杭州市重点高中高二上学期数学期中考试试卷(附答案)
A. (0, 1)
B. (−1, 0)
C. (−∞, −1) ∪ (0, +∞) D. (−∞, −2) ∪ (1, +∞)
7. 设点
Pi
(xi,
yi)
在直线
li
:
aix
+
biy
=
ci
上，若
i
(ai
+
bi)
=
ci
(i
=
1,
2)，且
|P1P2|
⩾
√ 2
恒成立，则
c1
+
c2
的值为 ( )
A. 2
B. 4
因为 AB = BC = √2，
所以 BD ⊥ AC，
因为 SA = SC = 2，
所以 SD ⊥ AC，
又 BD ∩ SD = D，BD ⊂ 平面 SDB，SD ⊂ 平面 SDB，
所以 AC ⊥ 平面 SDB，
所在以△A∠BSDCB中为，二AB面角⊥ BSC−，AACB−=BB的C平=面√角2，，
C. 6
D. 8
8. 在四√ 面体 S − ABC 中，AB ⊥ BC，AB = BC = √2，SA = SC = 2，二面角 S − AC − B 的余弦值是
− 3 ，则该四面体外接球的表面积是 ( )
3√ A. 8 6π
√ B. 6π
C. 6π
D. 8π
3
9. 设 l 是直线，α，β 是两个不同的平面 ( )
的取值范围为
．
22
；若 z = ax + y 在点
15. m
∈
R，动直线
l1
:
x
+
my
−
1
=
0
过定点
A，动直线
l2
:
mx
−
y
−
2m
+
√ 3
=
0
过定点
B，若直线
l1
与
l2
相交于点 P （异于点 A，B），则 △P AB 周长的最大值为
．
16. 如图，正方体 ABCD −A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，F 是侧面 CDD1C1 上的动点，
l1
⊥
l2
时
m
+
3
(2
+
m)
=
0，解得
m
=
−
3 2
．
12. −6，−20 解析：等差数列 {an} 的公差 d 为 2，
若 a1，a3，a4 成等比数列，可得 a23 = a1a4，即有 (a1 + 2d)2 = a1 (a1 + 3d)，化为 a1d = −4d2，解得
a1 = −8，a2 = −8 + 2 = −6；
杭州市重点高中高二上学期数学期中考试试卷
1. 若 a < b < 0，则下列不等式中不成立的是 (
A. |a| > |b|
B. 1 > 1 a−b a
) C. 1 > 1 ab
D. a2 > b2
2. 正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所成的角为 ( )
所以 Sn+1 − Sn = 2Sn，即 Sn+1 = 3Sn．
所以数列 {Sn} 是等比数列，公比为 3，首项为 1．
则 S5 = 1 × 34 = 81． 5. 因为正实数 a，b 满足 1 + 2 = 3，
√a b
所以 3 = 1 + 2 ⩾ 2
a
所以
√ ab
⩾
√b 2 2，
3
所以 ab ⩾ 8 ，
所以 AC = 2，
取等边 △SAC 的中心 E，作 EO ⊥ 平面 SAC，
过 D 作 DO √⊥ 平面 ABC，则 O 为四面体 S − ABC 外接球球心，
所以 ED = 3 ，
3
√
√
因为二面角 S − AC − B 的余弦值是 − 3 ，即 cos ∠SDB = − 3 ，
√
√
3
3
所以 cos ∠EDO = 6 ，OD = 2 ，
() √
A. 5
√ B. 6
√ C. 2 3
√ D. 2 5
11. 已知直线 l1：mx + 3y = 2 − m，l2：x + (m + 2) y = 1，若 l1∥ l2，则实数 m =
数m=
．
；若 l1 ⊥ l2，则实
12. 已知等差数列 {an} 的公差为 2，若 a1，a3，a4 成等比数列，则 a2 =
20. 已知函数 f (x) = x|x − a| − 1． (1) 当 a = 1 时，解不等式 f (x) < x − 1； (2) 当 x ∈ (0, 1] 时，f (x) ⩽ 1 x2 恒成立，求实数 a 的取值范围． 2
21. 如图，已知 △ABC 和 △BCD 所在平面互相垂直，且 ∠BAC = ∠BCD = 90◦，AB = AC，CB = CD，点 E，F 分别在线段 BD，CD 上，沿直线 EF 将 △EF D 向上翻折 使得 D 与 A 重合． (1) 求证：AB ⊥ CF ；
则该几何体的体积 V = 1 × 1 × 5 × 4 × 4 = 40 ．
32
3
表面积 S = 1 ×5×4×3+
1
√
√(
× 52 + 42 × 42 + 2 ×
√4
)2
2
2
41
√
= 30 + 6 5.
14. 3 ，a ⩾ 3 2
解析：作出不等式组 y ⩾ x − 1, y ⩽ −3 |x| + 1
立，即 a2 + a − 1 > 1，解得 a < −2 或 a > 1，
所以实数 a 的取值范围是 (−∞, −2) ∪ (1, +∞)．
7.
因为点 所以 l1
Pi (xi, yi) 过定点 M
在直线 li : aix + biy (1, 1)，l2 过定点 N
= ci 上，ai + bi (2, 2)，又 |P1P2|
设正四面体的棱长为 a，则 OF ∥ CD，OE ∥ AB， 且 OF = OE = a ，
2 所以 ∠EF O 是异面直线 EF 与 CD 所成的角，取 CD 中点 G，连接 BG，AG，则 AG ⊥ CD，BG ⊥ CD，
因为 BG ∩ AG = G，BG ⊂ 平面 ABG，AG ⊂ 平面 ABG，
所以 CD ⊥ 平面 ABG，
因为 AB ⊂ 平面 ABG，
所以 CD ⊥ AB，
所以 OF ⊥ OE，
所以 ∠EF O = π ，
4 所以异面直线 EF
与 CD 所成的角为
π．
4
− sin 2π
3. tan α =
5 cos 2π
= tan
3π 5
，α
∈
[0,
π)，可得
α
=
3π ． 5
5
4. 因为 a1 = 1，an+1 = 2Sn (n ∈ N∗)，
且 B1F ∥平面 A1BE，则 B1F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值的最小值是
．
17. 设数列 {an} 满足 a1 =
2 3
，且对任意的
n
∈
N∗，满足
an+2 −an
⩽
2n，an+4 −an
⩾
5×2n，则
a2017
=
．
18. 如图，在几何体 ABCDE 中，AB ⊥ 平面 BCE，且 △BCE 是正三角形，四边形 ABCD 为 正方形，G 是线段 BE 的中点，AB = 2． (1) 若 F 是线段 CD 上的中点，求证：GF ∥平面 ADE；
数列 {an} 的前 n 项和
Sn
= na1 +
1 n (n − 1) d 2
= −8n + n (n − 1)
= n2 − 9n
( = n−
9 )2 −
81 .
2
4
13.
当n=4 40 ，30
+或65√时5 ，解Sn析取：得由最三小视值图−可20知．：该几何体为三棱锥
P
−
AB C ，
3
其中：侧面 P AC ⊥ 底面 ABC，P D ⊥ AC，AC ⊥ BC，AD = 2，DC = 3，CB = 4，P D = 4．
A. 81
B. 80
C. 121
D. 120
5. 已知正实数 a，b 满足 1 + 2 = 3，则 (a + 1) (b + 2) 的最小值是 (
ab
A. 25
B. 50
C. 7
3
9
) D. 6
6. 若关于 x 的不等式 |x − 1| − |x − 2| ⩾ a2 + a − 1 (x ∈ R) 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是 ( )
x + 2y + 5 = 0 的距离，即 d = |0 + 2√× 0 + 5| = √5．
5
11. −3，− 3 2
解析：当 l1∥ l2 时 m (m + 2) − 3 × 1 = 0，解得 m = −3 或 m = 1，
当 m = 1 时，两直线重合，
故 l1∥ l2 时实数 m = −3，
当
9
因为 1 + 2 = 3，
ab
所以 2a + b = 3ab，
2023-2024学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x −√3y −1=0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生，则样本中男生人数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．93．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若DM →=13DD 1→，则MB →=（ ） A ．13AA 1→+AD →−AB →B ．−13AA 1→−AD →+AB →C ．−23AA 1→+AD →−AB →D ．23AA 1→−AD →+AB →4．已知向量a →2=3，b →=（2，0），|a →+b →|=1，则a →与b →的夹角等于（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为x ，方差为s 2，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为x ，方差为2，则下列判断正确的是（ ） A ．s 2＝2 B ．s 2＞2C ．s 2＜2D ．s 2与2的大小关系无法判断6．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，直线l ：x ﹣my +2m ＝0与圆C 相交于A 、B 两点，若圆C 上存在点P ，使得△ABP 为正三角形，则实数m 的值为（ ） A ．m =−43 B ．m =43 C ．m =−43或m ＝0D ．m =43或m ＝07．棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点N 在以A 为球心半径为1的球面上，点M 在平面ABCD 内且C 1M 与平面ABCD 所成角为60°，则M ，N 两点间的最近距离是（ ） A ．2√2−2√33B ．2√2−2√33−1C ．2√3−1D ．2√3−2√28．第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物完全相同，无区别），若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（ ） A ．14B ．25C ．17D ．37二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年浙江省杭州市S9联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市S9联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≥0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1} B ．{0，1，2} C ．﹣1 D ．{﹣1}2．复数z =1−i2+i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．15B ．35C ．−35D ．35i3．已知向量a →=(m ，2)，b →=(4，−8)，若a →=λb →，则实数m 的值是（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．44．函数y =(12)x 2−2x+1的单调道减区间为（ ）A ．（﹣∞，1]B ．[1，+∞）C ．(−∞，√2]D ．[√2，+∞)5．已知直线 l 1：ax ﹣3y ﹣3＝0，l 2：3x ﹣ay +1＝0，则“a ＝3”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足AP →=35AB →+13AD →+14AA 1→，则点P 到直线AB的距离为（ ） A ．25144B ．512C ．1320D ．√105158．设m ∈R ，若过定点A 的动直线x +my ＝0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m +2＝0交于点p （x ，y ），则|P A |•|PB |的最大值是（ ） A ．52B ．.2C ．.3D ．.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(上)期中数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.4分）若直线l1：3x+my-2=0.l2：x+2y+8=0互相平行.则实数m的值为（）A.-6B.6C. 32D. −322.（单选题.4分）若直线l的斜率为2.且在x轴上的截距为1.则直线l的方程为（）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x+2D.y=2x-23.（单选题.4分）已知m.n为异面直线.直线l || m.则l与n（）A.一定异面B.一定相交C.不可能相交D.不可能平行4.（单选题.4分）圆心为（1.1）且过原点的圆的标准方程是（）A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x-1）2+（y-1）2=25.（单选题.4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°.且α≠90°.则它的斜率k满足（）＜k≤0A.- √33B.k＞- √33C.k≥0或k＜- √3D.k≥0或k＜- √336.（单选题.4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1.O2.过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形.则该圆柱的表面积为（）A.12 √2 πB.12πC.8 √2 πD.10π 7.（单选题.4分）若x.y 满足约束条件 {x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2.目标函数z=-ax+y 仅在点（1.0）处取得最小值.则实数a 的取值范围是（ ）A.（-∞.2）B.（-1.1）C.（-1.2）D.（-1.+∞）8.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）A. 13B. 23C. 16D. 129.（单选题.4分）过点P （3.0）作直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R ）的垂线.垂足为M.已知定点N （4.2）.则当λ变化时.线段|MN|的长度取值范围是（ ）A. [0，√10+√5]B. [√10−√5，√10+√5]C. [√10，2√5]D. [√5，2√10]10.（单选题.4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示.其中四边形ABCD 是边长为2的正方形.若在该正四面体纸盒内放一个正方体.使正方体可以在纸盒内任意转动.则正方体棱长的最大值是（ ）A. 23B. 13C. √2D. √311.（填空题.6分）已知直线l 过点A （3.1）.B （2.0）.则直线l 的倾斜角为___ .直线l 的方程为___ ．12.（填空题.6分）已知直线l 1：ax+y-6=0与l 2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P.若l 1⊥l 2.则a=___ .此时点P 的坐标为___ ．13.（填空题.6分）圆x 2+y 2+2y-3=0的半径为___ .若直线y=x+b 与圆x 2+y 2+2y-3=0交于两点.则b 的取值范围是___ ．14.（填空题.6分）如图.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.AA 1=1.AB=AD=2.E.F 分别是BC.DC 的中点.则异面直线A 1B 1与EF 所成角为___ ；AD 1与EF 所成角的余弦值为___ ． 15.（填空题.4分）已知曲线y= √1−x 2 与直线x-7y+5=0交于A.B 两点.若直线OA.OB 的倾斜角分别为α、β.则cos （α-β）___16.（填空题.4分）已知M （x 0.y 0）到直线x+3y+2=0与直线3x+y+3=0的距离相等.且y 0≥3x 0+1.则 y0x 0 的最小值是___ ． 17.（填空题.4分）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为8.点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点）.