(五四制) 鲁教版数学 9年级下册 配套练习册 一课一练 同步练习册_36
2021-2022学年最新鲁教版(五四制)九年级数学下册第五章圆同步练习试题(含解析)
鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD 的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（）2、如图所示，在75A．外心B．重心C．中心D．内心3、如图，A，B，C为⊙O上三点，若∠ABC＝44°，则∠OAC的度数为（）A ．46°B ．44°C ．40°D ．50°4、如图：点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若∠AOB ＝72°，则∠ACB 的度数是（ ）A ．18°B ．30°C ．36°D ．72°5、如果O 的半径为6，线段OP 的长为3，则点P 与O 的位置关系是（ ）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定6、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A ＝24°，则∠B 的度数为（ ）A ．66°B ．48°C ．33°D ．24°7、如图，已知O 是ABD △的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，56ABD ∠=︒，则BCD ∠等于（ ）A．30B．32︒C．34︒D．36︒8、斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为90°的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为（）A．4πB．212πC．17πD．552π9、如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（）．A．18π5B．4πC．54π5D．12π10、下列命题是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．过不在同一直线上的三点有且只有一个圆C．一组对应边相等的两个等边三角形全等D．对角线相等的四边形是矩形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且45EAF∠=︒，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接BD交AF于点M，DE=2，3BF=，则GM=______．2、如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°，半径为2m 的扇形BAC ，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________m ．3、如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ ．则线段OQ 的最大值是______．4、某圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积是_____．5、如图，将半径为6cm 的圆分别沿两条平行弦对折，使得两弧都经过圆心，则图中阴影部分的面积为______cm 2．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，D 为抛物线顶点．(1)连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上的一个动点．①如图一，点P 是第一象限的抛物线上的一点，连接PD 交x 轴于F ，连接,EF AP ，若3ADP DEF S S =△△，求点P 的坐标．②如图二，点P 在第四象限的抛物线上，连接AP 、BE 交于点G ，若ABG BGPS w S =△△，则w 有最大值还是最小值？w 的最值是多少？ (2)如图三，点P 是第四象限抛物线上的一点，过A 、B 、P 三点作圆N ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为I ，交圆N 于点M ，点P 在运动过程中，线段MI 是否变化？若有变化，求出MI 的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q 是抛物线对称轴上一动点，连接OQ 、AQ ，设AOQ 外接圆圆心为H ，当sin OQA ∠的值最大时，请直接写出点H 的坐标．2、定义1：如图1，若点H 在直线l 上，在l 的同侧有两条以H 为端点的线段MH 、NH ，满足12∠=∠，则称MH 和NH 关于直线l 满足“光学性质”；定义2：如图2，在ABC 中，PQR 的三个顶点P 、Q 、R 分别在BC 、AC 、AB 上，若RP 和QP 关于BC 满足“光学性质”，PQ 和RQ 关于AC 满足“光学性质”，PR 和QR 关于AB 满足“光学性质”，则称PQR 为ABC 的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：在ABC 中，30A ∠=︒，AB AC =，DEF 三个顶点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上．(1)如图3，若FE ∥BC ，DE 和FE 关于AC 满足“光学性质”，求∠EDC 的度数；(2)如图4，在ABC 中，作CF AB ⊥于F ，以AB 为直径的圆分别交AC ，BC 于点E ，D ．①证明：DEF 为ABC 的光线三角形；②证明：ABC 的光线三角形是唯一的．3、如图，已知△ABC 是锐角三角形（AC ＜AB ）(1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线l ，使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等；设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，作一个圆，使得圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若BM ＝53，BC ＝2，求⊙O 的半径．4、如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，按要求完成下列问题：(1)作出ABC的外接圆O；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）的条件下，若CD平分ACB=．∠，CD交O于点D，连接AD，BD．求证：AD BD5、如图，AB是ΘO的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)判断DE所在直线与ΘO的位置关系，并说明理由；(2)若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半径．