数学思维训练五年级汇编

教学系列之七：

等差数列求和（1)

教学目标：

1、让学生了解数学家高斯的生平，感受数学的魅力，激发学生学习数学的热情。

2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。

教学过程：

一、高斯的故事

德国著名大科学家高斯(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。

长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子”。

他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。

这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。

“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。

教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。

还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不是这样？”

老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了。

可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。”

数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？

高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。

二、趣味数学之等差数列

(一)等差数列的基本知识

1.数列的基本知识

2.等差数列的基本知识

(二)等差数列的项——等差数列的通项公式

1.等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）

例：已知数列2、5、8、11、14……

求：（1）它的第10项是多少？

（2）它的第98项是多少？

（3）这个数列各项被几除有相同的余数？

2. 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1

例：已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多少项？

3. 小结等差数列项的有关规律

4.练习

1、一串数：1、3、5、7、9、……49。

（1）它的第21项是多少?

（2）这串数共有多少个？

2、一串数：2、4、6、8、……2008。

（1）它的第25项是多少?

（2）这串数共有多少个？

3、一串数：101、102、103、10

4、……199。（1）它的第30项是多少?

（2）这串数共有多少个？

4、一串数：7、12、17、22……。

（1）它的第60项是多少?

（2）这个数列各项被几除有相同的余数？三、总结：说说上课后的感想

教学系列之八：

等差数列求和（2）

教学目标：

1、让学生了解数学家斐波纳契的生平，提升学生的学习兴趣，激发学生学习数学的热情。

2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。

教学过程：

一、意大利数学家斐波那契

经过12世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获得了相应的发展．在13世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心．特别是商业的发展，带来了相当复杂的计算．这时的欧洲出现了第一批理论数学家．意大利作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家——斐波

那契。

斐波那契是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从—阿拉伯教师学习计算。后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系。经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度—阿拉伯数系相媲美。斐波那契于1200年回到家乡，把在各地学得的数学知识加以总结，写成《算盘书》这是向西欧介绍印度—阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。这本书的开头介绍了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题。因此，书名中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意，而应理解为“算术”或由印度—阿拉伯数系而产生的“算法”。斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和习题。在算术和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典范。下面简要介绍一下《算盘书》的主要内容。

《算盘书》共有15章．第1－－－5章介绍印度—阿拉伯数码记数法

及其四则运算。第6，7章介绍分数记法及其运算。第8－－－11章讨论商业上实用的各种算术问题的解法。在第11章讨论的混合问题。第12章的内容最为丰富，涉及各种类型的问题，如各种数列的求和法：算术级数、几何级数、平方数数列和递归数列等．几何级数的求和是为解决来自埃及纸草书中的问题，而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中：假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册．问题的答案由下列和式给出：

1＋1＋2＋3＋5＋8＋ (233)

其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个数列现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以后的近800年中一直是许多学者研究的对象。第13章是用双设法解线性方程。第14章介绍平方根和立方根的近似计算。第15章是问题汇编。《算盘书》以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名列12－－－14世纪数学著作之冠，对欧洲数学的发展产生了重要的影响。

二、趣味数学之等差数列求和

1.例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38

2.例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276

3.练习：

（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37

（2）7+11+15+19+......+403

（3）9+19+29+39+......+99

（4）1+3+5+7+......+99

三、等差数列知识总结：

怎样判断一个数列是等差数列

怎样求出等差数列的任意一项或项数

怎样求出等差数列前几项的和

必须牢记等差数列的基本公式和重要结论

教学系列之九：

等差数列求和（3)

教学目标：

1、让学生了解数学家韩信的生平，感受数学魅力，激发学生学习数学的热情。

2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。

教学过程：

一、韩信的故事

韩信是中国历史上最有名的军事家之一，被刘邦和吕后出于嫉妒和私心害死了。历史上很多史家和学者为他平反，众多的诗人为他留下大量的诗篇。围绕着韩信还流传了各种各样的传说。在今天我们所介绍的两则传说中，人们把他作为智慧的化身，就寄托着历代人们对他的深切的同情和怀念。

韩信分油

据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁。这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油。要把这10斤油平分，每人5斤。但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去。应该怎样分呢？

韩信骑在马上，了解情况以后，说：“葫芦归罐罐归篓，二人分油回家走。”说完了，打马就走。两个人按照韩信的办法倒来倒去，果然把油平均分成两半，每人5斤，高高兴兴，各自回家。究竟是怎样倒来倒去的呢？三种容器各自装油斤数的变化过程，可从下面的表中看出。

篓10 7 7

4 4 1

1

8

8 5

5

罐0 0 3 3

6 6

7 0

2 2 5

葫

0 3 0 3 0 3 2 2 0 3 0

芦

韩信所说的“葫芦归罐”，是指把葫芦里的油往罐里倒；“罐归篓”是指把罐里的油往篓里倒。通常分油要把油从大容器往小容器里倒，现在却把小容器里的油往大容器里“归”。往油葫芦里倒油，只能得到3斤的油量；把葫芦里的油往罐里“归”，“归”到第三次，葫芦里就出现2斤的油量。再把满满一罐油“归”到篓里，腾出空来，把葫芦里的2斤油“归”到空罐里；最后再倒一葫芦3斤油，“归”到罐里，就完成分油任务了。

韩信点兵

秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

二、趣味数学之等差数列求和应用

1.例：在一个分成64小格的方板的每个格子中放入石子。如果第

一格放入2粒，第二格放入4粒，第3格放入6粒，第四

格放入8粒……依次类推，放满64格，一共要放入多少粒

石子？

2. 例：在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？

（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

3.练习：

（1）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？

（2）有一家电影院，共有30排座位，后一排都比前一排多两个位置，已知第一排有28个座位，那么这家电影院共可以容纳多少名观众？

（3）盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？

（4）时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？

三、总结：说说上课后的感想