随机事件及其概率运算
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论与数理统计-事件间的关系及运算
或 A1A2 An.
i1
互不相容（关系）
如果事件 A与B 不可能同时发生,即 AB ,则称二
事件 A与B是互不相容的(或互斥的).
两个互不相容事件A 与 B的并，记作：A B .
如果 n 个事件 A1, A2,, An中任意两个事件不可能同 时发生,即
Ai Aj (1 i j n),
则称这 n 个事件是互不相容的(或互斥的).
此时，A1, A2 , , An 的并记作
n
A1 A2 An 或 Ai.
i1
互逆（关系）
如果事件 A与 B互不相容且它们中必有一事件发生， 即二事件 A与B 中有且仅有一事件发生,即
AB 且 A B ,
则称事件 A与 B是对立的(或互逆的),称事件 是事A 件 的 对立B 事件(或逆事件);同样,事件 也是事件B 的对立事A 件(或逆事件).
n
记作：A1 A2 An. (简记为： Ai ) i1
事件的交（积）（运算）
“二事件 A与B都发生”这一事件叫做事件 A与B的交.
记作：A B 或 AB. B
A
A B
“ n 个事件 A1, A2,, An中都发生”这一事件叫做事
件 A1, A2,, An的交.
n
记作： A1 A2 An (简记为： Ai )
A 事件A的对立事件
集合A是集合 B的子集 集合A与集合 B相等 集合A与集合 B的并集 集合 A与集合 B的交集 集合A 与B 不相交 集合A 的余集
[例1] 设有A, B, C三个事件，用 A, B, C 的运算表
示以下事件：
① A, B, C 至少有一个发生；
A BC
② A, B, C 都发生；
随机事件及其运算
Ω 1={正面，反面}
E2：投掷一枚硬币两次，观察其出现正面还是反面的试验.
Ω 2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
E3：测量一根粉笔长度的试验. Ω 3={x|0≤x≤a}, E4：观察一只羊在羊圈中的位臵的试验. Ω 4={(x,y)|0≤x≤a , 0≤y≤b}
第 一章 随机事件及其概率
基本事件: 只包含一个试验结果的事件,用ω 来表示.
随机事件与基本事件之间的关系：
例,掷一枚骰子试验 出现的点数ωi= “出现i点” (i=1,…,6) A＝“出现奇数点” 都是基本事件
是随机事件，但不是基本事件
由ω1, ω3, ω5组合成的，记A={ω1,ω3,ω5},当且仅当这三 个基本事件之一发生时事件A才发生.
A1 A2 A1 A3 A2 A3
考虑逆事件：A1 A2 A1 A3 A2 A3
第 一章 随机事件及其概率 例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手 第i次射击时击中目标.试用文字叙述下列事件 ： （1）A1 A2 A3 ;（2） A2 （4）A1 A2 A3 ；（3） A1 A2 A3 ；
（8）三次中至少两次击中.
第 一章 随机事件及其概率
小
一、概念 1.随机试验；
结
2.随机事件；
两个特殊事件：必然事件，不可能事件. 3.样本空间. 二、事件之间的关系及运算 注意互不相容事件与互逆事件、二者的关系
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一 2 ；3.
P19
8.完备事件组
若事件 A1,…,An为两两互不相容事件， 且A1∪…∪An= Ω,则称A1,…,An 构成一个完备事件组（或称事件的划分）. 当n为2时，完备事件组为互逆事件. 例 设Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},C={6},则 （1）A,B,C构成完备事件组. （2）AB=Φ，即A,B互不相容，但不是互逆. 因为A∪B={1,2,3,4,5}, 但A∪B≠Ω.
