第六讲：非线性分析
非线性分析
非线性分析非线性分析是一种数学方法，用于研究非线性系统和非线性现象，它在物理、化学、生物学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
非线性系统是指系统的输出与输入之间存在非线性关系的系统，与线性系统不同，非线性系统具有更加复杂的行为和性质。
非线性现象是指系统在一定条件下呈现出的非线性特征，例如混沌现象、自激振荡等。
非线性分析的目的是揭示和理解非线性系统和非线性现象的运动规律和性质，以及探索其产生的机理。
非线性分析的基本方法包括：稳定性分析、周期解和庞加莱映射、分岔理论、混沌分析等。
其中，稳定性分析是研究非线性系统的重要方法之一，它用于判断非线性系统在特定条件下的稳定性和不稳定性。
周期解和庞加莱映射是研究非线性系统周期运动的方法，通过庞加莱映射可以描述系统从一个周期解转移到另一个周期解的运动轨迹。
分岔理论是研究非线性系统的分岔现象和相变行为的方法，它描述了系统参数变化时，系统状态从一个平衡态转移到另一个平衡态的过程。
混沌分析是研究非线性系统的混沌现象和运动的方法，混沌现象是指系统的运动表现出无序、不可预测的特征。
非线性分析的应用广泛，例如在物理学中，非线性分析可以用于研究天体运动、气候系统、相变行为等；在化学领域，非线性分析可以用于探索反应动力学、化学平衡等问题；在生物学中，非线性分析可以用于研究生物进化、神经网络等；在工程学中，非线性分析可以应用于控制系统、信号处理等方面。
非线性分析提供了一种新的视角和方法，帮助人们深入理解和探索复杂系统和现象的本质。
总之，非线性分析是一种重要的数学方法，用于研究非线性系统和非线性现象，它在各个领域中具有广泛应用。
随着科学技术的不断发展，非线性分析将为我们揭示更多复杂系统和现象的奥秘，为人类的进步和发展做出更大的贡献。
第六讲线性规划与非线性规划
(2)若有非线性约束条件：c1 x 0 或c2 x 0, 则建立M
文件c.m定义函数c1 x,c2 x, 一般形式为
function [c1,c2]=c(x)
c1=…
c2=… (3)建立主程序。求解非线性规划的函数是fmincon,
调用格式为 x=fmincon(‘fun’,x0,A1,b1);
故它属于一个整数线性规划问题，这里当成一个线 性规划求解，求得最优解刚好是整数x1=9，x2=0， 故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划解法求 得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整 数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法 求解.
二、非线性规划
1、二次规划
❖
标准形式：min
z
1
xT
x1 4x2 5
•
x1, x2 0
❖
改写成标准形式：min z
x1 2x2
1 2
x12
1 2
x22
s.t.
2x1 3x2 x1 4x2
6 5
0 0
0 0
x1 x2
❖ 建立M文件fun1.m
❖ 建立主程序(见MATLAB程序(feixianxingguihua1))
工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加
工工件的要求，又使加工费用最低？
车床 类型
甲
乙
单位工件所需加工台时数 工件 1 工件 2 工件 3
0.4
1.1
1.0
0.5
1.2
1.3
单位工件的加工费用 工件 1 工件 2 工件 3
13
9
10
11
12
8
可用台 时数
800
非线性系统第六讲反馈控制.ppt
Topic 6 Feedback control
y : controlled output y m : measured output The basic goal of the control problem is to design the control input so that the controlled output y tracks a reference signal r
A dynamic state feedback control
Topic 6 Feedback control
The output feedback stabilization problem for the system
A dynamic output feedback control law
T: the torque
Topic 6 Feedback control
0
1
AB K (acosk1c) (bk2c)
Topic 6 Feedback control
For output feedback stabilization
Topic 6 Feedback control
Design a linear dynamic output feedback controller
disturbance rejection
Topic 6 Feedback control
6.1. Control Problems 6.2. Stabilization via Linearization 6.3. Integral Control 6.4. Integral Control via Linearization 6.5. Gain Scheduling
