固体物理第四章晶格振动与晶体热学性质 总结
晶格振动与晶体的热学性质的界面扩散行为
晶格振动与晶体的热学性质的界面扩散行为晶格振动是指晶体中原子或离子在平衡位置附近做微小振动的现象。
这种振动不仅是晶体材料中热学性质的重要来源，还对材料的热传导和界面扩散等过程起着重要的影响。
本文将探讨晶格振动与晶体的热学性质之间的关系，以及晶体界面扩散行为的影响因素。
一、晶格振动与热学性质晶格振动是晶体中原子或离子在平衡位置附近做的微小振动。
晶体的热学性质主要与晶格振动有关，包括热容、热导率等。
晶格振动可分为声子振动和自由电子振动两个部分。
1. 声子振动声子是晶体中的一种集体振动模式，它描述了晶体中原子或离子之间的相互作用。
晶体中原子或离子的振动可以看作是声子的叠加，因此声子振动是晶体中晶格振动的主要形式。
由于晶体中原子或离子之间的相互作用，声子的能量和动量分布在一定的能带范围内。
不同的能带对应着不同的振动频率和波长。
晶体的声子谱确定了晶体的热学性质，例如热容和热导率等。
2. 自由电子振动自由电子振动是指晶体中自由电子在晶格场中的振动。
自由电子在晶体中的运动不受束缚，因此其振动形式与声子振动有所不同。
晶体中的自由电子振动主要与金属材料的导电性能有关。
在金属中，自由电子可以自由地在晶格中传导热能和电流。
因此，自由电子振动对材料的导电性和热导率有着重要的贡献。
二、界面扩散行为界面扩散是指两个不同材料之间的原子或分子在界面区域的有序交换。
界面扩散行为在材料加工、催化反应和电子器件等领域中具有重要的应用价值。
晶体的界面扩散行为主要受晶格振动和界面能等因素的影响。
1. 晶格振动的影响晶格振动通过扩散势垒的降低和原子或分子的振动能量促进界面扩散行为。
晶格振动的频率和振幅可以调控扩散行为的速率。
当晶体的振动频率与界面上的振动频率相吻合时，晶体原子或分子容易穿过界面，从一个材料迁移到另一个材料中。
此时，扩散行为将得到促进。
2. 界面能的影响界面能是指两个不同材料之间的接触面上的能量。
界面能的大小直接影响着界面扩散行为。
晶格振动与晶体的热学性质的晶格畸变效应
晶格振动与晶体的热学性质的晶格畸变效应晶体是由定序排列的原子或分子构成，其内部结构具有周期性的排列方式。
晶体的热学性质与晶体内原子之间的相互作用密切相关。
晶格振动是晶体内原子或分子在其平衡位置周围做微小振动的一种现象。
晶格振动的性质受到晶体的结构、温度和压强等因素的影响。
晶格畸变是指晶格结构由于外界的作用而发生变化，从而影响晶体的热学性质。
本文将探讨晶格振动与晶格畸变效应对晶体热学性质的影响。
一、晶格振动对晶体热导率的影响晶体的热导率是指晶体传导热量的能力。
热导率与晶格中原子或分子振动的频率和振幅相关。
晶格振动的频率与晶体的晶胞结构有关，例如，对于简单晶格结构，振动频率较高；而对于复杂晶格结构，振动频率较低。
当晶格振动频率较高时，晶体内的能量传递速度加快，热导率提高。
相反，当晶格振动频率较低时，能量传递速度减慢，热导率降低。
晶格畸变会改变晶格振动的频率，从而影响晶体的热传导性能。
例如，在晶格畸变中，晶胞间距的改变会导致振动频率的变化，进而影响热导率。
二、晶格振动对晶体热膨胀性的影响晶体的热膨胀性是指在温度变化时晶体尺寸的变化程度。
晶体的热膨胀性与晶格振动也有密切的联系。
晶格振动引起的原子或分子间的相互作用改变会导致晶体发生畸变，从而产生热膨胀。
当晶体受热而振动频率增加时，晶格结构扩展，晶体膨胀。
相反，当晶体受冷而振动频率减小时，晶格结构收缩，晶体收缩。
晶格畸变可以显著影响晶体的热膨胀行为。
例如，在晶体结构的压力或应力下产生的晶格畸变会导致热膨胀性的改变。
三、晶格振动对晶体热容的影响晶体的热容是指单位质量或单位体积的晶体在吸热(或放热)时温度变化的量。
晶体的热容与晶格振动特性也存在一定的关联。
晶格振动的频率和振幅会影响晶体内部能量的分布和传递，从而影响热容。
当晶格振动频率高且振幅大时，晶体内能量的分布较广，热容较大。
反之，当晶格振动频率低且振幅小时，晶体内能量的分布较为局限，热容较小。
晶格畸变会改变晶格振动的特性，进而对晶体的热容产生影响。
晶格振动与晶体的热学性质关系综述
晶格振动与晶体的热学性质关系综述晶格振动是晶体中原子或分子在平衡位置周围的微小振动。
它是晶体内部热学性质的基础，与晶体的热导率、热膨胀系数、比热容等热学性质密切相关。
本文将综述晶格振动与晶体热学性质的关系，并探讨晶格振动在材料科学中的应用。
晶体的热学性质与晶格振动的频率、波矢以及振幅有密切关系。
一般来说，晶格振动频率高、振幅小的晶体热导率会较高，热膨胀系数较小。
这是因为晶格振动频率高意味着晶格中原子或分子之间的相互作用强，能量传递效率高；而振幅小意味着原子或分子振动的范围小，不易导致晶格的漂移，从而减小了热膨胀系数。
晶格振动与晶体的比热容也存在一定的关系。
在低温下，晶格振动对比热容的贡献为Debye模型所描述的三维声子气模型。
而在高温下，由于激发了大量的非谐振动模式，晶格振动对比热容的贡献将显著增加。
除了热学性质，晶格振动还与晶体的光学性质相关。
例如，晶体的红外吸收谱在一定程度上反映了晶格振动的特点。