第二讲随机事件的概率及其计算
所以事件B的概率为 3 4 5 6 P( B) B n 0.5. 10 9 8
8
例2 设有10只灯炮，其中有2只是坏的。现从中任取3只灯 泡，求恰有1只灯泡是坏的概率。 解 从10只灯泡中任取3只，共有 C10 种等可能的取法。
3
设A表示事件“取出的3只灯泡中恰有1只坏灯泡”，所以A 中 1 A C2C82 . 于是，由公式（1）得： 所包含的基本事件数为
若事件A发生,即所取的3个球都是白球,则 A 6 5 4, 所以事件A的概率为 65 4 0.167 A A n 10 9 8 若事件B发生,即所取的3个球中有1个红球2 个白球,考虑到红球抽取的次序,则有
1 B C3 4 6 5 3 4 5 6,
称此概率为古典概率。
4
例1 袋中有10个球,其中4个红球6个白球.今按下面两种方法 从袋中任取3个球，求下列事件A：“3个球都是白球”和B： “1个红球2个白球”的概率。 方法(1) 有放回抽样：每次抽取一个，观后放回再抽下一个。
。
方法(2) 无放回抽样：每次抽取一个，观后不放回抽下一个。
5
解 (1)有放回抽样
从10个小球中有放回地任取3个球的所有可能的取法 10 3种 ， 即样本空间中元素个数 n 10 。
3
A 63 若事件A发生，即所取的3个球都是白球,则
所以由公式(1)知，事件A的概率为
。
A A n 6 1个红球2个白球,考 虑到红球抽取的次序, 则
1 B C3 4 6 2 2 6 3
(1) (2) (3)
所以事件B概率为
B B n 2 6 3 / 10 3 0.432
概率论与数理统计公式大全
第1章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布Ihl ttamitai'l例1.16设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为 至少有一张红桃”，B 为恰有2张红桃”，张方块”,求条件概率P( B| A), P( B| C) 解 P(A)1 P(A)P(BA)P(AB) P(A)1 c；3CTG ；c3；C 13 C52C52C39—C13一C 13 C 13C 52 C 39—血39P(AB)P(C)C 13C 39 c ；3P(BC)5 26C13C 13C 2652P(B C )P ( BC ) P(C)C13 C 13 C 2613 --------- C 52C 5 C 8C13 C 39C13~ —C 522 6C 13 C 26C 8C39C 为恰有5 C 23C 3113T -某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现 年为20岁的这种动物活到25岁的概率.解 设A 表示事件 活到20岁以上”，B 表示 事件活到25岁以上”， P(A) 0.7 P(B) 0.56P(B A)P(AB) P(A)显然P(AB) 0.56 0.7P(B) 0.560.81例 1.21例1.21 某工厂生产的产品以 超过 4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0概率 0.1 0.2现进行抽样检验，从每批中随机抽取 为该批产品不合格。
求一批产品通过检验的概率。
解设B 表示事件 “一批产品通过检验 品”100 1 2 0.4 0.2 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 3 0.1 10件来检验，若发现其中有次品，则认 ”，A (=0,1,234) 表示 ，贝U A 0 ,A 1 , A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， C 10C99 C 10C100P(A) 0.1P(B|") 1P(A) 0.2,P (B |A )0.900 P(A)'一批产品含有 0.4,P(B A 2)i 件次P(A 3) 0.2, P(B A 3)c 10崗 0.727 C 100P(A 4)0.1 , P(B A 4)C 10C 96C 10 C0.652C 1098C 101000.8094P ( A k )P ( B |A k ) k 0 顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是类似可以计算顾客买到的一 批合格品中，含次品数为 1、2、 3、 4件的概率分别约 为 0.221 、0.398 、0.179 、 0.080贝叶斯公式(Bayes)P(B) P (A 。
随机事件概率计算
随机事件概率计算随机事件的概率计算是概率论中的重要内容，通过计算可以得出不同事件发生的可能性大小。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，并希望通过概率计算来提前了解事件发生的可能性，以便做出合理的决策。
本文将介绍随机事件概率计算的基本原理和常用方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
二、概率计算方法1. 经典概率法经典概率法是根据事件的样本空间进行计算的方法。
当事件的每个基本结果发生的可能性相等时，可以使用该方法计算概率。
概率的计算公式如下：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A中基本结果的数目，N(S)表示样本空间中基本结果的总数。
2. 相对频率法相对频率法是通过实际观察事件发生的频率来计算概率。
该方法要求多次观察或重复实验，计算事件发生的频率，从而逼近事件的概率。
概率的计算公式如下：P(A) = n(A) / n其中，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验或观察的总次数。
3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验估计的方法，根据个人对事件发生的主观认知来计算概率。
该方法常用于无法进行重复实验的情况，但其结果可能受到主观因素的影响。
三、概率计算的实例下面通过两个实例来说明概率计算的具体过程。
1. 掷骰子问题：假设有一个普通的六面骰子，如果我们想要计算投掷骰子时出现6的概率，可以使用经典概率法进行计算。
该事件的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，基本结果的数目为6，因此事件发生的概率为：P(出现6) =1/6。
2. 抽取扑克牌问题：假设有一副52张的扑克牌，其中有4张A牌。
如果我们想要计算从扑克牌中抽取一张A牌的概率，可以使用相对频率法进行计算。
进行多次实验，记录抽取到A牌的频率。
如果进行100次实验，抽取到A牌的次数为10次，则事件发生的概率为：P(抽取A) = 10/100 = 0.1。
1.1随机事件及其运算
在试验E中,人们除了关心所有的基本事件(样 本点)外,还可能关心满足某些特征的样本点是否 出现.比如“出现的点数是偶数”、“出现的点数 大于4”等事件是否会发生。
从集合的观点看， “出现的点数是偶数”这 一事件包含了样本空间中的三个样本点：2点、4 点、或6点；如果试验出现的结果是三个样本点中 的某一个，则该事件发生；反之如果该事件发生， 则试验的结果一定是这三个样本点中的某一个。
表示A与B同时发生所构成的事件.