非线性分析
当F?Ku时的结构分析（非线性分析简介）1、引言1.1结构分析起源1.2有限元分析历史2、非线性的特征2.1材料非线性2.2几何非线性2.3边界条件非线性3、非线性有限元分析的概念3.1小应变3.2非线性应变－变形关系（几何方程）3.3非线性应力－应变关系（本构方程）3.4更新平衡方程3.5增量迭代求解方法4、大变形：更多关于几何非线性4.1总体拉格朗日方法4.2更新的拉格朗日方法4.3欧拉方法5、塑性：更多关于材料非线性5.1时间非相关行为5.2时间相关行为5.3屈服准则5.4硬化5.5蠕变（或称徐变）5.6粘弹性和粘塑性5.7橡胶和弹性体6、更多关于边界条件非线性6.1接触和摩擦7、非线性动力分析7.1动力问题求解方法7.2隐式解法7.3显式解法7.4两种方法的对比8、虚拟制造9、一些实用信息9.1非线性分析过程9.2网格细分和重划分10、应用实例10.1汽车业：汽车玻璃的非线性仿真辅助分析10.2航空业：Sikorsky Aircraft应用非线性求解方案解决设计瓶颈10.3土木工程：充气坝的非线性仿真分析，协助其运行一次成功10.4医疗器械：非线性有限元分析用于心血管器械的设计和安置1、引言结构和机械工程中的分析意味着基于工程原则的合适分析程序的应用，目的在于确定设计中结构的、热学的以及多种物理场的完整性。
对于简单结构，这些分析可以通过使用解析公式或其它方法解决。
更多时候，涉及到复杂部件或结构组装的分析就需要用到计算机仿真技术，这是虚拟产品开发（VPD）的一个组成部分。
用于此类分析的主要工程软件基于有限元方法，在过去50年里，有限元分析成功应用于航空、汽车、能源、制造、化工、电子、医学等所有主要工业领域。
事实上，有限元方法是现代计算机设计工程的主要突破之一。
1.1结构分析起源结构力学的起源可以追溯到伊萨克·牛顿和罗伯特·虎克等早期科学家。
对于一个刚度为K（单位N/m）的简易弹簧，自由端受力F（单位N）的作用，虎克得到了力荷载与引起的位移u之间简单的线性关系：f=Ku，此即虎克定律。
非线性分析简介
非线性分析简介非线性分析是数学中一个重要的分支，研究的对象是非线性系统。
在实际生活和科学研究中，许多系统都是非线性的，因此非线性分析具有广泛的应用价值。
本文将简要介绍非线性分析的基本概念、方法和应用。
一、非线性系统的特点在介绍非线性分析之前，首先需要了解非线性系统的特点。
与线性系统相比，非线性系统具有以下几个显著的特点：1. 非线性系统的响应与输入之间不满足叠加原理，即系统的输出不是输入的简单线性组合。
2. 非线性系统的行为复杂多样，可能出现周期性运动、混沌现象等。
3. 非线性系统的稳定性分析更加困难，存在更多的稳定性条件和现象。
二、非线性分析的基本概念1. 非线性方程：非线性系统的数学模型通常由非线性方程描述，如非线性微分方程、非线性差分方程等。
2. 非线性动力学：研究非线性系统随时间演化的规律，包括稳定性、周期性、混沌等性质。
3. 非线性控制：设计能够有效控制非线性系统的控制器，使系统达到期望的状态或性能。
三、非线性分析的方法1. 线性化方法：将非线性系统在某一工作点附近进行泰勒展开，得到近似的线性系统，然后应用线性系统的方法进行分析。
2. 相图分析：通过构建相空间中的相图，观察系统在相空间中的轨迹和稳定性，揭示系统的动力学行为。
3. 数值模拟：利用计算机进行数值模拟，求解非线性系统的数值解，研究系统的演化过程和特性。
4. 非线性优化：通过优化方法寻找非线性系统的最优控制策略或参数配置，使系统达到最佳性能。
四、非线性分析的应用1. 混沌理论：非线性分析在混沌理论中有重要应用，揭示了一些看似混乱的系统背后的规律和特性。
2. 生物系统：生物系统中存在许多非线性现象，如神经元网络、生物钟等，非线性分析有助于理解和模拟这些系统。
3. 控制工程：许多实际控制系统是非线性的，非线性分析为设计高效的控制器提供了理论支持和方法指导。
4. 物理学：非线性分析在物理学中有广泛应用，如流体力学、光学等领域，帮助揭示复杂系统的行为规律。
非线性分析
红线部分选择适当的选项可以用来 获得更高的精度. Euler法采用的是起始点的切向斜率 终点？ 中间点？ 组合值？
广义形式
最后一项泰勒展开
而根据泰勒展开
3个方程，4个未知量，每个A、B、P、Q就是一 种算法。 常用的有两种： A=1/2 Heun’s方法
二阶Runge-Kutta方法（修正Euler-Cauchy） A=0
copyright@扬州大学岩土工程研究所
12
微分方程的初值和边界问题
目标：求解微分及偏微分方程组 求解基础：泰勒展开 初值问题的Euler, Runge-Kutta和Adams 方法
对于这样一个简单的问题，通常也是无法给出 理论解形式的
Euler方法
上式即是一个迭代公式，从初始时间出发，可 求得各时间的解
y
1、收敛速度慢，线性。 2、方法稳定，只要求 f x c a, b
0
a a b b b x
０ a
3、只能求实函数的一个 时零点。
确定根所在的范围［a,b］对有的函数是 一件困难的事。所幸的是，在实际应用中， 根据其物理或工程的背景，在绝大部分场 合是不困难的。对给定的函数也有确定范 围的方法。
En Eround Etrunc
en1 en t d 2 y(c) 2 t 2 dt
为了控制误差的大小
求误差的最小值，对时间步长求导数，令其等于0.
