人教版高中数学《函数的单调性与最值》全国一等奖教学设计
1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时）
教学设计
一、教学内容解析：
(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；
本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章3.1节。
函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．
函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．
函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y 也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）．
(2)教学内容的知识类型；
在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识.
(3)教学内容的上位知识与下位知识；
在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识.
(4)思维教学资源与价值观教育资源；
生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= 0.001x+1和函
数
1
y x
x
=+，能引发提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等
价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观.
二、教学目标设置：
本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。
“课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。
“课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时)
为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下：
(1)知识与技能：
理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念；
能利用图象法直观判断函数的单调性；
初步掌握利用函数单调性定义从正反两个角度分析、判断、证明函数单调性.
理解函数单调性定义蕴含的不等关系，初步掌握利用作差比较推理证明函数单调性的方法.
(2)过程与方法：
经历观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、推理论证等思维过程，提高相应的数学思维能力；
探索函数单调性的符号语言表述，体会数形结合、分类讨论、特殊与一般、无限与有限、等价转化等数学思想.
(3)情感、态度与价值观：
通过观察生活常见数据例子，感受数学的科学价值与应用价值，提高学习数学的兴趣。
通过自主学习、小组合作探究，形成独立思考、讨论争辩、合作整理的良好学习模式与氛围.
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习
惯，让学生感知从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明的认知过程，形成对后续函数性质的一般研究方法，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，树立辩证唯物主义世界观.
三、学生学情分析：
(1)学生已有基础：
认知基础：从学生知识最近发展区来看。他们在初中已经接触过函数的单调性，不过那时没有提函数的单调性，而是用体现变量之间依赖关系的文字语言“y 随x的增大而增大，y随x的增大而减小”来描述，符合学生的认知规律，同时一次函数、二次函数的图象直观地体现了函数的这一性质.能理解不等关系，理解a ＞b可以等价转化为a－b＞0, a＜b可以等价转化为a－b＜0.
非认知基础：通过小学、初中和高中阶段集合与函数概念的学习，学生具有一定的抽象概括、类比归纳、符号表示的能力.具备相当的日常生活经验,能看懂曲线图.
(2)教学难点及难点突破：
难点1：能用不等关系对“随着”、“增大”、“减小”这种文字语言进行符号化.这个差距是从自然描述抽象概括为符号表述. 抽象能力稍强的学生可以通过同时对比函数的列表和图象，用数形结合思想，自主消除差距.如果学生抽象能力稍弱，教师可以提示“增大、减小都是体现大小比较的词汇”，启发学生用比较大小的方法抽象概括.并用“当…时，有…”来体现“随着”这种变量间的伴随关系.
难点2：能理解“任意…都…”这个句式的具体含义：
第一，不能取特定值来判别函数的单调性；这里的差异是学生要理解可以用特殊推广到一般，但不能用特殊代替一般，学生也许理解不透彻，需要教师提起注意，本课设置了辨析题1解决这个问题；
第二，正是由于取值的任意性，造就了函数的单调性的局部性。这里的差异是学生要理解如果不在同一个单调区间内取值验证，会出现不能界定单调性的矛盾.学生第一次接触这样高度概括的符号语言，这个差距多数需要教师设置有效教学环节帮助消除，本课设置了辨析题2，并采用小组合作探究的学习模式，让学生独立思考、充分讨论、正误对比来获得正确认识.
第三、用“任意”的必要性，体现化无限为有限的思想.这里的差距是学生要理解“任意”这个说法的必要性，由于是高度概括的文字语言，理解起来需要演绎推理的过程，这个差距是需要教师帮助消除的，本课通过下列问题串来解决：“师问：x1和x2是一对具有代表性的符号，它们究竟代表了多少对数值？
生答：无数对
师问：无数对还是所有对？
生答：所有对
师问：无数能代替所有吗？
生答：不能
师问：什么可以代替？
生答：可以用“任意”来代替”.
四、教学策略分析：
(1)教学材料分析；
学生在初中已经接触过函数的单调性，不过那时没有提函数的单调性，而是用体现变量之间依赖关系的文字语言描述，符合学生的认知规律，同时一次函数、二次函数的图象直观地体现了函数的这一性质.可以选择他们熟悉的一次函数、二次函数函数通过有效组织成为教学材料，在不经意中展示函数f(x)= 0.001x+1
引发不能靠图象直观判断，要靠解析式代值验证；再展示函数
1
y x
x
=+说明靠解
析式代值验证操作性很差，需要发展新知识----利用解析式快速判断单调性，这两个教学材料贴近学生实际出发，能有效引发思考，十分自然地推动了知识发展；再以二次函数f(x)= x2承担主要探究材料，组织列表和图象对比材料，驱动学生由“形”转“数”，提炼符号语言描述；组织两道辨析题，问题驱动深挖定义的内涵；组织直观判断单调性的例1以及需要用定义判断证明的例2及练习，肯定了利用函数解析式探求函数单调性的方法.
