高中数学例题：随机事件概率的计算
高中数学 概率经典例题和巩固练习及答案
高中数学：概率总复习（例题、巩固练习、例题和巩固练习详解）【典型例题】要点一：随机事件与概率例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少? (2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少?举一反三：【变式1】若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()n f ，则随着n 的逐渐增大，有( )A .()n f 与某个常数相等B .()n f 与某个常数的差逐渐减小C .()n f 与某个常数的差的绝对值逐渐减小D .()n f 与某个常数的附近摆动并趋于稳定要点二：互斥事件与对立事件例2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?举一反三：【变式1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：.要点三：古典概型例3．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：(1)甲中奖的概率P(A)；(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；(3)只有乙中奖的概率P(C)；(4)乙中奖的概率P(D)．举一反三：【变式1】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.【变式2】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.要点四：几何概型例4、从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？举一反三：【变式1】在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成了三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率．【变式2】已知关于x 的二次函数2()41f x ax bx =-+．(1)设集合P ＝{-1，1，2，3，4，5}和Q ＝{-2，-1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[1，+∞)上是增函数的概率：(2)设点(a ，b)是区域8000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()f x 在区间[1，+∞)上是增函数的概率．【巩固练习】1．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对2．某校学生毕业后有回家待业，上大学和补习的三种方式，现取一个样本调查结果如图所示，若该校每一个学生上大学的概率为45，则每个学生补习的概率为( )A ．110 B ．225 C ．325D ．153．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4．8，4.85)(g)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.684．先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ） A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 87 5．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）。
高考数学概率计算与随机事件选择题
高考数学概率计算与随机事件选择题1. 某班级共有50名学生，其中有20名女生和30名男生。
随机抽取一名学生，抽到女生的概率是多少？2. 一个袋子里有5个红球和6个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？3. 抛掷一枚公平的六面骰子，得到偶数的概率是多少？4. 在一次抽奖活动中，共有100个奖品，其中有20个一等奖，30个二等奖，50个三等奖。
随机抽取一个奖品，抽到一等奖的概率是多少？5. 某班级共有40名学生，其中有25名喜欢数学，20名喜欢物理。
随机抽取一名学生，抽到喜欢数学或喜欢物理的概率是多少？6. 一个盒子里有5个苹果和3个橙子，随机取出一个水果，取出苹果的概率是多少？7. 抛掷两枚公平的六面骰子，两个骰子点数之和为5的概率是多少？8. 某班级共有30名学生，其中有15名参加了数学竞赛，10名参加了物理竞赛。
随机抽取一名学生，抽到参加了数学竞赛或参加了物理竞赛的概率是多少？9. 某班级共有50名学生，其中有25名男生和25名女生。
随机抽取一名学生，抽到男生的概率是多少？10. 一个袋子里有7个红球和8个蓝球，随机取出一个球，取出蓝球的概率是多少？11. 抛掷一枚公平的六面骰子，得到一个素数的概率是多少？12. 在一次抽奖活动中，共有150个奖品，其中有30个一等奖，50个二等奖，70个三等奖。
随机抽取一个奖品，抽到二等奖的概率是多少？13. 某班级共有40名学生，其中有20名参加了数学竞赛，15名参加了物理竞赛。
随机抽取一名学生，抽到参加了数学竞赛或参加了物理竞赛的概率是多少？14. 一个盒子里有4个苹果和6个橙子，随机取出一个水果，取15. 抛掷两枚公平的六面骰子，两个骰子点数之和为6的概率是多少？16. 某班级共有30名学生，其中有10名喜欢数学，15名喜欢物理。
随机抽取一名学生，抽到喜欢数学或喜欢物理的概率是多少？17. 某班级共有50名学生，其中有25名男生和25名女生。
随机抽取一名学生，抽到女生的概率是多少？18. 一个袋子里有6个红球和4个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？19. 抛掷一枚公平的六面骰子，得到一个质数的概率是多少？20. 在一次抽奖活动中，共有200个奖品，其中有40个一等奖，60个二等奖，100个三等奖。
高中数学 全概率公式
n
P( Ai )P(B | Ai ) i 1
——求和符号
二、探读与思考
n
P( Ai ) 1
i 1
全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,
且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有
P(B)= =
P(A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P(An )P(B | An ) .
由贝叶斯公式得
P(A|B)＝PAPPBB |A＝00..8858×7 51≈0.958.
