA 11，?BC 平面11B BCC ，故平面⊥C C AA 11平面11B BCC ．

作11CC E A ⊥，E 为垂足，则⊥E A 1平面11B BCC ． 又直线//1AA 平面11B BCC ，因而E A 1为直线1AA 与 平面11B BCC 的距离，31=E A ．

因为C A 1为1ACC ∠的平分线，故311==E A D A ．

作AB DF ⊥，F 为垂足，连结F A 1，由三垂线定理得AB F A ⊥1． 故FD A 1∠为二面角C AB A --1的平面角． 由122

1=-=

AD AA AD 得D 为AC 中点，

5

5

21=??=

AB BC AC DF ，15tan 11==∠DF D A FD A ．

所以二面角C AB A --1的大小为15arctan ．

A

B

C D F

E

A 1

B 1

C 1

解法2：

以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，由题设知D A 1与z 轴平行，x 轴在平面C C AA 11内． （Ⅰ）设()c a A ,0,1，由题设有2≤a ，()0,0,2A ，()0,1,0B ，则

()0,1,2-=AB ，()0,0,2-=AC ，()c a AA ,0,21-=． ()c a AA AC ,0,411-=+=，()c a BA ,1

,1-=． 由2||1=得

()222

2=+-c a ，即0422=+-c a a ． ①

于是042211=+-=?c a a AC ，所以B A

AC 11⊥． （Ⅱ）设平面11B BCC 的法向量()z y x m ,,=，则CB m ⊥，1BB m ⊥，即0=?CB m ，

01=?BB m ．

因()0,1,0=，()c a AA BB ,0,211-==，故0=y ，且()02=+-cz x a ． 令c x =，则a z -=2，()a c -=2,0,，点A 到平面11B BCC 的距离为

()

c a c c m =-+=

=

>

2

22|

||,cos |||．

又依题设，A 到平面11B BCC 的距离为3，所以3=

c ．

代入①解得3=a （舍去）或1=a ． 于是()

3,0,1

1-=． 设平面1ABA 的法向量()r q p ,,=，则1AA ⊥，⊥，即01=?AA ，

0=?．

03=+-r p ，且02=+-q p ，令3=p ，则32=q ，1=r ，()1,32,3=

．

又()1,0,0=p 为平面ABC 的法向量，故

4

1

|

|||,cos =

>=

1

arccos

． 考点: (1)9.5.3线面、面面垂直的综合应用(2)9.8.3求二面角 难度:C

备注:高频考点 20．(1) 0.31 (2) 3

解析：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．

D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．

E 表示事件：同一工作日4人需使用设备．

F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k . （Ⅰ）122D A B C A B A B C =??+?+??，

()0.6P B =，()0.4P C =，()220.5i

i P A C =?，0,1,2i =，

所以()()

122P D P A B C A B A B C =??+?+?? ()()()

122P A B C P A B P A B C =??+?+??

()()()()()()()

()1220.31P A P B P C P A P B P A P B P C =++=． （II ）由（I ）知，若2k =，则()0.310.1P F =>．

又2E B C A =??，()()()()()220.06P E P B C A P B P C P A =??==． 若3k =，则()0.060.1P F =<．

所以k 的最小值为3． 考点: (1)10.9.2相互独立事件的概率(2)10.4.3互斥事件的概率 难度:B

备注:高频考点

21．(1) 详见解析 (2) 5

[,0)(0,).4

-

+∞ 解析：（1）2

()363,f x ax x '=++()0f x '=的判别式36(1)a ?=-

（ⅰ）若1,a ≥则()0,f x '≥且()0f x '=当且仅当1, 1.a x ==-故此时()f x 在R 上是增函数

（ⅱ）由于0a ≠，故当1a <时，()0f x '=有两个根：

12x x =

=

若01,a <<则当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时()0,f x '> 故()f x 分别在2(,),x -∞1(,)x +∞是增函数；

当21(,)x x x ∈时()0,f x '<故()f x 在21(,)x x 是减函数； 若0,a <则当1(,)x x ∈-∞或2(,)x x ∈+∞时()0,f x '< 故()f x 分别在1(,),x -∞2(,)x +∞是减函数；

