中考专题15 平行四边形存在性问题-最新中考数学二次函数压轴题核心考点突破
A O
B
x
A O
B
x
C
C
备用图
（2）考虑到 AM∥PQ，故只需 AM=PQ 即可． 过点 A 作 B C 的平行线，与抛物线交点即为 P 点， 易得直线 AP 的解析式： y x 1 ，
联立方程： x2 6x 5 x 1 ，解得： x1 1 （舍）， x2 4 ，
故对应 P 点坐标为（4，3）；
xB yB
xD yD
xC yC
xA yA
xC yC
xD xB yD yB
，
xA xC
2
yA
yC
xB xD 2
yB yD
→
xA yA
xC yC
xB xD yB yD
．
2
2
当 AC 和 BD 为对角线时，结果可简记为： A C B D （各个点对应的横纵坐标相加）
CDPM 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
y M
C P
AO D B x l
【分析】
（1）抛物线： y x2 2x 3 ；
（2）由题意可知 CP、DM 为对角线，
考虑 DM 在直线 x=-1 上，故 CP 中点在直线 x=-1 上，
∵点 C 坐标为（0，3），故点 P 横坐标为 2，代入解析式得 P（2，3），
、
4,
2 3
、
2,
14 3
．
【两定两动：x 轴+抛物线】
（2018·济宁中考删减）如图，已知抛物线 y ax2 bx c(a 0) 经过点 A(3,0) ， B(1,0) ，
C(0, 3) ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是
（2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M ．当 AM BC 时，过抛物线上一动点 P （不与点 B ，
C 重合），作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点Q ，若以点 A ， M ， P ，Q 为顶点的
四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标． y
y
【分析】 （1） y x2 6x 5 ；
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形 ABCD 是平行四边形：AC、BD 一定是对角线． （2）以 A、B、C、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
【题型分类】 平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．
7
或
m
1
7 n 2
7， 7
故对应的 P 1
7,3
、
y
1
7,3 ．
y
y
P
P
Q BO
Q
A
x
BO
A
x
BO
A Qx
C
P
C
P
C
P
综上所述，P 点坐标为（2，-3）、 1 7,3 、 1 7,3 ．
【两定两动：对称轴+抛物线】 （2019·包头中考删减）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2 bx 2(a 0) 与 x
3
0
，解得：mn 23
或
m 0 n 1
（舍），
故对应的 P（2，-3）；
若
BP
为对角线 ，由题意得：
m 1 n 0 m2 2m 3
0
0
3
，解得：mn 12
或
m 0 n 1
（舍），
故对应的 P（2，-3）；
若
BQ
为对角线，由题意得 ：0n
1 m 0 0 m2 2m
3
3
，解得：m 1 n 2
轴交于 A(1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C ，连接 BC ．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M ，使得以 B ，C ， M ，N 为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有 一问：若坐标系中的 4 个点 A、B、C、D 满足“A+C=B+D”，则四边形 ABCD 是否一定为平 行四边形？
反例如下：
D B M A C
之所以存在反例是因为“四边形 ABCD 是平行四边形”与“AC、BD 中点是同一个点”并不是 完全等价的转化，故存在反例．
存在，请说明理由．
y
C
A O
B x
【分析】
（1）抛物线： y 2 x2 4 x 2 ，对称轴：直线 x=1； 33
（2）设
M
点坐标为
m,
2 3
m2
4 3
m
2
，N
点坐标为1, n
1 1
3 2
m0 0n
，解得
m 4 n 3
，故
C（4，0）、D（0，3）；
（2）当
AC
为对角线时，
1 1
m 3 0 02n
，解得
mn 21，故
C（2，0）、D（ 0，-1）；
（3）当
AD
为对角线时，
y
1 1
0 n
3 2
m 0
，解得
y
m 2 n 1
，故
C（-2，0）、D（0，1）．
2 2．两定两动
已知 A（1，1）、B（3，2），点 C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，且以 A、B、C、D 为顶点的 四边形是平行四边形，求 C、D 坐标．
y
A O
B x
【分析】 设 C 点坐标为（m，0），D 点坐标为（0，n），又 A（1，1）、B（3，2）．
（1）当
AB
为对角线时，
y P
A O
Q
B
x
M
C
作点 A 关于 B 点的对称点 A ，过点 A 作 BC 的平行线，
与抛物线的交点亦为题目所求 P 点，
易求直线解析式： y x 9 ，
y
联立方程：
x2
6x 5
x 9 ，解得： x1
5 2
41
，
x2
5 2
41
．
A
A'
故对应
P
点坐标为
5
2
41
,
13
2
41
、
5
y
求△PAB 面积的最大值．
【分析】
（1）抛物线： y x2 2x 3 ，直线 AB： y x 3 ； O
B
x
E A
C
（2）考虑 EC∥MN ，故若使点 M、N、C、E 是平行四边形，则 EC=MN 即可， ∵E （1，-2）、C（1，-4）， ∴EC=2，
设 M 点坐标为（m，m-3）（m>1），则 N 点坐标为 m,m2 2m 3 ，
但此两个性质统一成一个等式：
xA yA
xC yC
xB xD yB yD
，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多 只能存在 2 个未知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
【2019 宜宾中考】
如图 ，在平 面直角坐 标系 xOy 中， 已知抛 物线 y ax2 2x c 与直 线 y kx b 都经 过
标．
y
y
D C
D C
AO
B
x
AO
B
x
【分析】
（1）抛物线： y 2 x2 4 x 2 ； 33
（2）设
P
点坐标为（m，n
），又
B
（3，0）、C（0，2）、D
1，83
3 0 m 1
m 2
①若
BC
为对角线，由题意得：
0
2
n
8 3
，解得：
n
2 3
，
故
P1
的坐标为
2,
2 3
；
②若
A yA-yB
B xA-xB
D yD-yC C xD-xC
xA xC
（2）对角线互相平分转化为：
yA
2
yC
2
xB xD 2
yB yD 2
，
可以理解为 AC 的中点也是 BD 的中点．
D A
C B
【小结】虽然由两个性 质推得的式子并不一样，但其实可以化为 统一：
xA yA
y
y
N
M
O
B
x
E A
C
O
MB
x
E
A
N
C
综上，P
点坐标为
3
2
17