类似地,事件A1，A2，…，An同时发生所构 成的事件表示为
A1∩A2∩…∩An 或 A1A2…An
例如若A=“出现偶数点”；B=“点数大于4”
则AUB ={2,4,5,6}； A∩B ={6}.
5.事件的差 记作 A-B
Ω
由包含在A中而又不包含在
B中的样本点构成的事件. 表示A发生而B不发
第一章 随机事件及其概率
自然界和社会生活中出现的现象大致上可 以分为两类：
确定性现象：在一定条件下一定会发生的 现象。如太阳从东方升起；苹果从树上掉落到 地上等。
随机现象：在相同条件下可能发生的结果 呈现出偶然性的现象。比如，随机掷一枚硬币， 结果可能出现正面朝上或反面朝上。
随机现象虽然在一次或少数几次试验中出 现的结果表现出偶然性，但在大量的重复试验 中又表现出一定的规律性——统计规律性。比 如通过进行大量的掷硬币试验，人们发现正面 朝上和反面朝上的频率接近相等。
随机事件:试验E的样本空间Ω的子集称为试验 E的随机事件,简称事件. 一般用大些字母A、B、 C等表示.
例如,记A表示“出现的点数是偶数”,则 A={2点,4点,6点}，
这里A是Ω的子集。
基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件
《随机事件及其概率运算》课程总结
实验设计与数据处理任何自然科学都离不开实验，大多数学科（化工、化学、轻工、材料、环境、医药、热工等）中的概念、原理和规律大多由实验推导和论证的。
如最佳的配方、工艺条件，产品性能的优化，对产品质量、环境质量作出评价等。
“实验设计与数据处理”是以概率论数理统计、专业技术知识和实践经验为基础，经济、科学地安排试验，并对试验数据进行计算分析，最终达到减少试验次数、缩短试验周期、迅速找到优化方案的一种科学计算方法。
它主要应用于工农业生产和科学研究过程中的科学试验，是产品设计、质量管理和科学研究的重要工具和方法。
这门课从以下十个章节给我们介绍了实验设计与数据处理：1）.随机事件及其概率运算2）.随机变量及其概率分布3）.抽样和估计4）.实验误差5）.假设检验6）.析因实验7）.实验数据的整理8）.建立实验数学模型的一般方法9）.实验数据的回归与相关分析10）.正交实验设计我就实验设计、数据处理和正交试验设计做简要陈述。
1.实验设计实验设计是指为节省人力、财力、迅速找到最佳条件，揭示事物内在规律，根据实验中不同问题，在实验前利用数学原理科学编排实验的过程。
以概率论与数理统计学为理论基础，为获得可靠试验结果和有用信息，科学安排试验的一种方法论，亦是研究如何高效而经济地获取所需要的数据与信息的方法。
正确的实验设计不仅节省人力，物力和时间，并且是得到可信的实验结果的重要保证。
即经过设计的实验，效果大大提高，与不经过设计的实验相比，情况大不相同。
广义上说，实验设计包括明确实验目的，确定测定参数，确定需要控制或改变的条件，选择实验方法和测试仪器，确定实测精度要求，实验方案设计和数据处理步骤等。
1.1实验设计的发展过程20世纪初，英国生物统计学家费歇尔（1890-1962）首次提出了“试验设计”术语。
20世纪40年代，英美两国开始在工业生产中应用。
50、60年代，日本田口玄—博士创造了正交试验设计法。
50年代，我国中科院数学研究所在正交实验设计的观点、理论和方法上有了新的创见，编制了一套较为适用的正交表，简化了实验程序和实验结果分析方法。
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第一周随机事件及其概率运算
1.1随机试验与随机事件
同学们好！欢迎大家参加中国大学先修课程《概率论与数理统计》的学习。
我是清华大学数学科学系的教师梁恒，很高兴在今后一段时间里与大家分享一些概率论与统计学中最基本、最重要也是最常用的经典成果。
概率论与统计学集中对不确定性进行定量研究，建立了描述不确定性的有效数学模型和理论方法。
随着现代科学技术的发展，深刻地理解不确定性有着越来广泛和紧要的需求，概率论与统计学已经成为科学研究、工程技术、经济管理，乃至人文社科等领域不可或缺的工具。
这门课程的基本内容和方法不仅是提供了一些有效工具，更反映出独特的思维模式，很好地体现了数学理论和实际应用的联系。