堂 21 小 结
1.设事件 2.写概率 3.代公式
条件概率 P(B|A)＝PAB―→乘法公式 P(AB)＝P(A)P(B|A) PA
↓
全概率公式 由因求果
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn) 加法公式
易知, A1∪A2∪A3∪A4=Ω，
且两两互斥，
A4 0.4
四、引导与迁移
由因求果
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
例2：某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概
率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐这四种交通工具迟到
的概率分别为
由已知得
0.25,0.3,0.1,0.2,
我们称该式为概率的乘法公式.
回顾旧知
1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是145,刮风的概率为125,既刮
风又下雨的概率为 1 ,则在下雨天里,刮风的概率为( C ) 10
A.2825
B.12
C.38
D.34
条件概率
1
解:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则
高中数学总复习专题63 随机事件的概率 (解析版)
专题63随机事件的概率最新考纲1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式.基础知识融会贯通1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．重点难点突破【题型一】事件关系的判断【典型例题】从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是（）A．至多有一件次品B．两件全是正品C．两件全是次品D．至多有一件正品【解答】解：从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是两件全是正品．故选：B．【再练一题】从装有红球和绿球的口袋内任取2个球（已知口袋中的红球、绿球数都大于2），那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球D．至少有一个红球，都是绿球【解答】解：从装有红球和绿球的口袋内任取2个球（已知口袋中的红球、绿球数都大于2），选项A，C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件．故选：B．思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．【题型二】随机事件的频率与概率【典型例题】事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件A发生的概率的范围是（）A．P（A）＞0 B．P（A）＜1 C．0＜P（A）＜1 D．0≤P（A）≤1【解答】解：事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，由随机事件的性质得：必然事件A发生的概率是P（A）＝1，不可能事件A发生的概率是P（A）＝0，随机事件A发生的概率的范围是：0＜P（A）＜1．故选：C．【再练一题】将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数互不相同”，B＝“至多出现一个奇数”，则概率P（A∩B）等于（）A．B．C．D．【解答】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数互不相同”，B＝“至多出现一个奇数”，基本事件总数n＝6×6×6＝216，A∩B包含的基本事件个数m60，∴概率P（A∩B）．故选：C．思维升华(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．【题型三】互斥、对立事件的概率命题点1互斥事件的概率【典型例题】某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.7【解答】解：由于中一等奖，中二等奖，为互斥事件，故中奖的概率为0.1+0.1＝0.2，故选：B．【再练一题】某产品分为优质品、合格品、次品三个等级．生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03．在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是（）A．0.28 B．0.72 C．0.75 D．0.97【解答】解：∵某产品分为优质品、合格品、次品三个等级．生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03．在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是p＝1﹣0.25﹣0.03＝0.72．故选：B．命题点2对立事件的概率【典型例题】某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35．（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少【解答】解：（1）设事件“电话响第k声时被接”为A k（k∈N），那么事件A k彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得：P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）＝0.1+0.2+0.3+0.35＝0.95．（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A，“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为．根据对立事件的概率公式，得P（）＝1﹣P（A）＝1﹣0.95＝0.05．【再练一题】小明和小勇玩一个四面分别标有数字1，2，3，4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：基本事件总体为4×4＝16种，两次数字之和小于5的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）共6种，∴数字之和不小于5的概率为P，故选：C．思维升华求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．基础知识训练1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，与“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于B、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至多有1个红球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，不是互斥事件，不符合题意；对于C、“恰有1个白球”即“一白一红”，与“恰有2个白球”是互斥不对立事件，对于D、“至多有1个白球”包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，和“都是红球”不是互斥事件，不符合题意；故选：C．2．某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是A．至少有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶【答案】C【解析】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.选C.3．已知事件M”3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N是（）A．互斥且对立事件B．不是互斥事件C．互斥但不对立事件D．对立事件【答案】C【解析】事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件M和事件N互斥而事件M”3粒种子全部发芽”的对立事件为”3粒种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能三个不发芽，故事件M和事件N不对立故事件M和事件N互斥不对立4．