2020-2021重庆育才中学高一数学下期中第一次模拟试卷(带答案)
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形 BCD 为等腰直角三角形，
其外心为 BD 中点 O1 ，设 O 为 AD 中点，
则 O 为外接球球心，
半径长度为 1 AD 5 ，
2
2
所以表面积为 25 .
5．B
解析：B 【解析】
化简圆
到直线
的距离
在 ABC 中，设外接圆的直径为 2r 2 3 4 ， sin120
则： r 2 ，
所以：外接球的半径 R
22
2 2 2
9， 2
则： S 4 9 18 ， 2
故选：C． 【点睛】 本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
D． 32 33 3
3．已知两点 A3, 4 ， B3, 2 ，过点 P1,0 的直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的
斜率 k 的取值范围是 ( )
A． 1,1
B．,1 1,
C． 1,1
D．, 11,
4．如图是某四面体 ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为 1，则四 面体 ABCD 外接球的表面积为
正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，
记为 O，PO=AO=R， PO1 4 ， OO1 =4-R，
在 Rt△ AOO1 中， AO1 2 ，
由勾股定理 R2 2 4 R2 得 R 9 ，
4
∴球的表面积 S 81 ，故选 A. 4
考点：球的体积和表面积
8．B
解析：B 【解析】
2．D
解析：D 【解析】
【分析】
由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、
锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.
【详解】
由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.
所以该陀螺模型的体积V 1 42 2 32 3 1 32 2 32 33 .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【解析】
设直线 l0
的倾斜角为
，则斜率 k0
tan
1 2
，所以直线 l
的倾斜角为 2
，斜率
k
tan 2
2 tan 1 tan2
4 3
，又经过点（1,0），所以直线方程为
y
4 (x 1) ，即 3
4x 3y 4 0 ，选 D.
A．-2 或 2
B． 1 或 3 22
C．2 或 0
D．-2 或 0
11．如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是棱 DD1 的中点， F 是侧
面 CDD1C1 上的动点，且 B1F / / 面 A1BE ，则 F 在侧面 CDD1C1 上的轨迹的长度是 (
)
A． a
（1）设 G 为 AD 中点，求证： DC / / 平面 GBE； （2）若平面 DAE 平面 ABCE，且 F 为 AB 中点，求证： DF AC ． 26．如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2， E、F、M 分别是 C1B1，C1D1 和 AB 的
中点．
（1）求证： MD1 / / 平面 BEFD ． （2）求 M 到平面 BEFD 的距离．
（2）求直线 l1 所过的定点 Q ，并求当点 P 到直线 l1 的距离最大时直线 l1 的方程. 25．如图所示的等腰梯形 ABCD 中， AB / /CD ， AB AD BC 1 CD a ，E 为 CD
2
中点．若沿 AE 将三角形 DAE 折起，并连接 DB，DC，得到如图所示的几何体 D-ABCE， 在图中解答以下问题：
（1）证明：平面 ABF // 平面 DCE ； （2）在 DE 上是否存在一点 G ，使平面 FBG 将几何体 ABCDEF 分成上下两部分的体积 比为 3:11 ？若存在，求出点 G 的位置；若不存在，请说明理由. 24．已知直线 l1 : ax y a 2 0 ， l2 : x ay 2 0 ，点 P(5,0) （1）当 l1 //l2 时，求 a 的值；
该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为 4，倒四棱锥顶点为正方体
中心，底面为正方体上底面，因此体积是 43 1 2 42 160 ，选 B.
3
3
点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观
图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形
___．
16．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A BD C ，
① AB 与平面 BCD 所成角的大小为 60
② ACD 是等边三角形
③ AB 与 CD 所成的角为 60
④ AC BD
⑤二面角 B AC D 为120
则上面结论正确的为_______．
17．在平面直角坐标系内，到点 A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距
A． 20
5．已知圆
B． 125 6
C． 25
D．100
截直线
所得线段的长度是 ，则圆 与
圆
的位置关系是（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
6．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，BAC 120，AP 2, AB 2 ，M 是线
段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积是
∵PA 的斜率为 4 0 =﹣1，PB 的斜率为 2 0 =1，
3 1
31
∴直线 l 的斜率 k≥1 或 k≤﹣1，
故选：D．
点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直 线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程 时，是要画出正切的函数图像，再分析.
|12 a | 2
则圆心到直线 x y a 0 的距离 d
,
12 (1)2 2
即 a 1 1,化简得 a 1 1或 a 1 1,解得: a 2 或 a 0 .
所以 a 的值为 0 或 2. 故选 C. 【点睛】 本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值. 11．D 解析：D 【解析】 【分析】
的取值范围________.
20．如图，已知圆锥的高是底面半径的 2 倍，侧面积为 ，若正方形 ABCD 内接于底面圆 O ，则四棱锥 P ABCD 侧面积为__________．
三、解答题
21．已知 ABC 的三个顶点 Am, n 、 B2,1 、 C 2,3 .
（1）求 BC 边所在直线的方程； （2） BC 边上中线 AD 的方程为 2x 3y 6 0 ，且 SABC 7 ，求点 A 的坐标. 22．如图，在四棱锥 P ABCD 中， CB 平面 PBD ， AD 平面 PBD ， PH BD 于 H ， CD 10 ， BC AD 8 .
（1）求证： CD PH ；
（2）若 BH 1 BD ， PH 1 BD ，在线段 PD 上是否存在一点 M ，使得 HM 平面
3
2
PAD ，且直线 HA 与平面 PAD 所成角的正弦值为 3 5 .若存在，求 PM 的长；若不存 25
在，请说明理由.
23．如图， ABCD 是边长为 3 的正方形， DE 平面 ABCD ， AF 平面 ABCD ， DE 3AF 3.
3
3
3
故选： D .