, 3 2
17
或（2，-1）．
（3）铅垂法可解．
【2018 河南中考（删减）】
如图，抛物线 y ax2 6x c 交 x 轴于 A 、B 两点，交 y 轴于点C ．直线 y x 5 经过 B 、C．
（1）求抛物线的解析式；
平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
BO C
A
x
【分析】 （1）抛物线： y x2 2x 3 ；
（2）列方程组求：设 P m,m2 2m 3 、Qn,0 ，又 B（-1，0）、C（0，-3），
若
BC
为对角线，由题意得：
1 0 m 0 3 m2
n 2m
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出 4 个点坐标．若 把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．
中考数学函数压轴——平行四边形存在性
二次函数存在性问题一、平行四边形存在性1．如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．（1）求抛物线的解析式．（2）求点B的坐标及△BOC的面积．（3）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标．2．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形；（3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m （m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．4．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是第四象限内抛物线上一点，过点F作FD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当OD＝4FE时，求四边形FOBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），A（﹣1，0），B （3，0），直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求抛物线的函数解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式．（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE 交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由．（3）若点M在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形？若存在，请直接写出所有满足要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)
一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。
2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。
三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。
求△AOB的面积。
【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。
代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。
当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。
因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。
所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。
中考数学压轴题攻略之二次函数中平行四边形存在问题
中考数学压轴题攻略之二次函数中平行四边形存在问题
二次函数综合题是中考每年必考的题型，存在性问题在二次函数综合题中也是一类重点问题，可谓是重中之重，所以广大考生一定要掌握此类题型的解法，做到心中有数，下笔有神。
下面以一道中考题为例，简单分析一下二次函数中平行四边形存在问题的解题思路。
题目
题目图像
第（1）、（2）题不是此次讲解的重点，所以我们就简单对一下答案
（1）（2）答案
（3）分析：从题目中可以看出这道题中平行四边形已经有了两个定点，属于“两定两动”的题型，这种问题可以将两个定点连接为线段，再按这条线段作为平行四边形的边和对角线两种情况进行分类讨论，即可解题。
点评：有时候解题利用平行四边形中心对称的性质会有奇效。
二次函数压轴题之平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为：A B D CAB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx A -x BABC D（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．DCBA【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩， 2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩． 当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：D之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．D 3D 2D 1OyxCBA思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得： （1）BC 为对角线时，531352m n +=+⎧⎨+=+⎩，可得()17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253mn +=+⎧⎨+=+⎩，解得()21,4D -；（3）AB 为对角线时，153235mn +=+⎧⎨+=+⎩，解得()33,0D ．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如：1=D B C A +-，2=D A C B +-，3D A B C =+-．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）． （1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式： A C B D AC BD x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．【2019宜宾中考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并求△P AB 面积的最大值．【分析】（1）抛物线：223y x x =--，直线AB ：3y x =-；（2）考虑EC ∥MN ，故若使点M 、N 、C 、E 是平行四边形，则EC =MN 即可，∵E （1，-2）、C （1，-4）， ∴EC =2，设M 点坐标为（m ，m -3）（m >1），则N 点坐标为()2,23m m m --， 则MN =()()222333MN m m m m m =----=- 由题意得：232m m -=， 232m m -=，解得：1m =，2m =（舍）， 对应P点坐标为⎝⎭； 232m m -=-，解得：32m =，41m =（舍）． 