从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是 ( ) A ．至少有一个红球，至少有一个白球 B ．恰有一个红球，都是白球 C ．至少有一个红球，都是白球 D ．至多有一个红球，都是红球【答案】B 【解析】由题意可知，基本事件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白.选项A ：至少有一个红球，包括一红球一白球，二红球，至少有一个白球，包括一白球一白球，二白球，这二个事件不互斥； 选项B ：恰有一个红球，那一个是白球，与二个都是白球，显然互斥但不对立，因为还有一个事件二个都是红球；选项C:至少有一个红球，包括一红一白，二红，显然与二白是对立事件；选项D;至多一个红球，包括一红一白，二白，显然与二红是对立事件，故本题选B.5．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．108石 B ．169石C ．237石D ．338石【答案】A 【解析】256粒内夹谷18粒，∴米中含谷的频率为189256128=， 1536∴石中夹谷约为91536129108128⨯=⨯=（石）.故选A. 6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ={抽到一等品}，事件B ={抽到二等品}，事件C ={抽到三等品}，且已知()0.7P A =，()0.2P B =，()0.1P C =．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ） A ．0.7 B ．0.2 C ．0.1 D ．0.3【答案】D 【解析】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品， 事件A ={抽到一等品}，()0.7P A =， ∴抽到不是一等品的概率是10.70.3−=．7．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B 【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++ 因为()()P A 0.45,P AB 0.15== 所以()P B 0.4= 故选B.8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“都是红球” C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”【答案】D 【解析】对于A ：事件“至少有一个黑球”与“都是黑球” ，这两个事件可能同时发生，所以不正确； 对于B 中：“至少有一个黑球”与“都是红球”这两个事件是互斥事件又是对立事件，所以不正确； 对于C 中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，所以不正确；对于D 中，“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的，故选D ．9．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）． A ．1415B ．115C ．29D ．【答案】A设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以232101()=15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =−−=,故本题选A. 10．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则“4X >”表示试验的结果为（ ）A ．第一枚为5点，第二枚为1点B ．第一枚为5或6点，第二枚为1点C ．第一枚为6点，第二枚为1点D ．第一枚为1点，第二枚为6点【答案】C 【解析】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ， 所以，“4X >” 即“5X =”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”. 故选C11．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =−， 21P P …，10.90.3n∴−…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选：B ．12．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．5960B ．12C ．35D ．160【答案】C 【解析】设甲乙丙回家分别为事件A ,B ,C ，至少1人回老家过节为事件D ，则：()()()()()23431113455p D p ABC p A p B p C =−=−=−⨯⨯=.故选：C .13．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是______．①A 与C 是互斥事件 ②B 与E 是互斥事件，且是对立事件 ③B 与C 不是互斥事件 ④C 与E 是互斥事件 【答案】②③ 【解析】①A 与C 不是互斥事件 ②B 与E 是互斥事件，且是对立事件 ③B 与C 不是互斥事件 ④C 与E 不是互斥事件14．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20, 0.30, 0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为___________________. 【答案】0.40 【解析】解：由题意知射手在一次射击中不够8环的对立事件是射手在一次射击中不小于8环， ∵射手在一次射击中不小于8环包括击中8环，9环，10环，这三个事件是互斥的， ∴射手在一次射击中不小于8环的概率是0.20+0.30+0.10＝0.60， ∴射手在一次射击中不够8环的概率是1﹣0.60＝0.40， 故答案为：0.40．15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲不输的概率是，则甲赢的概率为________.【答案】 【解析】记事件为两人下成和棋，则事件为甲赢棋，则本题正确结果：16．已知随机变量的分布列为，那么实数_____.【答案】3 【解析】因为随机变量的分布列为，所以， 因此.故答案为317．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A B +发生概率为__________. 【答案】23. 【解析】21()63P A ==,事件B 表示“小于5的点数出现”,则事件B 表示“大于等于5的点数出现”，所以21()63P B ==，根据和事件的运算公式可知事件A B +发生概率为112333=+=. 18．某公司制造两种电子设备：影片播放器和音乐播放器.在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复. 下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.下面是关于公司每天生产量的叙述:①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器；②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的；③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03. 上面叙述正确的是___________. 【答案】③ 【解析】①每天生产的播放器有30001900030004=+是影片播放器，故①错误；②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的是错误的，4%是概率意义上的估计值，并不能保证每批都恰有4个；③因为音乐播放器的每天平均故障率3%，所以从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03，正确. 故答案为：③19．