【点睛】
本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
3．D
解析：D
【解析】
分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．
详解：∵点 A（﹣3，4），B（3，2），过点 P（1，0）的直线 L 与线段 AB 有公共点，
∴直线 l 的斜率 k≥kPB 或 k≤kPA，
2020-2021 重庆育才中学高一数学下期中第一次模拟试卷(带答案)
一、选择题 1．已知直线 l 过点 (1, 0) ，且倾斜角为直线 l0 ： x 2 y 2 0 的倾斜角的 2 倍，则直线 l
的方程为（ ）
A． 4x 3y 3 0
B． 3x 4y 3 0
C． 3x 4y 4 0
D． 4x 3y 4 0
2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形
状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已
知网格纸中小正方形的边长为 1，则该陀螺模型的体积为（ ）
A． 107 3
B． 32 45 3
C． 16 32 3
（）
A． 9 2
B． 9 2
C．18
D． 40
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
为（ ）
A． 81 4
B．16
C． 9
D． 27 4
8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 4 的正方形，两条虚线互相垂直
且相等，则该几何体的体积是（ ）
A． 176 3
B． a 2
C． 2a
D． 2a 2
12．如图，正四面体 ABCD 中， E, F 分别是线段 AC 的三等分点， P 是线段 AB 的中
点， G 是线段 BD 的动点，则( )
A．存在点 G ，使 PG EF 成立
B．存在点 G ，使 FG EP 成立
C．不存在点 G ，使平面 EFG 平面 ACD 成立
重庆市育才中学数学高一下期中经典复习题(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --= D ．4340x y --=2．(0分)[ID ：12407]下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．45．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π6．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=7．(0分)[ID ：12342]从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5C 26D ．428．(0分)[ID ：12336]在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23πB ．43π C ．53πD ．2π9．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b10．(0分)[ID ：12386]已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．2511．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12C ．16D ．112．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD ．22a 13．(0分)[ID ：12365]如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32π C ．4πD ．34π 14．(0分)[ID ：12415]已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ）A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π15．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16．(0分)[ID ：12487]在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．17．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)18．(0分)[ID ：12460]正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.19．(0分)[ID ：12528]《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.20．(0分)[ID ：12516]已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．21．(0分)[ID ：12511]在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____． 22．(0分)[ID ：12466]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PEEC=__________．23．(0分)[ID ：12453]在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.24．(0分)[ID ：12502]直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______.25．(0分)[ID ：12435]已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题26．(0分)[ID ：12605]如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥； （2）E 是侧棱PC 上一点，记PEPCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 27．(0分)[ID ：12593]在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .28．(0分)[ID ：12567]如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 、F 分别是BC 、1AC 、1BB 的中点.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ； （2）求证：//EF 平面111A B C .29．(0分)[ID ：12614]某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？30．(0分)[ID ：12530]在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=. （1）求B 点坐标； （2）求ABC ∆面积.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．B4．C5．C6．B7．A8．C9．B10．D11．A12．D13．A14．C15．B二、填空题16．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面ME F又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故18．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上19．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个20．【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得如图所示PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径且设正方体棱长为a则由得所以因为球心到平面ABC的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的21．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结22．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定23．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面24．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 234312343S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点， 则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.6．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．7．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 8．C解析：C【解析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 9．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 10．D解析：D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为10 过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（）， 则|AB |222(10)(5)25=-=，【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．11．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】 由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．12．D解析：D【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上， 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.13．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径3DE = 2343S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.14．C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在ABC 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆的圆心，∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=．故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.15．B解析：B【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质二、填空题16．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.18．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上2 【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值.【详解】当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度， ∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，∴点C 到BD 的距离的最小值22CO =.2 【点睛】 本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.19．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得25PC =22PB =PBC 为直角三角形，可得23BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积． 【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC 为直角三角形，因此BC =BC =（舍）．所以只可能是BC =此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，所以平面ABC 所在小圆的半径即为22AC r ==， 又因为2PA =，所以外接球O 的半径R === 所以球O 的表面积为24π20πS R ==．【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题． 20．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,a a AB AC BC =====12ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以3h =，因为球心到平面ABC 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力21．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结【解析】【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果.【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部， 设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为1||(1),12,2AF a a a a -+===.故答案为：12-+. 【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题. 22．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定解析：13【解析】【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE EC 的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以22AF AB ==，而AC =:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.23．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 解析：23【解析】【分析】作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值.【详解】设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中2EF =，2222213BE =++=，所以2sin 3EF EBF BE ∠==. 故答案为：23【点睛】本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.24．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：2⎡⎣【解析】【分析】由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。