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据圆周角定理可证∠C=∠B，又由AD=BD，可证∠B=∠DAB，即得∠DAP=∠C，可证△DAP∽△ACA，得到AD∶CD=DP∶AD，代值即可计算CD的长．【详解】解：如图所示，连接AC，由圆周角定理可知，∠C =∠B ，∵AD =BD ，∴∠B =∠DAB ，∴∠DAP =∠C ，∴△DAP ∽△ACA ，∴AD ∶CD =DP ∶AD ，得()2AD DP CD CD CD PC =⋅=- ，把4=AD ，6PC =代入得，8CD =，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．2、A【解析】【分析】根据网格的特点，勾股定理求得OA OB OD ===O 是△ABD 的外心【详解】解：∵OA OB OD ===∴O 是△ABD 的外心故选A【点睛】本题考查了三角形的外心的判定，勾股定理与网格，理解三角形的外心的定义是解题的关键．三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等．3、A【解析】【分析】先利用圆周角定理求出AOC∠的度数，然后再利用等腰三角形的性质求出OAC∠即可．【详解】解：AC所对的圆周角是ABC∠，AC所对的圆心角是AOC∠，288AOC ABC∴∠=∠=︒，OA OC=，46OAC OCA∴∠=∠=︒，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．4、C【解析】【分析】根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得结果．【详解】∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB均对着AB∴11723622ACB AOB∠=∠=⨯︒=︒故选：C 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是解题的关键．5、B【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d ，圆的半径r ，则d ＞r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内．【详解】∵OP =3，r =6，则OP ＜r ，∴点P 在圆内．故选B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．解题的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．6、A【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为90°得90C ∠=︒，由三角形的内角和为180°，即可求出B ．【详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴90C ∠=︒，∴180180249066B A C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理与三角形的内角和定理，掌握直径所对的圆周角为90°是解题的关键．7、C【解析】【分析】先判断出90ADB ∠=︒，从而可得34DAB ∠=︒，再根据同弧所对的圆周角相等可得答案．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒∵56ABD ∠=︒∴90905634DAB ABD ∠=︒-∠=︒-︒=︒∵,DAB DCB ∠∠所对的弧是BD∴34DCB DAB ∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直8、B【解析】【分析】根据题意找出半径的变化规律，进而求出第8步所画扇形的半径，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，…第6步半径为3+5=8（cm ）；第7步半径为5+8=13（cm ）；第8步半径为8+13=21（cm ）；由题意得：第8步所画扇形的半径21cm ，∴第8步所画扇形的弧长＝9021211802ππ⨯=（cm ）， 故选：B ．【点睛】本题考查的是弧长的计算、数字的变化规律，根据题意找出半径的变化规律是解题的关键．9、C【解析】【分析】先根据正五边形的内角和求出BAE ∠的度数，再利用扇形的面积公式即可得．【详解】 解：五边形ABCDE 是边长为6的正五边形，180(52)6,1085AB AE BAE ︒⨯-∴==∠==︒， 则图中阴影部分的面积为21086543605ππ⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了扇形的面积、正五边形，熟练掌握正五边形的内角和是解题关键．10、D【解析】【分析】利用线段公理、确定圆的条件、全等三角形的判定及矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，为真命题；B、过不在同一直线上三点有且只有一个圆，正确，为真命题；C、一组对应边相等的两个等边三角形全等，正确，为真命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，错误，为假命题．故选：D．【点睛】本题考查了真假命题的判定，掌握线段公理、确定圆的条件、全等三角形的判定及矩形的判定是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】先证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，设正方形边长为x，在Rt△CEF中根据勾股定理求出x，再由四点共圆得出∠AMG=90°，即可得出答案．【详解】解：连接GM，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合．由旋转可得AB=AD，AE=AG，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，∴点G、B、F在同一条直线上．∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°，∴∠GAF =∠EAF ．在△GAF 和△EAF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△GAF ≌△EAF ，∴GF =EF ．∵GF =GB +BF =2+3=5，∴EF =5．设正方形边长为x ，在Rt △CEF 中，∵CE 2+CF 2=EF 2，∴(x -2)2+(x -3)2=52，解得x =6（负值舍去），∴AG =AE==∵∠GAM +∠GBM =45°+135°=180°，∴A 、G 、B 、M 四点共圆，∴∠AMG =∠ABG =90°，∴△AGM 是等腰直角三角形，∴AM =GM ．∵AM 2+GM 2=AG 2，∴AM =GMAG ==故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理等知识，解此题的关键是能证明△AGM 是等腰直角三角形，有一定的难度．2、12##0.5【解析】【分析】根据弧长等于底面圆的周长列方程求解．