er er t En M t 2
4er t M
稳定性
算例
Euler向前 算法 考虑误差
整体误差
非线性方程组的N-R解法
f x 0 f f1 , f 2 ,, f n x 1 , 2 ,, n
非线性分析
非线性分析非线性分析是数学中重要的一个领域，它研究的是非线性方程和不等式的性质及其解的行为。
在非线性分析中，我们关注的是线性方程无法描述的复杂的现象和问题，这些问题可能涉及到多个变量之间的相互作用和非线性变化的规律。
非线性分析的研究对象包括：非线性微分方程、非线性泛函分析、非线性变分理论、复杂动力系统、最优控制等。
非线性分析的起源可以追溯到19世纪末和20世纪初，当时的数学家们开始意识到线性模型无法完全描述现实世界的复杂性。
通过对非线性方程进行研究，数学家们逐渐发现了许多重要的非线性效应，如混沌现象、孤立子等。
这些发现不仅深刻地改变了数学的发展，也对物理学、工程学等其他学科产生了重大影响。
在非线性分析中，一个关键的概念是非线性映射。
简单来说，一个映射是指将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。
而非线性映射则是指不满足线性性质的映射。
非线性映射的特点是它们的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系。
相反，它们可能显示出强烈的非线性行为，如周期性、奇点、分叉等。
非线性分析的一个重要问题是研究非线性方程的解的存在性和唯一性。
对于一般的非线性方程，很难直接找到解析解，因此数学家们开发了各种方法来求解这些方程。
其中最著名的方法之一是古典非线性分析中的不动点定理和奇点理论。
这些理论提供了一种从不动点（或奇点）出发逐步逼近解的方法，通过迭代和逼近的方式来求解非线性方程。
除了解的存在性和唯一性，非线性分析还研究了解的稳定性和性质。
对于非线性方程的解来说，存在许多不同的稳定性概念，如局部稳定、全局稳定和渐近稳定。
这些概念用于描述解在微小扰动下的行为以及长时间演化的趋势。
稳定性理论对于理解和预测自然界中的复杂现象具有重要意义。
非线性分析的研究方法不仅限于数学理论，还涉及到了计算机模拟和实验观测。
计算机模拟通过数值方法来求解非线性方程，并研究其解的行为和性质。
实验观测则通过实验手段来验证非线性方程的解是否与真实情况相符。
非线性分析简介
非线性分析简介非线性分析是一种研究非线性系统行为的方法。
在许多实际问题中，线性模型无法准确描述系统的行为，因此需要使用非线性分析方法来研究系统的动力学特性。
本文将介绍非线性分析的基本概念、方法和应用领域。
一、非线性系统的特点非线性系统与线性系统相比，具有以下几个特点：1. 非线性关系：系统的输入和输出之间存在非线性的关系，即系统的响应不是简单的比例关系。
2. 多稳态性：非线性系统可以存在多个稳定的平衡点，系统的行为取决于初始条件。
3. 非周期性：非线性系统的响应可以是非周期性的，即系统的输出不会在一定时间内重复。
4. 非线性耦合：非线性系统的各个部分之间存在相互耦合的关系，一个部分的变化会影响其他部分的行为。
二、非线性分析的方法非线性分析的方法主要包括数值模拟和解析方法两种。
1. 数值模拟：数值模拟是通过计算机模拟非线性系统的行为。
常用的数值模拟方法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。
数值模拟可以得到系统的时间响应、相图和频谱等信息，对于复杂的非线性系统分析非常有用。
2. 解析方法：解析方法是通过数学分析推导非线性系统的解析解。
常用的解析方法包括平衡点分析、线性化分析和变分法等。
解析方法可以得到系统的稳定性、周期解和分岔等信息，对于简单的非线性系统分析较为方便。
三、非线性分析的应用领域非线性分析在许多领域都有广泛的应用，以下列举几个典型的应用领域：1. 力学系统：非线性分析在力学系统中的应用非常广泛，如弹性力学、振动力学和流体力学等。
通过非线性分析可以研究系统的稳定性、共振和混沌等现象。
2. 电子系统：非线性分析在电子系统中的应用主要包括电路和通信系统。
通过非线性分析可以研究电路的稳定性、非线性振荡和混沌现象，对于电子系统的设计和优化具有重要意义。
3. 生物系统：非线性分析在生物系统中的应用主要包括神经网络和生物钟等。
通过非线性分析可以研究生物系统的稳定性、同步和异步等现象，对于理解生物系统的行为具有重要意义。
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第六讲王慎平非线性分析北京怡格明思工程技术有限公司北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation25非线性有限元分析结构的非线性问题就是指结构的刚度随其变形而改变。