重庆市重庆一中2020-2021学年高一数学下学期期中试题(含解析)
重庆市重庆一中2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2,1,0,1,2A =--，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A. {}2,1,0,2-- B. {}2C. {}2,1,2--D. {}2,1--【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法得到集合B ，再由集合的交集运算得到结果.【详解】集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}11=|01B x x x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或，根据集合的交集运算得到A B ⋂={}2,1,2--. 故答案为：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，则2a =（ ） A. 3 B. 9C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=【详解】等差数列{}n a 中，1239a a a ++=,根据等差数列的运算性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=故答案为：A.【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.3.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A.11a b< B. 2ab b < C. 2ab a -<- D. 2m m P UI W ==【答案】D 【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解. 详解：1a --（1b -）=a b ab-，因为0a b <<，所以0,0.a b ab - 所以11a b-<-.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.4.在等比数列{}n a 中，已知2171,16a a a =⋅=，则该数列的公比q =（ ） A. 2± B. 4± C. 2 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到217416,a a a ⋅==进而解得44a =±，由等比数列的通项公式得到结果.【详解】等比数列{}n a 中，已知2217441,164a a a a a =⋅==⇒=±2422 2.a a q a =⇒=±故答案为：A.【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题.5.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
2020-2021学年重庆高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年重庆高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ 等于()A. (−1,11)B. (4,7)C. (1,6)D. (5,−4)2.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=3，则边b=()A. 5√2B. 4√2C. 3√2D. 2√23.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图(单位：秒)，则()A. 平均数为64B. 众数为7C. 极差为17D. 中位数为64.54.已知点P(1,2)与直线l:x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为()A. (−3,−2)B. (−3,−1)C. (2,4)D. (−5,−3)5.已知直线l经过点A(−2,0)与点B(−5,3)，则该直线的倾斜角为()A. 150°B. 135°C. 60°D. 45°6.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB=2:3，则a:b=()A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:37.已知数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为A n，B n，记c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，则数列{c n}的前10项和为()A. A10+B10B. 12(A10+B10) C. A10⋅B10 D. √A10⋅B108.某公司某种产品的定价x(单位：元)与销量y(单位：件)之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＾=6.5x+17.5，则表格中n 的值应为()A. 45B. 50C. 55D. 609.已知α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，满足a>β的概率为()A. 19B. 29C. 13D. 1210. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则( )A. △ABC 是锐角三角形B. △ABC 是直角三角形C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 的形状不能确定11. 已知数列{a n }满足：a 1=1，2a n+1=2a n +1 , n ∈N ∗则数列{a n }=( )A. {a n }是等比数列B. {a n }不是等差数列C. a 2=1.5D. S 5=12212. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且满足|a ⃗ −2b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组数据为19，18，23，24，21，则这组数据的中位数为____． 14. 下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α=sin β，则α=β；③“实数a =0”是“直线x −2ay =1和直线2x −2ay =1平行”的充要条件； ④若f (x )=log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．15. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A 、B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______ 米.16. 已知直线l 1：kx −y +1−k =0与l 2：ky −x −2k =0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ．(1)若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k，使得m⃗⃗⃗ //n⃗？说明理由．18.已知两条直线l1：x+2y−m+3=0，l2：mx+y−1−m=0．(Ⅰ)若l 1⊥l 2，求实数m的值；(Ⅱ)若l 1//l 2，求直线l 1，l 2间的距离．19.2020年决战脱贫攻坚期间，某工作小组为了解本地农民对脱贫攻坚工作的满意度，深入农村贫困一线调查，得出数据制成如下表格和频率分布直方图(分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组).已知评分在[80,100]的人数为1800．满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值，及满意度评分在[40,70)内的人数；(2)定义满意度指数X=平均分，若X<0.8，则脱贫攻坚工作需要进行大的调整，否100则不需要大调整．根据所学知识判断该区脱贫攻坚工作是否需要进行大调整(同一组中的数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)为了解部分人员不满意的原因，从不满意的人员(评分在[40,50)，[50,60)内)中用分层抽样的方法抽取6名人员，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任脱贫攻坚工作的监督员，求这2人中至少有1人对脱贫攻坚工作的评分在[40,50)内的概率．20.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S1，2S2，3S3成等差数列．3(1)求a n；(2)设b n=n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.在△ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积22.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ =(4,7)．故选：B．直接利用向量的坐标运算求解即可．本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正弦定理的应用．【解答】∵B=135°，C=15°，∴A=180°−B−C=30°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得b=3×√2212=3√2．故选C．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题．根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和极差即可．【解答】解：茎叶图中的数据分别为58，59，61，62，67，67，70，76，所以中位数是62+672=64.5，众数是67，平均数是18(58+59+61+62+67+67+70+76)=65，极差为76−58=18，故选：D ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查直线方程的应用，属于基础题．依题意先设点P 关于直线对称点的坐标，再根据对称性即可列出方程组，求出坐标． 【解答】解：设点P 关于直线l 的对称点的坐标是(x,y)，依题意可得：{y−2x−1=1x+12+y+22+1=0解得{x =−3y =−2 ∴点P 关于直线的对称点坐标是(−3,−2) 故选A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了直线的斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：设该直线的倾斜角为θ， 则tanθ=0−3−2−(−5)=−1， ∵θ∈[0∘,180∘),∴θ=135°． 故选B ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查正弦定理，属于基础题目． 直接利用正弦定理得出即可． 【解答】解：∵sinA:sinB =2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．7.【答案】C【解析】解：∵a n=A n−A n−1，b n=B n−B n−1，n≥2，c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，∴c n=a n(B n−b n)+b n A n=(A n−A n−1)(B n−b n)+b n A n=A n B n−A n−1(B n−b n)=A n B n−A n−1(B n−B n+B n−1)=A n B n−A n−1B n−1，∴数列{c n}的前10项和为：c1+c2+c3+⋯+c10=A1B1+(A2B2−A1B1)+(A3B3−A2B2)+⋯+(A10B10−A9B9)=A10B10．故选：C．由已知条件推导出c n=A n B n−A n−1B n−1，由此利用累加法能求出数列{c n}的前10项和．本题考查数列的前10项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，x=15(2+4+5+6+8)=5，y=15(30+40+n+50+70)=38+n5，∵y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5 ，∴38+n5=6.5×5+17.5，∴n=60．故选D．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，利用列举法能求出满足a >β的概率． 【解答】解：α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)， 基本事件有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)， (1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共9个，满足a >β包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，共3个， ∴满足a >β的概率为p =39=13． 故选C ．10.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量的三角形法则和数量积运算法则、勾股定理的逆定理，属于基础题． 