由于不同模式的晶格振动对应不同的波矢和能量，因此红外光谱可以提供关于晶体结构和振动特性的重要信息。
在材料科学中，晶格振动也被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
通过调控晶格振动，可以实现材料的热导率和电导率之间的解耦，从而提高材料的热电性能。
例如，通过引入杂质、界面掺杂或纳米结构等手段，可以有效散射晶格振动，降低热导率，进而提高材料的热电效率。
总之，晶格振动与晶体的热学性质密切相关。
研究晶格振动对于深入理解晶体的热学行为、优化材料的热学性能具有重要意义。
随着计算模拟和实验技术的发展，进一步研究晶格振动与热学性质的关系将有助于推动材料科学和能源领域的进展。
这篇文章主要综述了晶格振动与晶体的热学性质的关系，并探讨了晶格振动在材料科学中的应用。
通过调控晶格振动频率、波矢和振幅等参数，可以实现热导率、热膨胀系数和比热容等热学性质的调控。
此外，晶格振动还与晶体的光学性质相关，并被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
晶格振动与晶体的热学性质
q1
2 1
2a
q2
2 2
5
2a
q2
q1
2
a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
q0时
2
M
Mm
m
1
1
4
M
Mm m
2
sin
2
1 2
aq
M
m
1
Mm
1
4Mm
M m2
1 2
aq2
2
M
Mm
m
2Mm
M m2
1 2
aq
2
2
M m
1 2
aq
2
1 2
a
2 q q
M m
这与连续介质的弹性波 ＝vq 一致
当q0时
n n
q0
1
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振
M 2 m2 2Mm cosaq
i 1 aq
M
2
2m
cos
1 2
aq
e
2
m2 2Mm cosaq
M
m
Rei
1 aq
2
即：
2 2
－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型
物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。
固体物理学：第四章 晶格振动与晶体的热学性质1
第四章晶格振动4.1 晶格振动的经典理论4.2 晶格振动的量子化－声子4.3 固体热容的量子理论4.4 非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导4.5晶格振动的实验研究原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。
只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。
如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
•19 世纪初人们就通过Dulong-Petit 定律：认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现；1907年，Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象；1912年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件；Debye热容理论1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论；1954年黄昆和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作4.1 晶格振动的经典理论一. 一维单原子链的振动运动方程：考虑N个质量为m 的同种原子组成的一维单原子链的。
设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t 时刻第n 个原子偏离其平衡位置的位移为µn设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如）后势能发生变化是V(a+δ) ，将它在平衡位置附近做泰勒展开：首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然，这只适用于微振动，即δ值很小的情况。
此时，恢复力：如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n 个原子受到的力：于是第n个原子的运动方程可写为：一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线性齐次方程。
固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.7-非简谐效应
两个声子通过非简谐项的作用, 产生了第三个声子, 这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子.
