二重积分的计算

使用(2)式也要注意积分区域Ω的特点.
注：在上述讨论中假定f（x，y）≥0，但实际上 不满足此条件, 公式（1）、（2）的成立并不受此条件 的限制。
对非X、Y型区域
若区域Ω如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分别使 用积分公式
D3
D1 D2
.
D1
D2
D3
由上述讨论可见：
计算二重积分就要把二重积分化为二次积分，关
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则D
: 11yxx2
y
I
2
d
x
1
x x yd 1
y
2
1
1 2
x
y2
x
1
dx
2 y
yx
1
1212x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
1y2 o yx2
1 x2x
2
I d y
1
y2x y d x
2
1
1 2
x
f(x,y)0 时 ,f(x,y)d的 值 等 于 以 为 底 ， 以
曲 面 zf(x,y)为 顶 的 曲 顶 柱 体 的 体 积 ．
由此可见: 计算二重积分就是计算曲顶柱体的体积.
下面借助于几何直观将二重积分转变为二次定积 分来计算，略去分析证明过程。
2.2 直角坐标下二重积分的计算
讨论中假定f（x，y）≥0 由定积分应用知：
已知平行截面面积为A (x)的立体的体积
b
V A(x)dx. a
oa
x xdx b
x
R
o
y
x
R
x
若积分区域Ω = (x,y)|a1(xx)by2(x)
y2(x)
y1(x)
其中φ1(x)、φ2(x)在区间[a，b]上连
a
b
续.
则 以 为 底 ， 曲 面 z f ( x , y ) 为 顶 的 曲 顶 柱 体
y1(x
(1)式右端的积分叫先对y后对x的二次积分.
使用(1)式要注意积分区域Ω的特点.
即如果积分区域Ω为： axb, 1 (x )y2 (x ).
其中函数1(x)、2(x) 在区间 [a,b]上连续.
［X－型］
y2(x)
y1(x)
y2(x)
y1(x)
a
b
a
b
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点.
键是确ห้องสมุดไป่ตู้积分限，因此首先要画出积分区域的图形
二重积分存在时
n
f(x,y)dldi m 0k0f(k,k)k
可用平行坐标轴的直线来划分区域Ω, 这时 k xk yk,
因此面积元素 d 记作 dxdy, 因此,直角坐标下的二重
积分记作 f (x, y)dxdy. D
例1. 计算 IDxyd,其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
是介于二平行平面x=a与x=b之间
的立体.
z
zf(x,y)
y
Oa
bx
用平面x=x0截立体，截得的面积为A(x0).则
z
A（x0）
2(x0 ) 1(x0 )
f(x0,y)dy
zf(x,y)
应用计算“求已
y
A(x0 )
知平行截面面积的立
体体积”的方法
y2(x) O a x 0
bx
得
f(x ,y)da b [ 1 2 ((x x ))f(x ,y)d y ] d x (1 ).
例6.求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.
2
D :
2yx 8y2
0 y2
o 22 2 x
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f (x,y)dx
例5. 计算I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
y4x2, y3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
2
y
2dy 2
y
1
2y1 2y3 dy
9 8
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算
xyd,
D
其中D 是抛物线 y2 x 及直线
yx2所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2 y2 x
y
则
D
:
1y2 y2xy2
oD
1
4x yx2
Dxyd
2
1
d
y
y2
y 2 xydx
211 2x2yyy 22dy1 2 21[y(y2)2y5]dy
1y44y32y21y62 45
24 3
6 1 8
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
f(x,y)dxdy
D
b
dx
a
2(x) f(x,y)dy
1(x)
d
dy
c
2(y) f(x,y)dx
1(y)
为计算方便,可选择积分次序.
例3. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0, Dx
x所围成的闭区域.
y
解: 取D 为X – 型域 :
yx
D: 00
yx
x
D x
o x
Dsixnxdxdy
0
sinxdx x
x 0
d
y
0 sinxdx
cosx
0
2
说明: 如果积分顺序选取不当,不仅可能引起计算上的 麻烦,而且可能导致积分无法算出.
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
y 3x
oD 2
1x
x 1
I xln y (1 y2)d x d y D 1
xlny ( 1y2)dxdy0 D 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
• 前面的例子说明为了使得积分能方便地计 算出来，一般要选择积分区域分块少，原 函数好求的积分方法,而且能用对称性时可 以简化计算.
类似地，如果积分区域为：
cyd, 1(y)x2(y)［.Y－型］
d
x1(y) c
x2(y)
d
x1(y)
c
x2(y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区
域边界相交不多于两个交点.
此时
f(x ,y)ddd y2(y)f(x,y)d x . (2 )
c 1(y)
(2)式右端的积分叫先对x后对y的二次积分.
第二节 二重积分的计算
z
2.1二重积分的几何意义
zf(x,y)
曲顶柱体的体积计算
给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 Ω
o
y
顶: 连续曲面 zf(x,y)0 x D D
侧面：以 Ω 的边界为准线 , 母线平行 于 z 轴的柱面
求其体积.
n
Vf(x,y)dli m 0i1f(i,i)i
二重积分的几何意义
例4. 交换下列积分顺序
2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
解: 积分区域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D