由(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，可得(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，进而得到|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 利用勾股定理的逆定理即可判断出． 【解答】解：∵(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴∠A =90°．∴△ABC 是直角三角形． 故选：B ．11.【答案】C【解析】解：由a1=1，2a n+1=2a n+1 , n∈N∗则：a n+1−a n=12．∴数列{a n}是等差数列，公差为12．∴a n=1+12(n−1)=n+12．∴a2=32=1.5．故选：C．变形利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2.即可得出．【解答】解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1．即a⃗⋅b⃗ 的最大值为1．故选B．13.【答案】21【解析】【分析】本题主要考查对中位数的理解，属于基础题．【解答】解：这组数据从小到大排列依次为18，19，21，23，24，∴这组数据的中位数为21，故答案为21．14.【答案】①③④【解析】对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°=sin150°⇒/30°= 150°，所以②错误；对于③，l1//l2⇔A1B2=A2B1，即−2a=−4a⇒a=0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．15.【答案】20√63【解析】【分析】本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，正弦定理的应用，是中档题．结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可．【解答】解：根据图形知，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，由正弦定理得，BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12√22=20√2，在Rt△BCD中，∠BDC=30°，所以CD=BCtan30°=20√2×√33=20√63．故答案为：20√63．16.【答案】(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)【解析】【分析】本题考查两直线交点坐标的应用，属于基础题目．【解答】解：由题意可得，两直线不平行，故它们的斜率不相等，故k ≠±1，联立{kx −y +1−k =0ky −x −2k =0可得交点坐标为(k k−1,2k−1k−1)， 因为交点在第一象限，所以{k k−1>02k−1k−1>0， 解得k >1或k <0，综上可得实数k 的取值范围为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．故答案为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．17.【答案】解：(Ⅰ)∵向量a⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos120°=2×3×(−12)=−3，∵m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b⃗ −2k b ⃗ 2=0， ∴6×22+(3k −4)⋅(−3)−2k ×32=0，解得k =43．(Ⅱ)∵m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，∴3a ⃗ −2b ⃗ =λ(2a ⃗ +k b ⃗ )=2λa ⃗ +λk b ⃗ ，(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b⃗ ，又向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，∴{3−2λ=02+λk =0， 解得λ=32,k =−43，∴存在实数k =−43时，有m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ．【解析】(Ⅰ)推导出a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b⃗ |cos120°=−3，由向量垂直得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b ⃗ −2k b ⃗ 2=0，由此能求出实数k ． (Ⅱ)由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，得∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，从而(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b ⃗ ，由向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，列方程组求出存在实数k =−43时，有m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． 本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18.【答案】解：直线l 1的斜率为k 1=−12，截距为b 1=12m −32，直线l 2的斜率为k 2=−m ，截距为b 2=m +1，(Ⅰ)若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2=12m =−1，解得m =−2；(Ⅱ)若l 1//l 2，则{k 1=k 2b 1≠b 2，即{m =1212m −32≠m +1，解得m =12， 此时直线l 1：x +2y +52=0，直线l 2：x +2y −3=0，所以直线l 1，l 2间的距离d =|52−(−3)|√12+22=11√510．【解析】本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数a 的值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．(Ⅰ)根据两条直线垂直的条件，建立关于a 的关系式，即可得到使l 1⊥l 2的实数a 的值； (Ⅱ)两条直线平行的条件，建立关于a 的方程，解之可得实数a 的值．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)×10=1，即10×(0.075+a)=1，解得a =0.025；设总共调查了n人，则0.6n=1800，解得n=3000，即调查的总人数为3000人；满意度评分在[40,70)内共调查的人数为(0.002+0.004+0.014)×10×3000=600;(2)由频率分布直方图知x=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7所以，满意度指数X=80.7100=0.807>0.8，因此，该区工作不需要大的调整．，(3)由题意可知，评分在[40,50)，[50,60)的频率之比为0.020.04=12，即不满意的人数在两段分别有20、40，所以评分在[40,50)，所抽取的人数为6×13=2，分别记为a、b，评分在[50,60)所抽取的人数为6×23=4，分别记为A、B、C、D，所以抽取两人的基本事件为：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15个，至少有一人来自[40,50)的基本事件有ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD共9个，所以所求概率p=915=35．【解析】本题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图估计平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1，可得a，根据频率，频数可求样本容量；(2)根据频率分布直方图估计总体平均数的计算公式可得；(3)先求出评分在[40,50)，[50,60)两段的人数，再由分层抽样求出在两段抽取的人数，由题意，列出所有的基本事件及至少有一人来自[40,50)的基本事件，由古典概型的概率计算公式可得．20.【答案】解：(1)∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=13，且S1，2S2，3S3成等差数列，∴4S2=S1+3S2，若q=1，则a n=a1=13，S1=13,S2=23,S3=1，∴4S2=83≠S1+3S3 =103，∴q≠1，4a1(1−q2)1−q =a1+3a1(1−q3) 1−q，∴4(1+q)=1+3(1+q+q2)，整理，得3q2−q=0，解得q=13，q=0(舍)，∴a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)∵b n=na n=n⋅3n，∴T n=1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n，①3T n=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n⋅3n+1，②①−②，得：−2T n=3+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，∴T n=(n2−14)⋅3n+1+34．【解析】(1)由已知条件得4S2=S1+3S2，由此求出公比，从而能求出a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)由b n=na n =n⋅3n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21.【答案】解：由题意，∠B=60°，BC=3，∠ADC=150°，可知ABD是直角三角形，∴AB=1，AD=√3在△ADC中，由余弦定理：AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcos150°=7∴AC=√7；△ABC的面积为S=12AB⋅BC⋅sin60°=12×3×1×√32=3√34．【解析】在△ABC 中，根据∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可得AB =1，结合正弦定理可得AC 的长．利用面积公式S =12AB ⋅BC ⋅sin60°求△ABC 的面积． 本题考查了正余弦定理的应用和计算．属于基础题． 22.【答案】解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2)∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1.(Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数. 令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．【解析】(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1． 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．。
重庆市育才中学校2020-2021学年高一下学期数学期末复习试题
重庆育才中学高 2023 届高一下期末复习 ( 二 ) 数学试题第Ⅰ卷 ( 选择题 )―、单项选择题 : 本题共 8 小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分 . 在每题给出的选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1 . 设 i 为虚数单位 , 复数 z 满足 z ( 1- i ) =2 i , 则 | z =( ).1.2A C D 2 . 已知(2,3)(3,),||1()AB AC t BC AB BC ===⋅= A . -3 . B . -2 C . 2 D . 3 . 3 . 在△ ABC 中 ,2cos 3C = , AC = 4 , BC = 3 , 则 tanB = ()B C D 4 . PM2 . 5 是空气质量的一个重要指标 , 我国 PM2 . 5 标准采用世卫组织设定的最宽限值 , 即 PM2 . 5 日均值在 35 μ g / m 3 以下空气质量为一级 , 在 35 μ g / m 3 ～ 75μ g / m 3 之间空气质量为二级 , 在 75 μ g / m 3 以上空气质量为超标 . 如图是某地 11月 1 日到 10 日 PM2 . 5 日均值 ( 单位 : μ g / m 3 ) 的统计数据 , 则下列叙述不正确的是 ( )A . 从 5 日到 9 日 , PM2 . 5 日均值逐渐降低B . 这 10 天的 PM2 . 5 日均值的中位数是 45C . 这 10 天中 PM2 . 5 . 日均值的平均数是 49 . 3D . 从这 10 天的日均 PM2 . 5 监测数据中随机抽出一天的数据 , 空气质量为一级的概率是25.. 5 . 下列命题说法错误的是 ( )A . 若 a ∥ α , b ⊥ α ' 则 a ⊥ bB . 若 α∥ β α∩ γ = a , β∩ γ = b , 则a ∥ bC . 若 α∥ β , α⊥ α , 则 a ⊥ βD . 若 α⊥ γ , β⊥ γ , 则 α∥ β6 . 已知 Δ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 q , b , c , 若 2 acosC = b , 则 ΔABC . 的形状一定是 ( ﹒ )A . 等腰直角三角形B . 直角三角形 'C . 等腰三角形D . 等边三角形7 . 如图 , 在平面四边形 ABCD 中 , AB ⊥ BC , AD ⊥ CD , ∠ BAD = 120 ∘ , AB = AD = 1 ,若点 E 为边 CD 上的动点 , 则 AE BE ⋅的最小值为 ()21325... .316216 A B C D7题 8题. 8 . 如图, 正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2 , E 是棱 AB 的中点 , F 是侧面 AA 1D 1D 内一点 , 若 EF ∥平面 BB 1D 1D , 则 EF 长度的范围为( ).[.[..[A B C D二、多项选择题 : 本思共么小题 , 每小题 5 分 , 共 20 分 . 在每题给出的选项中 , 有多项是符合题目要求的 , 全部选对得 5 分 , 部分选对得 2 分 , 错选不得分9 . 已知 Δ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 根据下列条件解三角形 , 有两解的是( ).2,120.2,45.3,60.60A a b B B a b B C b c B D a b B ︒===︒===︒======︒10 , 已知向量 (2,1)(3,1)a b ==- 则 ( ) 255.().|2|5(,225..255A a b aB a bC a bD a +⊥+=与向量同向的单位向量为（，）。