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立.则至少有一个项目成功的概率为_______． 【答案】8990【解析】记事件A 为“至少有一个项目成功”，则()111156390P A =⨯⨯= ()()189119090P A P A ∴=−=−=本题正确选项：899020．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为23、13，则小球落入A 袋中的概率为__________．【答案】23【解析】小球落入B 袋，则要求小球一直从左侧下落，或者右侧下落，所以其概率()33211333P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以落入A 袋的概率()()121133P A P B =−=−=.能力提升训练1．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ） A ．3件都是正品 B ．3件都是次品 C ．至少有1件次品 D ．至少有1件正品 【答案】D 【解析】从10件正品， 2件次品，从中任意抽取3件:3件都是正品是随机事件，：3件都是次品不可能事件,:至少有1件次品是随机事件,：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选D . 2．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是（ ）A ．取出的3个球中不止一个红球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出2个红球和1个白球【答案】A【解析】从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，因为白球一共2个，所以取出3个球，必有红球；因此，事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“取出的3个球中不止一个红球”.故选A3．下列说法正确的有()①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．③任意事件A发生的概率总满足.④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A发生的概率P(A)满足，∴③错误；又①正确．∴选C.4．把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张, 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．两个不可能事件C．互斥但不对立事件D．两个概率不相等的事件【答案】C【解析】把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，∴事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选：C．5．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是（）A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止一个红球【答案】D【解析】从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1红2白”“2红1白”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3红或是2红1白”即“3个球不止一个红球”故选：D.6．学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】设在这周能进行决赛为事件，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件，则，又事件两两互斥，则有，故选D．7．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．【答案】17 35【解析】解:因为取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235,所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为：11217p 73535=+= 8．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为0.5，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___． 【答案】0.85 【解析】由题意得：摸出红球的概率为0.5，摸出红球或黄球的概率为0.65， 故摸出蓝色球的概率为1-0.65=0.35， 故摸出红球或蓝球的概率为0.5+0.35=0.85， 故答案：0.85.9．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为____． 【答案】3544【解析】甲袋中白球没有减少的两种情形；一是从甲袋中取出的球为黑球，记作事件E ， 此时不论从乙袋中取何种球放回甲袋，甲袋中的白球不会减少， 另一种情形为从甲袋中取出的球是白球，放入乙袋，此事件用F 1表示，并由乙袋取白球放入甲，用F 2表示，令F ＝F 1F 2．则所求事件为E ∪F ，且E 与F 互斥， 显然P （E ）＝58， 下面计算P （F ），记F 1为由甲袋取出白球（不放入乙袋），F 2为当乙袋内有5个白球，6个黑球时取出一球为白球，则显然有P （F 1F 2）＝P （F 1′F 2′）．而F 1′与F 2′独立，故P （F 1′F 2′）＝35811⋅．∴P （E ∪F ）＝P （E ）+P （F ）＝58+35811⋅＝3544 故答案为：3544．10．有下列说法①互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 ②演绎推理是从特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段论”③残差图的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高 ④若()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与B 互斥且对立⑤甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为1136． 其中正确的说法是______（写出全部正确说法的序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】对于①，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，故①正确； 对于②，演绎推理是从一般到特殊的推理，它的一般模式是“三段论”，故②错误；对于③，残差图的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高，故③正确； 对于④，若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，则事件A 与B 不一定互斥且对立，例如几何概型：在[-1,1]任取实数x ，则事件A ；[]1,0,x ∈−事件B ：[]0,1,x ∈则有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 与B 不互斥，故④错误；对于⑤，设甲到达的时刻为x ，乙到达的时刻为y 则所有的基本事件构成的区域Ω满足024024x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A 满足0240244x y x y ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪−≤⎩，作出对应的平面区域如图，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率2020111242436PA ⨯=−=⨯，故⑤正确．故答案为：①③⑤．。
随机事件概率计算