当12(,)x x x ∈时()0,f x '>故()f x 在12(,)x x 是增函数

（Ⅱ）解法1：当0,0a x >>时，2()3630,f x ax x '=++>故当0a >时，()f x 在区间(1,2)是增函数

当0a <时，()f x 在区间(1,2)是增函数当且仅当(1)0(2)0≥f f ''≥且，解得5

04

a -≤< 综上，a 的取值范围是5

[,0)(0,).4

-

+∞ 解法2：由已知得2()3630≥f x ax x '=++即2210≥ax x ++在区间(1,2)恒成立 原题等价于221

≥

x a x --在区间(1,2)恒成立()≥max a g x ?，其中2

21(),(1,2)x g x x x

--=∈ 22211

()(1)1g x x x x

=--=-++在区间(1,2)是增函数

()(2)g x g ∴<即5()4

g x <-，从而5

4≥a - 又0a ≠

综上，a 的取值范围是5

[,0)(0,).4

-+∞

考点: (1) 3.2.2导数与函数单调性

难度:C

备注:高频考点

22．(1) 2

4y x = (2) 10x y --=或10x y +-=

解析：（Ⅰ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08

x p

=

． 所以8PQ p =

，822p p p QF x p

=+=+． 由题设得

858

24p p p

+=?．解得2p =-或2p =． 所以C 的方程为24y x =． （Ⅱ）解法1：

依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1x my =+（0m ≠）． 代入24y x =得2440y my --=．

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-．

故AB 的中点为2(21,2)D m m +．214(1)AB y m =-=+． 又'l 的斜率为m -，所以'l 的方程为21

23x y m m

=-++． 将上式代入24y x =，并整理得224

4(23)0y y m m

+

-+=． 设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344y y m

+=-，2

344(23)y y m =-+．

故MN 的中点为

2222

(23,)E m m m

++-．3MN y =-=

． 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于

1

2

AE BE MN ==

， 从而

222

1144

AB DE MN +=， 即22222

2

22

22

224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m

+++++++=． 化简得2

10m -=，解得1m =或1m =-．

所求直线l 的方程为：10x y --=或10x y +-=． 解法二：

由已知有()0,1F ，设直线l ：1+=ky x 设()11,y x A 、()22,y x B ∴111+=ky x ；122+=ky x

将直线l 的方程代入C 的方程，整理得

0442=--ky y

∴k y y 421=+；421-=y y 设AB 的中点为()00,y x D

∴12222

10+=+=

k x x x k y y y 22

2

10=+=

设直线'

l ：m y k

x +-=1

∴3212

00+=?+-=k m m y k

x

设()33,y x M 、()44,y x M ∴m y k x +-

=331；m y k

x +-=441

将直线'

l 的方程代入C 的方程，整理得

044

2=-+

m y k

y ∴k y y 4

43-=+；m y y 443-=

∵A 、M 、B 、N 四点在同一圆上 ∴NA MA ⊥且NB MB ⊥

()()()()()()0

0,,1413141314141313=-?-+-?-?=--?--?⊥x x x x y y y y x x y y x x y y NA MA ()()02

1143432

114343=++-+++-?x x x x x x y y y y y y

0224421122211=+??

?

??+-+++

-?x x m k m y y k m ()()01122442

1122211=+++??

? ??+-+++

-?ky ky m k m y y k m

()

()014

61212

21212=+--+-++?k m m y m k y k ()()

084

41412412212=--

++-+?k

k y k k y k 同理()()

021*********

22=??

? ??

--

++-+?⊥k k y k k y k NB MB ∴k y y 421=+，2

24211214k

k k y y +?

??

??--=

∴

()42422222

22142114101201011k k k k k k k k k k k ??

-- ?

????=-?-+-=?-++=?-=?=± ?+??

∴直线l 的方程为：1-=x y 或1+-=x y

考点: (1) 8.7.2抛物线的标准方程(2) 8.7.3直线与抛物线的位置关系 难度:C

备注:高频考点