点N 为线段CC 1的中点.若平面AMN 截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1所得的截面为五边形.则线段BM 长度的取值范围是___ ．18.（问答题.0分）若实数x.y 满足约束条件 {x −y ≥0x +y +2≥0x −2≤0．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；（2）若z=2x-y.求z 的最大值．19.（问答题.0分）已知数列{a n}满足a1=1.na n+1=2（n+1）a n.设b n= a n．n（1）求b1.b2.b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列.并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．20.（问答题.0分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D为棱AC的中点．（1）求证：AB1 || 面BC1D；（2）若AB=AC=2.BC=1. AA1=√3 .求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．21.（问答题.0分）如图.圆M：（x-2）2+y2=1.点P（-1.t）为直线l：x=-1上一动点.过点P引圆M的两条切线.切点分别为A、B．（1）若t=1.求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线PA.PB与y轴分别交于S、T两点.求|ST|的最小值．22.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知圆O：x2+y2=4.过点P（0.3）.且斜率)．为k的直线l与圆O交于不同的两点A.B.点Q(0，43（1）若直线l的斜率k=√2 .求线段AB的长度；（2）设直线QA.QB的斜率分别为k1.k2.求证：k1+k2为定值.并求出该定值；|MQ|.若存在.求出直线l的方程.若不（3）设线段AB的中点为M.是否存在直线l使|MO|= √63存在说明理由．2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）若直线l1：3x+my-2=0.l2：x+2y+8=0互相平行.则实数m的值为（）A.-6B.6C. 32D. −32【正确答案】：B【解析】：由题意利用两条直线平行的性质.求得m的值．【解答】：解：∵直线l1：3x+my-2=0.l2：x+2y+8=0互相平行.∴ 3 1 = m2≠ −28.∴m=6.故选：B．【点评】：本题主要考查两条直线平行的性质.属于基础题．2.（单选题.4分）若直线l的斜率为2.且在x轴上的截距为1.则直线l的方程为（）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x+2D.y=2x-2【正确答案】：D【解析】：由题意利用点斜式求出直线l的方程．【解答】：解：∵直线l的斜率为2.且在x轴上的截距为1.则直线l的方程为y-0=2（x-1）.即y=2x-2.故选：D．【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程.属于基础题．3.（单选题.4分）已知m.n为异面直线.直线l || m.则l与n（）A.一定异面B.一定相交C.不可能相交D.不可能平行【正确答案】：D【解析】：由已知结合空间中两直线的位置关系及平行公理得答案．【解答】：解：若m.n为异面直线.直线l || m.则l与n可能异面.也可能相交.不可能平行.若l与n平行.由平行公理可得.m与n平行.与m.n为异面直线矛盾．结合选项可知.D正确．故选：D．【点评】：本题考查空间中直线与直线位置关系的判定.考查空间想象能力与思维能力.是基础题．4.（单选题.4分）圆心为（1.1）且过原点的圆的标准方程是（）A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x-1）2+（y-1）2=2【正确答案】：D【解析】：利用两点间距离公式求出半径.由此能求出圆的方程．【解答】：解：由题意知圆半径r= √2 .∴圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=2．故选：D．【点评】：本题考查圆的方程的求法.解题时要认真审题.注意圆的方程的求法.是基础题．5.（单选题.4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°.且α≠90°.则它的斜率k满足（）A.- √3＜k≤03B.k＞- √33C.k≥0或k＜- √3D.k≥0或k＜- √33【正确答案】：D【解析】：由直线的倾斜角的范围.得到正切值的范围.求解即可．【解答】：解：直线的倾斜角α满足0°≤α＜150°.且α≠90°.由0≤k 或k ＜- √33 .故选：D ．【点评】：本题考查倾斜角和斜率的关系.注意倾斜角的范围.正切函数在[0. π2 ）、（ π2 .π）上都是单调增函数．6.（单选题.4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形.则该圆柱的表面积为（ ）A.12 √2 πB.12πC.8 √2 πD.10π【正确答案】：B【解析】：利用圆柱的截面是面积为8的正方形.求出圆柱的底面直径与高.然后求解圆柱的表面积．【解答】：解：设圆柱的底面直径为2R.则高为2R.圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形.可得：4R 2=8.解得R= √2 .则该圆柱的表面积为： π•(√2)2×2+2√2π×2√2 =12π．故选：B ．【点评】：本题考查圆柱的表面积的求法.考查圆柱的结构特征.截面的性质.是基本知识的考查．7.（单选题.4分）若x.y 满足约束条件 {x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2.目标函数z=-ax+y 仅在点（1.0）处取得最小值.则实数a 的取值范围是（ ）A.（-∞.2）B.（-1.1）C.（-1.2）D.（-1.+∞）【正确答案】：C【解析】：作出不等式对应的平面区域.利用线性规划的知识.确定目标取最优解的条件.即可求出a的取值范围．【解答】：解：作出不等式对应的平面区域.可行域为△ABC.由z=-ax+y可得y=ax+z.直线的斜率k=a∵k AC=2.k AB=-1若目标函数z=-ax+y仅在点A（1.0）处取得最小值.则有k AB＜k＜k AC即-1＜a＜2.即实数a的取值范围是（-1.2）故选：C．【点评】：本题考查了平面区域中线性规划中的应用问题.解题时利用平移直线法.属于中档题．8.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A. 13B. 23C. 16D. 12【正确答案】：C【解析】：首先把三视图转换为直观图.进一步求出几何体的体积．【解答】：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体.其中两条虚线分别表示下底的高和垂直底面的高．如图所示：故：V= 13×12×(12+12)×1×=16．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换.几何体的体积公式.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．9.（单选题.4分）过点P（3.0）作直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R）的垂线.垂足为M.已知定点N（4.2）.则当λ变化时.线段|MN|的长度取值范围是（）A. [0，√10+√5]B. [√10−√5，√10+√5]C. [√10，2√5]D. [√5，2√10]【正确答案】：B【解析】：根据题意.由直线2x+（λ+1）y-2λ=0的方程分析可得直线经过定点（-1.2）.设Q （-1.2）.分析可得M的轨迹是以PQ为直径的圆.易得圆的圆心与半径.结合点与圆的位置关系即可得答案．【解答】：解：根据题意.直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R ）.变形可得2x+y+λ（y-2）=0. 则有 {2x +y =0y −2=0 .解可得 {x =−1y =2 .即直线恒过定点（-1.2）.设Q （-1.2）.过点P （3.0）作直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R ）的垂线.垂足为M. 则M 的轨迹是以PQ 为直径的圆.其圆心为（1.1）.半径r= 12 |PQ|= √5 . 其方程为（x-1）2+（y-1）2=5.已知定点N （4.2）.则|NC|= √(4−1)2+(2−1)2 = √10 . 则有|NC|-r≤|MN|≤|NC|+r .即 √10 - √5 ≤|MN|≤ √10 + √5 . 故选：B ．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.涉及恒过定点的直线方程.注意分析M 的轨迹.属于综合题．10.（单选题.4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示.其中四边形ABCD 是边长为2的正方形.若在该正四面体纸盒内放一个正方体.使正方体可以在纸盒内任意转动.则正方体棱长的最大值是（ ）A. 23B. 13 C. √2 D. √3【正确答案】：A【解析】：以正方体为载体作出正四面体的直观图.得出正四面体的棱长.计算正四面体的体积和表面积.得出其内切球的半径.令小正方体的体对角线小于或等于内切球的直径得出小正方体棱长的范围即可．【解答】：解：作出正四面体A-CB 1D 1的直观图如图所示. 由于俯视图的正方形边长为2.故正四面体的棱长为2 √2 .故正四面体的体积V=23- 13×12×2×2×2 ×4= 83 .表面积为S= √34×(2√2)2×4=8 √3 .设正四面体的内切球半径为R.则 13×8√3×R = 83 .解得R= √33. 设放入正四面体纸盒内部的小正方体棱长为a.则 √3 a≤2R= 2√33.故a≤ 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查了棱锥与球的位置关系.考查棱锥三视图与体积、表面积计算.属于中档题． 11.（填空题.6分）已知直线l 过点A （3.1）.B （2.0）.则直线l 的倾斜角为___ .直线l 的方程为___ ．【正确答案】：[1]45°; [2]x-y-2=0【解析】：由两点求斜率公式可得AB 所在直线斜率.再由斜率等于倾斜角的正切值求解.进而求出直线方程．【解答】：解：直线l 过点A （3.1）.B （2.0）. 由两点求斜率公式可得：k AB =1−03−2=1． 设直线l 的倾斜角为α（0°≤α＜180°）. ∴tanα=1.则α=45°．∴直线l 的方程为：y-0=1×（x-2）.即x-y-2=0． 故答案为：45°.x-y-2=0．【点评】：本题考查直线的斜率公式.考查直线斜率与倾斜角的关系.是基础题．12.（填空题.6分）已知直线l 1：ax+y-6=0与l 2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P.若l 1⊥l 2.则a=___ .此时点P 的坐标为___ ． 【正确答案】：[1]1; [2]（3.3）【解析】：由直线垂直的性质得a×1+1×（a-2）=0.由此能求出a.再由直线l 1和l 2联立方程组.能求出点P 的坐标．【解答】：解：∵直线l1：ax+y-6=0与l2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P.l1⊥l2. ∴a×1+1×（a-2）=0.解得a=1.解方程{x+y−6=0x−y=0 .解得x=3.y=3.∴P（3.3）．故答案为：1.（3.3）．【点评】：本题考查两直线垂直时直线方程中参数值的求法.考查两直线交点坐标的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意直线垂直的性质的合理运用．13.（填空题.6分）圆x2+y2+2y-3=0的半径为___ .若直线y=x+b与圆x2+y2+2y-3=0交于两点.则b的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]2; [2] (−1−2√2，2√2−1)【解析】：将圆方程化为标准方程.找出半径即可．由圆心到直线的距离小于圆的半径求得答案．【解答】：解：圆的方程x2+y2+2y-3=0变形得：x2+（y+1）2=4.∴圆的半径为2．∵直线y=x+b与圆x2+y2+2y-3=0相交.∴d= |1+b|√1+1＜2；∴解得b∈ (−1−2√2，2√2−1)；故b的取值范围为：(−1−2√2，2√2−1)．故答案为：2；(−1−2√2，2√2−1)．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系的应用.考查了点到直线距离公式.体现了数学转化思想方法.是中档题．14.（填空题.6分）如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AA1=1.AB=AD=2.E.F分别是BC.DC的中点.则异面直线A1B1与EF所成角为___ ；AD1与EF所成角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] π4 ; [2] √105【解析】：作出异面直线所成的角.根据特殊三角形得出所求角或利用余弦定理计算角的余弦值．【解答】：解：∵A 1B 1 || AB || CD.∴∠CFE 为异面直线A 1B 1与EF 所成的角. ∵CE= 12 BC=1.CF= 12CD=1.BC⊥CD .∴∠CFE= π4 .即异面直线A 1B 1与EF 所成角为 π4. 取CC 1中点H.连接EH.BC 1.∵AD 1 || BC 1 || EH.∴∠HEF 为AD 1与EF 所成的角. ∵CH= 12 CC 1= 12 .∴EH=FH= √14+1 = √52 .又EF= √2 . ∴cos∠HEF=54+2−542×√52×√2=√105． 故答案为： π4 . √105．【点评】：本题考查了异面直线所成角的计算.属于基础题．15.（填空题.4分）已知曲线y= √1−x 2 与直线x-7y+5=0交于A.B 两点.若直线OA.OB 的倾斜角分别为α、β.则cos （α-β）___ 【正确答案】：[1]0【解析】：求得半圆的圆心到直线的距离.可得弦长|AB|.判断三角形ABO 的形状.进而得到所求值．【解答】：解：曲线y= √1−x 2 与直线x-7y+5=0交于A.B 两点.如图所示. 可得半圆的圆心（0.0）到直线的距离为d= √1+49= √22 . 可得弦长|AB|=2 √1−12 = √2 .即有△ABO 为直角三角形.且∠AOB 为直角. 可得cos （α-β）=cos∠AOB=0．故答案为：0．【点评】：本题考查圆方程的运用和直线方程的运用.考查圆的弦长公式和数形结合思想.属于基础题．16.（填空题.4分）已知M（x0.y0）到直线x+3y+2=0与直线3x+y+3=0的距离相等.且y0≥3x0+1.则y0x0的最小值是___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由点到直线的距离公式可得M的轨迹方程.与y0≥3x0+1.作出图形.求得y0x0的范围得答案．【解答】：解：∵M（x0.y0）到直线x+3y+2=0与直线3x+y+3=0的距离相等.∴ |x0+3y0+2|√10= |3x0+y0+3|√10.可得：x0+3y0+2=3x0+y0+3.即2x0-2y0+1=0.或x0+3y0+2=-（3x0+y0+3）.即4x0+4y0+5=0.由题意{2x0−2y0+1=0y0≥3x0+1① .或{4x0+4y0+5=0y0≥3x0+1② .由① 可得图1.联立{2x0−2y0+1=0y0=3x0+1 .可得P（−14，14）.可知当M与P重合时. y0x0取最小值-1；由② 可得图2.联立{4x0+4y0+5=0y0=3x0+1 .可得P（−916，−1116）.＞-1．可得y0x0的最小值是-1．综上. y0x0故答案为：-1．【点评】：本题考查轨迹方程的求法.考查简单的线性规划.考查数形结合的解题思想方法.是中档题．17.（填空题.4分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8.点M在线段BC上（点M异于B、C两点）.