随机事件概率计算随机事件的概率计算是概率论中的重要内容，通过计算可以得出不同事件发生的可能性大小。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，并希望通过概率计算来提前了解事件发生的可能性，以便做出合理的决策。
本文将介绍随机事件概率计算的基本原理和常用方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
二、概率计算方法1. 经典概率法经典概率法是根据事件的样本空间进行计算的方法。
当事件的每个基本结果发生的可能性相等时，可以使用该方法计算概率。
概率的计算公式如下：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A中基本结果的数目，N(S)表示样本空间中基本结果的总数。
2. 相对频率法相对频率法是通过实际观察事件发生的频率来计算概率。
该方法要求多次观察或重复实验，计算事件发生的频率，从而逼近事件的概率。
概率的计算公式如下：P(A) = n(A) / n其中，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验或观察的总次数。
3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验估计的方法，根据个人对事件发生的主观认知来计算概率。
该方法常用于无法进行重复实验的情况，但其结果可能受到主观因素的影响。
三、概率计算的实例下面通过两个实例来说明概率计算的具体过程。
1. 掷骰子问题：假设有一个普通的六面骰子，如果我们想要计算投掷骰子时出现6的概率，可以使用经典概率法进行计算。
该事件的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，基本结果的数目为6，因此事件发生的概率为：P(出现6) =1/6。
2. 抽取扑克牌问题：假设有一副52张的扑克牌，其中有4张A牌。
如果我们想要计算从扑克牌中抽取一张A牌的概率，可以使用相对频率法进行计算。
进行多次实验，记录抽取到A牌的频率。
如果进行100次实验，抽取到A牌的次数为10次，则事件发生的概率为：P(抽取A) = 10/100 = 0.1。
高中数学中的概率计算案例详细例题解答
高中数学中的概率计算案例详细例题解答概率是数学中非常重要的一个概念，在高中数学中也是一个必学的内容。
概率计算案例是帮助学生理解和掌握概率知识的重要途径之一。
本文将通过详细解答一些高中数学中的概率计算案例例题，帮助读者更好地理解和运用概率知识。
例题一：某班的学生中，男生占班级人数的40％，女生占总人数的60％。
如果在一个随机抽样中抽到一个男生的概率为0.25，那么这个班上男生人数是多少？解答：设班级总人数为x，男生人数为0.4x，女生人数为0.6x。
根据题意，抽到男生的概率为0.25，即男生人数除以总人数等于0.25，得到方程0.4x / x = 0.25。
解方程，可得男生人数为0.4x = 0.25x，化简得到0.4 = 0.25，再次化简可得x = 0.4 / 0.25，即x = 1.6。
所以，这个班上男生人数是1.6个人，由于人数不能为小数，所以可以得出这个班上男生人数为2人。
例题二：有一批产品，其中80%的产品合格，20%的产品不合格。
现在从中随机选择3个产品，求出其中至少1个合格的概率。
解答：首先，计算一个产品不合格的概率为0.2，合格的概率为0.8。
设B表示至少1个产品合格的事件，B'表示只有不合格产品的事件。
根据概率的加法定理，可以得到P(B) = 1 - P(B')。
而P(B')可以通过计算不合格产品全部选中的概率得到，即P(B') =P(不合格产品1) × P(不合格产品2) × P(不合格产品3) = 0.2 × 0.2 × 0.2 = 0.008。
所以，P(B) = 1 - 0.008 = 0.992。
因此，从中选择3个产品中至少1个合格的概率为0.992。
例题三：甲、乙、丙三人相继射击一个目标，已知甲、乙两人的命中率分别为0.8和0.7，丙人不重复射击，求丙人命中的概率。
解答：首先，计算甲人命中的概率为0.8，乙人命中的概率为0.7。
11.2随机事件概率的计算
同理可得
P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
例2 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解: 设A={掷出点数之和不小于10}
应用定义
B={第一颗掷出6点}
解:
解：设 Ai ={第 i 次取到的是次品},i =1, 2, 3.
则所求概率为：
P( A1A2A3 ) P( A1) P( A2 | A1
P( A1A2A3) 0. 002 .
)P(
A3
|
A1 A2
)
P( A1)
5 100
,
P(
A2 |
A1 )
4 99
,
P(
A3
|
A1 A 2
)
95 98
,
引例 三个罐子分别编号为 1, 2, 31，号装有 2 红 1 黑球 ,
称贝努里试验或贝努里概型
用X表示n 重贝努里试验中事件A（成功）出现 的次数，则
P ( X k ) Cnk pk (1 p)nk k 0,1, , n
称r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p)
例2 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.
由乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)，可知当事件 A、
B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约. 一、两事件独立的定义
高三数学随机事件的概念及概率试题
高三数学随机事件的概念及概率试题1.在15个村庄中有7个村庄交通不便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中交通不便的村庄数，下列概率中等于的是()A．P(ξ＝2)B．P(ξ≤2)C．P(ξ＝4)D．P(ξ≤4)【答案】C【解析】由超几何分布的概率计算公式得P(ξ＝4)＝，故选C．2.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上，事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是()A．P(M)＝，P(N)＝B．P(M)＝，P(N)＝C．P(M)＝，P(N)＝D．P(M)＝，P(N)＝【答案】D【解析】基本事件空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P(M)＝，P(N)＝，选D.3.在不等式组所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的3个顶点的概率为________．【答案】【解析】不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5个，从中任取3个点，有10种取法，其中共线的3点不能构成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)1种，即能够作为三角形3个顶点的情况有9种，故所求概率是.4.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为×5=．故选：B5.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______．【答案】【解析】∵以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是＝.6.以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，不是分层抽样；故①是假命题；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；是真命题；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，则分布密度曲线关于直线对称，所以，，所以，，③是真命题；④对分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小．所以④是假命题.综上,应选C.【考点】1、简单随机抽样；2、正态分布；3、相性回归；4、独立性检验.7.