数学归纳法证明不等式

能被 8 整除.
课堂练习:
1.用数学归纳法证明: 1 a a 2 a n 1 (a 1)在验证 n 1时, 左端计算所得的项为 ( C ) A.1 B.1 a C.1 a a 2 D.1 a a 2 a 3
1 1 1 2.用数学归纳法证明: 1 n n( n N , n 1), 2 3 2 1 第二步证明从" k到k 1" , 左端增加的项数是 ( B ) A.2 k -1 B .2k C .2k 1 D.2k 1
例1 证明 : n 3 5n( n N )能够被6整除.
特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证 题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明 n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.
练习 . 用数学归纳法证明 : An 5n 2 3n1 1( n N * )
ห้องสมุดไป่ตู้练习1:
P50习题4.1 题5
n2 n 2 解 : 这样的n条直线把平面分成的区 域数目为f ( n) 2 下面用数学归纳法证明
练习2: P50习题4.1 题6
(1)当n 1时, 一条直线将平面分成两 部分, f (1) 2, n 1时命题成立 .
k2 k 2 ( 2)假设当n k ( k N )时命题成立, 即有f ( k ) , 2 当n k 1时, 第k 1条直线与前面 k条直线有k个不同交点 , 即它被前面k条直线截成k 1段, 其中每一段都把它所在 的 原区域一分为二 , 也即使原区域数目增加 k 1.
f ( k 1) 1 1 k ( k 3) k 1 (k 2 k 2) 2 2 1 1 ( k 1)( k 2) (k 1)( k 1) 3 2 2 故n k 1 时, 命题成立,由(1), ( 2)可知对任何n N , n 3命题成立.
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可 以采用下面方法来证明其正确性： 1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的 n的值，如n0＝1) (归纳奠基） ； 2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也 成立(归纳递推）. 用上假设，递推才真 由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！ 注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例2.证明不等式sin n n sin ( n N )
例3.证明贝努利不等式: 如果x是实数, 且x 1, x 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 x ) 1 nx
n
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立 . 当 是实数,且 或 0 时 ,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时 ,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
第四讲 数学归纳法证明不等式
对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用 以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较 好的效果.
例如 : sinn n sin ( n N ) n 2 2 n ( n N , n 5) (1 x)n 1 nx ( x 1, n N )
1 解 : n凸边形的对角线条数: f ( n) n( n 3)(n 3). 2 下面用数学归纳法证明 1 (1)当n 3时, f ( 3) 3 ( 3 3) 0.而三角形没有对角线, 2 命题成立.
( 2)假设当n k时命题成立, 即凸k边形的对角线的条数 1 k ( k 3)(k 3).当n k 1时, k 1边形是在k边形的基础上 2 增加了一边, 增加了一个顶点Ak 1 , 增加的对角线条数是顶 点Ak 1与 f (k ) 不相邻顶点连线再加上 原k边形的一边A1 Ak , 增加的对角线条数为 ( k 2) 1 k 1
当n k 1时，不等式成立。 由（1）（2）可知，对一切n N，且n 2，不等式都成立。
（2）假设当n k( 2)时，不等式成立，即 1 则当n k 1时， 左式 1
1 2 1

1 3
1
1 k
k 1 k 1
1 2

1 3

k
k 1
k

k ( k 1) 1 k 1

kk 1 k 1

k 1 k 1
k 1 右式
1 1 1 1 练习1.求证: 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n
1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 2 ,右边= 2 ,由于 2 2 2 4 5 3 ,故不等式成立. 4 2
(2)假设n=k( k N , k ≥ 2)时命题成立,即
若 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 都相等 ,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 不全相等 , 则其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 „„
例 4: 如 果 n(n 为 正 整 数 ) 个 正 数 a1 , a2 , , an 的 乘 积
a1a2 an 1 ,那么它们的和 a1 a2 an ≥ n .
证明:⑴当 n 1 时, 有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k ≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 , , ak 的乘积 a1a2 ak 1 ,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 , 已知 k 1 个正 数 a1 , a2 , , ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
证明 : (1)当n 1时,即一个圆把平面分成二 个部分 f (1) 2, 又n 1时, n 2 n 2 2, 命题成立
( 2)假设当n k时, 命题成立, 即k个圆把平面分成 f ( k ) k 2 k 2个部分, 那么由题意知第 k 1圆 与前k个圆中每个圆交于两点 , 又无三圆交于同一 点, 于是它与其它 k交于2k个点, 把它分成2k条弧而 每条弧把原区域分成 2块,因此这平面的总区域增 加2k块, 即f ( k 1) k 2 k 2 2k ( k 1) 2 ( k 1) 2, 即当n k 1时命题成立. 由(1)( 2)可知对任意n N 命题成立.
二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平面上有n( n N , n 3)个点, 其中任何三点都不在 同一条直线上, 过这些点中任意两点作 直线, 这样的直线 共有多少条? 证明你的结论.
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设.
1 1 1 1 1 2 2 2 2 . 2 3 k k
则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( ) 2 . 2 k ( k 1) k k (k 1) k k k 1 k 1 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n N , n ≥ 2都成立.
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
练习 2.当 n ≥ 2 时,求证: 1
1
1 2

1 3

1 n
n
2 证明： （1） 当n 2时，左式 1 1 17 . 2 右式 2 2 当n 2时，不等式成立
二.用数学归纳法证明不等式问题
例1观察下面两个数列 , 从第几项起a n始终小于bn ? 证明你的结论 .
n n
a b
n
2 : 2,4,8,16,32,64,128,256,512, .
n 2 : 1,4,9,16,25,36,49,64,81, ;
由数列的前几项猜想 , 从第5项起, an bn , 即n 2 2n ( n N , n 5)
解 : 上面四个式子的结果分 别是2,3,4,5, n n 由此猜想 : 1 3 5 ( 1) ( 2n 1) ( 1) n 下面用数学归纳法证明: (1)当n 1时, 式子左右两边都等于 1, 即这时等式成立.
( 2)假设当n k ( k 1)时等式成立, 即 1 3 5 ( 1)k ( 2k 1) ( 1)k k 当n k 1时
一.用数学归纳法证明等式问题
通过计算下面的式子, 猜想出 1 3 5 ( 1)n ( 2n 1) 的结果, 并加以证明. 1 3 _____;1 3 5 ______ 1 3 5 7 ______;1 3 5 7 9 _______
k2 k 2 f (k 1) f (k ) k 1 k 1 2 k 2 3k 4 (k 1) 2 (k 1) 2 2 2 故当n k 1时, 命题成立,由(1)( 2)可知, 对任意正整数n, 命题成立
练习3：
有n个圆, 其中每两个圆都相交于 两点, 并且每三个圆都 不相交于同一点 , 求证 : 这n个圆把平面分成 f ( n) n 2 n 2个部分.