四年级奥数详解答案 第9讲 乘法原理

四年级奥数详解答案

第九讲乘法原理

一、知识概要

如果要完成一件任务需要分成几个步骤进行做，第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法……，做第n步有m n种方法，即么，按这样的步骤完成这件任务共有N= m1×m2×…×m n种不同的方法。这就是乘法原理。

乘法原理和加法原理的区别是：加法原理是指完成一件工作的方法有几类，之间不相关系，每类都能独立完成一件工作任务；而乘法原理是指完成一件工作的方法是一类中的几个不同步骤，互相关联，缺一不可，共同才能完成一件工作任务。

二、典型例题精讲

1. 从甲地到乙地有两条路可走，从乙地到丙地有三条路可走，试问：从甲地经乙地到丙

地共有多少种不同的走法？

分析：如图，很明显，这是个乘法原理的题目。要完成“从甲到丙的行走任务”必须分两步完成。第一步：甲分别通过乙的三条路线到达丙，故有3种走法。第二步：

甲从第二条路线出发又分别通过乙的三条路线到达丙，故又有3种走法。这两种

走法相类似，共同完成“从甲到丙”的任务。

解：3×2=6(种) 答：共有6种不同的走法。

2. 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行、

每列只能出现一个棋子，共有多少种不同的放法？

分析：(如图二)摆放四个棋子分四步来完成。第一步放棋子A，A可任意摆放，有16种摆放；第二步摆B，由于A所在的位置那一行，那一列都不能放，故只有9

种放法；第三步摆C子，也由A、B所在的那一行，那一到都不能，只有四格

可任意放，故有4种放法；第四步，只剩一格放D子，当然只有一种放法。

解：16×9×4×1=576(种) 答：共有576种不同的放法。

3. 有五张卡片，分别写有数字1，2，4，5，8。现从中取出3张片排在一起，组成一个

三位数，如□1□5□2，可以组成个不同的偶数。

分析：分三步取出卡片：1.个位，个位只能放2、4、8；故有3种放法；2.百位，因个位用去1张，所以百位上还有四张可选，故有4种放法；3.十位，因个位和百位

共放了两张，所以还有3张可选放，有3种放法。

解：3×4×3=36(个)

4. 兴趣小组有7名男生，5名女生，现要从这些同学选出4名参加数学竞赛，其中至少

要有2名女生，共有种不同的选法。

分析：分三类选出(加法原理)：第一类：2名学生，先从5名女生中选2名，有5×4÷2=10(种)选法，再从7名男生中选2名有7×6÷2=21(种)，共有10×

21=210(种)；第二类：3名女生，先从5名女生中选3名，(其实等于选出2名

不比赛)有10种选法；再从男生中选1人，有7种选法。共有10×7=70(种)选

法。第三类：4名学生，即从5名选1人不比赛，有5种方法。

解：10×21+10×7+5=285(种)

5. 有4名男生，2名女生，排成一行录像，要求2名不站在两边，且2名女生站在相邻

位置，共有多少种不同的排法？

分析：分两步考虑，第一步，先确定女生排法，2名女生不站两边，有6种站法。第二步，确定男生的站法，4名男生4个位置可选择，故有4×3×2×1=24(种)站法。

解：6×24=144(种) 答：共有144种不同的排法。

6. 地图上a、b、c、d四个国家(如下图)，现有红、黄、绿、蓝四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同。有种不同的染色方法。

分析：着色分四步，在图A中，第一步给a着色，有四种方法；第二步给b着色，因a：b相邻，故有3种色选着，方法有3种；第三步给c着色，有2种着法；第四步，

给d着色，有2种着法。在图B中，a着色后可将b、d的着色分为相同与不同

两类去考虑，染色的顺序为a、b、d、c.