（12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；(Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】(Ⅰ)写出任取三张的所有可能的结果，然后找出数字之和大于或等于2的结果，最后根据随机事件的概率公式求解即可.(Ⅱ)写出每次抽1张，连续抽取两张所有可能的结果，然后找出含有数字2的所有结果，最后根据随机事件的概率公式求解即可.试题解析：（1）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种 2分其中数字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共3种 4分所以P(A)=. 6分（2）设表示事件“至少一次抽到2”，每次抽1张，连续抽取两张全部可能的结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个. 8分事件B包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个. 10分所以所求事件的概率为P(B)=. 12分【考点】1.随机事件的概率;2.古典概型.8.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(Ⅰ)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率．【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) .【解析】本题两问中，一个是无放回取球，一个是有放回取球，试题通过这两个问题，考查列举基本事件个数、找出所求的随机事件所含有的基本事件个数的数据处理能力以及运算求解能力．(Ⅰ)四个球中不放回取出两个球，取出的球的编号之和不大于4的概率，列举基本事件的个数，从中找出随机事件“球的编号之和不大于4”所包含的基本事件的个数，根据古典概型的公式进行计算；(Ⅱ)有放回地从四个球中取出两个球，求解一个古典概型，仍然是列举基本事件的个数，再从中找出随机事件“＋2”所含有的基本事件的个数，根据古典概型的公式进行计算．试题解析：(Ⅰ)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有，，，，，共6个． 3分从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有，，有两个．因此所求事件的概率为. 6分(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为，其一切可能的结果有：(1，1)，，，，，，，，，，，，，，，，共16个． 9分满足条件的事件为，，共3个，所以满足条件的事件的概率，故满足条件的事件的概率为. 12分【考点】随机事件的概率.9.（本小题满分14分）某商场“十.一”期间举行有奖促销活动,顾客只要在商店购物满８00元就能得到一次摸奖机会.摸奖规则是:在盒子内预先放有5个相同的球,其中一个球标号是０，两个球标号都是４０，还有两个球没有标号。
全国通用版高中数学第十章概率题型总结及解题方法
(名师选题)全国通用版高中数学第十章概率题型总结及解题方法单选题1、某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有A 、B 、C 、D 、E 、F 共6名选手其中4名男生2名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出2名选手答题，则至少有1名女同学被选中的概率是（ ）A ．13B ．25C ．12D ．35答案：D分析：现场选2名选手，共15种情况，设A ，B ，C ，D 四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况，共有6种，利用对立事件进行求解，即可得到答案；现场选2名选手，基本事件有：(A,B )，(A,C )，(A,D )，(A,E )，(A,F )，(B,C )，(B,D )，(B,E )，(B,F )，(C,D )，(C,E )，(C,F )，(D,E )，(D,F )，(E,F )共15种情况，不妨设A ，B ，C ，D 四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况是：(A,B )，(A,C )，(A,D )，(B,C )，(B,D )，(C,D )共6种， 则至少有一名女同学被选中的概率为1−615=35.故选：D .2、已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（ ）A ．P (A ∩B̅) =0B ．P (A ∩B ) =P (A ) P (B ) C ．P (A ) =1−P (B ) D ．P (A ∪B̅) =1 答案：D分析：根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.因为事件A 与事件B 是互斥事件，A 、B̅不一定是互斥事件，所以P (A ∩B ̅)不一定为0，故A 错误； 因为A ∩B =∅，所以P (A ∩B )=0，而P (A )P (B )不一定为0，故B 错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，A∪B是必然事件，所以P(A∪B̅)=1，故D正确.故选：D.3、若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)=2−a，P(B)=4a−5，则实数a的取值范围是（）A．(54,2)B．(54,32)C．(54,43]D．[54,32]答案：C分析：利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答. 因随机事件A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)=3a−3，依题意及概率的性质得{0<P(A)<1 0<P(B)<10<P(A+B)≤1，即{0<2−a<10<4a−5<10<3a−3≤1，解得54<a≤43，所以实数a的取值范围是(54,4 3 ].故选：C4、如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（）A．0.999B．0.981C．0.980D．0.729答案：B解析：求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率P1=0.9×0.9=0.81，开关3正常工作的概率P2=0.9，故该系统正常工作的概率P =1−(1−P 1)(1−P 2)=1−(1−0.81)×(1−0.9)=0.981,所以该系统的可靠性为0.981.故选：B.5、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．购买彩票中奖的可能性为1100B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．买100张彩票就一定能中奖答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误.故选：A.6、关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y )的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4a mB ．a+2m C ．a+2m m D ．4a+2m m答案：D解析：由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数x,y ，满足{0<x <10<y <1 ，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(x,y )，即{0<x <10<y <1， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数x,y 能与1构成钝角三角形三边，则有{x 2+y 2<1x +y >10<x <10<y <1， 其面积S =π4−12；则有a m =π4−12，解得π=4a+2m m故选：D ．小提示：本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.7、“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）.A ．