2021年重庆市九龙坡区育才中学中考数学一诊复习试卷 (解析版)
2021年重庆市九龙坡区育才中学中考数学一诊复习试卷一、选择题（每小题4分）.1．下列各数中，﹣3的倒数是（）A．3B．C．D．﹣32．下列四个标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．计算（4b）2正确的是（）A．16b B．8b2C．4b2D．16b25．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（）A．8B．12C．16D．366．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（）A．27°B．54°C．37°D．63°7．按如图所示的运算程序，能使输出结果为33的是（）A．a＝3，b＝4B．a＝2，b＝4C．a＝4，b＝3D．a＝5，b＝4 8．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A．7B．6C．﹣2D．09．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．2410．若关于x的分式方程＝2有非负整数解，关于y的不等式组有且只有4个整数解，则所有符合条件的a的和是（）A．﹣3B．﹣2C．1D．211．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，对于以下说法：①甲车从A地到达B地的行驶时间为2小时；②甲车返回时，y与x之间的关系式是y＝﹣100x+550；③甲车返回时用了3个小时；④乙车到达A地时，甲车距A地的路程是170千米．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④12．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OC交AB于点D，若，则△BCD的面积为（）A．B．6C．D．5二、填空题（共6小题）.13．2021年1月中旬石家庄市出现疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为．14．计算：＝．15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是．16．如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝4，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为（结果保留π）．17．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交AC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，且点C恰好为线段B'D的中点，若B'C＝3，且tan B ＝，则线段BE的长度为．18．为了抵抗病毒的侵袭，某学校组织教师到社区卫生服务中心接种疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种．初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级和初三年级参加疫苗接种的教师人数之比是3：4．第二批疫苗到货后，三个年级新增接种人数之比是5：6：2．增加后，初二年级接种总人数占这三个年级接种总人数之和的，并且增加后，初二和初三年级新增接种人数之和是这两个年级接种总人数之和的，则这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比为．三、解答题：（本大题共8个小题，19至25题每题10分，26题8分，共78分）解答时都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
2020-2021学年重庆市某校高一(下)期中考试数学试卷
2020-2021学年重庆市某校高一(下)期中考试数学试卷一、选择题1. 已知复数z 1=2−i ，z 1的虚部为( ) A.−1 B.1 C.−i D.i2. 设向量a →=(m,1)，b →=(1,−1)，如果a →与b →共线，则m 的值为( ) A.−1 B.1 C.−2 D.23. 在△ABC 中，a =1，b =2，A =π6，则c =( )A.1B.32C.√3D.24. 长方体的长、宽、高分别为√3，√2，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.3π B.6πC.12πD.24π5. 如图所示的△ABC 中，点D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AD →=( )A.13AB →+23AC →B.−13AB →+43AC →C.23AB →+13AC →D.43AB →−13AC →6. 如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A.6B.8C.2+3√2D.2+3√37. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈.问积为粟几何？”意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈=106立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后 可得银子( )A.200两B.240两C.360两D.400两8. 已知单位向量OA →，OB →的夹角为60∘，若OC →=2OA →+OB →，则△ABC 为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、多选题以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面），其中错误的是( )A.若a // b ，b ⊂α，则a // αB.若a // α，b // α，则a // bC.若a // b ，b // α，则a // αD.若a // α，a ⊂β，α∩β=b ，则a // b已知复数z 0=1+2i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点为P 0，复数z 满足|z −1|=|z −i|，下列结论正确的是( )A.P 0点的坐标为(1,2)B.复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于虚轴对称C.复数z 对应的点Z 在一条直线上D.P 0与z 对应的点Z 间的距离的最小值为√22如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点E 在线段A 1C 1上，F ，M 分别是AD ，CD 的中点，则下列结论中正确的是( )A.FM//A 1C 1B.存在点E ，使得平面BEF//平面CC 1D 1DC.三棱锥B −CEF 的体积为定值D.存在点E ，使得C ，E ，F ，C 1共面若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b −2a +4a sin 2A+B 2=0，则下列结论正确的是( )A.角C 一定为锐角B.a 2+2b 2−c 2=0C.3tan A +tan C =0D.tan B 的最小值为√33三、填空题i 2021=_______.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB ，CD 所成角为________.已知|a →|=√6，|b →|=√2，(a →−b →)⋅b →=1，则向量a →，b →的夹角等于________.如图，从200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为30∘和45∘，∠BAC =45∘，则B ，C 两点间的距离为________m .（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）四、解答题已知复数z =3+bi(b ∈R )，且(1+3i)⋅z 为纯虚数．(1)求复数z ； (2)若w =z 2+i，求复数w 以及模|w|．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a )cos C =c ⋅cos A ．(1)求角C ．(2)若c =7 ，△ABC 的面积为10√3， 求△ABC 的周长．如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点．(1)若弧BC 的中点为D ．求证：AC // 平面POD ；(2)如果△PAB 面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥C −PAB 体积的最大值．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,CD =3AB =3.(1)若CA =CD ，且tan ∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；(2)若cos ∠DAC =√24，cos ∠ACD =34，求BD 的长．如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，点P 在上底面A 1B 1C 1D 1内运动．(1)若PE//平面BDF ，请画出点P 的轨迹，并说明理由；(2)当PE//平面BDF 时，求三棱锥P −BDF 体积；(3)当PE//平面BDF 时，求PE 与BF 所成角余弦值的取值范围．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sin A =√2sin C ，平面上的点P 满足AP →=2AB →+mAC →． (1)若点P 在角A 的角平分线上且m =1，求cos A ；(2)若点P 在直线BC 上， c =1，求|AC →|+|AP →|最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年重庆市某校高一(下)期中考试数学试卷一、选择题 1.【答案】 A【考点】复数的基本概念 【解析】由题意，在已知复数表达式，进而即可得到其虚部. 【解答】解：已知复数z 1=2−i ， 则z 1的虚部为−1. 故选A . 【点评】本题考查复数的基本概念；侧重于学生们对于实部和虚部的了解. 2.【答案】 A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据a →与b →共线即可得出m ⋅(−1)−1×1=0，从而可得出m 的值． 【解答】解：因为a →与b →共线，所以m ⋅(−1)−1×1=0 ， 解得m =−1. 故选A ． 【点评】本题考查了共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题． 3. 【答案】 C 【考点】 正弦定理 【解析】根据正弦定理求得B =π2，即可得到C =π3，三角形为直角三角形，即可求解c =√b 2−a 2的值. 【解答】解：在△ABC 中，A =π6，b =2，a =1，由正弦定理asin A=b sin B，则sin B =b sin A a=2×121=1，因为B ∈(0,π)， 所以B =π2，所以C =π3，所以c 2=b 2−a 2=3，所以c =√3. 故选C ． 【点评】本题考查正弦定理解三角形的应用，属于基础题. 4. 【答案】 B【考点】 球内接多面体 球的表面积和体积【解析】根据题意，由于长方体的8个顶点都在同一球面上，则长方体的对角线的长就是球的直径，计算可得长方体的对角线长，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，长方体的8个顶点都在同一球面上， 则长方体的对角线的长就是球的直径， 而长方体的长、宽、高分别为√3，√2，1， 则长方体的对角线长l =√3+2+1=√6， 即球的半径r =√62， 故球的表面积S =4πr 2=6π．故选B ． 【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，注意本题中长方体的对角线的长就是球的直径． 5. 【答案】 C【考点】向量加减混合运算及其几何意义 向量的三角形法则【解析】利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出． 【解答】解：AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →=AB →+1(AC →−AB →)=23AB →+13AC →．故选C . 【点评】熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键． 6.【答案】 B【考点】平面图形的直观图 【解析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求． 【解答】解：作出该直观图的原图形，如图，因为直观图中的线段C ′B ′ // x ′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C ′和B ′在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O ′B ′的2倍，则OB =2√2， 所以OC =3，则四边形OABC 的周长为8． 故选B . 【点评】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形． 7.【答案】 D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设底面半径为r ，∴ 2πr =12，r =6π，∴ 米堆的体积为13πr 2⋅ℎ=13π⋅62π2⋅1=12π≈4.根据已知，4立方丈=4×106立方寸=4×1062700斛.∴ 卖得银子4×1062700×270÷1000 =400两. 故选D. 【点评】 此题暂无点评 8.