数据结构与程序设计-递归
递归
1
递归算法
什么是递归 递归调用的实现原理 递归经典例题
递归定义
在定义一个过程或函数时出现调用本过 程或本函数的成分,称之为递归。 若调用自身,称之为直接递归。 若过程或函数p调用过程或函数q,而q又调 用p,称之为间接递归。
何时用到递归 以下三种情况常常用到递归方法。
1 定义是递归的 2 数据结构是递归的 3 问题的解法是递归的
int main() { int a[1000]; f(6,a,0); return 0; }
经典问题：整数划分
要求：如果对上一个题改一下要求，求解一共多少种划分方 法，如果不用上一种思路，请再尝试另一种递归解决方案
经典问题：整数划分
整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在 讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成 如下形式： n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n） ，则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即 max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记 n的m划分的个数为f(n,m); 例如但n=4时，他有5个划分， {4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}; 注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。 该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m) 的方法; 1.递归法：
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f (int a[], int begin, int n) if (begin==n) return 0; else return a[begin]+f(a,begin+1,n);
程序设计与数据结构
程序设计与数据结构程序设计与数据结构是计算机科学领域中两个重要的概念和技能。
程序设计涉及到根据给定的问题和需求，使用特定的编程语言编写代码，实现功能或解决问题。
而数据结构则是程序设计中对数据元素的组织方式和操作实现的技术。
1. 程序设计程序设计是一种创造性的过程，它要求程序员理解问题的本质，并找到一种有效的方式来解决问题。
在程序设计过程中，程序员必须考虑到输入、输出、算法和数据结构等方面。
一个好的程序设计应该准确地解决问题，同时还应该具备高效性、可读性和可维护性。
2. 编程语言编程语言是程序设计的工具，它提供了一种方式来描述计算机程序的逻辑和操作。
常见的编程语言包括C、C++、Java、Python等。
不同的编程语言有着不同的特点和适用范围，程序员需要根据具体的需求选择合适的编程语言。
3. 数据结构数据结构是程序设计中对数据元素组织和操作的方式。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
不同的数据结构适用于不同的问题和场景，选择合适的数据结构可以提高程序的效率和性能。
4. 算法算法是程序设计中解决问题的步骤和方法。
一个好的算法应该具备高效性和正确性。
常见的算法包括查找、排序、递归、动态规划等。
程序员在解决问题时需要根据具体情况选择合适的算法。
5. 程序设计与数据结构的关系程序设计和数据结构是密不可分的，两者相互影响、相互依赖。
良好的数据结构可以提高程序的效率和性能，而合适的程序设计可以更好地利用数据结构的特点。
程序员在解决问题时不仅需要考虑如何设计算法，还需要选择合适的数据结构来支持算法的实现。
总结：程序设计与数据结构是计算机科学领域中两个重要的概念和技能。
良好的程序设计和合适的数据结构可以提高程序的效率和性能。
程序员在解决问题时需要理解问题的本质，选择合适的编程语言、算法和数据结构来实现程序的功能。
通过不断学习和实践，程序员可以提升自己的程序设计和数据结构的能力，提高程序的质量和可维护性。
国家开放大学《数据结构》课程实验报告(实验3 ——栈、队列、递归设计)参考答案
x=Pop(s); /*出栈*/
printf("%d ",x);
InQueue(sq,x); /*入队*/
}
printf("\n");
printf("(10)栈为%s,",(StackEmpty(s)?"空":"非空"));
printf("队列为%s\n",(QueueEmpty(sq)?"空":"非空"));
ElemType Pop(SeqStack *s); /*出栈*/
ElemType GetTop(SeqStack *s); /*取栈顶元素*/
void DispStack(SeqStack *s); /*依次输出从栈顶到栈底的元素*/
void DispBottom(SeqStack *s); /*输出栈底元素*/
} SeqQueue; /*定义顺序队列*/
void InitStack(SeqStack *s); /*初始化栈*/