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径是r m ，9022180r ππ⨯=， 解得12r =， 故答案为：12．【点睛】此题考查了弧长公式，弧长与圆锥底面圆周长的关系，熟记弧长与圆锥底面圆周长的关系是解题的关键．3、3.5【解析】【分析】连接PB ，当B 、C 、P 三点共线，且点C 在PB 之间时，PB 最大，而OQ 是△ABP 的中位线，即可求解．【详解】 令21404y x =-=，则x ＝±4， 故点B （4，0），∴OB =4设圆的半径为r ，则r ＝2，连接PB ，如图，∵点Q 、O 分别为AP 、AB 的中点，∴OQ 是△ABP 的中位线，当B 、C 、P 三点共线，且点C 在PB 之间时，PB 最大，此时OQ 最大，∵C （0，3）∴OC =3在Rt △OBC 中，由勾股定理得：5BC == 则111()(52) 3.5222OQ BP BC r +⨯+=＝＝=，故答案为3.5．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB 并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．4、2π【解析】【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：S 侧=πrl =π×1×2=2π．故答案为：2π．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S 侧=πrl 是解决问题的关键．5、12π【解析】【分析】设该圆圆心为O ，并用大写字母表示出其它点，作OC AB ⊥于点C ．根据所作图形可知AC BC =，再根据题意可知11322OC OA OB cm ===，60AOC BOC ∠=∠=︒，即得出AOB ∠．结合勾股定理，在Rt OAC △中，可求出AC 的长，即可求出AB 的长，最后根据4()AOB AOB S S S S =--阴圆扇形，结合圆的面积公式、扇形的面积公式，三角形面积公式求出结果即可．【详解】如图，设该圆圆心为O ，其它点如图所示，并作OC AB ⊥于点C ．根据垂径定理可知，AC BC =．∵该圆分别沿两条平行弦对折，且两弧都经过圆心， ∴11163222OC OA OB cm ===⨯=， ∴30OAC OBC ∠=∠=︒，∴903060AOC BOC ∠=∠=︒-︒=︒，∴6060120AOB ∠=︒+︒=︒．∵在Rt OAC △中，AC ，∴BC AC ==，∴AB =．∴222120614()64(3)12)3602AOB AOB S S S S cm πππ⋅=--=⋅--⨯=阴圆扇形．故答案为：12π【点睛】本题考查不规则图形的面积计算，涉及垂径定理，含30角的直角三角形的性质，勾股定理，圆的面积公式，扇形的面积公式．正确的作出辅助线是解答本题的关键．三、解答题1、(1)①()12P ，②w 有最小值，w 的最值是2425 (2)不变，1MI =(3)12⎛- ⎝或1,2⎛- ⎝ 【解析】【分析】（1）①根据题意先求得,,,A B C D 各点的坐标，求得AD 的解析式，进而求得点E 的坐标，通过计算可得AE ED =，进而可得FAE FED S S =，由3ADP DEF S S =△△可得出2P OE y ==，依题意，设()()2,233P m m m m -->，解方程求解即可；②根据已知条件设()()2,2303P m m m m --<<，求得直线AP 的解析式，直线BE 的解析式，联立即可求得点G 的坐标，根据w 1212G G P P ABy y y ABy ==28=383m m -++，令2383z m m =-++，根据二次函数的性质求得z 的最大值，即可求得w 的最小值；（2）根据题意过点N 作NR MP ⊥，依题意，点N 为ABP △的外心，N 为AB 垂直平分线上的点则点N 在抛物线的对称轴1x =上，设()()2,2303P m m m m --<<，()1,N n ，()1,0A -，()3,0B ，根据NA NP =建立方程，解得2222m n m =--，进而求得1=M y ，即可求得1MI =； （3）作AOQ △的外心H ，作HG x ⊥轴，则12AG GO ==，进而可得H 在AO 的垂直平分线上运动，根据题意当sin OQA ∠最大转为求当AH 取得最小值时，sin OQA ∠最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，求得32AH =，勾股定理求得HG ，即可求得点H 的坐标，根据对称性求得另一个坐标． (1)抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，D 为抛物线顶点． 令0x =，解得3y =-，则()0,3C -令0y =，则2230x x --=，解得121,3x x =-=则()()1,0,3,0A B -()222314y x x x =--=--，则()1,4D -①()()1,0,1,4A D --设直线AD 的解析式为y kx b =+则04k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得22k b =-⎧⎨=-⎩22y x ∴=--令0x =，则2y =-，()0,2E ∴-AE ED ∴====AE ED ∴= FAE FED S S ∴=3ADP DEF S S =△△332APF ADP AFD A DEF DEF DEF DEF AEF FD S S S S S S S S S ∴=-=-=-==△△△△△,OE AF AF AF ⊥=，2P OE y ==依题意，设()()2,233P m m m m -->2232m m ∴--=解得1211m m ==()1P ∴ ②点P 在第四象限的抛物线上，AP 、BE 交于点G ，如图，设()()2,2303P m m m m --<<，()1,0A -设直线AP 的解析式为y cx d =+则2230m m cm d c d ⎧--=+⎨=-+⎩03m <<10m ∴+≠ 解得223313m m c m m d m ⎧--==-⎪+⎨⎪=-⎩∴设直线AP 的解析式为()33y m x m =-+-()()3,0,0,2B E -设直线BE 的解析式为11y k x b =+111302k b b +=⎧⎨=-⎩ 11223b k =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线BE 的解析式为223y x =- 联立()33223y m x m y x ⎧=-+-⎪⎨=-⎪⎩解得()()3131183311m x m m y m ⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩()83311G m y m -∴=-03m <<30m ∴-≠ ∴ABG BGPS w S =△△()()2183832231131131122G G P G P G AB y y m m m m y y m m AB y AB y --⎛⎫===÷-++ ⎪---⎝⎭- =28383m m -++ 令2383z m m =-++24163333m ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭2425333m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 30-<z ∴存在最大值，则w 存在最小值 当43m =时，z 存在最大值，最大值为253则w 的最小值为82425253=∴ w 有最小值，w 的最值是2425(2)不变，1MI =，理由如下，如图，过点N 作NR MP ⊥，依题意，点N 为ABP △的外心N 为AB 垂直平分线上的点，即点N 在抛物线的对称轴1x =上，PM x ⊥，NR MP ⊥，,MR PR NR x ∴=∥轴， ∴2M P N y y y += 设()()2,2303P m m m m --<<，()1,N n ，()1,0A -，()3,0B ， N 为ABP △的外心，NA NP ∴=，则22NA NP =即()()()2222211123n m m m n --+=-+---⎡⎤⎣⎦ 解得2222m n m =--2M P N y y y += 1M y ∴=即(),1M m1MI ∴=(3)如图，作AOQ △的外心H ，作HG x ⊥轴，则12AG GO ==AH HO =∴H 在AO 的垂直平分线上运动依题意，当sin OQA ∠最大时，即OQA ∠最大时， H 是AOQ △的外心，22AHO AHG OQA ∴∠=∠=∠，即当sin AHG ∠最大，sin OQA ∠最大 1122AG AO == sin sin OQA AHG ∠=∠AGAH =12AH= 则当AH 取得最小值时，sin OQA ∠最大AH HQ =， 即当HQ ⊥直线x =1时，AH 取得最小值时，此时13122HQ ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ ∴32AH =在Rt AHG 中，HG ===12H ⎛∴- ⎝．根据对称性，则存在1,2H ⎛- ⎝．综上所述，12H ⎛- ⎝或1,2H ⎛- ⎝． 【点睛】本题考查了三角形的外心，垂径定理，抛物线与三角形面积计算，二次函数的性质求最值问题，抛物线与圆综合，运用转化思想是解题的关键．2、 (1)30°(2)①证明过程见解析；②证明过程见解析．【解析】【分析】(1)由“光学性质”定义得到∠DEC=∠FEA，由FE∥BC得到∠FEA=∠C=75°，最后在△DEC中由三角形内角和定理即可求解；(2)①根据定义一和定义二，证明∠BDF=∠CDE，∠AEF=∠DEC，∠AFE=∠BFD即可；②如下图所示，根据光线三角形的定义得到∠1+∠3+∠5=180°，再由∠1=30°，∠3=75°，∠5=75°，全部已经唯一确定，进而得到△ABC的光线三角形是唯一的．(1)解：由题意知，∠A=30°，AB=AC，∴∠C=∠B=(180°-30°)÷2=75°，∵DE和FE关于AC满足“光学性质”，∴∠DEC=∠FEA，∵FE∥BC，∴∠FEA=∠C，∴∠DEC=∠C=75°，∴在△DEC中，由三角形内角和定理可知：∠EDC=180°-∠C-∠DEC=180°-75°-75°=30°，故∠EDC=30°；(2)证明：①如下图所示，设AB的中点为O，连接OD，∵∠A=30°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=(180°-30°)÷2=75°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=75°=∠ACB，∴OD∥AC，又O为AB中点，∴OD为△ABC的中位线，D为BC的中点，又已知CF⊥AB，∴由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可知：DF=DB=DC，∴∠BFD=∠B=75°，∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=30°，又B、D、E、A四点共圆，由圆内接四边形对角互补可知：∠BDE=180°-∠A=150°，又∠BDE=∠DCE+∠DEC=75°+∠DEC，∴∠DEC=75°，∴∠CDE=180°-∠ACD-∠DEC=180°-75°-75°=30°，∴∠BDF=∠CDE=30°，∴直线DF和DE关于直线BC满足“光学性质”；∵∠BFD=∠B=∠ACD=∠DEC=75°，且D为BC中点，∴FD=BD=CD=D E，且∠EDF=∠BDE-∠BDF=150°-30°=120°，∴∠DFE=∠DEF=(180°-∠EDF)÷2=(180°-120°)÷2=30°，∴∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-30°-75°=75°=∠DEC，∴直线DE和FE关于直线AC满足“光学性质”；同理：∠AFE=180°-∠BFD-∠DFE=180°-75°-30°=75°=∠BFD，∴直线DF和EF关于直线AB满足“光学性质”，由定义二可知：DEF为ABC的光线三角形．证明：②如下图所示，△DEF是△ABC的光线三角形，下面证明唯一性：由光线三角形的定义可知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，又∠B=180°-∠1-∠6，∠C=180°-∠2-∠3，∠A=180°-∠4-∠5，将上述三个式子相加，得到：∠B +∠C +∠A =540°-(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6)，整理得到：∠1+∠3+∠5=180°，由①中可知：∠1=30°，∠3=75°，∠5=75°，全部已经唯一确定，故△ABC 的光线三角形是唯一的．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定、圆周角定理及其推论，本题属于新定义题，读懂题意，根据题意中的定义求解分析是解决本类题的关键．3、 (1)见解析 (2)12【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）过点O 作OE AB ⊥于E ．设OE ON r ==，由勾股定理求出MN 的长，由三角形的面积公式可得出答案．(1)解：如图1，直线l ，O 即为所求．(2)解：如图2，过点O 作OE AB ⊥于E ．设OE ON r ==，53BM =，2BC =，MN 垂直平分线段BC ， 1BN CN ∴==，43MN ∴=， BNM BNO BOM S S S ∆∆∆=+， ∴141151123223r r ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯， 解得，12r =． O ∴的半径为12． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．4、 (1)见解析(2)见解析 【解析】【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线与AB 的交点即为圆心O ；（2）根据角平分线的意义可得ACD BCD ∠=∠，根据圆周角定理可得12ACD AOD ∠=∠，12BCD BOD ∠=∠，等量代换可得AOD BOD ∠=∠，根据同圆中圆心角相等可得AD BD =． (1)如图，O 为所求；(2)如图，连接OD ，∵CD 平分ACB ∠，∴ACD BCD ∠=∠， ∵12ACD AOD ∠=∠，12BCD BOD ∠=∠， ∴AOD BOD ∠=∠，∴AD BD=．