点N为线段CC1的中点.若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形.则线段BM长度的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.2）【解析】：当点M为线段BC的中点时.截面为四边形AMND1.从而当0＜BM≤1时.截面为四边形.当BM＞1时.截面为五边形.由此能求出线段BM的取值范围．【解答】：解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8.点M在线段BC上（点M异于B.C两点）.点N为线段CC1的中点.平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形.∴依题意.当点M为线段BC的中点时.由题意可知.截面为四边形AMND1.当0＜BM≤1时.截面为四边形.当BM＞1时.截面为五边形.∵平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形.∴线段BM的取值范围为（1.2）．故答案为：（1.2）．【点评】：本题考查线段的取值范围的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．18.（问答题.0分）若实数x.y 满足约束条件 {x −y ≥0x +y +2≥0x −2≤0 ．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域； （2）若z=2x-y.求z 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由约束条件作出可行域；（2）根据可行域.化目标函数为直线方程的斜截式.数形结合得到最优解.联立方程组求出最优解的坐标.代入目标函数得答案．【解答】：解：（1）由约束条件 {x −y ≥0x +y +2≥0x −3≤0 作出此约束条件所表示的平面区域如图△ABC .（2）化目标函数z=2x-y 为y=2x-z.由图可知.当直线y=2x-z 过C 时.直线在y 轴上的截距-z 最小.z 最大.此时x=3.y=-5.z 有最大值11．【点评】：本题考查简单的线性规划.考查了数形结合的解题思想方法.是中档题．19.（问答题.0分）已知数列{a n }满足a 1=1.na n+1=2（n+1）a n .设b n = ann ．（1）求b 1.b 2.b 3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列.并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论.直接求出数列的通项公式．【解答】：解：（1）数列{a n}满足a1=1.na n+1=2（n+1）a n.则：a n+1n+1a nn=2（常数）.由于b n=a nn.故：b n+1b n=2 .数列{b n}是以b1为首项.2为公比的等比数列．整理得：b n=b1•2n−1=2n−1 .所以：b1=1.b2=2.b3=4．（2）数列{b n}是为等比数列.由于b n+1b n=2（常数）；所以：数列{b n}是以b1为首项.2为公比的等比数列．（3）由（1）得：b n=2n−1 .根据b n=a nn.所以：a n=n•2n−1．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．20.（问答题.0分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D为棱AC的中点．（1）求证：AB1 || 面BC1D；（2）若AB=AC=2.BC=1. AA1=√3 .求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取A 1C 1的中点D 1.证明平面AB 1D 1 || 平面BC 1D.于是可得AB 1 || 面BC 1D ； （2）建立空间坐标系.利用向量坐标求出 AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出异面直线所成角．【解答】：（1）证明：取A 1C 1的中点D 1.连接B 1D 1.AD 1.DD 1. ∵C 1D 1 || AD.C 1D 1=AD.∴四边形ADC 1D 1是平行四边形.∴AD 1 || DC 1. 又AD 1⊄平面BC 1D.C 1D⊂平面BC 1D. ∴AD 1 || 平面BC 1D.同理可证：B 1D 1 || 平面BC 1D.又AD 1∩B 1D 1=D 1.AD 1⊂平面AB 1D 1.B 1D 1⊂平面AB 1D 1. ∴平面AB 1D 1 || 平面BC 1D.又AB 1⊂平面AB 1D 1. ∴AB 1 || 面BC 1D ．（2）解：取BC 的中点O.B 1C 1的中点E.连接AO. ∵AB=AC=2.BC=1.∴OA⊥BC .OA=√152. 以O 为原点.以OB.OA.OE 为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示. 则A （0.√152 .0）.B 1（ 12 .0. √3 ）.B （ 12 .0.0）.C 1（- 12 .0. √3 ）. ∴ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12.- √152. √3 ）. BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0. √3 ）. ∴cos ＜ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= −12+3√7×2 = 5√728 . ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 5√728 ．【点评】：本题考查了线面平行的判定.考查空间向量与异面直线的夹角计算.属于中档题．21.（问答题.0分）如图.圆M：（x-2）2+y2=1.点P（-1.t）为直线l：x=-1上一动点.过点P引圆M的两条切线.切点分别为A、B．（1）若t=1.求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线PA.PB与y轴分别交于S、T两点.求|ST|的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）设切线方程.利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接PM.AB交于N.利用∠MPA=∠MAN.结合正余弦可得最值；（3）利用（1）的方法.得到k的二次方程.结合根与系数关系.用含t的式子表示去表示|ST|.可得最值．【解答】：解：（1）由题意.切线斜率存在.可设切线方程为y-1=k（x+1）.即kx-y+k+1=0.则圆心M 到切线的距离d=√k 2+1 =1. 解得k=0或- 34 . 故所求切线方程为y=1.3x+4y-1=0；（2）连接PM.AB 交于点N.设∠MPA=∠MAN=θ.则|AB|=2|AM|cosθ=2cosθ.在Rt△MAP 中.sinθ= |AM||PM| = 1|PM| .∵|PM|≥3.∴（sinθ）max = 13 .∴（cosθ）min =2√23 . ∴|AB|min = 4√23； （3）设切线方程为y-t=k （x+1）.即kx-y+k+t=0.PA.PB 的斜率为k 1.k 2.故圆心M 到切线的距离d=√k 2+1 =1.得8k 2+6kt+t 2-1=0.∴k 1+k 2=- 34t .k 1k 2= t 2−18 . 在切线方程中令x=0可得y=k+t.故|ST|=|（k 1+t ）-（k 2+t ）|=|k 1-k 2|= √(k 1+k 2)2−4k 1k 2 = √t 2+84 . ∴|ST|min = √22 .此时t=0． 故|ST|的最小值为 √22．【点评】：此题考查了圆的切线及最值问题.综合性较强.难度较大．22.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知圆O：x2+y2=4.过点P（0.3）.且斜率)．为k的直线l与圆O交于不同的两点A.B.点Q(0，43（1）若直线l的斜率k=√2 .求线段AB的长度；（2）设直线QA.QB的斜率分别为k1.k2.求证：k1+k2为定值.并求出该定值；|MQ|.若存在.求出直线l的方程.若不（3）设线段AB的中点为M.是否存在直线l使|MO|= √63存在说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得直线l的方程.求出圆心O到直线l的距离d及圆的半径.再由弦长与半径即圆心到直线的距离的关系求出弦长；（2）设直线l的方程与圆O联立求出两根之和及两根之积.进而求出直线QA.QB的斜率之和.可证得斜率之和为定值0；|MQ|.可得k的表达式.进而求出k的（3）由（2）可得线段AB的中点M的坐标.由|MO|= √63值.求出直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得直线l 的方程为：y= √2x +3. 所以圆O 到直线l 的距离d= √3 = √3 . 圆O 的半径r=2.所以弦长|AB|=2 √r 2−d 2 =2 √22−(√3)2 =2；（2）证明：设直线l 的方程为：y=kx+3.设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.将直线l 的方程与圆联立 {y =kx +3x 2+y 2=4.整理可得：（1+k 2）x 2+6kx+5=0. △=36k 2-20（k 2+1）＞0.可得：k 2 ＞54 .x 1+x 2= −6k 1+k 2 .x 1x 2= 51+k 2 .k 1+k 2= y 1−43x 1 + y 2−43x 2 = (kx 1+3−43)x 2+(kx 2+3−43)x 1x 1x 2 =2k+ 53(x 1+x 2)x 1x 2 =2k+ 53•(−6k 1+k 2)51+k 2 =2k-2k=0.所以可证得：k 1+k 2为定值0．（3）由（2）可得AB 的中点M （ x 1+x 22 . y 1+y 22 ）.即（ −3k 1+k 2 . 31+k 2 ）. 因为|MO|= √63 |MQ|.所以 9k 2(1+k 2)2 + 9(1+k 2)2 = 23 [ 9k 2(1+k 2)2 +（ 31+k 2 - 43 ）2]. 整理可得： 251+ k 2 = 329 .解得k 2= 19332 .满足k 2 ＞54 所以k=± √3868. 所以直线l 的方程为：y= ±√3868 x+3．【点评】：本题考查求弦长即直线与圆的位置关系.属于中档题．。
浙江省杭州第七中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷
浙江省杭州第七中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷一、单选题1．613i =-（）A B ．910C D ．22．若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A ．1或2-B ．1-C ．2-D ．2或1-3．已知m ，n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．//,//m n n m αα⊂⇒B ．//,////m m αβαβ⇒C ．,//m n m nαα⊥⊥⇒D ．,//αγβγαβ⊥⊥⇒4．与椭圆229436x y +=有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（）A ．2212520x y +=B ．2212025x y +=C ．2212045x y +=D ．2218085x y +=5．现有质地相同的6个球，编号为16-，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（）A ．25B ．512C ．12D ．356．已知空间中的点(1,1,1),(5,4,13),(2,2,2)A B C ，则C 到直线AB 的距离为（）A ．1913B ．13C ．13D ．27．ABC V 的面积为S ，且sin sin ,62A Ca b A S AC +=⋅ ，则ABC V 的形状是（）A ．等腰三角形（非等边）B ．直角三角形C ．正三角形D ．钝角三角形8．已知直线:10l x ay --=与22:2440C x y x y +-+-= 交于,A B 两点，设弦AB 的中点为,M O 为坐标原点，则OM 的取值范围为（）A ．3⎡+⎣B ．1⎤+⎦C．22⎡⎣D．1⎤+⎦二、多选题9．已知随机事件A 、B ，若()()0.25P AB P AB ==，且()0.5P A B ⋃=，则正确的是（）A ．()()P A P B =B ．A 、B 为互斥事件C ．A 、B 相互独立D ．()0.25P B =10．已知直线:0-+=l kx y k ，圆22:650C x y x +-+=，点()00,P x y 为圆C 上一动点，则下列说法正确的是（）A ．2200x y +的最大值为5B ．00y xC ．00x y +的最大值为3+D ．圆心C 到直线l 的距离最大为411．定义两个向量,a b 之间的一种新运算：*||||sin a b a b θ=⋅，其中θ是向量,a b 的夹角，则对于非零向量,a b，则下列结论一定成立的是（）A ．若*0a b = ，则//a bB ．2222(*)()||||a b a b a b +⋅=⋅ C ．()*()*2**a b a b a a a b b b ++=++ D ．若λ∈R ，则(*)()*a b a bλλ=三、填空题12．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos cos 6,c A a C AC +=边上的高为4，则ABC V 的面积为.13．若动直线0mx ny m n +--=始终与椭圆222:1(0)3x y C a a +=>有公共点，则a 的取值范围是.14．在四边长均为ABCD 中，60A ︒∠=沿对角线BD 折成二面角A BD C --为90︒的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为.四、解答题15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(2,0)F ，且过点.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线:l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 中点为M ，求OM k 16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sincos 1,sin 4sin 4sin 2AA ac A C c A +=+=.(1)求边长a 和角A ；(2)若ABC V AD 的长度.17．某市为了创建文明城市，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值按照[50,60),[60,70),,[90,100] 分成5组，制成如图所示频率分布直方图.(1)求图中x 的值；(2)求这组数据的中位数；(3)若用这组数据估计全市对文明城市创建推行的满意度，从该城市中随机抽取3人，求这三人中恰有一人满意度在80分及以上的概率18．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是正方形，12AA AB =，E ，F 分别为1CC ，11A B 的中点.(1)证明：1//C F 平面1A BE ；(2)求二面角1A BE F --的正弦值.19．古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值(0,1)k k k >≠的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点(0,6),(0,3)A B 、动点M 满足2MB MA =，记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过(0,4)N 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若P 为线段NQ 的中点，求直线l 的方程；(3)过点(,3)P a a +作曲线C 的两条切线，切点分别为M ，N ，线段MN 长度的最小值.。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中考试数学试题