【答案】 C【考点】向量在几何中的应用 平面向量数量积的运算 向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据题意，由向量加减法的意义，用向量OA →、OB →、OC →表示出向量BC →、AB →、AC →，结合题意，求出向量BC →、AB →、AC →的模，由三角形的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，由OC →=2OA →+OB →， 可得OC →−OB →=BC →=2OA →， 则|BC →|=2|OA →|=2， 由AB →=OB →−OA →， 可得|AB →|2=|OB →−OA →|2 =OA →2−2OA →⋅OB →+OB →2 =1−2×1×1×12+1=1， 故|AB →|=1，由AC →=OC →−OA →=(2OA →+OB →)−OA →=OA →+OB →， 则|AC →|2=|OA →+OB →|2 =OA →2+2OA →⋅OB →+OB →2 =1+2×1×1×12+1=3，可得|AC →|=√3，在△ABC 中，由|BC →|=2，|AB →|=1，|AC →|=√3， 可得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2，则△ABC 为直角三角形. 故选C . 【点评】本题考查数量积的性质与运用，注意先用向量的加法、减法的性质，表示出△ABC 的三边的向量． 二、多选题 【答案】 A,B,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系【解析】对于A ，a // α或a ⊂α；对于B ，a 与b 相交、平行或异面；对于C ，a // α或a ⊂α；对于D ，由线面平行的性质得a // b ． 【解答】解：由a ，b 表示直线，α表示平面，知：对于A ，若a // b ，b ⊂α，则a // α或a ⊂α，故A 错误；对于B ，若a // α，b // α，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误； 对于C ，若a // b ，b // α，则a // α或a ⊂α，故C 错误；对于D ，若a // α，a ⊂β，α∩β=b ，则由线面平行的性质得a // b ，故D 正确． 故选ABC . 【点评】本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 【答案】 A,C,D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 共轭复数复数代数形式的加减运算点到直线的距离公式【解析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性．根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性．设出乙，利用|z −1|=|z −i|，结合复数模的运算进行化简，由此判断出乙点的轨迹，由此判读C 选项的正确性结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性． 【解答】解：复数z 0=1+2i 在复平面内对应的点为P 0(1,2)，A 正确； 复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于实轴对称，B 错误；设z =x +yi (x,y ∈R )，代入|z −1|=|z −i|，得|(x −1)+yi|=|x +(y −1)i|， 即√2+y 2=√x 2+(y −1)2，整理得，y =x ，即Z 点在直线y =x 上，C 正确； 易知点P 0到直线y =x 的垂线段的长度即为P 0，Z 之间距离的最小值， 结合点到直线的距离公式可知，最小值为√2=√22，故D 正确． 故选ACD .【点评】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题． 【答案】 A,C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的结构特征【解析】依题意，根据几何体的结构特征，结合线面垂直，面面平行的判定定理，根据棱锥体积公式逐个判断即可. 【解答】解：如图，设CF 交BM 于点O ，A ，因为F ，M 分别是AD ，CD 的中点， 所以FM//AC//A 1C 1 ，故A 正确；B ，延长BF 与直线CD 一定有交点， 故BF 与平面CC 1D 1D 有交点，所以不存在点E ，使得平面BEF//平面CC 1D 1D ，故B 错误； C ，三棱锥B −CEF 以△BCF 为底，以AA 1为高， 所以三棱锥B −CEF 的体积为定值，故C 正确；D ，已知动点E 在线段A 1C 1上，点E ，C ，C 1在平面ACC 1A 1内， 所以点E ，C ，C 1共面， 又点F 不在平面ACC 1A 1内，所以不存在点C ，E ，F ，C 1共面，故D 错误.故选AC．【点评】本题考查棱柱及其结构特征，面面平行的判定，线线平行的判定，四点共面的判定以及定值问题，属于中档题.【答案】B,C【考点】余弦定理正弦定理两角和与差的正切公式基本不等式在最值问题中的应用二倍角的余弦公式【解析】根据余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．【解答】解：b−2a+4a sin2A+B2=0，cos(A+B)=1−2sin2A+B2，则b−2a+2a[1−cos(A+B)]=0，cos(A+B)=−cos C，则b−2a+2a(1+cos C)=0，即b+2a cos c=0，又cos C=a 2+b2−c22ab，则b+2a⋅a 2+b2−c22ab=0，整理得a2+2b2−c2=0，故B正确；cos C=a2+b2−c22ab =−b22ab=−b2a<0，故角C是钝角，故A错误；tan A tan C =sin A cos Csin C cos A=a2+b2−c2b2+c2−a2=−b23b2=−13，即tan A=−13tan C，则3tan A+tan C=0，故C正确；tan B=−tan(A+C)=−tan A+tan C1−tan A tan C =21tan A+3tan A，tan A>0，1tan A+3tan A≥2√3，当tan A=√33时等号成立，则1tan A+3tan A=2√3时，tan B取得最大值(tan B)max=2√3=√33，故D错误．故选BC．【点评】本题考查余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质的应用等知识点，考查学生训练运用公式熟练变形的能力，属于中档题．三、填空题【答案】i【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】由题意，根据i4=1，进行化简求解即可.【解答】解：已知i4=1，所以i2021=i50×4+1=i.故答案为：i.【点评】本题考查复数的运算；侧重于学生们的运算能力.【答案】90∘【考点】异面直线及其所成的角【解析】由题意，根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：由正方体的展开图可知，AB和CD是异面直线，其相互对应，则所成角为90∘.故答案为：90∘.【点评】本题考查异面直线及其所成的角；侧重于学生们的逻辑思维和想象能力. 【答案】30∘【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：因为(a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−b→2=1，得a→⋅b→=1+(√2)2=3，所以cos⟨a→,b→⟩=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=√6×√2=√32，所以向量a→，b→夹角的大小为30∘．故答案为：30∘.【点评】此题暂无点评【答案】200√2【考点】 余弦定理 解三角形【解析】本题首先可以根据题意得出AB 以及AC 的长度，然后根据余弦定理即可求出BC 的长度． 【解答】解：因为从200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为30∘和45∘, 所以AO =200m ， AB =AOsin 30∘=400(m)， AC =AO sin 45∘=200√2(m).因为∠BAC =45∘，所以BC =2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos ∠BAC =200√2(m). 故答案为：200√2. 【点评】本题主要考查余弦定理解三角形，余弦定理公式为a 2=b 2+c 2−2bc cos ∠A ，考查计算能力，是简单题 四、解答题【答案】解：(1)(1+3i)⋅(3+bi)=(3−3b)+(9+b)i ， ∵ (1+3i)⋅z 是纯虚数，∴ 3−3b =0，且9+b ≠0， ∴ b =1，∴ z =3+i .(2)w =3+i 2+i =(3+i)⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=7−i 5=75−15i .∴ |w|=√(75)2+(−15)2=√2. 【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算 复数的模【解析】（1）把复数z 代入表达式，利用复数是纯虚数健康求出z ．（2）把z 代入复数w 的表达式，利用复数的除法运算的法则，化为a +bi 的形式，然后求出复数的模即可． 【解答】解：(1)(1+3i)⋅(3+bi)=(3−3b)+(9+b)i ， ∵ (1+3i)⋅z 是纯虚数，∴ 3−3b =0，且9+b ≠0， ∴ b =1，∴ z =3+i .(2)w =3+i 2+i =(3+i)⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=7−i 5=75−15i .∴ |w|=√(75)2+(−15)2=√2.【点评】本题是基础题，考查复数的基本运算，复数求模的运算，复数的基本概念，正确的运算是解题的关键． 【答案】解：(1)由 (2b −a )cos C =c ⋅cos A ，得2sin B cos C −sin A cos C =sin C cos A ， ∴ 2sin B cos C =sin (A +C )=sin B ， ∵ 0<B <π，sin B ≠0， ∴ cos C =12 ，∴ C =π3． (2)S △ABC =12ab ⋅√32=√34ab =10√3，∴ ab =40，又 ∵ c 2=a 2+b 2−2ab ⋅12=a 2+b 2−ab=(a +b)2−3ab =49，∴ a +b =13，∴ C △ABC =a +b +c =20． 【考点】 正弦定理两角和与差的正弦公式 余弦定理 【解析】 无 无【解答】解：(1)由 (2b −a )cos C =c ⋅cos A ， 得2sin B cos C −sin A cos C =sin C cos A ， ∴ 2sin B cos C =sin (A +C )=sin B ， ∵ 0<B <π，sin B ≠0， ∴ cos C =12 ， ∴ C =π3．(2)S△ABC=12ab⋅√32=√34ab=10√3，∴ ab=40，又∵c2=a2+b2−2ab⋅12=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=49，∴ a+b=13，∴C△ABC=a+b+c=20．【点评】无【答案】(1)证明：如图，设BC∩OD=E，∵D是弧BC的中点，O是AB的中点，∴E是BC的中点，∴AC // OE，又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC // 平面POD．(2)解：设圆锥底面半径为r，高为ℎ，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴ℎ=r,l=√2r，∵由S△ABC=12×2r×ℎ=r2=9，得r=3，∴S表=πrl+πr2=πr×√2r+πr2=9(1+√2)π．设AC=b，BC=a，则a2+b2=36，则a2+b2≥2ab，即ab≤18，V C−PAB=V P−ABC=13×12ab×3=12ab≤9，当且仅当a=b时取等号，(V C−PAB)max=9．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】（1）证法1：设BC∩OD=E，由已知可证AC // OE，线线平行即可证明线面平行AC // 平面POD；证法2：由AB是底面圆的直径，可证AC⊥BC，利用OD⊥BC，可证AC // OD，即可判定AC // 平面POD．（2）设圆锥底面半径为r，高为ℎ，母线长为l，由圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，可求ℎ=r,l=√2r，利用三角形面积公式可求r，进而可求此圆锥的表面积．【解答】(1)证明：如图，设BC∩OD=E，∵D是弧BC的中点，O是AB的中点，∴E是BC的中点，∴AC // OE，又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC // 平面POD．(2)解：设圆锥底面半径为r，高为ℎ，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴ℎ=r,l=√2r，∵由S△ABC=12×2r×ℎ=r2=9，得r=3，∴S表=πrl+πr2=πr×√2r+πr2=9(1+√2)π．设AC=b，BC=a，则a2+b2=36，则a2+b2≥2ab，即ab≤18，V C−PAB=V P−ABC=13×12ab×3=12ab≤9，当且仅当a=b时取等号，(V C−PAB)max=9．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，考查了三角形面积公式，考查了圆锥的表面积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．【答案】解：(1)由tan∠ABC=−√5知，cos∠ABC=−√66，sin∠ABC=√306，在△ABC中，AB=1，AC=CD=3，由余弦定理，知AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC ， 所以9=1+BC 2+√63BC ，即3BC 2+√6BC −24=0，解得BC =√6或BC =−4√63（舍）， 所以△ABC 的面积S =12AB ⋅BC sin ∠ABC =12×1×√6×√306=√52． (2)在△ADC 中，因为cos ∠DAC =√24，cos ∠ACD =34， 所以sin ∠DAC =√1−cos 2∠DAC =√144，sin ∠ACD =√74． 由正弦定理CDsin ∠DAC=AD sin ∠ACD，所以AD =3×√74√144=3√22， 又cos ∠BAD =cos (∠DAC +∠ACD )=cos ∠DAC cos ∠ACD −sin ∠DAC sin ∠ACD =3√216−7√216=−√24， △ABD 中，由余弦定理，知BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos ∠BAD =1+92+2×3√22×√24=7，所以BD =√7． 