对应P 点坐标为（2，-1）．综上，P点坐标为⎝⎭或（2，-1）． （3）铅垂法可解．【2018河南中考（删减）】如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过B 、C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．【分析】（1）265y x x=-+-；（2）考虑到AM∥PQ，故只需AM=PQ即可．过点A作BC的平行线，与抛物线交点即为P点，易得直线AP的解析式：1y x=-，联立方程：2651x x x-+-=-，解得：11x=（舍），24x=，故对应P点坐标为（4，3）；作点A关于B点的对称点A'，过点A'作BC的平行线，与抛物线的交点亦为题目所求P点，易求直线解析式：9y x=-，联立方程：2659x x x-+-=-，解得：1x，2x=．故对应P点坐标为⎝⎭、⎝⎭．综上所述，P点坐标为（4，3）、⎝⎭、⎝⎭．【2018郴州中考（删减）】如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++； （2）由题意可知CP 、DM 为对角线，考虑DM 在直线x =-1上，故CP 中点在直线x =-1上，∵点C 坐标为（0，3），故点P 横坐标为2，代入解析式得P （2，3）， 易知M 点坐标为（1，6）．【三定一动】（2018·恩施州中考删减）如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(1,0)-，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标．【分析】（1）抛物线：224233y x x =-++；（2）设P 点坐标为（m ，n ），又B （3，0）、C （0，2）、D 813⎛⎫⎪⎝⎭，①若BC 为对角线，由题意得：3018023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：223m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故1P 的坐标为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若BD 为对角线，由题意得：3108023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：423m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故2P 坐标为24,3⎛⎫⎪⎝⎭；③若BP 为对角线，由题意得：3018023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：2143m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故3P 坐标为142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，P 点坐标为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭、142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【两定两动：x 轴+抛物线】（2018·济宁中考删减）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(3,0)A ，(1,0)B -，(0,3)C -．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =--；（2）列方程组求：设P ()2,23m m m --、Q (),0n ，又B （-1，0）、C （0，-3），若BC 为对角线，由题意得：21003230m n m m -+=+⎧⎨-=--+⎩，解得：23m n =⎧⎨=-⎩或01m n =⎧⎨=-⎩（舍）， 故对应的P （2，-3）；若BP 为对角线，由题意得：21023003m n m m -=+⎧⎨--+=-⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩或01m n =⎧⎨=-⎩（舍），故对应的P （2，-3）；若BQ 为对角线，由题意得：21000233n m m m -=+⎧⎨+=---⎩，解得：12m n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩12m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 故对应的P ()1+、()1．综上所述，P 点坐标为（2，-3）、()1、()1．（2019·包头中考删减）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：224233y x x =-++，对称轴：直线x =1；（2）设M 点坐标为224,233m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，N 点坐标为()1,n ，又B （3，0）、C （0，2）若BC 为对角线，由题意得：23012402233m m m n +=+⎧⎪⎨+=-+++⎪⎩，解得：20m n =⎧⎨=⎩， 故M 点坐标为（2，2）；若BN 为对角线，由题意得：23102402233m n m m +=+⎧⎪⎨+=-+++⎪⎩，解得：443m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故M 点坐标为104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；若BM 为对角线，由题意得：23102420233m m m n +=+⎧⎪⎨-+++=+⎪⎩，解得：2163m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故M 点坐标为102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上所述，M 点坐标为（2，2）、104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2019·咸宁中考删减）如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知E ，F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ，O ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标．