所有的物理结构 都是非线性的，而线性分析只是一种方便的近似，这对一些简单设计来 说通常是精确的，但显然对许多结构模拟是不够的，诸如加工过程的模 拟，锻造过程，冲压，压溃分析和橡胶问题等的分析。
由于刚度依赖位移，所以不能再用初始柔度（将刚度阵集成并求逆即可 得到柔度阵）乘以所加载荷的方法来计算任何载荷作用下的位移。
在非 线性分析中，结构的刚度阵在分析过程中必须进行多次的集成和求逆， 这就使得非线性分析求解比线性分析要昂贵得多。
北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation26非线性的来源与一般解法1. 材料非线性非线性弹性 弹塑性 超弹性 粘弹性与粘塑性北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation272. 几何非线性大偏转或变形； 大扭曲； 结构不稳定性 (屈曲) 预紧力效应北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation283. 边界非线性两个物体的接触边界随加载和变形而 改变引起的接触非线性（其中包含有 摩擦接触和无摩擦接触）；北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation31求解非线性问题主要有两种方法隐式方法 能够求解静态和动态方程； 需要求解一组矩阵方程以便获得增量步结束时的状态； 需要进行多次迭代； ABAQUS/standard应用该方法求解非线性问题； 显式方法 只能求解动态平衡方程； 可以用来求解准静态问题； 下一步的分析只依赖于上一步分析结束时的结果； 不需要进行迭代求解； ABAQUS/Explicit应用显式方法求解；北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation求解平衡方程典型的非线性问题具有所有三种形式的非线性。
• 在方程中必须包括非线性项。
• 一般的，每个自由度的非线性方程是耦合的。
静态平衡的基本表达式为：由单元应力引起的加在节点上的内力， I，与外力， P ，必须平衡，即：P (u ) − I (u ) = 0(Eq. 3.1)北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation• 牛顿-拉普森求解技术 • 第一次迭代 (i=1) 假定前面收敛增量步的解u0， P0 ，为已知的。
在当前增量步中，将一个小的增 量∆P，载荷施加到结构上。
ABAQUS基于u0处的切线刚度K0 确定位移修正c1 ； ABAQUS更新模型的状态为u1 ，形成K1 并计算 I1 。
总载荷PTOTAL与内力 I1的差称为残差， R1= PTOTAL- I1. 如果 R1 在模型的每个自由度上都非常小 (在容差范围之内)，结构就是 平衡的。
l默认的容差R1必须小于在整个时间段上作用于结构上的平均力的 0.5%。
lABAQUS自动计算这个在空间和时间上的平均力。
如果迭代不能得到收敛的解，ABAQUS执行另外的迭代，以找到收敛的 解。
北京怡格明思工程技术有限公司 Innovating through simulationPDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 • 第二次迭代 (i=2) 基于更新的刚度K1 ，计算新的 位移纠正 c2，并且I1 : K1c2 = PTOTAL − I1.把新的残差R2与容差进行比较， 察看在u2 处是否得到收敛解， 。
北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation该过程将一直重复，直到力的残差在允许的容差之内。
每次迭代i需要： 1. 形成切线刚度Ki。
2. 求解系统方程组，得到位移修正ci+1 。
• 修正位移的估计值： ui+1 = ui + ci+1。
3. 基于ui+1 计算内力向量Ii+1。
4. 进行平衡收敛判断： • 是否Ri+1 在容差之内?# iter• 是否 ci +1 <<∑c ?j j =1北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation一般的，每个分析 步(∗STEP)需要几 个增量步。
