数学思想方法(一)整体思想、转化思想、分类讨论思想

2014年中考数学二轮复习精品资料
数学思想方法（一）
（整体思想、转化思想、分类讨论思想）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲
考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2013•吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．
思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可．
解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1．
故答案是：1．
点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
对应训练
1．（2013•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．
1．1000
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

对应训练
考点三：分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互
独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 例3 （2013•山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是 ．
乙种收费的函数关系式是 ．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y 1=kx+b ，乙种收费的函数关系式是y 2=k 1x ，直接运用待定系数法就可以求出结论；
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y 1＞y 2时，当y 1=y 2时，当y 1＜y 2时分别求出x 的取值范围就可以得出选择方式．
解：（1）设甲种收费的函数关系式y 1=kx+b ，乙种收费的函数关系式是y 2=k 1x ，由题意，得
616100b k b
=⎧⎨=+⎩，12=100k 1， 解得：0.16k b =⎧⎨=⎩
，k 1=0.12， ∴y 1=0.1x+6，y 2=0.12x ；
（2）由题意，得
当y 1＞y 2时，0.1x+6＞0.12x ，得x ＜300；
当y 1=y 2时，0.1x+6=0.12x ，得x=300；
当y 1＜y 2时，0.1x+6＜0.12x ，得x ＞300；
∴当100≤x ＜300时，选择乙种方式合算；
当x=100时，甲乙两种方式一样合算；
当300＜x≤4500时，选择甲种方式合算．
故答案为：y 1=0.1x+6，y 2=0.12x ．
点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．
对应训练
3．（2013•牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A 型电脑每台进价2500元，B 型电脑每台进价2800元，A 型每台售价3000元，B 型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A 型电脑购进x 台、商场的总利润为y （元）．
（1）请你设计出进货方案；
（2）求出总利润y （元）与购进A 型电脑x （台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A 型和B 型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A 型电脑、B 型电脑和帐篷的方案．
3．解：（1）设A 型电脑购进x 台，则B 型电脑购进（40-x ）台，由题意，得
25002800(40-)10570030003200(40-)123200
x x x x +≤⎧⎨+≥⎩， 解得：21≤x≤24，
∵x 为整数，
∴x=21，22，23，24
∴有4种购买方案：
方案1：购A 型电脑21台，B 型电脑19台；
方案2：购A 型电脑22台，B 型电脑18台；
方案3：购A 型电脑23台，B 型电脑17台；
方案4：购A 型电脑24台，B 型电脑16台；
（2）由题意，得
y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x ），
=500x+16000-400x ，
=100x+16000．
∵k=100＞0，
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2013•杭州）若a+b=3，a-b=7，则ab=（）
A．-10 B．-40 C．10 D．40
1．A
2．（2013•黄冈）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）
A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π
2．C
3．（2013•达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．B
4．（2013•齐齐哈尔）CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB=10，CD=8，则BE 的长是（ ）
A ．8
B ．2
C ．2或8
D ．3或7 4．C
5．（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）
A ．2cm
B ．4
C ．2cm 或
D ．2cm 或45．C
6．（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A ．80°
B ．80°或20°
C ．80°或50°
D ．20° 6．B
7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．12
B ．15
C ．12或15
D ．18 7．B
8．（2013•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．π
8．A
二、填空题
12．
13
13．0或1
19．（0）或（0）
20．（2013•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，
4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ．
25．5
26．（2013•天门）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是．
26．15°或165°
三、解答题
27．（2013•湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．
（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是元，小张应得的工资总额是元，此时，小李种植水果亩，小李应得的报酬是元；
（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．
的取值范围．。