【分析】（1）抛物线：213222y x x =-++；（2）设E 点坐标为1,22m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，F 点坐标为213,222n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，又B （0，2）、O （0，0），①若OB 为对角线，由题意得：2001130222222m nm n n +=+⎧⎪⎨+=-+-++⎪⎩，解得：1122m n ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩或2222m n ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩故E点坐标为(2--或(2-+；②若OE 为对角线，由题意得：2001130222222m nm n n +=+⎧⎪⎨-+=-++⎪⎩，解得：3322m n ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩4422m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩故E点坐标为(2+或(2-；③若OF 为对角线，由题意得：2001310222222n mn n m +=+⎧⎪⎨-++=-+⎪⎩，解得：5522m n =⎧⎨=⎩， 故E 点坐标为（2，1）．【两定两动：抛物线+抛物线】（2019·连云港中考删减）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:L y x bx c =++过点(0,3)C -，与抛物线2213:222L y x x =--+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q分别是抛物线1L 、2L 上的动点． （1）求抛物线1L 对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标．备用图【分析】（1）1L 解析式：223y x x =--；（2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解．设P 点坐标为()2,23m m m --，Q 点坐标为213,222n n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，又C （0，-3）、A （2，-3），①若CA 为对角线，由题意得;2202133323222m nm m n n +=+⎧⎪⎨--=----+⎪⎩， 解得：35m n =-⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩（舍），故P 点坐标为（-3，12）；②若CP 为对角线，由题意得：2202133233222m nm m n n +=+⎧⎪⎨-+--=---+⎪⎩， 解得：31m n =⎧⎨=⎩或43103m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故P 点坐标为（3，0）或413,39⎛⎫- ⎪⎝⎭；③若CQ 为对角线，由题意得：22021********n mn n m m +=+⎧⎪⎨---+=-+--⎪⎩， 解得：11m n =-⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩（舍），故P 点坐标为（-1，0）．综上所述，P 点坐标为（-3，12）、（3，0）、413,39⎛⎫- ⎪⎝⎭、（-1，0）．【四动点构造】（2019·锦州中考删减）如图，在平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式（2）F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．【分析】（1）抛物线：21334y x x =-++； （2）本题4个点皆为动点，使四边形DEGF 为平行四边形易，而使周长最大难．设E 点坐标为3,34m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为213,34m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，设F 点坐标为213,34n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则G 点坐标为3,34n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，2213333444DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， 2213333444FG n n n n n ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， 由DE =FG ，可得：2244m m n n -+=-+， ∵m ≠n ，∴4m n +=，过点G 作GH ⊥CD 交CD 于H 点，则()()555425442EG n m m m =-=-=-， 又24DE m m =-+， ∴22524523102DEGFCm m m m m ⎛⎫=-++-=-++ ⎪⎝⎭，当34m =时，四边形DEGF 是平行四边形且周长最大，此时G 点坐标为139,416⎛⎫⎪⎝⎭．。
2024年九年级中考数学专题+课件-+：二次函数平行四边形存在性问题
五
三
一
学 四例 二平
目
以 致 用
方 法 归
题 解 析
纳
中 点 坐 标 公 式
行 四 边 形 性 质
录
+
判
定
一、平行四边形性质+判定
一、平行四边形性质
1、边：对边平行且相等 2、角：对角相等，邻角互补 3、对角线：对角线互相平分
二、平行四边形判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
边形是平行四边形？若存在，请求出所有
满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明
理由．
谢
谢
与x轴相交于A、B两点，顶点为P.
(1)求点A、B的坐标；
(2)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边
形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标。
2.已知抛物线L：y=-x2+bx+c经过点O(0,0)、A(4,0)，L关于 x轴对称的抛物线为L′，点B的坐标为（0,8）. （1）求抛物线L和L′的函数表达式。 （2）点M在抛物线L的对称轴上，点P在抛物线L′上，是否 存在这样的点M与点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由。
3.如图,抛物线
与x轴交于点A、
B 两点，抛物线的对称轴为直线x=1,
(1)求m的值及抛物线的解析式；
(2)过A的直线与抛物线的另一交点C的横 坐标为2. 直线AC的解析式；
3.如图,抛物线
二次函数平行四边行存在性问题
解：（1）
y
1 3
x2
2 3
x
1
（-1,0）
（3,0）
合作交流、同伴引领
思想与思想的碰撞必产生智慧的火花
1.与同伴沟通自已的疑惑. 2.与同伴分享自己的解题思路与方法. 3.与同伴交流在学习过程中获得的新思想、新感受. 5.最后形成共识：怎样分类、怎样找点、怎样计算.
解（2）在抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
解：（1）y 1 x2 x 4 2
(2).Q1(4, 4)Q2(2 2 5, 2 2 5) Q3(2 2 5, 2 2 5)Q4(4, 4)
谢谢大家!
B、C为顶点的四边形是平行四边形, 这样的点C
有几个？请直接写出点C的坐标.
（-1,1）
C3
C1 答案:存在3个.
（2,2）
C2
C1(1, 3) C2 (3,1)
C3 ( 1,1)
方法小结
平行四边形中一个动点的存在性问题.