2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二上学期期中考试数学一、选择题：共8题1．直线x−y−1=0的倾斜角是A.π6B.π4C.π2D.3π4【答案】B【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率.由题意得k=1=tanα,即直线x−y−1=0的倾斜角α=π4.选B.2．已知a>b>0，那么下列不等式成立的是A.−a>−bB.a+c<b+cC.1a >1bD.(−a)2>(−b)2【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质.解答本题时要注意利用不等式的性质，结合特殊值法进行排除.因为a>b>0，则不妨设a=2,b=1，则A中−2>−1不成立；B中设c=0，则2<1不成立；C中12>1不成立，D中(−2)2=4>(−1)2成立，故选D. 【备注】统计历年的高考试题可以看出，不等式的性质是高考的一个考查方向，属于容易题，处于选择题的前3题.3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质与求和.因为{a n}为等差数列,所以a1+a3+a5=3a3=3,即a3=1;所以S5=5(a5+a1)2=5a3=5.选A.【备注】等差数列中a n=a1+(n−1)d，S n=n(a n+a1)2.4．如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是A.8cmB.6cmC.2(1+√3)cmD.2(1+√2)cm【答案】A【解析】本题考查直观图.还原出平面图形,如图平行四边形OABC 所示;其中OA =1,OB =2√2,所以AB =√1+8=3;所以原图形的周长l =2(OA +AB)=2(1+3)=8.选A.5．α,β为不重合的平面，m,n 为不重合的直线，则下列命题正确的是A.若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥αB.若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则n ⊥αC.若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥αD.若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥β 【答案】C【解析】本题考查直线与平面的位置关系.对A,若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥α不一定成立,排除A ；对B,若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则n ⊥α不一定成立,排除B ；对D,若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥β不一定成立.排除D.选C.6．设一个球的表面积为S 1,它的内接正方体的表面积为S 2,则S 1S 2的值等于A.2πB.6πC.π6D.π2【答案】D【解析】设球的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则易知R 2=34a 2,即a=2√33R,则S 1S 2=26×(2√33R)=π2,选D.7．ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知sinA +sinC =psinB 且ac =14b 2.若角B 为锐角，则p 的取值范围是 A.(−√2,√2)B.(0,√2)C.(−√2,−√62)∪(√62,√2)D.(√62,√2)【答案】D【解析】本题考查正弦定理,基本不等式.sinA +sinC =psinB ,由正弦定理得a +c =pb ;而pb =a +c ≥2√ac =b ,即pb ≥b ,所以p ≥1,排除A,B,C.选D.8．四棱锥P −ABCD 中，ΔPCD 为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为底面内一动点，当MA =√2PM 时，点M 在底面正方形内(包括边界)的轨迹为A.一个点B.线段C.圆D.圆弧【答案】A【解析】本题考查空间向量的应用.由题意得:以CD 的中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系,A(1,−12,0),P(0,0,√32),令M(x,y,0)(1≥x ≥0,12≥y ≥−12),所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y +12,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,−√32);而MA =√2PM ,即MA 2=2PM 2,即(x −1)2+(y +12)2+0=2,整理得(x +1)2+(y −12)2=1;而1≥x ≥0,12≥y ≥−12,所以x =0,y =12,即M(0,12,0),即点M 在底面正方形内(包括边界)的轨迹为一个点.选A.二、填空题：共7题9．已知直线l 1：x +ay −4=0与l 2：(a −2)x +y −1=0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a = ，此时点P 的坐标为 . 【答案】1，(2,2)【解析】本题考查两直线垂直.因为直线l1与l2垂直,所以−(a−2)×−1a=−1,解得a=1;联立方程{x+y−4=0−x+y−1=0,解得{x=2y=2,即点P的坐标为(2,2).10．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为 .【答案】23，2+2√5【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积与体积.还原出空间几何体,如图三棱锥P−ABC所示,其中PC⊥底面ABC;S∆ABC=12×2×2=2,所以三棱锥的体积V=1 3S∆ABC PC=23;表面积S=S∆ABC+S∆APC+S∆BPC+S∆PAB=2+√52+√52+√5=2+2√5.11．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则直线A1D与平面D1DE所成的角为 .【答案】90∘，30∘【解析】本题考查线面垂直,线面角.在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =AA 1=1，所以A 1D ⊥AD 1,A 1D ⊥AB ,而AB ∩AD 1=A ,所以A 1D ⊥面ABC 1D 1，而D 1E ⊂平面ABC 1D 1，∴D 1E ⊥A 1D ；即直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90∘; 若D 1E ⊥EC ，则E 为AB 的中点;取A 1B 1的中点F ,连接EF 、D 1F ,取D 1F 的中点G ,连接DG ;则A 1G ⊥面DEFD 1,此时∠A 1DG 为直线A 1D 与平面D 1DE 所成的角；在直角三角形A 1DG 中,A 1G =√22,A 1D =√2,所以sin∠A 1DG =A 1G A 1D =12,所以∠A 1DG =30∘,即直线A 1D 与平面D 1DE 所成的角为30∘.12．已知圆C ：x 2+y 2−2x +4y =0，则圆C 的半径为 ，过点(2,1)的直线中，被圆C 截得弦长最长的直线方程为 . 【答案】√5，3x −y −5=0【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆C :(x −1)2+(y +2)2=5,其圆心(1,−2)，半径为√5；当过圆心(1,−2)时,弦长最长,此时直线的斜率k =1+22−1=3,所以直线方程为y +2=3(x −1),即过点(2,1)的直线中，被圆C 截得弦长最长的直线方程为3x −y −5=0.13．设实数a,b 满足约束条件{a +b −2≥0b −a −1≤0a ≤1，则b+2a+2的取值范围为 .【答案】【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图三角形ABC 所示,A(1,1),B(12,32);而b+2a+2表示过点P(−2,−2)的直线的斜率k ;k max =k BP =32+212+2=75,k min =k AP =1+21+2=1;即1≤k ≤75，所以b+2a+2的取值范围为.14．已知圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5，点B 的坐标为(0,2)，设P,Q 分别是直线l ：x +y +2=0和圆C 上的动点，则|PB |+|PQ |的最小值为 . 【答案】2√5【解析】本题考查直线与圆的位置关系.由题意得C (2,1),半径r =√5;点B (0,2)关于直线l ：x +y +2=0的对称点D (−4,−2),则|PB |=|PD |;所以|PB |+|PQ |=|PD |+|PQ |≥CD −r =√36+9−√5=2√5,即|PB |+|PQ |的最小值为2√5.15．已知关于x 的不等式ax 2+2x +b >0(a ≠0)的解集为{x|x ≠−1a ,x ∈R}，且a >b ，则a 2+b 2+1a−b的最小值是 .【答案】2√3【解析】本题考查一元二次不等式,基本不等式.因为ax 2+2x +b >0(a ≠0)的解集为{x|x ≠−1a ,x ∈R}，所以∆=4−4ab =0,即ab =1,且a >b >0;所以a 2+b 2+1a−b=(a−b)2+2ab+1a−b=(a−b)2+3a−b=(a −b )+3a−b≥2√3(当且仅当a −b =√3时等号成立);即a 2+b 2+1a−b的最小值是2√3.三、解答题：共4题16．在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知sin2C =√3cosC ，其中C 为锐角.(1)求角C 的大小；(2)若a =1，b =4，求边c 的长.【答案】(1)由sin2C =√3cosC 得2sinCcosC =√3cosC ，∵C 为锐角，∴cosC ≠0，可得sinC =√32，∴C =π3.(2)由已知及余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =13，∴c =√13.【解析】本题考查二倍角公式,余弦定理.(1)由sin2C =√3cosC 得2sinCcosC =√3cosC ，得sinC =√32，∴C =π3.(2)由余弦定理得c =√13.17．已知数列{a n }的前项n 和为S n ，且3S n =4a n −4.又数列{b n }满足b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)若T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n，求使得不等式k n⋅ann+1≥(2n −3)T n 恒成立的实数k 的取值范围.【答案】(1)由3S n =4a n −4可得a 1=4，∵3S n =4a n −4，∴3S n−1=4a n−1−4，∴3S n −3S n−1=4a n −4−(4a n−1−4)， ∴3a n =4a n −4a n−1，即a na n−1=4.∴数列{a n }是首项为a 1=4，公比为4的等比数列，∴a n =4n =22n . 又b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a n =2+4+⋯+2(n −1)+2n =n(n +1)， ∴b n =n(n +1).(2)T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n=11×2+12×3+⋯+1n×(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n −1n+1；由k n⋅a nn+1≥(2n −3)T n 恒成立，即k ≥2n−34n恒成立 设d n =2n−34n，d n+1−d n =2(n+1)−34n+1−2n−34n=11−6n 4n+1∴当n ≥2时，数列{d n }单调递减，当1≤n <2时，数列{d n }单调递增； 即d 1<d 2>d 3>d 4>⋯，∴数列最大项为d 2=116； ∴k ≥116.【解析】本题考查等比数列,数列求和.(1)由a n =S n −S n−1得ana n−1=4.∴数列{a n }是等比数列，∴a n =4n =22n ，∴b n =n(n +1).(2)裂项相消得T n =1−1n+1；求得k ≥2n−34n恒成立，∴k ≥116.18．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60∘，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点.(1)证明CD ⊥AE ； (2)证明PD ⊥底面ABE ；(3)求二面角A −PD −C 的正弦值的大小.【答案】(1)证明：在四棱锥P −ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD.∵AC ⊥CD ，PA ∩AC =A ，∴CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE . (2)证明：由∠ABC =60∘，PA =AB =BC ，可得AC =PA. ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ，由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD =C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD. ∵PA ⊥底面ABCD ，PD 在底面ABCD 内的射影是AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD. 又∵AB ∩AE =A ，综上得PD ⊥底面ABE . (3)过点A 作AM ⊥PD ，垂足为M ，连结EM .由(2)知AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，∴EM ⊥PD. ∴∠AME 是二面角A −PD −C 的平面角.由已知得∠CAD =30∘，设AC =a ，可得PA =a ，AD =2√33a ，PD =√213a ，AE =√22a ， 在RtΔADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ⋅PD =PA ⋅AD ，则AM =PA⋅AD PD=a⋅2√33a √213a =2√77a .在RtΔAEM中，sin∠AME=AEAM =√144.【解析】本题考查线面垂直,线面角.(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE.(2)证得EA⊥PC，AE⊥PD,AB⊥PD.所以PD⊥底面ABE.(3)EM⊥PD.∴∠AME是二面角A−PD−C的平面角.在RtΔAEM中，求得sin∠AME=√144.19．已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F(−3,0)，过F任作一条弦AB.(1)求ΔAOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；(2)若点M在x轴上，且使得MF为ΔAMB的一条内角平分线，求点M的坐标.【答案】(1)设∠AOB=θ，则SΔAOB=12|OA|⋅|OB|sinθ=12×4×4×sinθ=8sinθ，当θ=π2时，SΔAOBmax=8，此时O到AB的距离为2√2<3，k AB=±2√2，∴SΔAOBmax=8，直线AB的方程为y=±2√2(x+3).(2)当直线AB斜率不存在时，MF始终平分∠AMB.当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k(x+3),(k≠0)，设M(m,0)，由{y=k(x+3)x2+y2=16得：(1+k2)x2+6k2x+(9k2−16)=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−6k21+k2，x1x2=9k2−161+k2.∵∠BMF=∠AMF，∴k BM+k AM=y1x1−m +y2x2−m=k(x1+3)x1−m+k(x2+3)x2−m=0，∴(x1+3)(x2−m)+(x2+3)(x1−m)=0，∴2x1x2+(3−m)(x1+x2)−6m=0，∴2×9k2−161+k2+(3−m)×−6k21+k2−6m=0，∴−32−6m=0，m=−163，∴M(−163,0).【解析】本题考查直线与圆的位置关系,三角形的面积公式(1)SΔAOB=12|OA|⋅|OB|sinθ=8sinθ，∴SΔAOBmax=8，直线AB为y=±2√2(x+3).(2)联立方程,套用根与系数的关系得x1+x2=−6k21+k2，x1x2=9k2−161+k2.∵∠BMF=∠AMF，∴k BM+k AM=0，求得m=−163，∴M(−163,0).。
浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题B卷 Word版含
浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题B卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.【答案】AC10.【答案】BCD11.【答案】ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法可得向量数量积.【小问1详解】，；【小问2详解】由题意易知，则，，则．16.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出的值；（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；122DM a b c =--+ 12BE b c =+ 2()111222DM DE EF FM AB AB AF AA a b c =++=--++=--+ ()111122BE BA AF FE EE AB AF AB AF AA AF AA b c =+++=-++++=+=+ 2a b c === 2π1cos 22232a b a b ⎛⎫⋅=⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭0a c ⋅= ()11222DM BE a b c b c ⎛⎫⋅=--+⋅+ ⎪⎝⎭ 2214222a b a c b b c b c c =-⋅-⋅--⋅+⋅+ 2214222a b a c b c =-⋅-⋅-+ ()2214222222=-⨯--⨯+⨯=a（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的值.【小问1详解】∵，∴【小问2详解】每日人均业务量的平均值为：，方案（1）人均日收入为：元，方案（2）人均日收入为：元，∵248元>224元，所以选择方案（2）【小问3详解】∵，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.由频率分布直方表可知：前5组的频率和为前6组的频率和为∵，设该销售的每日的平均业务量为，则，∴，又∵∴最小取82，故他每日的平均业务量至少应达82单.17.【解析】【分析】（1）设P (x,y )，由，得动点的轨迹方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.【小问1详解】x x ()()0.005320.030.01535251a ⨯+++⨯-=0.02a =()300.005400.005500.02600.03700.02800.015900.0051062⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=100622224+⨯=()20062504248+-⨯=404000.1÷=()0.00520.020.030.02100.8⨯+++⨯=()0.00520.020.030.020.015100.95⨯++++⨯=0.80.90.95<<x ()750.0150.80.9x -⨯+>81.7x >N x *∈x 4PA PB ⋅=- P设P (x,y )，则，，由，得，所以曲线的标准方程为.【小问2详解】曲线是以为圆心，1为半径的圆，过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，有圆心到直线距离，解得，则方程为.过点且与曲线相切直线的方程为或.18.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值．【小问1详解】证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为，又，平面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】的(1,2)PA x y =-- (3,6)PB x y =-- ()()()()13264PA PB x x y y ⋅=--+--=- ()()22241x y -+-=C ()()22241x y -+-=C ()2,4(1,2)A 1x =C (1,2)A ()21y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =3450x y -+=(1,2)A C 1x =3450x y -+=DE ⊥ABCD D DA x DC y DE z BDF CDE BDM BDF EC M BDM ⊥BDF EM ECADEF ABCD AD AD DE ⊥DE ⊂ADEF DE ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD ED ⊥由（1）可得，，又，如图，以原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量,,，因为，则，令，则，所以,,．设平面与平面所成角的大小为，则．所以平面与平面【小问3详解】若与重合，则平面的一个法向量,由（2）知平面的一个法向量,,，则，则此时平面与平面不垂直．若与不重合，如图设，则,,，设平面的一个法向量,,，则，为AD DE ⊥CD DE ⊥AD CD ⊥D DA DC DE x y z D xyz -1AD =(0D 0)(1B 0)(1F 1)(0C 0)(0E 1)CDE (1,0,0)DA = BDF (n x = y )z ()()1,1,0,1,0,1DB DF == 00n DB x y y x z x n DF x z ⎧⋅=+==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=+=⎩⎪⎩ 1x =1y z ==-(1n = 1-1)-BDF CDE θcos cos ,DA n θ=== BDF CDE M C BDM ()00,0,1m = BDF (1n = 1-1)-010m n ⋅=-≠ BDF BDM M C (01)EM ECλλ=<<(0M 2λ1)λ-BDM 0(m x = 0y 0)z 00m BD m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，令，则，，所以，平面平面等价于，即，所以．所以，线段上存在点使平面平面，且．19.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，求得 ,即得答案；（2）确定，求出直线方程，联立椭圆方程求得，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合直线斜率关系，可证明结论.【小问1详解】由题意可得 ,解得故椭圆E 的方程为．【小问2详解】证明：由（1）可知，，则直线的方程为联立方程组,整理得，解得或，则，设，直线的方程为，直线的方程为，设，的000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩01x =01y =-021z λλ=-21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭BDM ⊥BDF 0m n ⋅=r r 21101λλ+-=-1[0,1]2λ=∈EC M ⊥BDFBDM 12EM EC =,a b ()()0,1,1,0A F AF 41,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭,AP BP ,C D 2222121423144a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2212x y +=()()0,1,1,0A F AF 1y x =-+22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩224400x x -=0x =43x =41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,P t AP 112t y x -=+BP 31212t y x t +=--()()1122,,,C x y D x y联立方程组，整理得，可得，联立方程组，整理得，则，得从而．因为，，即，所以三点共线，所以直线经过点F ．2212112x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩()()2223410t t x t x -++-=2224421,2323t t t C t t t t ⎛⎫-+-++ ⎪-+-+⎝⎭221231212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=--⎪⎩()()22229632422416160t t x t t x t t ++-++++=222416163963x t t t t +=++22244321t t x t t +=++22224421,321321t t t t D t t t t ⎛⎫+-- ⎪++++⎝⎭2222222210212123442121123CF t t t t t t t t k t t t t t t t -++--++---+===-+--++---+22222222210021321441211321DF t t y t t t t k t t x t t t t ------++===+-+--++CF DF k k =,,C D F CD。
浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题及答案
2024学年第一学期S 9联盟期中联考高二年级数学学科试题注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填写在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数z =(2-i )(-1+i )对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A ={x ∣-1<x -3≤2},B ={x ∣3≤x <4}，则C A B =()A.{x ∣2<x <3或4<x <5} B.{x ∣2<x ≤3或4<x ≤5}C.{x ∣2<x <3或4≤x ≤5} D.{x ∣2<x ≤3或4≤x ≤5}3.直线y =3x +3的倾斜角为()A.π6B.2π3C.π4D.π34.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 为B 1C 1中点，若AB =a ,AC =b ,AA 1 =c ，则下列向量中与BM相等的是()A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b +cD.12a -12b +c5.已知a =(1,m -1),b =(m ,2)，则“m =2”是“a ∥b”的()A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.设偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递增，则满足f (2x -1)<f 13的x 的范围是()A.12,23B.-∞,23C.13,23D.12,237.已知点A (4,0),B (0,4)，从点P (2,0)射出光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后又经直线OB 反射回点P ，则光线经过的路程为()A.45B.210C.25D.108.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，B 为BC 的中点，P 为D 1E 的中点，则点P 到直线CC 1的距离为()A.1B.52C.32D.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量a=(4,-2,-4),b =(6,-3,2)，则下列结论正确的是()A.a +b =(10,-5,-2)B.a -b =(2,-1,6)C.a ⋅b =22D.|a |=610.已知函数f (x )=3sin x cos x +332sin x -332+1，下列命题正确的有()A.由f (x 1)=f (x 2)=1可得x 1-x 2是π的整数倍B.y =f (x )的表达式可改写成f (x )=3cos 2x -5π6+1C.y =f (x )的图像关于点3π4,1对称D.y =f (x )的图像关于直线x =-π12对称11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1,AA 1=2,∠BAA 1=∠DAA 1=45°，∠BAD =60°，则()A.AD 1 ∥(B 1B +BC )B.(A 1A +A 1D 1 -A 1B)2=3A 1B 12C.AC 1 ⋅(A 1B 1 -AD)=0D.|AC 1 |=3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a =(-4,1),b =(0,2)，向量a +kb 与a -b 垂直，则实数k 的值为13.已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距互为相反数且过点(1,2)，则这条直线的方程为14.已知直线l 1:x -my -2=0过定点A ，直线l 2:mx +y +2=0过定点B ，l 1与l 2的交点为C ，则|AC |+|BC |的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本题共13分)已知直线l :x -2y -2=0。