int StackEmpty(SeqStack *s); /*判栈空*/
int StackFull(SeqStack *s); /*判栈满*/
void Push(SeqStack *s,ElemType x); /*进栈*/
sq=(SeqQueue *)malloc(sizeof(SeqQueue));
InitQueue(sq);
printf("(8)队列为%s\n",(QueueEmpty(sq)?"空":"非空"));
printf("(9)出栈/入队的元素依次为:");
数据结构与算法第06章 递归算法
思想:
找x
小
…
ai
…
amid-1
amid
amid+1
…
aj
…
大
§6.2 执行过程
void main( ) { int A[] = { 1, 3, 4, 5, 17, 18, 31, 33 }; int idx = BSearch( A, 17, 0, 7 ); if( idx == - 1 ) { printf( “未找到” ); } else { printf( “%d”, idx ); } }
1
结果 n = 6;
return(1*Fact(0))
1
return 1
§6.2 执行过程
设计一个一般函数, 完成:5/18[例2] 从小到大有序数组a, 查找元素x, 找到则返回下标, 否则返回-1。
找x ai … aj … an-1
a0
a1
…
int BSearch( int a[ ], int x, int i, int j ) { int mid; if( i > j ) return -1; // 未找到, 返回-1 mid = ( i + j ) / 2; // 中点下标 if( x == a[mid] ) return mid; // 找到, 返回下标mid if( x < a[mid] ) return BSearch( a, x, i, mid – 1 ); // 在mid前面继续找 if( x > a[mid] ) return BSearch( a, x, mid + 1, j ); // 在mid后面继续找 }
6/18
请用VC跟踪程序执行过程, 并考察进程的栈的变化。
数据结构与算法分析论文(递归的讨论)
数据结构论文——递归算法的讨论所谓递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。
然后递归调用函数（或过程）来表示问题的解。
一个过程(或函数)直接或间接调用自己本身,这种过程(或函数)叫递归过程(或函数)。
递归过程一般通过函数或子过程来实现。
递归方法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。
递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。
在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
递归算法解决问题的特点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。
(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。
(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。
递归次数过多容易造成栈溢出等。
所以一般不提倡用递归算法设计程序。
下面就让我们结合例子详细讨论一下递归算法。
一、递归算法的原理递归算法简单的说就是在函数中调用函数自身，不断调用，直到满足函数得出计算结果(某个条件)。
因为其需要不断循环的调用自身，所以称为递归调用。
递归的原理,其实就是一个栈(stack), 比如求5的阶乘,要知道5的阶乘,就要知道4的阶乘,4又要是到3的,以此类推,所以递归式就先把5的阶乘表示入栈, 在把4的入栈,直到最后一个,之后呢在从1开始出栈, 看起来很麻烦,确实很麻烦,他的好处就是写起代码来,十分的快,而且代码简洁,其他就没什么好处了,运行效率出奇的慢。
还有一个十分形象的例子：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事……如此循环往复到最终的要求。
递归分为2种，直接递归和间接递归。
直接递归，比如方法A内部调用方法A自身。
间接递归，比如方法A内部调用方法B，方法B内部调用方法C，方法C 内部调用方法A。
数据结构实验报告2栈、队列、递归程序设计
日期：学号：姓名：
实验名称：实验报告二栈、队列、递归程序设计
实验目的与要求：
2.1栈和队列的基本操作
（1）正确理解栈的先进后出的操作特点，建立初始栈，通过相关操作显示栈底元素。
（2）程序中要体现出建栈过程和取出栈底元素后恢复栈的入栈过程，按堆栈的操作规则打印结果栈中的元素
{
return(s->top==-1);
}
//---出栈函数
int Pop(SeqStack *&s,ElemType &e)
{
if (s->top==-1)
return 0;
e=s->data[s->top];
s->top--;
return 1;
}