【点睛】本题考查了尺规作图，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．5、 (1)相切，理由见解析(2)5 2【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE＝90°，而D是圆上的一点；故可得直线DE与⊙O相切；（2）连接BD，根据勾股定理得到AD＝ADB＝90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB＝5，即可求解．(1)解：DE所在直线与O相切．理由：连接OD．∵OA OD=，∴OAD ODA∠=∠．∵AD平分BAC∠，∴OAD DAC．∴ODA DAC ∠=∠．∴OD AC ∥．∴180ODE AED ∠+∠=︒．∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒．∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．∵OD 是半径，∴DE 所在直线与O 相切．(2)解：连接DB ．∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒．∴ADB AED ∠=∠．又∵DAB EAD ∠=∠，∴ADB AED ∽． ∴=AD AE AB AD． ∵90AED ∠=︒，4AE =，2ED =，∴AD =∴5AB =．∴O 的半径为52．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。
2021-2022学年最新鲁教版(五四制)九年级数学下册第五章圆同步练习练习题(精选含解析)
鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若正方形的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ）A ．B ．4C ．D ．22、斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为90°的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm ，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为（ ）A ．4πB ．212πC ．17πD ．552π 3、如图，点A 、B 、C 是O 上的点，且90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，ACB ∠的平分线交O 于D ，下列4个判断：①O 的半径为5；②CD 的长为BC 弦所在直线上存在3个不同的点E ，使得CDE △是等腰三角形；④在BC 弦所在直线上存在2个不同的点F ，使得CDF 是直角三角形；正确判断的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、如图，在平面直角坐标系中，()0,3A -，()2,1B -，()2,3C ．则△ABC 的外心坐标为（ ）A ．()0,0B ．()1,1-C ．()2,1--D ．()2,1-5、在ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝6；①AC =4；②AC ＝8；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC 的长唯一．可以选取的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①或③6、如图，是某个几何体的三视图，则该几何体的全面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π7、如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，点C 在O 上，且55ACB ∠=︒，则APB ∠的度数为（ ）A ．55°B ．65°C ．70°D ．90°8、如图，一把直尺，60°的直角三角板和一个量角器如图摆放，A 为60°角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点B 为量角器与刻度尺的接触点，刻度为7，则该量角器的直径是（ ）A ．3B ．C ．6D ．9、以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB 重合．点D 为斜边AB 上一点，作射线CD 交弧AB 于点E ，如果点E 所对应的读数为50︒，那么BDE ∠的大小为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．115︒D ．130︒10、如图，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN ＝45°，连接EN 、FM 相交于点O ，以下结论：①MN ＝BM +DN ；②BE 2+DF 2＝EF 2；③BC 2＝BF •DE ；④OM （ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，120D ∠=︒，则B 的度数等于________．2、若圆锥的高为4，底圆半径为3，则这个圆锥的侧面积为_____．（用含π的结果表示）3、如图，一个边长是1的等边三角形ABC ，将它沿直线l 作顺时针方向滚动，求滚动100次，B 点所经过的路程____________．（结果保留π）4、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，直线l 经过△ABC 的内心O ，过点C 作CD ⊥l ，垂足为D ，连接AD ，则AD 的最小值是=____．5、如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 于点D ，连接AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为_____度．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，PA 切O 于点A ，PC 交O 于C ，D 两点，且与直径AB 交于点Q ．(1)求证：AQ BQ CQ DQ ⋅=⋅；(2)若2CQ =，3QD =， 1.5BQ =，求线段PD 的长．2、如图1，等腰△ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，CD ⊥AB 于点D ，F 为弧AB 上的一个动点，连接CF 交AB 于点G ，P 为射线AB 上的一个动点，连接PF ，AF ．(1)求证：CF •CG ＝CA 2；(2)如图1，若PG ＝PF ，求证：PF 为⊙O 的切线；(3)在（2）的条件下，如图2，连接PC ，若∠FAP ＝∠PCB ，AB ＝CD ＝4，求11BG BP-的值． 