(2)教学方法分析；
本课教学内容重点是函数单调性符号语言描述的抽象概括过程，是学生遇到的抽象程度极高的符号语言，所以结合幻灯片、实物投影等多媒体技术的教学手段，选择观察发现式、问题启发式、合作讨论式的教学方法.
(3)设计“问题串”的分析：
依据的学生认知规律，从问题1至问题5以及两个思考，“问题串”的设计体现了从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明的脉络，有利于形成对后续函数性质的一般研究方法. “问题串”的设计也体现了发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，不断激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心. 通过设计快问快答的预备“小问题串”，贴切学生思维，拉升思维速度，极大地满足学生的成功感，树立了学生的自信，激发了探索欲望.
(4)缩小认知差距的分析：
通过设计探究、发现与合作交流．全程参与新知识的形成过程，及时获得评价与反馈。通过问题的合理设计激发兴趣，在师生互动、生生互动中，体验知识与方法的生成过程．形成学生主动参与，自主与合作探究的课堂气氛．为不同认知基础的学生提供相应的学习机会和适当帮助
(5)学习反馈的分析：
通过两道辨析题反馈对函数单调性定义中“任意”的理解；通过例1反馈对函数单调性相关概念的理解；通过例2的练习反馈利用函数单调性定义、作差法来判断、证明单调性的学习效果.通过课堂小结反馈学生的知识、方法、思想、学法上的收获.
五、教学过程/步骤
(一) 感知数学引入新课
观察以上图象，它们都反映了事物的哪种变化规律？
【活动】让全班观察，请若干学生发言
【设计意图】创设了生活中常见数据曲线图的例子情境，激发学生的学习兴趣.通过问题渗透函数是研究事物运动变化规律的好模型，通过两种语言的描述：“上升”“下降”和“f(x)随着x的增大而增大或减小”，完成对函数单调性概念的第一次认识．点出课题，同时获得判断单调性的直观方法----图象法.
(二) 激发冲突由形入数
问题1：观察下列函数的图象,描述函数有什么变化趋势
【活动】引导学生用文字语言描述：函数在哪个区间上，f（x）随着x的增大而增大或减小
【设计意图】从初中所学的两个熟悉的函数出发，要求用文字语言描述它们的单调性．加强定量分析的意识，完成对函数单调性概念的第二次认识．为第三个函数埋伏笔.在不经意中展示函数f(x)= 0.001x+1，经过思考回答，得到不能靠
图象直观判断，要靠解析式代值验证的结论；再展示函数
1
y x
x
=+，说明靠解析
式代值验证操作性很差，需要发展新知识----利用解析式和不等关系快速判断单调性的结论.
这两个教学材料贴近学生实际出发，能有效构造知识矛盾冲突，激发思维运转，十分自然地推动了知识发展.学生强烈感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够实用和精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．必须由“形”转“数”，由“感性”转“理性”，从函数解析式和不等关系寻找出路判断单调性.
(三) 表格过渡突破难点
问题2：如何利用函数f(x)=x2的解析式描述该函数“在区间(0, +∞)上, f(x)随着x增大而增大”.
思考在表中任取一些自变量的值，比较它们对应的函数值的大小，你能发现什么结论？
【活动】先让学生观看表格生成的动画，体会f(x)随着x增大而增大，再用自己的语言总结归纳出“当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)”这个符号表述.
【设计意图】通过同时对比函数的列表和图象，借助“数”，“形”同时呈现形成的感受,让学生更容易概括.提示“增大是体现大小比较的词汇”，启发学生用比较大小的方法抽象概括.并用“当…时，有…”来体现“随着”这种变量间的伴随关系.
【活动】教师自写结论“当x1＜x2＜x3时，有f(x1)＜f(x2) ＜f(x3)”，让全班对比前面“当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)”的结论并点评哪个好，并问理由，通过“问题串” 引出“任意…都…”句式：
“师问：x1和x2是一对具有代表性的符号，它们究竟代表了多少对数值？
生答：无数对
师问：无数对还是所有对？
生答：所有对
师问：无数能代替所有吗？
生答：不能
师问：什么可以代替？
生答：可以用“任意”来代替.”
【设计意图】突破本课难点之一：用“任意”的必要性.让学生初步理解单调性定义里的不等关系，突破了立足于大小比较的符号语言的生成这个难点之后，接着从表内联想到表外，认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量21,x x ．突破了“任意…都…”这个句式的理解难点把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,对增函数作初步理解．通过设计快问快答的预备“小问题串”，贴切学生思维，拉升思维速度，极大地满足学生的成功感，树立了学生的自信，激发了探索欲望.