本课程面向已经有一些微积分基础的优秀中学生，强调抽象原理与现实应用的紧密结合，希望通过深入浅出的内容，引导同学们从传统的确定性思维模式逐步熟悉和掌握随机性思维模式，当然也希望能够激发同学们的学习兴趣，提升大家的科学素养，为同学们在大学后继课的学习奠定良好的数学基础并帮助同学们适应从初等数学到高等数学，学习观念上的转变，更好地适应即将到来的大学学习和生活。
第一周我们主要学习随机事件及事件的概率运算。
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偶然性与不确定性的概念几乎与人类文明本身一样的古老。
人们不得不应付天气变化、传染病的侵袭、战争胜负，以及一次捕猎是否成功等等的不确定现象。
很久以前，人们就对理解和运用不确定性的机理和特征产生了兴趣。
早在公元前3500年左右，古埃及等地就已经出现了利用动物骨头制作的具有随机性质的游戏。
通常人们都认为近代的概率论，也就是概率的数学理论是由十七世纪法国数学家帕斯卡和费马共同开创的，他们成功地推导出一些赌博规则对应的实际概率，获得了一些有效的计算公式。
从那时起，概率论得到了稳步的发展，被越来越多地应用到工程、科学、管理、医药等领域，成为与微积分、线性代数同等重要的最基础的数学工具之一。
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随机试验与样本空间
如果一个试验事先能够明确地知道试验所有可能的基本结果，在每一次观察中，不能
事先准确地预言其中哪一个基本结果会发生，并且在相同条件下可以重复进行，则称此试验为随机试验。
随机试验的每种基本结果称为一个样本点ω，全体基本结果构成的集合称为样本空间，通常记为Ω。
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例1.1.1考察下面几个随机试验的样本空间
试验1：将一枚均匀硬币抛3次，观察出现正面的次数；{}3,2,1,01=Ω；
试验2：同时掷两颗六面的色子，观察所得的点数和；{}12,,4,3,22 =Ω试验3：某网站在某一段时间内被点击的次数；{}
,3,2,1,03=Ω试验4：在一批电子器件中任意取一只，测试其寿命。
{}
0|4≥=Ωt t *********************************************************
样本空间中具备某种属性的样本点的集合叫做一个随机事件，简称为事件，通常用大写字母A、B、C 等表示。
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
对于Ω⊂A ，A w ∈⇔事件A 发生；A w ∉⇔事件A 未发生。
例如：掷两颗色子的随机试验中，随机事件“点数和为3的倍数”对应集合{}12963,,,=A 。
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例1.1.2考虑例1.1.1中的随机试验3，即某网站在某一段时间内被点击的次数，试写出下列事件包含的样本点：
=A {一小时内被点击次数在10到20次之间}；
{}20,,12,11,10 =A =B {一小时内被点击次数不多于7次}；
{}7,6,5,4,3,2,1,0=B =C {一小时内被点击次数为偶数次}；{}
,2,,6,4,2n C ==D {一小时内被点击次数至少为0次}；
{},,,,0123D =Ω= =E {一小时内被点击次数少于0次}.
E =Φ
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字幕(出镜)：样本空间Ω包含所有的样本点，若事件集合等于Ω本身，则在每次试验中它总是发生的，故称为必然事件；而空集Φ中不包含任何样本点，它在每次试验中都不可能发生，故称为不可能事件。
为讨论方便，以及概念的完整性，虽然必然事件与不可能事件并不具有不确定性，我们仍然常常将它们作为随机事件的特例，纳入到随机事件的范畴来统一考虑。
（备注3：话音结束后，再在此画面多停留3-5秒，然后切入下一页）
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事件的示性函数
函数()⎩
⎨⎧∈=otherwise A w w I A ,,0 1，称为事件A 的示性函数或标志函数（indicator）*********************************************************。