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 无 无 【解答】解：(1)由tan ∠ABC =−√5知，cos ∠ABC =−√66，sin ∠ABC =√306， 在△ABC 中，AB =1，AC =CD =3，由余弦定理，知AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC ， 所以9=1+BC 2+√63BC ，即3BC 2+√6BC −24=0，解得BC =√6或BC =−4√63（舍）， 所以△ABC 的面积S =12AB ⋅BC sin ∠ABC =12×1×√6×√306=√52． (2)在△ADC 中，因为cos ∠DAC =√24，cos ∠ACD =34， 所以sin ∠DAC =√1−cos 2∠DAC =√144，sin ∠ACD =√74． 由正弦定理CDsin ∠DAC =ADsin ∠ACD ，所以AD =3×√74√144=3√22， 又cos ∠BAD =cos (∠DAC +∠ACD )=cos ∠DAC cos ∠ACD −sin ∠DAC sin ∠ACD =3√216−7√216=−√24， △ABD 中，由余弦定理，知BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos ∠BAD =1+92+2×3√22×√24=7，所以BD =√7．【点评】 无【答案】解：(1)如图，D 1B 1为P 的运动轨迹， 连接D 1B 1，EB 1，ED 1，∵ E ，F 为AA 1，CC 1的中点，∴ 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， EB 1//DF ，ED 1//BF ，又EB 1∩ED 1=E ，DF ∩BF =F ， ∴ 平面ED 1B 1//平面BDF ， 又点P 在上底面A 1B 1C 1D 1上，∴ 当点P 在D 1B 1上时，PE//平面BDF ． (2)由已知得：V P−BDF =V F−PDB ，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1， ∴ S △BDP =√22， 可知点F 到平面PDB 的距离为√22，∴ V F−PDB =13S △BDP ⋅ℎ=13×√22×√22=16，∴ 三棱锥P −BDF 体积为16.(3)在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BF//ED 1， ∴ PE 与BF 所成角即为PE 与ED 1所成角， 又∵ P 在B 1D 1上运动，∴ 当P 与D 1重合时所成角最小，为0∘，∴ cos 0∘=1，当P 与B 1重合时，所成角最大， ∴ cos ∠D 1EB 1=15，∴ PE 与BF 所成角的余弦值取值范围为[15，1]． 【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算 异面直线及其所成的角 余弦定理 【解析】 无 无 无【解答】解：(1)如图，D 1B 1为P 的运动轨迹， 连接D 1B 1，EB 1，ED 1，∵ E ，F 为AA 1，CC 1的中点，∴ 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， EB 1//DF ，ED 1//BF ，又EB 1∩ED 1=E ，DF ∩BF =F ， ∴ 平面ED 1B 1//平面BDF ， 又点P 在上底面A 1B 1C 1D 1上，∴ 当点P 在D 1B 1上时，PE//平面BDF ． (2)由已知得：V P−BDF =V F−PDB ，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1， ∴ S △BDP =√22， 可知点F 到平面PDB 的距离为√22， ∴ V F−PDB =13S △BDP ⋅ℎ=13×√22×√22=16，∴ 三棱锥P −BDF 体积为16.(3)在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BF//ED 1， ∴ PE 与BF 所成角即为PE 与ED 1所成角， 又∵ P 在B 1D 1上运动，∴ 当P 与D 1重合时所成角最小，为0∘， ∴ cos 0∘=1，当P 与B 1重合时，所成角最大， ∴ cos ∠D 1EB 1=15，∴ PE 与BF 所成角的余弦值取值范围为[15，1]．【点评】 无【答案】 解：(1)设AP →=λ(AB→|AB →|+AC →|AC →|) ，则AP →=λ|AB →|AB →+λ|AC →|AC →=λc AB →+λb AC →=2AB →+AC →，∴ λc=2，λb=1，即b =2c ，又∵ sin A =√2sin C ，即a =√2c ， ∴ cos A =4c 2+c 2−2c 22⋅2c⋅c=34.(2)由点P 在直线BC 上，则m =−1，如图，CF//PE ，AB =BE ， ∴ ∠C =∠BPE ， 又∠ABC =∠EBP ，则△ABC ≅△EAP(AAS)，则BC =BP =a =√2c =√2，在△ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos (π−θ)=3+2√2cos θ，在△ABP 中， AP 2=AB 2+BP 2−2AB ⋅BP cos θ =3−2√2cos θ， ∴ |AP →|2+|AC →|2=6， |AC →|+|AP →|≤2√|AP →|2+|AC →|22=2√3.【考点】 余弦定理 解三角形相等向量与相反向量 余弦定理的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)设AP →=λ(AB→|AB →|+AC →|AC →|) ，则AP →=λ|AB →|AB →+λ|AC →|AC →=λc AB →+λb AC →=2AB →+AC →，∴ λc=2，λb=1，即b =2c ，又∵ sin A =√2sin C ，即a =√2c ， ∴ cos A =4c 2+c 2−2c 22⋅2c⋅c=34.(2)由点P 在直线BC 上，则m =−1， 如图，CF//PE ，AB =BE ， ∴ ∠C =∠BPE ， 又∠ABC =∠EBP ，则△ABC ≅△EAP(AAS)， 则BC =BP =a =√2c =√2，在△ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos (π−θ) =3+2√2cos θ，在△ABP 中， AP 2=AB 2+BP 2−2AB ⋅BP cos θ =3−2√2cos θ， ∴ |AP →|2+|AC →|2=6，|AC →|+|AP →|≤2√|AP →|2+|AC →|22=2√3.【点评】 此题暂无点评。
2020年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案(共七套)
2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（共七套）2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．94．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=85．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.507．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p=．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.314．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．16．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？17．（10分）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．23．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ【考点】B3：分层抽样方法；B2：简单随机抽样．【分析】由题意知①的总体中个体明显分层两，用分层抽样，②的总体中个体的数目不大用简单分层抽样．【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．故选B．【点评】本题的考点是选择抽样方法，即根据总体的特征和抽样方法适用的条件进行选择最佳方法．3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据线性回归方程过样本中心点求出，写出线性回归方程，利用回归方程计算x=11时的值．【解答】解：由表中数据，计算=×（4+6+8+10）=7，=×（3+5+6+8）=5.5，且线性回归方程=x+过样本中心点（，），∴=5.5﹣×7=﹣0.1=﹣，∴线性回归方程为=x﹣；当x=11时，=×11﹣=8.7，即某儿童的记忆能力为11时，他的识图能力约为8.7．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．4．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=8【考点】EA：伪代码．【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据S=1×10×8×6=480得到程序中UNTIL后面的条件．【解答】解：因为输出的结果是480，即S=1×10×8×6，需执行3次，所以程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了直到型循环语句问题，语句的识别是一个逆向性思维过程，是基础题．5．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，再根据α的范围求得sinα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=．又，∴sinα=﹣=﹣，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析所给的数据可得表示三天下雨的数据组数，根据概率公式，计算可得结果．【解答】解：根据题意，用随机模拟试验模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析可得：20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191、271、932、812、393、027、730，共7组，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为=0.35；故选：B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义有sinα=，cosα=，从而可知选项．【解答】解：由于sinα=，cosα=﹣，根据三角函数的定义：sinα=，cosα=，可知x=﹣4，y=3，故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】分别求出集合A，B对应区域的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：区域Ω1对应的面积S1=4π，作出平面区域Ω2，则Ω2对应的平面区域如图，则对应的面积S=2π+4，则根据几何概型的概率公式可知若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为P==．故选；D【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】由题意可得sin（+φ）=﹣1，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，从而可求y=f（﹣x）=﹣Asinx，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由x=时函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，∴﹣A=Asin（+φ），可得：sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ﹣，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（x）=Asin（x﹣），∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x﹣）=﹣Asinx，∴函数是奇函数，排除B，D，∵由x=时，可得sin取得最大值1，故C错误，图象关于直线x=对称，A正确；故选：A．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，属于基础题．二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】由已知中，扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是2弧度，我们可设计算出弧长与半径的关系，进而求出弧长和半径，代入扇形面积公式，即可得到答案【解答】解：∵扇形圆心角2弧度，可得扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=2r，故扇形周长C=l+2r=4r=6，∴r=，扇形面积S=π•r2•=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式，弧长公式，其中根据已知条件，求出扇形的弧长及半径，是解答本题的关键，属于基础题．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为c＞b＞a．【考点】GA：三角函数线．【分析】分别作出三角函数线，比较可得．【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查三角函数线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p= 65．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.3【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率=，得第一组人数为200，由频率分布直方图得第一组的频率为0.2，从而n=1000，进而a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，求出P==0.65，由此能求出a•P．【解答】解：由频率=，得第一组人数为：=200，由频率分布直方图得第一组的频率为：0.04×5=0.2，n==1000，∴a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，∴P==0.65，∴a•P=100×0.65=65．