浙江省杭州市高二上学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．直线 ）2y x =-+A ．2B ．C ．D ． 1212-2-【答案】D【分析】根据斜截式方程，可得答案.【详解】由方程，2y x =-2-故选：D.2．圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）()1,2-3r =A ．B ． ()()22129x y -++=()()22129x y ++-=C ．D ． ()()22123x y -++=()()22123x y ++-=【答案】B【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】根据题意，圆心为，半径()1,2-3r =圆的标准方程为；()()22129x y ++-=故选：B ． 3．已知向量，则（ ）()()2,1,3,1,1,2a b =-=- 2a b +=A ．B ．C ．D ()4,1,1-()5,1,4-【答案】B【分析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果【详解】 2(2,1,3)(2,2,4)(4,1,1)a b +=-+-=- 故选：B.4．点是椭圆上的动点，则到椭圆两个焦点的距离之和为（ ） P 22125x y +=PA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，， 22125x y +=y 25,a a ==所以到椭圆两个焦点的距离之和为P 2a =故选：C5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，.则直线与直线111ABC A B C -122CA CC CB ===1BC 夹角的余弦值为（ ）1ABA B C D ． 35【答案】A【分析】由空间向量求解，【详解】由题图知，A 点的坐标为，B 点的坐标为，点的坐标为，点的()2,0,0()0,0,11B ()0,2,11C 坐标为.()0,2,0所以，.()10,2,1BC =- ()1=2,2,1AB -所以 cos θ==故选：A6．直线被圆所截得的弦长为（ ）:3410l x y +-=22:2440C x y x y +---=A ．B ．4C ．D ．【答案】C【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.【详解】由题意知，圆心，圆C 的半径为3， ()1,2C故C 到，:3410l x y +-=2故所求弦长为．=故选：C7．已知椭圆，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则22143x y +=的最小值为（ ）PA PF +A ．3BCD121【答案】A【分析】由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性PF P 质可得.【详解】设椭圆的右焦点为，，， 2F (1,0)21AF =22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-又，，2||||PA PF -≤2||AF 222||||||||AF PA PF AF --≤≤当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交2P A F ，，||||PA PF +P 2F A 点），故选：A.8．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC 的顶点分别为，，，()1,3A ()2,4B ()3,2C 则△ABC 的欧拉线方程为（ ）A ．B ． 50x y +-=50x y ++=C ．D ． 10x y -+=270x y +-=【答案】A【分析】求出重心坐标，求出AB 边上高和AC 边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知，△ABC 的重心为，()2,3G 可得直线AB 的斜率为，则AB 边上高所在的直线斜率为，则方程为， 34112-=-1-5y x =-+直线AC 的斜率为，则AC 边上高所在的直线斜率为2，则方程为， 321132-=--2y x =联立方程可得△ABC 的垂心为， 52y y xx =-+=⎧⎨⎩510,33H ⎛⎫ ⎪⎝⎭则直线GH 斜率为，则可得直线GH 方程为， 10331523-=--()32y x -=--故△ABC 的欧拉线方程为.50x y +-=故选：A.二、多选题9．如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．与B ．与 DO BO AC DB C ．与D ．与AD 11B C u u u u r 1A B u u u r 1D C 【答案】CD 【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.【详解】由正四棱柱可知，A ：，但与方向相反，故A 不符题意；DO BO = DO BO B ：，但与方向不同，故B 不符题意；AC DB = AC DB C ：，且与方向相同，故C 符题意；11AD B C = AD 11B C u u u u r D ：，且与方向相同，故D 符题意. 11A B D C = 1A B u u u r 1D C 故选：CD.10．已知直线，，则（ ）1:(1)20l a x ay +++=2:(1)10l ax a y +--=A ．恒过点B ．若，则 1l (2,2)-12l l //212a =C ．若，则D ．当时，不经过第三象限12l l ⊥21a =01a ≤≤2l 【答案】BD【分析】对于A ，由直接求解即可；对于BC ，根据，时系数系数()2a x y x +=--12l l //12l l ⊥,,A B C 间的关系解决即可；对于D ，分类讨论即可.【详解】对于选项A ：直线的方程可化为：， 1l ()2a x y x +=--令得：， 020x y x +=⎧⎨--=⎩22x y =-⎧⎨=⎩所以直线恒过点，1l (2,2)-故选项A 错误，对于选项B ：若时，显然不平行，0a =12:2,:1l x l y =-=若时，显然不平行，1a =12:220,:1l x y l x ++==所以若，则， 12l l //11a a a a +-=--且， 211a a-≠-解得， 212a =故选项B 正确，对于选项C ：若，则，12l l ⊥(1)(1)0a a a a ++-=解得，0a =故选项C 错误，对于选项D ：若直线不经过第三象限，2l 当时，直线，符合题意，1a =2:1l x =当时，则，解得， 1a ≠01101a a a ⎧-≤⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩01a <…综上，，故选项D 正确，01a ≤≤故选：BD.11．设圆的圆心为， 为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分22:2220x y x y +---=C ()5,1P P C 别为 ，则（ ）,A B A ．B ．四点共圆C ．D ．直线的方程为：PA PB ==,,,P A C B 60APB ∠=o AB 2x =【答案】ABCD【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出、的横坐标，即可判断CD ；依题意可得到CPB ∠,A B ()3,1D ,,,P A C B 四点的距离相等，即可判断B ；【详解】解：因为，即，则圆心，半径22:2220C x y x y +---=()()22114x y -+-=()1,1C 2r =，故A 正确；在中，4==Rt BCP △，，所以，即，所以，4PC =2BC =1sin 2CPB ∠=30CPB ∠=︒260APB CPB ∠=∠=︒，所以点的横坐标为，所以直线的方程为，故C 、D 正确；60BCP ACP ∠=∠=︒,A B 2AB 2x =如图直线与圆相交于点，显然，故四点共圆，故B PC C ()3,1D 2DC DB DP AD ====,,,P A C B 正确；故选：ABCD12．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ） 22193x y +=F (0y m m =<<,A B A ．为定值AF BF +B ．的周长的取值范围是ABF △[]6,12C ．当时，为直角三角形 m =ABF △D ．当时，1m =ABF △【答案】ACD【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C ；求出坐,A B ·0AF BF = ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】设椭圆的左焦点为，则F '||||AF BF '=所以为定值，A 正确；||||||||6AF BF AF AF '+=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 错误；||AB (0,6)ABF △(6,12)将， y =(A B又因为，∴ F 20AF BF ⋅=+= 所以为直角三角形，C 正确；ABF △将与椭圆方程联立，解得，，所以D 正确. 1y =(A B 112ABF S =⨯=A 故选：ACD三、填空题13．设椭圆标准方程为，则该椭圆的离心率为______． 2212516x y +=【答案】## 350.6【分析】求出、的值，即可求得椭圆的离心率.a c【详解】在椭圆中，，，则，2212516x y +=5a =4b =3c ==因此，该椭圆的离心率为. 35c e a ==故答案为：. 3514．在平面直角坐标系中，过圆：上任一点作圆：xOy 1C 22()(4)1x k y k -++-=P 2C 的一条切线，切点为，则当取最小值时，______．22(1)1x y ++=Q PQ k =【答案】 32【解析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】由方程可得圆C 1,C 2的圆心坐标分别为,,半径都是1.(),4k k -+()1,0-如图，因为PQ 为切线，所以，2PQ C Q ⊥由勾股定理，得，要使最小，则需最小，PQ =PQ 2PC 显然当点P 为与的交点时，最小，12C C 1C 2PC 此时，，所以当最小时，就最小，2121PC C C =-12C C 2PC1C C ==当时，最小，得到最小，32k =12C C PQ 故答案是：. 32【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的()1,0B -()0,0O 3x y +=最短总路程是______.【答案】5【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解.【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线与点O 3x y +=()00,A x y AB C由题知，点满足：()00,A x y ，解得：，，即点 0000322010x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩03x =03y =()3,3A 因为OC BC AC BC AB +=+=所以“将军饮马”的最短总路程为5AB ==故答案为：.516．如图，在四棱台中，，，，则ABCD A B C D -''''6AA '=90BAD ∠=︒60BAA DAA ''∠=∠=︒的最小值为___________．()(),R AC xAB y AD x y '-+∈【答案】【分析】先由平面向量的基本定理推得所求为四棱台的高，再结合图形利用线面ABCD A B C D -''''垂直的判定定理证得面，由此依次在，中求得，，最后在AD ⊥A MN 'Rt A AN 'A Rt AMN A A N 'MN 中求得，即为所求.Rt A MN 'A A M '【详解】设，由平面向量基本定理与，可得点(),R AP xAB y AD x y =+∈ (),R AP xAB y AD x y =+∈ 为平面内任一点，P ABCD 故， ()AC xAB y AD AC AP PC '''-+=-= 显然，当平面时，为四棱台的高的长度，取得最小值， PC '⊥ABCD PC ' ABCD A B C D -''''由于过点作高不好解答，不妨过作平面，则也为四棱台C 'A 'A M '⊥ABCD A M 'ABCD A B C D -''''的高，其长度即为所求.再作于，连结，如图，MN AD ⊥N ,A N AM '因为平面，平面，所以，A M '⊥ABCD AD ⊂ABCD A M AD '⊥又，面，所以面，MN AD ⊥,A M MN M A M MN ''⋂=⊂、A MN 'AD ⊥A MN '因为面，所以，A N '⊂A MN 'AD A N '⊥所以在中，，，可得，Rt A AN 'A 60DAA '∠=︒6AA '=sin 606A N AA ''=︒==， 1cos 60632AN AA '=︒=⨯=又由，所以为的平分线（注：此处也可过作的垂线，垂足60BAA DAA ''∠=∠=︒AM BAD ∠M AB 为，同理可得，从而得到证得），Q 3AQ =Rt Rt AMN AMQ ≅A A 所以在中，，故， Rt AMN A 1452MAN BAD ∠=∠=︒3MN AN ==所以在中，Rt A MN 'A A M '===所以四棱台的高为，故的最小值为ABCD A B C D -''''()AC xAB y AD '-+故答案为：.【点睛】本题综合了空间向量，立体几何及三角形知识，难度较大，关键点在于先利用向量基本定理将要求向量的模转化为棱台的高，过作出高，再结合线面垂直的判定以及解三角形的知识加以A '求解即可.四、解答题17．已知两直线l 1：x +8y +7=0和l 2：2x +y –1=0．（1）求l 1与l 2交点坐标；（2）求过l 1与l 2交点且与直线x +y +1=0平行的直线方程．【答案】（1）（1，–1）；（2）x +y =0．【分析】（1）两直线方程联立，可求出交点坐标；（2）所求直线的斜率与x +y +1=0的斜率相同，可设直线方程为 x +y +c =0，将（1）中求出的交点代入即可．【详解】（1）联立两条直线的方程可得：，解得，870210x y x y ++=⎧⎨+-=⎩11x y =⎧⎨=-⎩所以l 1与l 2交点坐标是（1，–1）．（2）设与直线x +y +1=0平行的直线l 方程为x +y +c =0， 因为直线l 过l 1与l 2交点（1，–1）， 所以c =0，所以直线l 的方程为x +y =0．【点睛】本题考查了两直线的交点问题，及平行线间的关系，属于基础题．18．已知向量，.()2,1,2a =- ()1,4,1b =r(1)求的值；2a b - (2)求向量与夹角的余弦值.2a b + a b -【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.【详解】（1）∵，， ()2,1,2a =- ()1,4,1b =r∴，， ()24,2,4a =-r()23,6,3a b -=-r r ∴；2a =r （2）设与的夹角为，则， 2a b + a b -θ()()2cos 2a b a b a b a bθ+-=+⋅-r r r rrr r r ，，，()24,7,4a b +=r r29a b+=r r ()1,5,1a b -=-r r a b -= ∴cosθ===∴向量与夹角的余弦值为2a b + a b - 19．如图，在正四棱柱中，已知，，E ，F 分别为，1111ABCD A B C D -2AB AD ==15AA =1DD 1BB 上的点，且．11DE B F ==(1)求证：平面ACF ： BE ⊥(2)求点B 到平面ACF 的距离． 【答案】(1)证明见详解. (2). 43【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明D DA x DC y 1DD z 与平面的一个法向量重合来证明平面.BEACF BE ⊥ACF （2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.B ACF 【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图D DA x DC y 1DDz 所示：则,()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F 设面的一个法向量为，， ACF ()=,,n x y z ()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=可得，即，不妨令则, 00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩1z =()=2,2,1n BE --= 平面.BE ∴⊥ACF（2），则点到平面的距离为.()=0,2,0ABB ACF 43AB n n⋅= 20．已知椭圆：过点，长轴长为C 22221(0)x y a b a b+=>>(2,(1)求椭圆的标准方程；C (2)过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程. (1,1)P l C A B P AB l 【答案】(1)22184x y +=(2)230x y +-=【分析】（1）椭圆基本量计算. （2）点差法求斜率即可.【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，得C 2a =a =又椭圆过点，C (2,所以，得.24218b +=24b =所以椭圆的标准方程为:.C 22184x y +=（2）直线的斜率不存在时，过点，直线的方程为： l (1,1)P l 1x =此时线段中点为，不合题意.AB ()1,0所以直线的斜率必存在，设其为，，，l k ()11,A x y ()22,B x y 因为为的中点，则，所以，P AB 12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩121222x x y y +=⎧⎨+=⎩将、坐标代入椭圆的标准方程为得，， A B C 22184x y +=22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：，整理得：， 22221212084x x y y --+=12121212()()()()084x x x x y y y y -+-++=所以，， 12121212()()()()84x x x x y y y y -+-+=-1212()2()284x x y y -⨯-⨯=-所以. 12124182y y k x x --===--所以直线的方程为，即.AB 11(1)2y x -=--230x y +-=因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求. P l 21．