北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation非线性输入文件北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation非线性输入文件*HEADING CANTILEVER BEAM EXAMPLE--LARGE DISPLACEMENT *NODE 1, 0., 0. 11, 200., 0. *NGEN 1, 11, 1 *ELEMENT, TYPE=B21 1, 1, 3 *ELGEN, ELSET=BEAMS 1, 5, 2, 1 *BEAM SECTION, SECTION=RECT, ELSET=BEAMS, MATERIAL=MAT1 50., 5. *MATERIAL, NAME=MAT1 *ELASTIC 2.E5, .3 *BOUNDARY 1, 1, 6 *AMPLITUDE, NAME=RAMP 0.0, 0.0, 0.5, 0.3, 1.0, 1.0北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation非线性输入文件*RESTART, WRITE,FREQ=3分析步的时间 周期 建议的初始时间 增量 和线性输入的主 要不同*STEP, NLGEOM,INC=25 APPLY POINT LOAD *STATIC最大时间增量 最小时间增量0.1, 1.0, 0.001, 1.0 *CLOAD, AMPLITUDE=RAMP先前定义的载荷幅值 函数 和线性输入主要的 不同11, 2, -1200. *NODE PRINT, FREQ=1 U, RF *EL PRINT, FREQ=10 S, E *NODE FILE, FREQ=5 U *END STEP北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation非线性输入文件• 分析步和过程输入 *STEP, NLGEOM, INC=25 NLGEOM: 包括所有由以下原因引起的几何非线性效应： • 大挠度、大旋转、大变形。
• 预载荷（初始应力）。
• 载荷刚度。
如果上面列出的项不重要，应用NLGEOM选项得到的结果同没有应用 NLGEOM选项得到的结果类似，但是求解的费用更高。
INC=25: 在本例中允许的最大增量为25： • 如果在施加全部载荷之前达到了最大增量数量，程序将会中止。
• 保证程序的运行时间不会太长—用户可以重新启动分析。
• 默认值为100。
北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation非线性悬臂梁分析的输出• 状态(.sta) 文件 总结分析的过程—显示计算过程中使用的自动时间增量。
在作业运行的同时，可以检查状态文件。
在每个成功的增量之后，记录一行。
SUMMARY OF JOB INFORMATION: STEP INC ATT SEVERE EQUIL TOTAL DISCON ITERS ITERS ITERS 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2TOTAL TIME/ FREQ 0.100 0.200 0.350 0.575 0.913 1.00STEP TIME/LPFINC OF TIME/LPFDOF IF MONITOR RIKS0.100 0.200 0.350 0.575 0.913 1.000.1000 0.1000 0.1500 0.2250 0.3375 0.08750北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation非线性悬臂梁分析的输出• 自动的时间增量 试探算法（基于多年的经验）控制时间积分的精度。
在静力学分析中，基于迭代次数达到收敛。
• 容易得到收敛解（比最大允许迭代数量少很多）： ⇒增加迭代步长 • 不容易收敛或发散： ⇒减小增量步长 • 否则： ⇒保持同样的增量步长 自动的时间增量步长控制工作很好。
如果没有特殊的原因，用户不要改变它。
提示： 对于高度非线性问题，推荐初始的时间增量为总时间增量的一小部 分（比如10%）。
北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation非线性悬臂梁分析的输出• 信息 (.msg) 文件 包括： • 所有的收敛控制： – 利用∗CONTROLS选项覆盖默认值—不是经常需要 • 关于具体模型特征的细节： – 非默认模型特征 – 使用NLGEOM参数 – 重启动文件的写出频率 • 所有的迭代细节北京怡格明思工程技术有限公司PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Innovating through simulation74常见的收敛性问题单元扭曲 （ Element distortion） 当一个单元在某一积分点的体积变为负值时，会提示该信息。