声子的这种相互作用可以理解为: 一个声子的存在将 在晶体中引起周期性的弹性应变, 由于非简谐项的影响, 晶体的弹性模量不是常数, 而受到弹性应变的调制.
由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而 产生第三个声子。
流的声子分布一旦建立,将不随时间变化(表明弛
豫时间为无穷大),这意味着无限大的热导率.
1 3
cV vl
1 3
cV v2
所以，用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热 传导现象。
实际上，原子间的相互作用力(恢复力)并非严格地 与原子的位移成正比。
当在晶体的势能展开式中，考虑3次方及其以上的 高次项时，则晶格振动就不能描述为一系列严格线性 独立的谐振子.
h1 h2 h3
hqv1 hqv2 hqv3
v hGh
qv1
qv2
qv3
v Gh
实际情况确实存在上述两种对应关系. 比如在研究热阻时，发现两个同向运动的声子相互 碰撞，产生的第三个声子的运动方向与它们相反，即 运动方向发生倒转。 因此两个声子的碰撞过程可以满足
h1 h2 h3
qv1 qv2 qv3
所以，T<<ΘD时，晶格热导率满足 T3eA/T。 显然T→0时，声子的平均自由程→∞，从而导致晶
格热导率→∞。
实际上热导系数并不会趋向无穷大，因为在 实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由 程不会非常大。
对于完整的晶体，即不存在杂质和缺陷的
这种声子态之间的跃迁常称为声子-声子相互作用， 或声子之间的碰撞或散射。 声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒。
非简谐作用中的势能三次方项对应于三声子过程， 如两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两 个声子；非简谐作用中的势能四次方项对应于四声子 过程。
(完整版)第四章晶格振动
➢研究的意义：利用晶格振动的理论解释晶
体的热学性质
➢研究的方法：
一维 格波 原子链 声子
三维 晶格
晶格振动与热 学性质之间的 关系
§1 一维原子链的振动
简谐近似：假设原子间的相互作用力仅存在于最近 邻原子之间，在简谐近似下，我们可以用 一个力 常数为k 的弹簧表示最紧邻原子间的相互作用。一 维情况下，原子的振动是纵向的。 一 独立简谐振动 二 简谐振动的耦合 （一）一维单原子链的振动 （二）一维双原子链的振动
—— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递
波矢q的取值
色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原 子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子 (质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相 差也是2qa。
5 讨论
un Aeiqnat
1） 格波与连续介质中弹性波的差别与联系
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
i[t (2n1)aq]
m2 A k(eiaq eiaq )B 2kA
M2B
k (eiaq
eiaq
)A
2kB
(2k m2 )A (2k cos aq)B 0
晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
p&i
H Qi
正则动量
pi
L Qi
Qi
Q&&i i2Qi 0, i 1, 2, 3,L 3N —— 3N个独立无关的方程
简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
摩尔热容量 CV 3Nk 3R —— 与温度无关
—— 杜隆－珀替经验规律
—— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超
导电性、磁性、结构相变有密切关系