已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．(1)求圆C 的标准方程；(2)直线n 交圆C 于的M ，N 两点（点M ，N 异于A 点），若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)； 22(3)25x y -+=(2)证明见解析；定点. (6,12)--【分析】（1）设圆的标准为，求出即得解；222(3)x y r -+=r （2）直线n 斜率不存在时，不存在；直线n 斜率存在时，设直线n ：，，，y kx t =+1(M x 1)kx t +，，求出直线的方程为即得解.2(N x 2)kx t +26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【详解】（1）解：设圆的标准为，把代入得， 222(3)x y r -+=(0,4)A =5r 故圆的标准方程为．22(3)25x y -+=（2）证明：当直线n 斜率不存在时，设，，(,)M a b (),N a b -直线，的斜率之积为2，，AM AN (0,4)A ，即， ∴442,0b b a a a---⋅=≠22162,0b a a =-≠点在圆上，(,)M a b ，()22325a b ∴-+=联立，，舍去， ()2222162325b a a b ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩04a b ==±⎧⎨⎩当直线n 斜率存在时，设直线n ：，，，，， y kx t =+1(M x 1)kx t +2(N x 2)kx t +① ()()()()22121212124422440AM AN kx t kx t k k k x x k t x x t x x +-+-⋅=⋅=⇒-+-++-=联立方程， ()()()22222126160325y kx t k x kt x t x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩，，()122261kt x x k --∴+=+2122161t x x k -=+代入①，得，()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=化简得或， 26tk =+4t =若，则直线过，与题设矛盾， 舍.4t =n ()0,4直线n 的方程为：，所以且∴26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(+1)20,+1=066x x t x y +-=∴20x y -=所以. 6,12x y =-=-所以过定点．(6,12)--22．如图，C 是以为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面平面为正三角形，AB PAC ⊥,ABC PAC A E ，F 分别是上的动点.,PC PB(1)求证：；BC AE ⊥(2)若E ，F 分别是的中点且异面直线与与平面,PC PB AF BC AEF 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线与平面所成角的取值范围.ABC PQ AEF 【答案】(1)证明见解析 (2) 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明.BC ⊥PAC BC AE ⊥（2）由已知结合线面平行的判定定理知平面，结合线面平行的性质定理知，建//BC AEF //BC l 立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解. (2,,0)Q t AEF 【详解】（1）证明：因为C 是以为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以， AB BC AC ⊥又平面平面，且平面平面平面， PAC ⊥ABC PAC ,ABC AC BC =⊂ABC 所以平面平面. BC ⊥,PAC AE ⊂PAC 所以BC AE ⊥（2）由E ，F 分别是的中点，连结，所以，由（1）知， ,PC PB ,AE EF BC EF ∥BC AE ⊥所以，所以在中，就是异面直线与所成的角. EF AE ⊥Rt AFE A AFE ∠AF BC 因为异面直线与AFBC 所以tan ∠=AFE AE EF =又平面平面，EF ⊂,⊄AEF BC AEF 所以平面，又平面，平面平面， //BC AEF BC ⊂ABC ⋂EFA =ABCl 所以BC l ∥所以在平面中，过点A 作的平行线即为直线l .ABC BC以C 为坐标原点，所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面的直线为z 轴，建,CA CB ABC立空间直角坐标系，设.2AC =因为为正三角形所以 PAC △AE =2EF =由已知E ，F 分别是的中点，所以,PC PB24BC EF ==则，所以，(2,0,0),(0,4,0),A BP 11,22⎛⎛⎝⎝E F 所以，3,(0,2,0)2⎛=-= ⎝E AF E 因为，所以可设，平面的一个法向量为，BC l ∥(2,,0)Q t AEF (,,)m x yz =则，取，得， 30220x AE m EF m y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩z=m =又，则. (1,,= PQ t 1|cos ,0,2⎛⎤〈〉 ⎝⎦ PQ m设直线与平面所成角为，则. PQ AEF θ1sin 0,2⎛⎤=⎝⎦θ所以直线与平面所成角的取值范围为.PQ AEF 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦。
2020-2021学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,2,1,3,5A B =-=，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,0,1,2,3,5-C ．{}1D ．{}1,1,2-【答案】C【分析】直接根据交集运算即可. 【详解】{}{}1,0,1,2,1,3,5A B =-=,{1}A B ∴=,故选：C2．若,x y 满足约束条件021x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．4-B ．8C ．4D ．5【答案】B【分析】根据,x y 满足约束条件021x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，画出可行域，然后平移直线13y x =-，当直线在y 轴上截距最大时，目标函数取得最大值.【详解】由,x y 满足约束条件021x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，画出可行域如图所示：由3z x y =+转化为：1133y x z =-+，平移直线13y x =-，当直线经过点()1,3A -时，直线在y 轴上截距最大，此时目标函数取得最大值， 最大值为：8 故答案为：83．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ） A ．若,a b 与α所成角相等，则//a b B ．若//,//,//a b a ααβ，则b β// C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ D ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥ 【答案】D【分析】举反例可判断AC 错误；由线面关系的性质可判断B 错误；由垂直关系的性质可判断D 正确.【详解】对于A ，如正三棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，但侧棱不平行，故A 错误； 对于B ，若//,//,//a b a ααβ，则b β//或b β⊂，故B 错误； 对于C ，如图，,,//a b a b αβ⊂⊂，但α与β相交，故C 错误；对于D ，若,a ααβ⊥⊥，则a β⊂或//a β，又b β⊥，则a b ⊥，故D 正确. 故选：D.4．若关于x 的不等式0x ax+<的解集为{}|02x x <<则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．0D ．1-【答案】A【分析】()00x ax x a x+<⇔+<，然后根据条件可得答案. 【详解】因为()00x ax x a x+<⇔+<，其解集为{}|02x x << 所以2a -=，即2a =- 故选：A5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且sin sin sin a bA B C c c+<则ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定【答案】A【分析】由条件利用正弦定理可得222a b c +<，利用余弦定理可得角C 为钝角，可得答案. 【详解】由sin sin sin a bA B C c c+<可得sin sin sin a A b B c C +< 由正弦定理可得：222a b c +<由余弦定理可得：222cos 02a b c C ab+-=< ，又0C π<<所以角C 为钝角. 故选：A6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1DC 与1D E 所成角的大小是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D【分析】连接1A B ，1D C ，得出平面11A BCD ，由题可知BC ⊥平面11DCC D ，得出1BC DC ⊥，再根据线面垂直的判定定理可证出1DC ⊥平面11A BCD ，再由线面垂直的性质得出11DC D E ⊥，从而得出异面直线1DC 与1D E 所成的角. 【详解】解：如图，连接1A B ，1D C ，在正方体1111ABCD A B C D -中， 可知BC ⊥平面11DCC D ，而1DC ⊂平面11DCC D ，1BC DC ∴⊥， 又11CD DC ⊥，且1⋂=BC CD C ，1,BC CD ⊂平面11DCC D ，1DC ∴⊥平面11A BCD ，而1D E ⊂平面11A BCD ，11DC D E ∴⊥，即异面直线1DC 与1D E 所成角的大小是2π. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查的是异面直线所成角的计算，考查线面垂直的判定和性质，通过作辅助线以及通过证明线面垂直得出线线垂直是解题的关键. 7．已知函数()cos 22x xxf x -=-，则()f x )的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据当0x +→时函数值的正负情况得到函数图象； 【详解】解：因为()cos 22x xxf x -=-，所以定义域为{}|0x x ≠，且()()()cos cos 2222x x x xx xf x f x ----==-=---，即()cos 22x x x f x -=-为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除BD ；又当0x +→时，cos 0x >，122xx⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()0f x >，故排除A ；故选：C【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．2212a b +≤B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D 2a b >【答案】B【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【详解】解：①已知0a >，0b >，且1a b +=，所以222()22a b a b ++，则2212a b+，故A 错误．②利用分析法：要证122a b->，只需证明1a b ->-即可，即1a b >-，由于0a >，0b >，且1a b +=，所以：0a >，10b -<，故B 正确．③22222log log log log ()22a b a b ab ++==-，故C 错误．④由于0a >，0b >，且1a b +=， 利用分析法：2+成立，只需对关系式进行平方，整理得2a b ++，即1122a b+=，当且仅当12a b ==时，等号成立．故D 错误． 故选：B ．【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 9．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92 B ．102C ．8182D ．112【答案】B【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项． 【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=． 令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴1211322aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得： 12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭2115(1)221122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-．∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ．【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；10．如图，在直四棱柱ABCD A B C D ''''-中，,1,,,AB AD AB AD AA AB E F '⊥==>，分别是侧棱,BB DD ''上的动点，且平面AEF 与平面ABC 所成的（锐）二面角为30°，则BE 最大值为（ ）A ．66B ．22C ．33D ．1【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，设BE m =，DF n =，利用向量法表示出二面角的余弦值，即可得到2213m n +=，则213m n =-，即可求出m 的最大值； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，设BE m =，DF n =，()0,0m n ≥≥则()0,0,0A ，()1,0,E m ，()0,1,F n ，设面AEF 的法向量为(),,m x y z =，则0x mz y nz +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则x m =-，y n =-，所以(),,1m m n =--，显然()0,0,1u =为面ABC 的一个法向量，因为平面AEF 与平面ABC 所成的（锐）二面角为30°，所以223cos ,21m u m n <>==++ 所以2213m n +=所以213m n =-，所以当0n =时，m 3故选：C【点睛】本题考查了立体几何中的二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.二、双空题11310x y --=的倾斜角为______________，在y 轴上的截距为______________________ 【答案】3π-1 【分析】310x y --=的斜率为3k =，可得倾斜角，令0x =，得1y =-,得直线到在y 轴上的截距.【详解】310x y --=的倾斜角为α，则tan k α= ()0απ≤< 310x y --=的斜率为3k =所以tan 3k α==3πα=又令0x =，得1y =- 310x y --=在y 轴上的截距为1- 故答案为：3π；1- 12．