3、如图，在平面直角坐标系内，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,2A -，()4,1B -，()3,3C -（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．(1)若111A B C △与ABC 关于原点O 成中心对称，则点1A 的坐标为______；(2)以坐标原点O 为旋转中心，将ABC 逆时针旋转90°，得到222A B C △，则点2A 的坐标为______；(3)求出（2）中线段AC 扫过的面积．4、如图，AB 是ΘO 的直径，弦AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ．(1)判断DE 所在直线与ΘO 的位置关系，并说明理由；(2)若AE ＝4，ED ＝2，求ΘO 的半径．5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，D 为抛物线顶点．(1)连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上的一个动点．①如图一，点P 是第一象限的抛物线上的一点，连接PD 交x 轴于F ，连接,EF AP ，若3ADP DEF S S =△△，求点P 的坐标．②如图二，点P 在第四象限的抛物线上，连接AP 、BE 交于点G ，若ABG BGPS w S =△△，则w 有最大值还是最小值？w 的最值是多少？(2)如图三，点P 是第四象限抛物线上的一点，过A 、B 、P 三点作圆N ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为I ，交圆N 于点M ，点P 在运动过程中，线段MI 是否变化？若有变化，求出MI 的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q 是抛物线对称轴上一动点，连接OQ 、AQ ，设AOQ 外接圆圆心为H ，当sin OQA ∠的值最大时，请直接写出点H 的坐标．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据圆内接正多边形的性质可得正方形的中心即圆心，进而可知正方形的对角线即为圆的直径，根据勾股定理求得正方形对角线的长度即可求得它的外接圆的半径．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AC BD的交点O即为它的外接圆的圆心，∴,==AB BC4∴=AC∴=OA故选C【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，勾股定理，理解正方形的对角线即为圆的直径是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据题意找出半径的变化规律，进而求出第8步所画扇形的半径，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，…第6步半径为3+5=8（cm）；第7步半径为5+8=13（cm）；第8步半径为8+13=21（cm）；由题意得：第8步所画扇形的半径21cm，∴第8步所画扇形的弧长＝9021211802ππ⨯=（cm），故选：B．【点睛】本题考查的是弧长的计算、数字的变化规律，根据题意找出半径的变化规律是解题的关键．3、C【解析】【分析】利用勾股定理求出AB即可判断①正确；如图1中，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC 于N．证明四边形CMDN是正方形，求出CM，可得结论②正确；利用图形法，即可判断③错误；利用图形法即可判断④正确．【详解】解：如图1中，连接AB.∵∠ACB=90°，∴AB是直径，∴2222AB AC BC，6810∴⊙O的半径为5．故①正确，如图1中，连接AD，BD，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD BD，∴AD=BD，∵∠M=∠DNC=90°，CD=CD，∴△CDM≌△CDN（AAS），∴CM=CN．DM=DN，∵∠M=∠DNB=90°，DA=DB，∴Rt△DMA≌Rt△DNB（HL），∴AM=BN，∵∠M=∠MAN=∠DNC=90°，∴四边形CMDN是矩形，∴四边形CMDN是正方形，∴CD，∵AC+CB=CM-AM+CN+BN=2CM=14，∴CM=7，∴CD，故②正确，如图2中，满足条件的点E有4个，故③错误，如图3中，满足条件的点F有2个，故④正确，∴正确的结论是①②④，共3个故选：C．本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、D【解析】【分析】由BC 两点的坐标可以得到直线BC ∥y 轴，则直线BC 的垂直平分线为直线y =1，再由外心的定义可知△ABC 外心的纵坐标为1，则设△ABC 的外心为P （a ，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到()()()22222222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，由此求解即可． 【详解】解：∵B 点坐标为（2，-1），C 点坐标为（2， 3），∴直线BC ∥y 轴，∴直线BC 的垂直平分线为直线y =1，∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，∴△ABC 外心的纵坐标为1，设△ABC 的外心为P （a ，1），∴()()()22222222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，∴221648a a a +=-+，解得2a =-，∴△ABC 外心的坐标为（-2， 1），故选D ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．5、B【解析】【分析】作AD⊥BC于D，求出AD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．【详解】解：作AD⊥BC于D，∵∠B＝45°，AB＝6；∴AD DB==设三角形ABC1的外接圆为O，连接OA、OC1，∵∠B＝45°，∴∠O＝90°，∵外接圆半径为4，AC=∴1∵468<<∴以点A为圆心，AC为半径画圆，如图所示，当AC=4时，圆A与射线BD没有交点；当AC=8时，圆A与射线BD只有一个交点；当AC= A与射线BD有两个交点；故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和射线与圆的交点，解题关键是求出AC 长和点A 到BC 的距离．6、C【解析】【分析】由三视图可知该几何体为圆锥加圆柱，底面是直径为4的圆，即可求出该几何体的全面积．【详解】解：由图示可知，圆锥的高为4，圆柱的高为4， 442，∴圆锥的侧面积为：248rl πππ=⨯⨯=， 底面圆的面积为：24r ππ=，圆柱的侧面积为：2πr×4=16π，∴该几何体的全面积为：8π+4π+16π=28π．故选：C．