问题3：能仿照这样的描述，说明函数f (x )= x 2在区间(－∞ , 0)上是减函数吗？
【活动】全班思考后齐声回答
【设计意图】激发类比思维，渗透分类整合的思想，让学生体会完善知识结构过程.
(四)规范语言 建构定义
问题4 如何用符号语言刻画函数y=f(x)在定义域I内某个区间D上是增函数（或减函数）？
【活动】师生共同整理完善增函数的概念、学生阅读教材对比、再盖上课本用自己的话复述，教师指出大声小声都可以.
【设计意图】把二次函数推广到一般函数，并把讨论区间一般化，由特殊到一般，具体到抽象，生成规范准确的符号语言，完成对概念的第三次认识．引导学生阅读教材，书读百遍其义自见，用自己的语言对比，提高语言表达能力，加深印象，巩固学习效果.
问题5：能类比增函数的定义得到减函数的定义吗？
【活动】全班类比得出减函数的定义,这次教师指出要求全部大声朗读减函数的定义.
【设计意图】类比增函数的定义得到减函数的定义，渗透类比、分类整合等数学思想. 形成由特殊到一般，由局部到整体等研究问题的一般方法.
思考利用函数解析式判断单调性时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样比较？
【设计意图】通过思考，认识函数单调性定义与不等式的关系，为证明函数单调性作铺垫.
(五)理性认识螺旋上升
例1回顾此图，根据图象写出函数的单调区间，并说说在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？
【活动】学案上写出单调区间，教师选个别成果展示，师生一起点评.
【设计意图】回顾引入的例子，体现数学的应用价值；用单调性的知识来作答，巩固新学的概念；加强函数单调性是个局部性质的意识和巩固图象观察法.
（概念辨析）辩一辩 你认为下列说法是否正确，请说明理由.
辨析1：若定义在某区间上的函数f (x )满足 f (2) > f (1),则函数 f (x )在该区间上是增函数.
【活动】请同学举手回答，用预设动画验证想法
【设计意图】突破本课难点之一：不能取特定值来判别函数的单调性. 设计意图是要学生理解可以用特殊推广到一般，但不能用特殊代替一般，学生也许理解不透彻，因此设置了辨析题1提起注意.
辨析2：若函数在区间(1,3)和区间[3,5]上都是增函数，则在区间(1,5] 上也是增函数.（小组探究活动）
【活动】先独立思考一分钟，然后全班分成若干小组合作探究，判断对错，并作图说明理由，上台展示成果，全班讨论点评.
【设计意图】突破本课难点之一：正是由于取值的任意性，造就了函数的单调性的局部性。设计意图是要学生理解如果不在同一个单调区间内取值验证，会出现不能界定单调性的矛盾.学生第一次接触这样高度概括的符号语言，需要设置辨析题2，并采用小组合作探究的学习模式，让学生独立思考、充分讨论、正误对比来获得正确认识.
(六)掌握证法 适当延展
例2 物理学中的波利尔定律p ＝V
k （k 是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V 减小，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．
【活动】教师引导分析题意，师生一起完成证明过程，并引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、结论．
【设计意图】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，是本课教学内容重点之一，是学生第一次接触用解析式和不等式关系的结合体-----作差法证明函数单调性的环节，由师生共同完成，有示范性作用，对后续学习形成良好示范.总结步骤，让学生由概念性知识转化到程序性知识，加深对函数单调性定义和发展函数单调性符号语言的理解.
练习 试判断函数f (x )= 0.001x +1在定义域上的单调性，并证明你的结论.
【活动】在学案上独自完成解答过程，教师选一些成果展示，全班点评.
【设计意图】回顾前面提出的知识矛盾冲突问题，完成了解决问题的目的，完善了提出---分析---解决问题的过程，给学生深刻的体会.
(七)归纳小结，提高认识
假如把我们这节课当成一次旅游，哪些景点给你印象最深？从知识---方法---思想---感悟几个角度分别说说.
【活动】学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，并由几位学生发言总结．
【设计意图】，框架提示给出小结反思的方向，有利于学生形成小结的学习习惯.
(八) 作业
1.必做作业：
⑴教材第39页习题2-3 A组1，2题
⑵已知函数y=f(x)对于区间D上的任意x1,x2(x1≠x2),都有
()()
12
12
f x f x
x x
-
>
-
，
问函数y=f(x)在区间D上的单调性如何？
2.探究作业：
研究函数
1
(0)
y x x
x
=+>的单调性，并结合描点法画出函数的草图．
【活动】课后继续完成探究
【设计意图】分层作业设置，弹性要求，让基础厚的学生勇于挑战，基础稍弱的学生也得到充分的思维锻炼.
(九)板书设计
【设计意图】板书展现了图形语言—文字语言---符号语言的知识发展过程，
显得整节课思路清晰，框架合理，又留有无限遐想。