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B ．小概率事件很少发生，不用怕；C ．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D ．大概率事件就是必然事件，一定发生．答案：A分析：理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；故选：A8、已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E 表示事件“3件产品 全不是次品”，F 表示事件“3件产品全是次品”，G 表示事件“3件产品中至少有1件是 次品”，则下列结论正确的是（ ）A ．F 与G 互斥B ．E 与G 互斥但不对立C．E,F,G任意两个事件均互斥D．E与G对立答案：D分析：列出基本事件，再结合互斥事件，对立事件的定义即可判断.设1表示取到正品, 0 表示取到次品，所有事件Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)}.则E={(1,1,1)},F={(0,0,0)},G={(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)}F∩G=F,故F与G不互斥，故A,C错E∩G=∅,E∪G=Ω,故E与G互斥且对立,故B错，D正确故选：D9、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立答案：B分析：根据独立事件概率关系逐一判断P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=536，P(丁)=636=16，，P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)=136=P(甲)P(丁)，P(乙丙)=136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙)，故选：B小提示：判断事件A,B是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立10、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A ，事件M ={2,4,6}，事件N ={3,6}，事件MN ={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P (M )=36=12，P (N )=26=13，P (MN )=16=12×13，即P (MN )=P (N )P (M )，因此事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项B ，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”， 则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项C ，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球， 事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；故选：C.11、袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A 表示“3次抽到的球全是红球”，事件B 表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C 表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（ ）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件B 与事件C 不对立C ．P (A )=78D ．P (A ∪C )=34答案：C分析：根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.解：对于A ，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件A 与事件B 不互斥，故A 错误；对于B ，事件B 与事件C 不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件B 与事件C 互为对立事件，故B 错误；对于C ，因为P (A )=18，所以P (A )=1−P (A )=78，故C 正确； 对于D ，因为事件A 与事件C 互斥，P (B )=28=14，所以P (C )=1−P (B )=34，所以P (A ∪C )=P (A )+P (C )=18+34=78，故D 错误. 故选：C12、某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（ ）A ．频率为35B ．概率为35C ．频率为12D ．概率接近35 答案：A分析：根据频率和概率的知识确定正确选项.依题意可知，事件A 的频率为1220=35，概率为12.所以A 选项正确，BCD 选项错误.故选：A填空题13、从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________. 答案：4分析：直接列举基本事件即可.从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.所以答案是：4.14、某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.答案：0.21##21100分析：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A,B,C，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C则{P(A)+P(B)=0.86 P(B)+P(C)=0.35P(A)+P(B)+P(C)=1，则P(B)=0.21所以答案是：0.2115、A，B，C表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______________.答案：0.994解析：根据并联线路的特征，只有三个开关同时发生故障，系统才不正常，可以考虑对立事件求解.某段时间内三个开关全部坏掉的概率为(1−0.9)×(1−0.8)×(1−0.7)=0.006，所以系统正常工作的概率为1−0.006=0.994，所以此系统的可靠性为0.994.所以答案是：0.994.小提示：本题主要考查对立事件和独立事件的概率求解，正面考虑情况较多时，一般考虑对立事件来转化，侧重考查数学运算的核心素养.16、抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a、b，则实数a是方程2x−b=0的解的概率为_______.答案：112分析：利用列举法计数，然后根据古典概型求得结果.得到数字a,b,组成有序数对(a,b),其中，a,b∈{1,2,3,4,5,6}，列举可得对应(a,b)共有36种不同的情况，每种情况都是等可能的，实数a是方程2x−b=0的解只有(2,1),(4,2),(6,3)三种情况，共其概率为336=112.所以答案是：11217、一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立，则设备在一天的运转中，至少有1个部件需要调整的概率为________.答案：0.496分析：先求没有1个部件需要调整的概率，再用1减即可.设A,B,C分别为部件1，2，3需要调整的事件，则至少有1个部件需要调整的概率为P=1−P(A)⋅P(B̅)⋅P(C)=1−0.504=0.496所以答案是：0.496解答题18、在人群流量较大的步行街，有一中年人吆喝“送钱咯，送钱咯”，只见他手拿一黑色布袋，袋中有3只黄色､3只白色的乒乓球（其体积､质地完全相同），旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.(1)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？