//---初始队列函数
void InitQueue(SqQueue *&q)
q->rear=(q->rear+1)%MaxSize;
q->elem[q->rear]=e;
return 1;
}
//---出队列函数
int OutQueue(SqQueue *&q,ElemType &e)
{
if (q->front==q->rear) //队空
return 0;
q->front=(q->front+1)%MaxSize;
printf("(10)栈为%s,",(StackEmpty(s)?"空":"非空"));
printf("队列为%s\n",(QueueEmpty(q)?"空":"非空"));
数据结构与程序设计考研
数据结构与程序设计考研数据结构与程序设计是计算机科学与技术领域的核心课程之一，也是许多高校计算机专业考研的重点内容。
掌握数据结构与程序设计的相关知识，对于提高编程能力、理解算法原理以及解决实际问题具有重要意义。
一、数据结构概述数据结构是计算机存储、组织数据的方式。
它不仅影响数据的存储效率，也直接影响到算法的执行效率。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
- 数组：一种线性数据结构，可以存储具有相同类型的元素。
- 链表：由一系列节点组成，每个节点包含数据部分和指向下一个节点的指针。
- 栈：一种后进先出（LIFO）的数据结构，只能在一端进行数据的插入和删除。
- 队列：一种先进先出（FIFO）的数据结构，数据从一端进入，从另一端离开。
- 树：由节点组成的层次结构，每个节点有零个或多个子节点，但只有一个父节点。
- 图：由顶点（或称为节点）和边组成，可以表示复杂的关系。
二、程序设计基础程序设计是使用编程语言来解决特定问题的过程。
程序设计的基础包括：- 算法：解决问题的步骤和方法，是程序设计的核心。
- 控制结构：包括顺序结构、选择结构和循环结构，是程序设计的基本逻辑。
- 函数：封装一段代码，可以重复使用，提高代码的可读性和重用性。
- 面向对象编程：一种编程范式，强调使用“对象”来设计和构建程序。
三、数据结构与算法的关系数据结构与算法是相辅相成的。
数据结构提供了数据存储的方式，而算法则是在这些数据上执行操作的方法。
例如：- 排序算法：如快速排序、归并排序等，依赖于数据的存储方式。
- 搜索算法：如二分搜索、深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），它们的效率与数据结构紧密相关。
四、程序设计中的常见问题在程序设计过程中，常见的问题包括：- 时间复杂度：算法执行所需时间的度量，通常用大O表示法。
- 空间复杂度：算法执行过程中所需的存储空间。
- 递归与迭代：递归是一种调用自身的函数，而迭代是重复执行的循环结构。
第一课数据结构 刘大有 第六章递归1012
2019/12/4
《数据结构》国家精品课程
21
[例] 计算斐波那契数列Fib(n)
递归算法
long Fib ( long n ) {
if ( n <= 1 ) return n;
else return Fib (n-1) + Fib (n-2);
}
2019/12/4
《数据结构》国家精品课程
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斐波那契数列的递归调用树
求解斐波那契数列的递归算法
long Fib ( long n ) { if ( n <= 1 ) return n;
else return Fib (n-1) + Fib (n-2);
}
2019/12/4
《数据结构》国家精品课程
6
2、问题所涉及的数据结构是递归的
[例1] 单链表节点类的递归定义
data next
template < class T > class Node {
private: Node < T > * next;
public: T data;
…… }
2019/12/4
《数据结构》国家精品课程
7
[例2] 单链表的递归定义 head=NULL
head 36
45
…
72 ∧
头指针为head的单链表的递归定义：
斐波那契数的例子是一个极端的情况。实际上，斐 波那契数递归算法的低效率与该算法内在效率低也 有很大关系。有另外一些递归算法，如折半查找（ 该算法也有非递归的迭代形式），效率比较高。
2019/12/4
《数据结构》国家精品课程
25
因此，递归仍然是一种十分重要的算法设计方法。
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第5章递归5.1 递归简介(Introduction to Recursion)5.2 递归的原理(Principles of Recursion)5.3 回溯: 将工作延迟(Backtracking: Postponing the Work)5.4 树形结构编程: 在游戏中提前考虑走法(Tree-Structured Programs: Look-Ahead in Games)n掌握：1.递归的概念：什么是递归、种类、及递归求解方法。
2.递归过程的机制与利用递归工作栈实现递归的方法。