点()2,2,3A -是空间直角坐标系O -xyz 中的一点，点A 关于坐标平面xoz 对称的点A '的坐标为_______________；'=OA ______________ 【答案】()2,2,3--17【分析】点(),,a b c 关于坐标平面xoz 对称的点为(),,a b c -，再利用模长公式进行计算可得答案．【详解】点()2,2,3A -关于坐标平面xoz 对称的点A '的坐标为()2,2,3--；OA '==；故答案为：()2,2,3--13．已知函数()()2log ,02,0xx x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()1f =______________；若()2f a =，则a =______________ 【答案】12-4 【分析】由题知分段函数的解析式，将1x =代入可得()1f 的值，由()2f a =可得()202a log a <⎧⎨-=⎩或022a a -≥⎧⎨=⎩，根据指数和对数的运算，解方程组即可得出a 的值. 【详解】解：∵()()2log ,02,0xx x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，∴()11122f -==， ∵()2f a =，∴()202a log a <⎧⎨-=⎩或022a a -≥⎧⎨=⎩，解得：4a =-或1a =-（舍去）. 故答案为：12；4-.三、填空题14．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2,60a b A ︒===，则c =_______________ 【答案】3【分析】由余弦定理即可求出.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即2174222c c =+-⨯⨯， 整理得2230c c --=，解得1c =-（舍去）或3c =. 故答案为：3.15．祖恒是我国南北朝时代的伟大科学家，他总结了刘徽的有关工作，提出来体积计算的原理“幂势既同，则积不容异”，称为祖恒原理，意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体，若在等高处 的截面面积始终相等，则它们的体积相等，利用这个原理求半球O 的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________________【答案】23π 【分析】根据给定的几何体的三视图，得到该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和圆锥的体积以及圆的公式，即可求解．【详解】解：根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个圆柱挖去一个圆锥， 且底面半径1，高为1的组合体，所以几何体的体积为：2221311113πππ⨯⨯⨯=⨯-⨯． 故答案为：23π.【点睛】关键点点睛：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．16．已知0,0x y >>，且1x y ⋅=，则11422x y x y+++的最小值为______________________ 【答案】22【分析】由1x y ⋅=，代入11422x y x y +++化简为+y 42x x y++，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为0,0x y >>，且1x y ⋅=，所以114422222x y x y x y x y+++=+≥++， 当且仅当42x y x y+=+，即21,21x y =+=-或21,21y x =+=-时等号成立， 则11422x y x y+++的最小值为22， 故答案为：22【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，以及合理应用“1”的代换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．在ABC 中，4,5,6AB BC AC ===，点M 为ABC 三边上的动点，PQ 是ABC 外接圆的直径，则MP MQ ⋅的取值范围是_______________________【答案】[]9,0-【分析】根据向量关系可得22MP MQ MO R ⋅=-，即判断22MO R -的取值范围即可，由图可知MO 的最大值为R ，最小值为29R -. 【详解】设外接圆的圆心为O ，半径为R ，可得()()MP MQ MO OP MO OQ ⋅=+⋅+()2MO MO OP OQ OP OQ =+⋅++⋅ 22MO R =-，M 为ABC 三边上的动点，可知MO 的最大值为O 到三角形顶点的距离，即为半径R ，且MO 的最小值为O 到AC 边的距离，过O 作0OM AC ⊥，垂足为0M ，则0OM ==∴MP MQ ⋅的最大值为220R R -=，最小值为2222099OM R R R -==--=-，故MP MQ ⋅的取值范围是[]9,0-. 故答案为：[]9,0-.【点睛】关键点睛：本题考查数量积的取值范围，解题的关键是利用向量关系整理出22MP MQ MO R ⋅=-，从而转化为22MO R -的取值范围.四、解答题18．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，0)，平面内的动点P 满足2PA PO = （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）由（1）所得曲线C 与直线:30l kx y -+=相交于两点M ，N ，且MN =求直线l 的方程.【答案】（1）()2214x y ++=；（2）730x y +-=或30x y -+=.【分析】（1）根据直接法，由动点P 满足2PA PO =，直接列式整理即可得解； （2）由（1）知曲线C 为圆，直接利用垂径定理，根据圆的弦长公式即可得解.【详解】（1）设(),P x y ，由||2||PA PO ==化简，得()2214x y ++=经检验，P 的轨迹方程为()2214x y ++= （2）设圆心到直线的距离为d ，由MN =d ==7k ∴=-或1.可得直线l 的方程为730x y +-=或30x y -+=.19．已知()()cos 0f x x ωω=>（1）若f (x )的周期是π，求ω，并求此时()12f x =的解集； （2）若()()()21,32g x fx f x f x πω⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.【答案】（1）2ω=；{|,}6ππ=±∈x x k k Z ；（2）1[-,1]2. 【分析】（1）由条件求出2ω=，然后可得答案；（2）将()g x 化为()1cos(2)32g x x π=++，然后可算出其值域.【详解】（1）由2T ππω==得2ω=；此时令1()cos22f x x ==得223x k ππ=±,6x k k Z ππ∴=±∈ 所求方程的解集为{|,}.6x x k k Z ππ=±∈（2）()2cos 3cos()cos()2g x x x x π=+-+2cos 3cos sin x x x =-1cos231sin 2cos(2)232x x x π+=-=++ 4022333x x ππππ≤≤∴≤+≤11cos(2)32x π∴-≤+≤ 11cos(2)1232x π∴-≤++≤即()g x 的值域为1[-,1]220．如图，四边形PABC 中，90,23,4PAC ABC PA AB AC ︒∠=∠====，现把PAC ∆沿AC 折起，使PA 与平面ABC 成60︒角，点P 在平面ABC 上的投影为点O (O 与B 在CA 同侧)（1）证明：//OB 平面PAC ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）2 4.【分析】（1）连接AO，证明CA⊥平面PAO，说明PAO∠是PA与平面ABC的角，通过证明//OB AC，推出//OB平面PAC．（2）建立直角坐标系求解【详解】解：（1）连AO，因为PO⊥平面ABC，得PO CA⊥．又因为CA PA⊥，PO PA P=，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO所以CA⊥平面PAO，AO⊂平面PAO，所以CA AO⊥因为PAO∠是PA与平面ABC的角，60PAO∠=︒．因为23PA=，得3OA=．在OAB中，903060OAB∠=︒-︒=︒，故有OB OA⊥，从而有//OB AC，OB⊄平面PAC，AC⊂平面PAC所以//OB平面PAC．（2）以,,OB OA OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则(0,0,3)P，3,0)A，(3,0,0)B，3,0)C(4,0,0),(0,3,3),(3,0,3)AC PA PB∴==-=-设平面PAC的法向量(,,)n x y z=则40330n AC xn PA y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩得(0,3,1)n=2sin cos,232||||n PBn PBn PBα⋅∴=<>===⨯⋅即直线PB与平面PAC2【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 21．设函数()24f x a x x =--()2g x x =+；（1）设()f x 图象上动点(),M x y ，当0a =时，求()221x y -+'的最大值；（2）若对任意[]4,0x ∈-恒有()()f x g x ≤，求实数a 的最大值. 【答案】（1）25；（2）22-.【分析】（1）因为24y x x =--，即可求出x 的取值范围，再换元即可求出()221x y -+的最大值；（2）依题意可得2(2)4(2)a x x ≤+-+22sin ,[,]22x ππθθ+=∈-，再根据三角函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为24y x x =--，所以240x x --≥，解得40x -≤≤2222(1)(1)(4)61x y x x x x -+=-+--=-+ 4,0x y ∴=-=时，22(1)x y -+取到最大值为25 .（2） ()()f x g x ≤即2(2)4(2)a x x ≤+-+222x -≤+≤ 令22sin ,[,]22x ππθθ+=∈-则2(2)4(2)2sin 2cos 22)4x x πθθθ+-+=-=-[,]22ππθ∈-，3444πππθ∴-≤-≤，42ππθ∴-=-即22x =-2(2)4(2)x x +-+取最小值为22-a ∴≤-，a ∴的最大值为-【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 22．设n S .是数列{}n a 的前n 项和，()2n S k n n n N=⋅+∈，其中k 是常数.（1）求1a 及n a 的值； （2）当k =2时，求证：12n 1112...3S S S +++<； （3）设0k >，记21n nb a =，求证：当2n ≥时，23411...14(1)n n b b b b n k k -<++++<-++.【答案】（1）1121n a k a kn k =+=-+；；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）由数列n a 与n S 的关系运算即可得解； （2）转化条件得12(21)(21)n S n n <-+，由裂项相消法即可得证； （3）通过放缩可得1n b >、111114n n n b k a a -⎛⎫<+-⎪⎝⎭，结合裂项相消法即可得证. 【详解】（1）1n =时， 111a S k ==+，2n ≥时，221[(1)(1)]21n n n a S S k n n k n n kn k -=-=⋅+-⋅-+-=-+，又11a k =+也满足21n a kn k =-+，11,21n a k a kn k ∴=+=-+；（2）证明：当 2k =时， 22n S n n =+112211(21)2(21)(21)(21)2121n S n n n n n n n n ∴==<=-++-+-+2n ∴≥时，12311111111111335572121n S S S S n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-+⎝⎭2123213n =-<+； 显然1n =时，111233S =<成立；123111123n S S S S ∴++++<；（3）证明：当0k >时，1n a >，2411n na a ∴>，2222111111n n n n n b a a a a ⎛⎫∴=>=+-= ⎪⎝⎭ 231n b b b n ∴+++>-；又当2n ≥时，22221131111111111112224nn nn n n n n n a b a a a a a k a a --++⎛⎫=<-=+<+=+- ⎪⎝⎭， 2312231111111114n n n b b b n k a a a a a a -⎛⎫∴+++<-+-+-++- ⎪⎝⎭111111111144(1)44(1)n n n n n k a a k k k a k k ⎛⎫=-+-=-+-<-+ ⎪+⋅+⎝⎭， 综上所述，当2n ≥时，()2311141n n b b b n k k -<+++<-++.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对数列进行合理放缩，细心计算即可得解.。
浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题【含答案】
A ．23-B ．3-6．已知()f x 是定义域为(,∞-(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．07．如图，在三棱锥O ABC -中，的三等分点，过点M 的平面分别交棱A ．133B ．8．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体等球与最大球和正四面体三个面均相切，知正四面体ABCD 棱长为CC中点A．Q为1PA长度的最小值为B．线段1C．存在一点PAN平面PBC；(1)求证：//(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第(2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？(3)若女子组40位选手的平均分为117，标准差为19．已知函数2π5π()3sin(2)sin(236f x x =--+(1)若方程()f x m =在ππ[,]44x ∈-上有且只有一个实数根，求实数()(1)求证：1A C⊥平面BDE；B C的中点，求点(2)若点F为棱11B C上的动点（不包括端点）(3)若点F为线段11范围.22．在区间D上，如果函数(f x故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径9．ACD【分析】根据统计中的相关概念和性质运算求解【详解】不妨设样本甲的数据为10x x <≤11．ACA B C三个时间包含的样本点，【分析】首先分别列举,,选项，即可判断选项.【详解】事件A的所有基本事件为甲事件B的所有基本事件为甲1乙【详解】在底面ABCD 的投影为H ，连接,BH CH 2sin PH PHPC PBβα===，即2=PB 建系可得：()3,0,0B ，()3,3,0C ，(,,P x y z故D正确.故选：BCDx y--=13．250【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解因为M ，N 分别是PC ，PD 又因为//AB DC 且12AB DC =，所以//NM AB ，NM AB =，所以四边形所以//AN BM ，又因为AN ⊄则()0,0,0A ，()0,0,1P ，(0,1,0B 设平面PBC 的法向量为(,m x =因为()0,1,1BP =-，(22,0,0BC = 所以0220BP m y z BC m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令y =66在ABD △中，3AD =，2AB =，由正弦定理得32⨯00DB m DE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即301322x y z ⎧=⎪⎨-+⎪⎩不妨取1z =，则3y =，则m = 所以平面BDE 的一个法向量为m ()10,3,3A C =-- ，1AC ∴=-。