(2)假定一天中有500人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？答案：(1)920(2)6000元分析：（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）先求得摸得同一颜色的概率，从而估计500人次中摸得同一颜色和非同一颜色的次数求解；(1)解：把3只黄色乒乓球标记为A､B､C，3只白色的乒乓球标记为1､2､3，从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC､AB1､AB2､AB3､AC1､AC2､AC3､A12､A13､A23､BC1､BC2､BC3､B12､B13､B23､C12､C13､C23､123，共20个，设事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，则P(F)=920(2)设事件G ={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，则P (G )=220=110，假定一天中有500人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有50次，不发生450次.则一天可赚450×1-50×5=200，每月可赚6000元.19、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，34，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求： （Ⅰ）三人都合格的概率；（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人.分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题. 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(A B ̅C )=P(A )⋅P(B ̅)⋅P(C )=35×14×23=110. （Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC )+P(AB ̅C)+P(A BC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.20、垃圾分类（Garbage classification ），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为p ，小亮每轮答对的概率为23,且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1道题概率为1112． (1)求p 的值；(2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率．答案：(1)p =34(2)512 分析：（1）设C =“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，利用对立事件两人都没有答对可求解.（2）设A i =“两轮活动中小明答对了1道题”，B i =“两轮活动中小亮答对了1道题”，i =0，1，2，分别求出其概率，设E =“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则E =A 1B 2+A 2B 1从而可得答案.(1)设A = “一轮活动中小明答对一题”，B =“一轮活动中小亮答对一题”，则P(A)=p ，P(B)=23. 设C =“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，则C =AB̅̅̅̅，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响， 所以A 与B 相互独立，从而A 与B̅相互独立， 所以P(C )=P(AB ̅̅̅̅)=P(A )P(B ̅)=(1−p)×13=1−P(C)=112， 所以p =34(2)设A i =“两轮活动中小明答对了1道题”，B i =“两轮活动中小亮答对了1道题”，i =0，1，2.由题意得，P(A1)=14×34+34×14=38，P(A2)=34×34=916P(B1)=23×13+13×23=49，P(B2)=23×23=49设E=“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则E=A1B2+A2B1.由于A i和B i相互独立，则A1B2与A2B1互斥，所以P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=38×49+916×49=512.所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率为512.。
随机事件的概率计算(1)
几何概型计算方法
样本空间
确定所有可能的基本事件 ，构成样本空间，通常是
一个区域或体积。
等可能性
几何概型中，每个基本事 件的发生也是等可能的。
概率计算
事件A发生的概率P(A)等于 事件A包含的度量（如长度 、面积、体积等）与样本 空间的度量之比，即P(A) = m(A)/m(Ω)，其中m(A) 为事件A的度量，m(Ω)为
02
古典概型与几何概型
古典概型计算方法
01
样本空间
02
等可能性
确定所有可能的基本事件，构成样本 空间。
古典概型中，每个基本事件的发生是 等可能的。
03
概率计算
事件A发生的概率P(A)等于事件A包含 的基本事件个数与样本空间的基本事 件个数之比，即P(A) = m/n，其中m 为事件A包含的基本事件个数，n为样 本空间的基本事件个数。
条件概率的性质
条件概率满足概率的所有性质，如非负性、规范性、 可加性等。
事件独立性判断方法
1 2 3
事件独立性定义
如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有 影响，则称事件A与事件B相互独立。
事件独立性判断方法
通过比较P(AB)与P(A)P(B)是否相等来判断事件A 与事件B是否相互独立。如果P(AB) = P(A)P(B) ，则事件A与事件B相互独立。
对立关系
如果两个事件中必有一个发生，且只有一个发生，则称这 两个事件是对立的。
概率定义及性质
概率定义
在相同条件下，随机事件A发生的可能性大小的度量。
概率性质
非负性、规范性、可加性。其中，非负性指任何事件的概率都不能是负数；规 范性指样本空间的概率等于1；可加性指对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)。
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高中数学例题：随机事件概率的计算
例．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率（结果保留到小数点后三位）：
（1）90分以上；（2）60分～69分；（3）60分以上． 【答案】（1）0.067（2）0.140（3）0.892
【解析】 根据公式可计算出修李老师的高等数学课的人数考试成绩在各个段上的频率依次为（总人数为43+182+260+90+62+8=645）：
430.067645≈，1820.282645≈，2600.403645≈，900.140645≈，620.096645≈，8
0.012645
≈．
用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课得分的概率如下：
（1）得“90分以上”记为事件A ，则P （A ）=0.067； （2）得“60分～69分”记为事件B ，则P （B ）=0.140； （3）得“60分以上”记为事件C ，则P （C ）
=0.067+0.282+0.403+0.140=0.892．
【总结升华】随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．
举一反三：
【变式1】从存放号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（）．
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
【答案】A。