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1,
i1
Q3N )
E (Q1,
Q3N )
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、格波：由于晶格具有周期性，晶格的振动模具有波的形式，称为格波 2 2、相邻原子间的相互作用：F dv ， d v 2 d dr a 第n个原子的运动方程：m n ( n 1 n 1 2n )，nq Aei (t naq ) 2 4 1 色散关系： 2 [1 cos aq] sin 2 ( aq) m m 2 (1)由于 是q的偶函数 (2)一维单原子链的色散关系与弹性波的色散关系有区别：弹性波的色散关系是线性的，＝cq, 一维单原子链 2 3、对色散关系的讨论 c是弹性波的波速。 ?而格波的频率是周期函数 q q 。 a q cq (3)当q很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质波的色散关系一致： a m 4、格波的物理意义 (1)一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq。 (2)q的取值范围 a q a , q的取值及范围常称为布里渊区 2 i ( Naq ) 1，q h 5、Born Von Karman边界条件：e Na 运动方程 m 2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 ) 1、两种原子的运动方程及其解 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) 2 n Aei[t (2 na ) q ] 运动方程的解 i[t (2 n 1) aq ] 2 n 1 Be mM 4mM 2 2 1/2 光学波： mM {1 [1 (m M ) 2 sin aq] } 晶格的振动 mM 4mM 2 2 1/2 声学波： mM {1 [1 (m M ) 2 sin aq] } m 2 2 B m 2 2 B 2、光学波和声学波 两种格波的振幅比： ， 2 cos aq A 2 cos aq A ( q ) ( q ) a 由于 和 都是q的周期函数，周期为 a ( q ) ( q ) a 一维单原子链只有一支格波，而一维双原子链既有声学波又有光学波 一维双原子链 ( ) min (0) 0 声学波 2 ( ) ( ) max 2a M 一维双原子链的两只格波有一定的频率范围 2 ( ) min ( ) 2 a m 光学波 ( ) (0) 2 (m M ) max 3、对色散关系的讨论 mM 在 与 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。 max min 声学波反映的是原胞的整体振动，或者说是原胞质心的振动。 光学波是复式格子特有的，在光学格波的情况下两种原子构成的两种格子在保持质心不动 的情况下作刚性的相对振动 h 2 q的取值：q 2 Na
1、在三维晶格中，对于一定的波矢q，有3个声学波，（3n－3）个光学波。 1 N V 3 q在q空间均匀分布的密度为：分布密度= (2 ) (2 )3 b b1 b 2 3 2、q空间 N1 N 2 N3 晶格振动的波矢数=晶体的原胞数，晶格振动频率数=晶格的自由度 三维晶格的振动 (1)对于原胞只含有一个原子的晶格，与一维单原子链类似，只有声学支。不同之处在于，一维单 原子链的一个原子只有一个自由度，相应于一个声学支，原子的振动方向与波传播的方向一致， 3 、晶格振动谱 称为纵声学支。现在除了纵波外，还可有两个原子振动方向与波传播方向垂直的横声学波存在。 (2)对于原胞包含两个以上原子的复式晶格，类似于双原子链，除声学支外还有光学支，在q＝0处 有非零的振动频率 布里渊散射 1、光子散射 确定晶格振动谱的方法 喇曼散射 晶格的振动 2 、中子散射 b11 0 2 W b11W b12 E 1/2 1/2 1、黄昆方程 b12 b21 [ (0) ()] 0 0 P b W b E 21 22 b [ () 1] 0 22 离子晶体的长光学波近似 1/2 2 d W d 2W b 2 (0) 2、横波方程： 2 T b11WT ；纵波方程： 2 L b11 12 WL；LST 关系 LO 0 b22 TO () dt dt 3 、对于离子晶体，长光学波和它频率相同的电磁波相互作用时，可发生共振吸收 1 、局域振动：局限在杂质（或缺陷）附近的晶格振动称为局域振动 ' 2、高频模：对于一维单原子链，当杂质原子的质量与原子的质量之间的关系为m m时，在原有的频率之上出现新的频率 的模称为高频模 局域振动 3、共振模：当m' m时，将出现的模为共振模 4、隙模：晶体中杂质或缺陷可能引入一些新的振动模式落在频隙之间称为隙模