方法步骤：
三步曲—— 1.先分类 2.再找点 3.后计算(图形解析法、万能法）
探索性问题
——平行四边形存在性问题的探索
平行四边形的存在性问题一直是中考热点题目， 本节侧重讲面对此类压轴题如何找点、如何利用 平行四边形的性质和有关结论快速求出点的坐标， 以提两种类型 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题 第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
（ⅰ）当AB为一条边时
y 1 x2 2 x 1
y
33
P2
Q2
由题意可知PQ=4，所 以P点横坐标X=±4，
这时 P1(4, 53)P2(4,7)
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
专题：二次函数中的动点问题(平行四边形存在性问题)
二次函数中的动点问题（二）平行四边形的存在性问题一.技巧提炼如图1,点人（召,开）、3（忑,儿）、C（X3Os）是坐标平面内不在同一直线上的三点。
平面直角坐标系中是否存在点D,使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D的坐标。
如图2,过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。
3、平面直角坐标系中直线和直线12:当h时k尸k2；当h丄I2时ki-k2=-14、二次函数中平行四边形的存在性问题：解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算二、精讲精练1、已知抛物线y=ax-+bx+c与x轴相交于A、E两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3,AABC的面积为6,（如图1）（1）求抛物线的解析式：（2）坐标平面内是否存在点M,使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2,在直线BC±方的抛物线上是否存在一动点P,ABCP面枳最大？如果存在，求出最人面积,2、如图，己知抛物线经过A(-2,0),B(・3,3)及原点6顶点为C(1)求抛物线的函数解析式：(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。
【变式练习】7如图，对称轴为直线x二一的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)・2(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四彖限，四边形0EAF是以0A为对角线的平行四边形, 求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形0EAF是否为菱形？②是否存在点E,使平行四边形0EAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.、方法规律1、平行四边形模型探究如图1，点&（內,开）、3（七,儿）、C（X3，”）是坐标平面内不在同一直线上的三点。
中考数学压轴题解题策略2 平行四边形的存在性问题解题策略
中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1 【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下D3(－2, －1)．右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点C(4-和C′(4+-，点C和C′向左平移4个单位得到点D(-和D′-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以a=P(1-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例❻如图6-1，将抛物线c1：2y=x轴翻折，得到抛物线c2．现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB和△NED是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM与EN保持平行且相等，所以四边形ANEM保持平行四边形的形状，点O为对称中心．【解法一】如果∠ANE＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE＝2EN ＝4．而AE＝AO＋OE＝2AO，所以AO＝2．已知AB＝2，此时B、O重合（如图6-4），所以m＝BO＝1．【解法二】如果对角线MN＝AE，那么OM＝OA，此时△MAO是等边三角形．所以等边三角形MAB与△MAO重合．因此B、O重合，m＝BO＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)-，根据OA2＝OM 2B m-，M(mA m--、(1,0)列方程(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1 【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA．（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEFA．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。
2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形
2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上方的抛物线上一点，求△DCA面积的最大值，以及△DCA面积取得最大值时，点D的坐标；（3）点P是直线AC上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．3．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y ＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F 的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC 周长最小，直接写出P，Q的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；（2）在二次函数的图象位于x轴上方的部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过点M、N作x轴的垂线，分别交x轴于点H、G．①当四边形MNGH为正方形时，求MN的长；②当四边形MNGH为矩形时，求矩形MNGH周长的最大值．7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△OPM是直角三角形？8．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）直线ME与BC交于点N，点P为直线BC上方抛物线上一点，在直线BC上是否存在一点Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；（3）点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C 是直角三角形时，直接写出点F的坐标．10．如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段EM的最大值；（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求出该抛物线的解析式；（2）点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，设点D的横坐标求为x，四边形ABDC的面积为y1．①求四边形ABDC的面积y1关于x的解析式；②求出使得四边形ABDC的面积y1最大的点D的坐标；（3）在抛物线y＝ax2+bx+c上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．12．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）13．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．14．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MO M′C，那么是否存在点M，使四边形MO M′C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积．17．