解：图A 4×3×2×2=48(种)

图B 当b、d同色的有4×3×1×3=36(种)；当b、d不同色时，有4×3×2×2=48(种)；共有36+48=84(种)

三、练习巩固与拓展

1. 某人到食堂买饭，主食有3种，副食有5种，他买主食和副食各1种，共有多少种不同

的买法？

2. 书架上有6本不同的外语书，4本不同的数学书，从中任取外语、数学书各1本，有多

少种不同取法？

3. 小明、小军各小勇三人报名参加学校运动会，每人必报跳高、跳远、100m跑、200m跑

这四项中的一项，报名会出现多少各不同的情形？

4. 图中有七个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点去。若要求甲虫不重

复经过点、线段，则甲虫最多有多少种不同走法？

5. 由数字0，1，2，3组成三位数，向：

(1)可组成多少个不相等的三位数？(2)可组成多少个没有重复数字的三位数？

6. 现有1元的人民币3张，2角的人民币2张，1角的人民币4张，如果从中至少取一张，

至多取九张，那么，可组成多少种不同的布值？

7. 某电影院有六个行，其中A、B、C、D门只供退场时作出口，甲、乙门作为入口也作为

出口。共有多少种进出路线？

8. “WFO”是世界贸易组织的缩写，把这三个字母写成三种不同颜色，现有5种不同色彩

的笔，按上述要求能写多少种不同颜色搭配的“WTO”？

9. 下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线的交点上，但不能在同一条棋盘线

上，共有多少各不同的放法？

10. 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，能够组成多少个没有重复数字的三位数？

11. 有6人参加军训，在操场上站成一排，其中2名队长不在起，一共有多少种排法？

12 一排房有四个房间，四个房间中住着甲、乙、丙三人，现定每个房间只许住1人，且只

允许两个人住的房间挨在一起，第三个人的房间必须和前两个人隔开，有多少种住法？

13. 用9颗钉子组成3×3方阵，用橡皮筋勾在3颗钉子上，组成一个三角形，共可组成多

少个三角形？

14. 要在3×n方格中(n是自然数，将每列中的3个方格分别用红、白、蓝三种颜色任意染

色(每列中三格的颜色各不相同)。最少需要多少列才能保证至少使两列染色的方式相同？

15. 七个相同球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的方法有多少种？

16. 如图，从A点出发，经过C点到B点的最短路线，共有多少条？

第九讲 <练习巩固与拓展>答案

1. 3×5=15(种)

2. 6×4=24(种)

3. 4×4×4=64(种)

4. 3×3=9(种)

5. (1) 3×4×4=48(个)

(2) 3×3×2=18(个)

6. 9×4-1=35(种)

7. 2×6=12(种)

8. 提示：分涉①先确定W的颜色，有5种；②确定T的颜色有4种；③确定O的颜色，有

3种。5×4×3=60(种)

9. 提示：设先排白子，有12种方法；再排黑子，有6种方法。12×6=72(种)

10.提示：分三步1.排百位数，有9种；2.排十位，有9种；3.排个位，有8种。

9×9×8=648(个)

11. 提示：①除2名队长的4人排到有4×3×2×1=24(种)排法；

②将2名队长插入到这四人之间或两头。共5×4=20(种)插法。故有24×20=480(种)排法。

12. 提示：分四步：1.甲有4种住法；2.乙，有3种住法；3.丙，有2种住法；4.三人挨着的

有(3×2×1)×2=12(种)，故24-12=12(种)。

13. 提示：1.取第一颗有9种方法；2.取第二颗有8种方法；3.取第三颗有7种方法，共9×

8×7=504(种)。但每个三角形顶点有6种排列次序，故实际上只有9×8×7÷

6=84(种)方法。又有三个点在一直线不能组成三角形，这种情况有8种。所以，

一共可得到三角形84-8=72(个)

14. 每一列的排法有3×2×1=69(种)故最少需要6+1=7列才能得证至少有两列染色方式相同

15. 由于盒子不同，放第一个球，有4种方法；放第二个球，也有四种方法，…放第七个球，

还有4种方法，所以，一共有4×4×4×4×4×4×4=47=16384(种)放法。

16. 如图，从A到A，A2走最短路线只有1条，从A到A3有2条路线，运用加法原理，A

到C有6种走法。同理，由C到D，有10种走法。再由D到B又月6种走法。故共有6×10×6=360(种)最短路线。