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，求解立体图形的表面积，解题的关键是根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征．7、C【解析】【分析】根据切线的性质，可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据圆周角定理可得∠AOB=110°，最后根据四边形内角和等于360°，即可求解．【详解】解：∵PA、PB是O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠AOB=2∠ACB，55∠=︒，ACB∴∠AOB=110°，∴∠APB=360°-∠OBP-∠OAP-∠AOB=70°．故选：C【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．8、D【解析】如图所示，连接OA ，OB ，OC ，利用切线定理可知△AOC 与△AOB 为直角三角形，进而可证明Rt △AOC ≌Rt△AOB ，根据三角板的角度可算出∠OAB 的度数，借助三角函数求出OB 的长度．【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，OC ，∵三角板的顶角为60°，∴∠CAB =120°，∵AC ，AB ，与扇形分别交于一点，∴AC ，AB 是扇形O 所在圆的切线，∴OC ⊥AC ，OB ⊥AB ，在Rt △AOC 与Rt △AOB 中，()OC OB OA OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩同圆的半径相等 ∴Rt △AOC ≌Rt △AOB ，∴∠OAC =∠OAB =60°，由题可知AB =7－4=3，∴OB =AB •tan60°=，∴直径为2⨯故选：D ．本题考查，圆的切线定理，全等三角形的判定，三角函数，在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．9、B【解析】【分析】由圆周角定理得出25ACE ∠=︒，进而得出65BCE ∠=︒，再由外角的性质得出BDE BCE CBD ∠=∠+∠，代入计算即可得出答案．【详解】解：如图，连接OE ，点E 所对应的读数为50︒，50AOE ∴∠=︒， AB 为直径，90ACB ∠=︒，∴点C 在O 上，11502522ACE AOE ∴∠=∠=⨯︒=︒， 902565BCE ∴∠=︒-︒=︒，BDE ∠是BDC ∆的外角，6545110BDE BCE DBC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：B ．本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出AOE ∠与ACE ∠的关系．10、A【解析】【分析】由旋转的性质可得AM '=AM ，BM =DM '，∠BAM =∠DAM '，∠MAM '=90°，∠ABM =∠ADM '=90°，由“SAS ”可证△AMN ≌△AM ′N ，可得MN =NM ′，可得MN =BM +DN ，故①正确；由“SAS ”可证△AEF ≌△AED '，可得EF =D 'E ，由勾股定理可得BE 2+DF 2=EF 2；故②正确；通过证明△DAE ∽△BFA ，可得DE AD AB BF =，可证BC 2=DE •BF ，故③正确；通过证明点A ，点B ，点M ，点F 四点共圆，∠ABM =∠AFM =90°，∠AMF =∠ABF =45°，∠BAM =∠BFM ，可证MO EO ，由∠BAM ≠∠DAN ，可得OE ≠OF ，故④错误，即可求解．【详解】解：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ′，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABD '，∴AM '=AM ，BM =DM '，∠BAM =∠DAM '，∠MAM '=90°，∠ABM =∠ADM '=90°，∴∠ADM '+∠ADC =180°，∴点M '在直线CD 上，∵∠MAN =45°，∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，∴∠M′AN=∠MAN=45°，又∵AN=AN，AM=AM'，∴△AMN≌△AM′N（SAS），∴MN=NM′，∴M′N=M′D+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；故①正确；∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，∴∠D'BE=90°，∵∠MAN=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，∴∠D'AE=∠EAF=45°，又∵AE=AE，AF=AD'，∴△AEF≌△AED'（SAS），∴EF=D'E，∵D'E2=BE2+D'B2，∴BE2+DF2=EF2；故②正确；∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，∴∠BAF=∠AEF，又∵∠ABF=∠ADE=45°，∴△DAE∽△BFA，∴DE AD AB BF，又∵AB=AD=BC，∴BC2=DE•BF，故③正确；∵∠FBM=∠FAM=45°，∴点A，点B，点M，点F四点共圆，∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，∴∠EOM=45°=∠EMO，∴EO=EM，∴MO，∵∠BAM≠∠DAN，∴∠BFM≠∠DEN，∴EO≠FO，∴OM FO，故④错误，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题1、60°##60度【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可完成．【详解】∵四边形ABCD 是圆的内接四边形∴∠B +∠D =180°∵∠D =120°∴180********B D ∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：60°【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握此性质是关键．2、15π【解析】【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】解：∵圆锥的高为4，底圆半径为3，=5，∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π．【点睛】此题考查了勾股定理，圆锥侧面积计算公式，熟记勾股定理及圆锥侧面积计算公式是解题的关键．3、2443π 【解析】如图找规律，路程为24ππ3333+⨯计算求解即可．