如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2，平移抛物线y＝x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．19．如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．（1）a0，b2﹣4ac0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P 的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE 面积S的最大值；（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，∴，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，，得，∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），∴设点P的坐标为（p，2p+6），＝＝﹣（p+）2+，∴S△P AE∵﹣3＜p＜﹣1，取得最大值，此时S△P AE＝，∴当p＝﹣时，S△P AE即△PAE面积S的最大值是；（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，∴OA＝PQ，∵点A（﹣3，0），∴OA＝3，∴PQ＝3，∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），∴，解得，或（舍去），当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．2．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，得，即可求解；（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，设点D坐标为（m，﹣m2+m ﹣2），求直线AC的关系式为：y＝x﹣2，利用平行的性质点E的坐标可表示为（m，m﹣2），用m的代数式表示出DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，△DCA面积＝×4（﹣m2+2m），利用函数来讨论最值问题，即可求解；（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m﹣2），①如图，点Q在x轴上方，利用平行知识表示出P点坐标为（m﹣1，﹣m2+m﹣4），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，解得m＝1或3（1舍去），即可求解；②如图，点Q在x 轴下方，利用平行知识表示出P点坐标为（m+1，﹣m2+m），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，解得m＝2±，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，∴，解得：，∴此抛物线的解析式：y＝﹣x2+x﹣2；（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，设点D坐标为（m，﹣m2+m﹣2），设直线AC关系式为：y＝px+q，把A（4，0）和C（0，﹣2）代入，得，∴，直线AC的关系式为：y＝x﹣2，∴点E的坐标可表示为（m，m﹣2），∴DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，+S△CDE∴△DCA面积S＝S△ADE＝DE•AF+DE•OF＝ED•AO＝×4（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，△DCA的面积最大，最大面积为4，此时点D坐标为（2，1）；（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m﹣2），①如图，点Q在x轴上方，∵BC∥PQ，从B，C坐标可得B点向左平移个单位，再向下平移2个单位得到点C，∴点Q向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，∴P点坐标为（m﹣1，﹣m2+m﹣4），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，∴m＝1或3（1舍去），此时点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）；②如图，点Q在x轴下方，∵BC∥PQ，从B，C坐标可得C点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C，∴点Q向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，∴P点坐标为（m+1，﹣m2+m），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，∴m＝2±，此时点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．∴点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）或点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．3．【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a （x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，＝PF•EF＝PE2，∴S△PEF∴当m＝﹣时，S＝×（）2＝；△PEF最大值（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．4．【分析】（1）令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，可得C（0，﹣8）；（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，根据题意得E（m，m2+2m ﹣8），D（m，﹣2m﹣8），即可得出DE＝﹣m2﹣4m，利用△ACO∽△DOF，建立方程求解即可；（3）分三种情况：CM为对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N（﹣1，﹣6），根据CM＝PN＝CN＝，即可求出答案；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），建立方程求解即可；③当CM为对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），根据N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，设DE交x轴于点F，则F（m，），∴OF＝﹣m，∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，∵OD⊥AC，EF⊥OA，∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠OCD，∴△ACO∽△DOF，∴＝，∴OC•DF＝OA•OF，∴8（2m+8）＝4（﹣m），解得：m＝﹣，∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣）2﹣4×（﹣）＝；（3）存在，如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：CM为对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），CN＝＝，∴CM＝PN＝，∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，解得：a＝，∴M3（0，﹣），③当CM为对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，∴M4（0，﹣12），综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．5．【分析】（1）求出B （2，﹣1），A （4，0），再将点O 、点A 、点B 代入抛物线y ＝ax 2+bx +c ，即可求解解析式；（2）①设F （2，m ），G （x ，x 2﹣x ），由已知可得（x ﹣2）2+＝，整理得到m （m ﹣x 2+2x ）＝0，因为任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线y ＝﹣2的距离总相等，所以m ＝0，即可求F 坐标；②设过点F 的直线解析式为y ＝kx ﹣2k ，M （x M ，y M ），N （x N ，y N ），联立直线与抛物线解析式得x 2﹣（4+4k ）x +8k＝0，则有x M +x N ＝4+4k ，x M •x N ＝8k ，y M +y N ＝4k 2，y M •y N ＝﹣4k 2，由①可得+＝+＝1；（3）作B 点关于y 轴的对称点B '，作C 点关于x 轴的对称点C '，连接C 'B '交x 轴、y 轴分别于点P、Q，四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，求出B'（﹣2，﹣1），C'（3，），可得直线B'C'的解析为y＝x﹣，则可求Q（0，﹣），P（，0）．