1、晶格热容和电子热容：固体平均内能包括晶格振动能量和电子运动能量，这两种运动对固体的热容量均 有贡献，分别称为晶格热容和电子热容 2、杜隆－珀替定律：热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有N个原子的固体，其热容为CV ＝3Nk B j 2 j / k BT ( ) e 热容理论 3N 3N k T d E j (T ) d E j (T ) j 晶格振动频率为分立值的情形： k B B j / k BT ， C C V V dT dT 3、热容的一般表示 (e 1) 2 j 1 j 1 m e / k BT 振动频率为连续值的情形：C ( E ) k ( ) 2 g ( )d v V B / k BT T k B T (e 1) 2 0 1、模型的特点：晶格中各原子在振动时相互独立的，所有原子都以相同的频率振动。 0 / k BT 2 2、晶格热容：C 3 Nk ( 0 / k B T ) e v B 0 / k BT (e 1) 2 T E /T 1，CV 3Nk B ( E ) 2 ( ) 2 3 Nk B 与杜隆－珀替定律一致 高温时，即e 爱因斯坦模型 T E 3、与实验比较 0 2 kBT0 E /T 低温时，即e 1，CV 3 Nk B ( ) e kBT 晶格振动的热容量 爱因斯坦模型只适合于近似描述声子谱中的光学支对热容的贡献 3 1 2 1、模型特点：把晶格看作是各向同性的连续介质，格波为弹性波，并且定义平均声速为 C 3 C 3 C 3 l t 3 V m 3 d E 能量： / k BT 2 2 C 3 1 0 e 2 、能量和热 容 m 3 V 2 e / k BT 德拜模型 热容：CV k ( ) 2 d 2 3 B k B T (e / kBT 1) 2 2 C 0 /T m T 3 D e 4 d 3、德拜温度：定义 D , 则CV 9 Nk B ( ) 2 kB D 0 (e 1) 当温度T D 时，热容趋于经典极限 4、与实验比较 3 3 在极低温度下，热容和T 成正比，称为德拜T 定律。温度越低, 德拜近似越好 n 定义g ( ) lim 0 1、模式密度 V dS 晶格振动模式密度 一般表达式：g ( ) (2 )3 | q (q) | 2、把?q q 的点称为范.霍夫奇点，也叫临界点
1、简谐近似和非谐作用：体系的势能函数只保留至i的二次方程，称为简谐近似。要考虑到高阶作用的则称为非谐作用。 2、晶格的自由能：F U k T 1 i ln(1 e i / kBT ) B i 2 kBT 1 dU E d i 3、晶格的状态方程：p dU i / kBT ，格林爱森方程：p dV dV V e 1 dV i 2 4、热膨胀：在不施加压力的情况下，体积随温度的变化称为热膨胀，非谐效应是热膨胀的原因。热膨胀系数： CV K0 V 5 、晶格的热传导：当固体中温度分布不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，这种现象称为热传导。 dT ， 傅立叶定律：固体中若存在温度梯度，将有热能从高温处流向低温处，热流密度矢量j 正比于温度梯度j dx 非谐效应 比例系数 称为热传导系数或热导பைடு நூலகம்。这称为傅立叶定律 q1 q2 q3 二声子碰撞 q1 q2 q3 Gh 1 c v ，声子间的碰撞决定了声子平均自由程，密切依赖于温度 v 0 3 k T 1 6、非谐作用是晶格达到热平衡最主要的原因 高温情况：T ， B D n /k T q e q B 1 D / T 低温情况：T D， e 3 极低温情况下：服从T 定律