3.利用递归解决问题的分治法和回溯法。
n了解：n迷宫问题和n皇后问题的递归思路及利用栈实现的非递归解法。
n目的：n通过实例分析递归执行的过程和实现的方式，从而使读者掌握递归适用的场合。
5.1 递归简介递归与递归程序的概念n递归(recursion)是一种描述和解决问题的基本方法，用来解决可归纳描述的问题，或说可分解为结构自相似的问题。
所谓结构自相似，是指构成问题的部分与问题本身在结构上相似。
n递归的定义n1)定义一个对象，又用到这个对象的本身；n2)定义一个结构，它的每一个部分又是这种结构；n3)定义一个过程，在执行中又直接或间接地调用过程自己；n递归程序n在计算机中，递归问题可使用递归程序解决。
5.1 递归简介n5.1.1 用于函数调用的堆栈n5.1.2 表示函数调用的树n5.1.3 用递归计算数的阶乘n5.1.4 用分治算法解决汉诺塔问题5.1.1 用于函数调用的堆栈n调用记录(invocation record)——为每个调用函数分配的临时存储区域，包括返回地址、调用参数、局部变量等n函数嵌套调用——函数按“后进先出”次序；执行函数所使用的临时存储区域也具有“后进先出”的特性；于是调用记录必须用“堆栈”保存n堆栈的变化状态(stack frame)P.158图5.1图5.1 stack frames for function callsn递归调用的stack frame与一般的函数调用类似。
5.1.2 表示函数调用的树n可以用“树”表示函数调用的次序(根节点代表主程序；其它节点代表所调用的某个函数)n与树有关的术语(孩子、双亲、分支、兄弟、叶子/外部节点、路径、树/节点的高度/层数、树的遍历)n递归树:P.159图5.2n用于存储“调用记录”的堆栈(stack frame)的空间需求——与递归树的高度成正比——于是可以利用递归树分析递归算法的性能。
图5.2 递归树5.1.4 递归应用:用分治法解决汉诺塔问题分治法n对于一个较为复杂的问题，如果能够分解成几个相对简单的且解法相同或类似的子问题来求解，这种方法叫分治法。
n Tower of Hanoi问题是一个典型的适合用递归的方法来解决的问题。
n问题描述：如图5.3所示，有A,B,C三个塔座，A上套有n个直径不同的圆盘，按直径从小到大叠放，形如宝塔,编号1,2,3……n。
要求将n个圆盘从A移到C，叠放顺序不变，移动过程中遵循下列原则：n每次只能移一个圆盘n圆盘可在三个塔座上任意移动n任何时刻，每个塔座上不能将大盘压到小盘上图5.3 Hanoi塔解决方法：n 1. n=1时，直接把圆盘从A移到Cn 2. n>1时，将n个圆盘从A塔座上移到C塔座上可以分为以下三个步骤进行：⑴将A塔座上的n-1个圆盘借助C塔座先移到B塔座上。
⑵把A塔座上剩下的一个圆盘移到C塔座上。
⑶将n-1个圆盘从B塔座借助A塔座移到C塔座上。
n这样就将求解n个圆盘的Hanoi问题转化为求解n-个圆盘的Hanoi问题,依次类推,直至转化成只有一个圆盘的Hanoi问题。
实现算法：//Main program:const int disks = 64; // Make this constant much smaller to run program.void move(int count, int start, int finish, int temp);/* Pre: None.Post: The simulation of the Towers of Hanoi has terminated. */main( ){move(disks, 1, 3, 2);}//Recursive function:void move(int count, int start, int finish, int temp){if (count > 0){move(count-1, start, temp, finish);cout<<"Move disk "<<count<<" from "<<start<<" to "<<finish<<"."<<endl;move(count-1, temp, finish, start);}}求解汉诺塔问题的递归树(n=3)n小结：n递归算法的效率往往很低, 费时和费内存空间. 但是递归也有其长处, 它能使一个蕴含递归关系且结构复杂的程序简介精炼, 增加可读性. 特别是在难于找到从边界到解的全过程的情况下, 如果把问题推进一步没其结果仍维持原问题的关系, 则采用递归算法编程比较合适.5.2 递归的原理n5.2.1 递归算法设计的原则n5.2.2 递归算法的机器实现n5.2.3 尾递归n5.2.4 用栈实现递归过程的非递归算法n注意：区分以下的概念n算法设计n算法实现n算法分析5.2.1 递归算法设计的原则n找出关键步骤Find the key stepn首先考虑“如何对问题进行划分?”、“中间的关键步骤如何实现?”n找出终止规则Find a stopping rulen终止规则通常是不需要递归且较易解决的较小的或特殊的情形n给出算法大纲Outline your algorithmn将关键步骤和终止规则组合起来，并且通过if语句区分这两种情形5.2.1 递归算法设计的原则(续)n检查终止性Check terminationn确保递归会终止，保证算法能够处理极端的情形n画出递归树Draw a recursion treen递归算法分析的工具n树的高度与程序运行时所需要的空间紧密相关，而树的结点数反映了执行关键步骤所需的时间5.2.1 递归算法设计的原则(续)总结：递归定义的两个要素§1）递归边界条件。