故答案为：65．【点评】本题考查频率率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率=及频率分布直方图的合理运用．14．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为4033．【考点】3O：函数的图象；3T：函数的值．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的解析式，分析可得f（x）+f（2﹣x）=2，将f（）+f（）+f（）+…+f（）变形可得[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]+f （1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x+sinπx，f（2﹣x）=（2﹣x）+sin[π（2﹣x）]=（2﹣x）﹣sinx，则有f（x）+f（2﹣x）=2，f（）+f（）+f（）+…+f（）=[f（）+f（）]+[f （）+f（）]+…[f（）+f（）]+f（1）=4033；故答案为：4033．【点评】本题考查了利用函数的对称性求函数值的应用问题，关键是依据函数的解析式确定函数的对称中心．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）（2017春•台江区校级期中）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=．（4分）（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．…（6分）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．…（8分）因此，A1被选中且B1未被选中的概率为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（10分）（2017春•黄山期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．【解答】（本小题10分）解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）抽取比例==，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．（10分）（2017春•台江区校级期中）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用“切化弦”及其平方关系可得sinx•cosx的值；（Ⅱ）根据诱导公式化简，利用“弦化切”可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵tanx=﹣3，即=﹣3，且﹣＜x＜﹣π，sin2x+cos2x=1，∴cosx=﹣，sinx=．那么：sinx•cosx=．（Ⅱ）原式====﹣3．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，利用列举法求出满足恰有一男一女抽到同一题目的事件个数，由此能求出其中恰有一男一女抽到同一道题的概率．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=＞1，排除C，当x=时，y=＞1，排除B、C，故选D．【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos （2x﹣）；再利用条件以及余弦函数的单调性，求得a的范围．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，∴a＞0．由2kπ﹣π≤0﹣≤2kπ，且2kπ﹣π≤2•﹣≤2kπ，k∈Z，求得k=0，﹣π≤a≤①．由2nπ﹣π≤4a﹣≤2nπ，且2nπ﹣π≤2•﹣≤2nπ，求得n=1，≤a≤②，由①②可得，≤a≤，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）（2017春•黄山期末）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=，故所求的事件的概率为P=，运算求得结果．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a ＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以，所求概率．【点评】本题考查了等可能事件的概率与二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题相结合的问题，画出实验的所有结果构成的区域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是几何概型的概率求法．22．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；（3）根据f（x）在[0，]上是单调递增函数，得出﹣≤φ≤ω+φ≤，求出ω≤﹣，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\A=3，=﹣=，∴T=π，ω==2；根据五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣，∴f（x）=3sin（2x﹣）；（2）f（x）=3sin（2x﹣），函数f（x）的图象向左平移m个单位后，所对应的函数是y=3sin[2（x+m）﹣]=3sin（2x+2m﹣）的图象，又函数y是偶函数，∴2m﹣=+kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z，∴m的最小正数是；（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，]上是单调递增函数，A＞0，ω＞0，∴﹣≤φ≤ω+φ≤，解得ω≤﹣；又﹣π＜φ＜0，∴﹣≤φ＜0，∴0＜﹣≤，∴ω≤+=3，即ω的最大值为3．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题．23．（12分）（2017春•台江区校级期中）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（I）根据正弦函数的性质可知正格点交点坐标为（10，1），从而求出m的值，根据图象判断交点个数．（II）令y=log a x的最小值大于f（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）若y=sinmx与函数y=lgx的图象有正格点交点，则此交点必为（10，1），∴sin10m=1，即10m=+2kπ，m=+，k∈Z．∵m∈（3，4），∴．作出y=sinmx与y=lgx的函数图象，如图所示：根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为10个．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（0，]，i）当a＞1时，不等式log a x＜0，而sin＞0，故不等式log a x＞sinmx 无解．ii）当0＜a＜1时，由图函数y=log a x在上为减函数，∵关于x的不等式log a x＞sinmx在（0，]上恒成立，∴log a＞1，解得：．综上，．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（二）一、选择题1、集合A={x|3x+2＞0}，B={x| ＜0}，则A∩B=（）A、（﹣1，+∞）B、（﹣1，﹣）C、（3，+∞）D、（﹣，3）2、已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（）A、a2＞b2B、ac＞bcC、a+c＞b+cD、ac2＞bc23、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b= ，a=2，B= ，则c=（）A、B、C、2D、4、在数列{a n}中，已知a1=0，a n+2﹣a n=2，则a7的值为（）A、9B、15C、6D、85、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=2x+2﹣xB、y=sinx+ （0＜x＜）C、y=x+D、y=log3x+ （1＜x＜3）6、若点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A、（0，10）B、（﹣1，2）C、（0，1）D、（1，10）7、在等比数列{a n}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{b n}为等差数列，且b5=a5，则{b n}的前9项的和S9为（）A、24B、25C、27D、288、若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A、9B、4C、6D、39、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab，则C=（）A、150°B、60°C、120°D、30°10、在等差数列{a n}中，a1=﹣2012，其前n项和为S n，若﹣=2002，则S2017=（）A、8068B、2017C、﹣8027D、﹣201311、设x＞0，y＞0，满足+ =4，则x+y的最小值为（）A、4B、C、2D、912、已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n= ，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A、1B、2C、4D、3二、填空题13、在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为________．14、设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为________．15、若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2 ，则AB边的最小值是________．16、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、3万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元甲乙原料限额A（吨） 2 5 10B（吨） 6 3 18三、解答题17、如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，AC=2 ，DC=2(1)求cos∠ADC(2)求AB．18、已知数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2﹣a3=2b3，a3﹣2b2=﹣1。
2024届重庆市育才中学数学高一下期末经典模拟试题含解析
2024届重庆市育才中学数学高一下期末经典模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知在Rt ABC ∆中，两直角边1AB =，2AC =，D 是ABC ∆内一点，且60DAB ∠=，设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则λμ=（ ）A ．3B ．3C ．3D ．2．150-︒的弧度数是（ ） A ．3π-B ．56π-C ．23π-D ．6π-3．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间具有线性相关关系，根据下表数据（单位：百万元)，由最小二乘法求得回归直线方程为95y x ∧=+.现发现表中有个数据看不清，请你推断该数据值为（ )A ．65B ．60C ．55D ．504．甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．345．已知两点()2,4A --，()3,16B -，则AB =（ ）A ．12B C ．13D ．6．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．已知点()3,1A ，()1,4B -，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知向量()a ab ⊥+，2b a =，则a ，b 的夹角为（ ） A ．23πB ．34π C ．56π D ．π9．设0a b <<，则下列不等式中正确的是( ) A ．2a ba b ab +<<<B ．2a ba ab b +<<< C ．2a ba ab b +<<< D ．2a bab a b +<<< 10．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( ) A ．29cmB ．210.5cmC ．213.5cmD ．217.5cm二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
重庆市育才中学2020-2021学年高一下学期期中数学(文)试题
故选：B
【点睛】
本题主要考查了分式不等式，一元二次不等式，转化思想，属于容易题.
3．B
【解析】
由题意结合正弦定理可得, ，
a<b，则A<B=60°
A=45°.
本题选择B选项.
点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
14．已知数列 中， ， ，则该数列的通项 _______.
15．如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=____.
三、解答题
16．已知△ABC的三个内角分别为A，B,C，且（2b-c)cosA=acosC
7．A
【解析】
【分析】
根据等比数列前 项和的性质求解可得所求结果．
【详解】
∵数列 为等比数列，且其前 项和记为 ，
∴ 成等比数列．
∵ ，即 ，
∴等比数列 的公比为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【点睛】
在等比数列 中，其前 项和记为 ，若公比 ，则 成等比数列，即等比数列中依次取 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
C． D．
3．已知 中， 分别是角 的对边， ，则 =()
A． B． C． 或 D．
4．△ABC的三个内角成等差数列，且 ，则△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形
C．等边三角形D．钝角三角形
5．在等差数列 中， ，则 （ ）
2021年高一下学期期中考试数学试卷+答案
2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。