【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），∴B（2，﹣1），∴A（4，0），将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，得到，解得，∴y＝x2﹣x；（2）①设F（2，m），G（x，y），∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，∴（y+2）2＝y2+4y+4，∵y＝x2﹣x，∴（y+2）2＝y2+4y+4＝y2+x2﹣4x+4＝y2+（x﹣2）2，∴G到直线y＝﹣2的距离与点（2，0）和G点的距离相等，∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，∴（x﹣2）2+＝，整理得，m（m﹣x2+2x）＝0，∵距离总相等，∴m＝0，∴F（2，0）；②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（x M，y M），N（x N，y N），联立，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，∴x M+x N＝4+4k，x M•x N＝8k，∴y M+y N＝4k2，y M•y N＝﹣4k2，∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，∴+＝+＝＝＝1，∴+＝1是定值；（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，∵点C（3，m）是该抛物线上的一点∴C（3，﹣），∵B（2，﹣1），∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，），∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，∴Q（0，﹣），P（，0）．6．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等，进而求解；②当四边形MNGH为矩形时，由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，即可求解．【解答】解：（1）由题意抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点，则，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点A（1，4）；（2）设点M坐标为M（m，﹣m2+2m+3）（m＞0），①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等．由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，则点N的横坐标为2﹣m，∴点N坐标为（2﹣m，﹣m2+2m+3），∴MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∵MN＝MH，∴2m﹣2＝﹣m2+2m+3，解得：或（舍去），∴；②当四边形MNGH为矩形时，由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，∴当m＝2时，矩形MNGH周长的最大值为10．7．【分析】（1）根据点O，A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点B的坐标；＝S△ABO （2）当运动时间为t时，结合点P，M的运动速度可得出0≤t≤3，由S四边形ABPM 可得出四边形ABPM的面积关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可﹣S△POM解决最值问题；（3）当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形①当∠OPM＝90°时，由∠BOA＝60°，∠PMO＝30°，则OM＝2OP，即t＝6﹣2t，即可求解②当∠OMP＝90°时同理可解．【解答】解：（1）将O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，∴顶点B的坐标为（3，3）．（2）当运动时间为t时，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，OM＝6﹣2t．∵当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动，∴0≤t≤3．＝S△ABO﹣S△PO＝•OA•y B﹣•OM•PC＝×6×3﹣×（6﹣2t）×则S四边形ABPMt＝（t﹣）2+．∵＞0，∴当t＝时，四边形ABPM的面积取最小值，最小值为；（3）设直线OB的解析式为y＝kx，将B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，解得：k＝，∴直线OB的解析式为y＝x．过点P作PC⊥x轴于点C，如图所示．设点P的坐标为（x，x），则点C的坐标为（x，0）．∵tan∠POC＝＝，∴∠POC＝60°．当∠APO＝90°，则cos∠POC＝＝，∴OP＝3．∵OP＝1×t＝3，∴t＝3．当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形，①当∠OPM＝90°时，①当∠OPM＝90°时，∵OM＝2OP，即2t＝6﹣2t，t＝1.5；②当∠OMP＝90°时，∵∠BOA＝60°，∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，即t＝2（6﹣2t），∴t＝．8．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．9．【分析】（1）先求出直线BC与x轴交点的坐标，再将其和A（﹣1，0）代入函数解析式，求出待定系数的值即可；（2）画出图形，根据平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，列出方程求得结果；（3）利用相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质列方程解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3过点B和点C，∴B（3，0）、C（0，3），OB＝OC＝3，把A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点M的坐标为（1，4）．（2）对于直线y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴N（1，2）．设P（m，﹣m2+2m+3）．若MN是平行四边形的一边，如图1，则PQ∥MN且MN＝PQ＝2，Q（m，﹣m+3），∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝2，解得：m1＝2，m2＝1（不符合题意，舍去），∴Q（2，1）若MN是平行四边形的对角线，如图2，∵线段MN的中点为坐标为（1，3），且点Q与点P关于点（1，3）成中心对称，∴Q（2﹣m，m2﹣2m+3），∵点Q在直线y＝﹣x+3上，∴m2﹣2m+3＝﹣（2﹣m）+3，解得m1＝0，m2＝2（不符合题意，舍去），∴Q（0，3）．综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（0，3）．（3）如图3，∠A'FC＝90°，作FG⊥x轴于点G，则FG＝A'G，设F（m，﹣m+3），则﹣m+3＝m﹣1，解得m＝2，∴F（2，1）；如图4，∠CA'F＝90°，作FG⊥x轴于点G，则∠FA'G＝90°﹣∠OAC＝∠A'CO，∴＝＝tan＝∠A'CO＝，∴FG＝A'G，∴﹣m+3＝（m﹣1），解得m＝，∴F（，）．综上所述，点F的坐标为（2，1）或（，）．故答案为：（2，1），（，）．10．