也就是所描述问题的最简单情况，它本身不再使用递归的定义。
例如裴波那契数列，当n=0时,f(n)=1,不使用f(n-1)来定义。
§2）递归定义：使问题向边界条件转化的规则。
递归定义必须能使问题越来越简单。
如上例：f(n)由f(n-1)定义，越来越靠近f(0),也即边界条件。
最简单的情况是f(0)=1。
n[例5.1]求裴波那契数列的递归程序为:int fib(int n){ if(n == 0)return1; // 递归边界else if(n == 1)return2;else return(fib(n-2)+ fib(n-1)); // 递归定义}n这类递归问题可转化为递推算法, 递归边界作为递推的边界条件.5.2.2 递归算法的机器实现递归和递归工作栈n在递归调用时，必须做好参数保存，参数传递工作——利用递归工作栈来处理。
1.递归算法是一次次以新的实参自身调用的过程，并且系统要设置栈，递归调用时返回地址等参数逐次进栈。
即每进入一层递归，系统就要建立一个新的工作记录(进栈)。
2.返回地址等参数出栈，由最末级调用逐次返回到上级。
即每退出一层递归，系统就要从递归工作栈退出工作记录(退栈)。
5.2.2 递归算法的机器实现(续)n在多处理机环境下的实现n每次递归调用在单独的处理机上实现n算法的并行执行大大提高了算法的性能n单处理机的实现n每次递归调用都要分配一个局部的存储区域，以存放调用前的寄存器状态、返回地址、局部变量、调用参数等。
n算法以完全串行的方式执行5.2.2 递归算法的机器实现(续)n单机分时系统n一个递归程序可由n个用户调用，每个用户具有各自独立的数据区，但共享同一个指令区域。
n程序的并发执行要求必须使程序是可重入的。
n问题：在以上3种不同的运行环境下，执行递归算法所需的时间、空间如何?5.2.3 尾递归n尾递归的含义(P.175图5.8)n DEFINITION：Tail recursion occurs when the last-executed statement of a function is a recursive call to itself.n区分“最后执行的语句”与“最后出现的语句”n去掉尾递归的好处n可以节省堆栈空间n去掉尾递归的方法n If the last-executed statement of a function is a recursive callto the function itself, then this call can be eliminated byreassigning the calling parameters to the values specified inthe recursive call, and then repeating the whole function.n将算法转化为迭代形式n尾递归优化举例——汉诺塔算法的改进void move(int count, int start, int finish, int temp){if (count > 0){move(count−1, start, temp, finish);cout<<"Move disk "<<count<<" from "<<start<<" to "<<finish<< "." <<endl;move(count−1, temp, finish, start);}}n尾递归，要将start作为temp、temp作为start，继续递归调用，故交换start和temp，可转化为迭代的形式，从而得到算法的改进。
消除尾递归的汉诺塔算法void move(int count, int start, int finish, int temp)/* move : iterative versionPre: Disk count is a valid disk to be moved.Post: Moves count disks from start to finish using temp for temporary storage. */{int swap; // temporary storage to swap towerswhile (count > 0){ // Replace the if statement with a loop.move(count−1, start, temp, finish); // first recursive callcout<<"Move disk "<<count<<" from "<<start<<" to "<<finish<< "."<<endl;count−−; //Change parameters to mimic the second recursive call.swap = start;start = temp;temp = swap;}}5.2.4 用栈实现递归过程的非递归算法n在编程中设置栈，将递归过程用非递归算法来解。