【分析】（1）点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，将点C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝﹣2x2+12x，即可求解；（3）分AM是边、AM是对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，则点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，故抛物线的表达式为：y＝3ax2+10x+12，将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+10x+12；（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝（﹣2x2+10x+12）﹣（﹣2x+12）＝﹣2x2+12x，∵﹣2＜0，故EM有最大值，最大值为18，此时x＝3；（3）y＝﹣2x2+10x+12，令y＝0，则x＝﹣1或6，故点A（﹣1，0），由（2）知，x＝3，则点M（3，6），设点P的横坐标为：m，点Q的坐标为：（，s），①当AM是边时，当点A向右平移4个单位向上平移6个单位得到点M，同样，点P（Q）向右平移4个单位向上平移6个单位得到点得到点Q（P），即m±4＝，解得：m＝﹣或，故点P（﹣，﹣）或（，﹣）；②当AM是对角线时，由中点公式得：﹣1+3＝m+，解得：m＝﹣，故点P（﹣，）；综上，点P的坐标为：（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．11．【分析】（1）用待定系数法即可求解；＝S△AOC△DOC+S△DOB＝﹣x2+x+6（0＜x＜3），即可求解；（2）由y＝S四边形ABDC（3）分∠QBC、∠QCB为直角两种情况，利用函数的性质分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，∴该抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①如图，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD、AC．则0＜x＜3，x2﹣2x﹣3＜0则△AOC的面积＝，△DOC的面积＝x，△DOB的面积＝﹣（x2﹣2x﹣3），＝S△AOC+S△DOC+S△DOB＝﹣x2+x+6（0＜x＜3）；∴y＝S四边形ABDC②∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y的最大值为，此时，点D（，﹣）；（3）有两种情况：如图2，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点F，连接Q1C．∵∠CBO＝45°，∴∠FBO＝45°，BO＝OF＝3．∴点F的坐标为（0，3）．∴直线BF的解析式为y＝﹣x+3．则，解得，∴点Q1的坐标为（﹣2，5）．如图（3），过点C作CG⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点G，连接BQ2．∵∠CBO＝45°，∴∠CGB＝45°，OG＝OC＝3．∴点G的坐标为（﹣3，0）．∴直线CG的解析式为y＝﹣x﹣3．由，解得，∴点Q2的坐标为（1，﹣4）．综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．12．【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），即可求解；＝AB（y C﹣y D），即可求解；（2）S四边形AMBC（3）抛物线的表达式为：y＝x2，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x ﹣，点M坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），S四边形AMBC＝AB（y C﹣y M）＝×6×（9+3）＝36；（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y＝x2，则定点D与动点P之间距离PD＝＝，令t＝，则x2＝3t，可得PD＝，当t＝﹣＝﹣时，PD有最小值，∵t≥0，∴3﹣2m≤0，即m≥时，PD的最小值d＝；当m＜时，3﹣2m＞0，t≥0，∴t2+（3﹣2m）t+m2≥0，故当PD最小时，t＝0，即x＝0，∴当点P与点O重合时，PD最小，即PD的最小值d＝|m|∴d＝．13．【分析】（1）将A、D的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．（2）根据抛物线的解析式即可得到其对称轴及B点的坐标，由于A、B关于抛物线对称轴对称，连接BD，BD与抛物线对称轴的交点即为所求的P点，那么PA+PD的最小值即为BD的长，根据B、D的坐标，即可用勾股定理（或坐标系两点间的距离公式）求出BD的长，也就求得了PA+PD的最小值．（3）此题可分作两种情况考虑：①BE∥DG；根据抛物线的解析式可求得C点坐标，可得C、D关于抛物线对称轴对称，即C、D的纵坐标相同，所以CD∥x轴，那么C点就是符合条件的G点，易求得CD的长，根据平行四边形的性质知BE＝CD，由此可得到BE的长，将B点坐标向左或向右平移CD个单位即可得到两个符合条件的E点坐标；②BD∥EG；根据平行四边形的性质知，此时G、D的纵坐标互为相反数，由此可求得G点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得G点的坐标；那么将G点的横坐标减去3（B、D横坐标差的绝对值），即可得到两个符合条件的E点坐标；综上所述，符合条件的E点坐标应该有4个．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（2）由：y＝x2+2x﹣3得：对称轴为：，令y＝0，则：x2+2x﹣3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝1，∴点B坐标为（1，0），而点A与点B关于x＝﹣1对称，∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点．过点D作DF⊥x轴于点F，则：DF＝3，BF＝1﹣（﹣2）＝3，在Rt△BDF中，BD＝，∵PA＝PB，∴PA+PD＝PB+PD＝BD＝，即PA+PD的最小值为．（3）存在符合条件的点E，①在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则有：y＝﹣3，故点C坐标为（0，﹣3），∴CD∥x轴，∴在x轴上截取BE1＝BE2＝CD＝2，得BCDE1和BDCE2，此时：点C与点G重合，E1（﹣1，0），E2（3，0）．②∵BF＝DF＝3，∠DFB＝90°，∴∠FBD＝45°，当G3E3∥BD且相等时，有G3E3DB，作G3N⊥x轴于点N，∵∠G3E3B＝∠FBD＝45°，∠G3NE3＝90°，G3E3＝BD＝，∴G3N＝E3N＝3；将y＝3代入y＝x2+2x﹣3得：，∴E3的坐标为：，即，同理可得：，综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：E1（﹣1，0），E2（3，0），E 3，．14．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设P（m，﹣m2+4m），C（m，m）可得PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）由（2）可知，由AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．推出点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC 和四边形ADP′C′是平行四边形，求出直线DP的解析式，利用方程组即可解决问题；【解答】（1）解：把O（0，0）和点A（3，3）代入y＝ax2+4x+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）解：0＜m＜3，PC＝PB﹣CB，∵B（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+4x上，C在OA上，A（3，3），∴P（m，﹣m2+4m），C（m，m）∴PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，当D（，0）时，PC max＝，答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）由（2）可知，∵AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．∴点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，∵直线OA的解析式为y＝x，∴直线DP的解析式为y＝x﹣3，由，解得或，∴m的值为．15．【分析】（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点代入求出a、b、c的值即可；（Ⅱ）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（Ⅲ）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，。