【详解】解：如图118060120BCB ∠=︒-︒=︒，1120π12π1803BB ⨯⨯==120B B =，232π3B B =，342π3B B =，450B B = 滚动100次，B 点经过的路程为112233445...BB B B B B B B B B +++++22222π0ππ0ππ0 (33333)=++++++++ 244πππ (333)=+++ 24ππ3333=+⨯ 244π3= 故答案为：244π3．【点睛】本题考查了弧长．解题的关键在于找出滚动过程中的规律．4、【解析】先利用切线长定理求得OC D运动到线段QA上时，AD取得最小值，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：⊙O与Rt△ABC三边的切点分别为E、F、G，连接OE、OF、OG、OC，∵⊙O是Rt△ABC内切圆，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴CE=CF，BE=BG，AF=AG，则四边形OECF是正方形，AB，设正方形OECF的边长为x，则BE=BG=3-x，AF=AG=4-x，依题意得：3-x+4-x=5，解得：x=1，∴OC=∵CD⊥l，即∠CDO=90°，∴点D在以OC为直径的⊙Q上，连接QA ，过点Q 作QP ⊥AC 于点P ，当点D 运动到线段QA 上时，AD 取得最小值，∴CP =QP =12，AP =AC -CP =72，⊙Q 的半径为QD∴QA =∴AD 的最小值为AQ -QD =故答案为：【点睛】本题考查了内心的性质，切线长定理，圆周角定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5、34【解析】【分析】先根据同圆的半径相等可得AB BD =，再根据等腰三角形的性质可得70BAD BDA ∠=∠=︒，然后根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：由同圆的半径相等得：AB BD =，11(180)(18040)7022BAD BDA B ∴∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒， 36C ∠=︒，34DAC BDA C ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：34．【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握同圆的半径相等是解题关键．三、解答题1、 (1)证明见解析(2)线段PD 的长为7.【解析】【分析】（1）连接AC ，由同弧所对的圆周角相等得到∠ABC =∠ADC ，再由∠BQC =∠DQA ，可证△BQC ∽△DQA ，由相似三角形的对应边成比例即可得证；（2）由切线性质得到∠BAP =∠BAD +∠PAD =90°，由直径所对的圆周角为90°，得∠ABD +∠BAD =90°，∠PAD =∠ABD =∠ACD ，从而△PDA ∽△PAC ，由相似三角形的性质得到AP 2=PD ·PC ，即AP 2=PD ·（PD +5）在Rt △APQ 中，由勾股定理得P 2+AQ 2=PQ 2，即可求解.(1)证明：连接AC∵∠ABC 和∠ADC 所对的圆弧都为AC ，∴∠ABC =∠ADC ，∵∠BQC =∠DQA ，∴△BQC ∽△DQA ， ∴BQ CQ DQ AQ=， ∴AQ BQ CQ DQ ⋅=⋅(2)解：由（1）知：AQ BQ CQ DQ ⋅=⋅，且2CQ =，3QD =， 1.5BQ =，∴AQ =4，∵PA 切O 于点A ，∴∠BAP =∠BAD +∠PAD =90°，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∠ABD +∠BAD =90°，∴∠PAD =∠ABD =∠ACD ，∵∠P =∠P ，∴△PDA ∽△PAC ， ∴PD PA AP PC=，即AP 2=PD ·PC ，即AP 2=PD ·（PD +5） 在Rt △APQ 中，AP 2+AQ 2=PQ 2，∴PD ·（PD +5）+42=（PD +3）2，解得：PD =7，即线段PD 的长为7.【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形判定和性质等，解题关键正确添加辅助线构造相似三角形．2、 (1)见解析(2)见解析 (3)1115BG BP -= 【解析】【分析】（1）先判断出∠CAG ＝∠CFA ，进而得出△CAG ∽△CFA ，即可得出结论；（2）连接OF ，先判断出∠OFC ＋∠PGF ＝90°，再判断出∠PGF ＝∠PFG ，得出∠PFG ＋∠OFC ＝90°，即可得出结论；（3）过点B 作BM ⊥PC 于M ，BN ⊥FC 于N ，先判断出BC 平分∠PCF ，得出BM ＝BN ，再利用面积法判断出CG BG CP BP =，BG ＝x ，BP ＝y ，则DG ＝BD −BG ＝2−x ，DP ＝BD ＋BP ＝2＋y ，进而根据勾股定理得，CG 2＝x 2−4x ＋20，CP 2＝y 2＋4y ＋20，进而得出2222420420x x x y y y -+=++，化简即可得出结论． (1)证明：∵AC ＝BC ，∴AC BC =，∴∠CAG ＝∠CFA ，∵∠ACG ＝∠FCA ，∴△CAG ∽△CFA ，∴CA CG CF CA，∴CA2＝CF•CG；(2)证明：如图1，连接OF，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC；∵CD⊥AB，∴∠CDG＝90°，∴∠OCF+∠CGD＝90°，∴∠OFC+∠CGD＝90°，∵∠CGD＝∠PGF，∴∠OFC+∠PGF＝90°，∵PG＝PF，∴∠PGF＝∠PFG，∴∠PFG+∠OFC＝90°，∴OF⊥PF，又OF为半径，∴PF为为⊙O的切线；(3)解：如图2，过点B作BM⊥PC于M，BN⊥FC于N，∵∠PCB＝∠FAP＝∠FCB，∴BC平分∠PCF，∴BM＝BN，∴1212CBGCBPCG ADSS BP AD⋅=⋅＝CGCP，∵1212CBGCBPBG ADSS BP AD⋅=⋅＝BGBP，∴CGCP=BGBP，∵CD⊥AB，∴BD＝AD＝12AB＝2，设BG＝x，BP＝y，则DG＝BD﹣BG＝2﹣x，DP＝BD+BP＝2+y，根据勾股定理得，CG2＝CD2+DG2＝42+（2﹣x）2＝x2﹣4x+20，CP2＝CD2+DP2＝42+（2+y）2＝y2+4y+20，∴2222CG BG CP BP =， ∴2222420420x x x y y y -+=++， ∴2222420420y y x x y x ++-+=， ∴22420420y x y x +-+=， ∴xy ＝5（y ﹣x ）， ∴15y x xy -=， ∴1115x y -=， ∴1115BG BP -=． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线定理，判断出CG CP =BG BP是解本题的关键． 3、 (1)()1,2-(2)()2,1(3)线段AC 扫过的面积为134π 【解析】【分析】（1）根据关于原点成中心对称的性质“横、纵坐标互为相反数”，求解即可；（2）根据旋转的有关性质，求解即可；（3）根据扇形的面积计算公式求解即可．(1)解：∵111A B C △与ABC 关于原点O 成中心对称，()1,2A -，∴点1A 的坐标为()1,2-．故答案为：()1,2-；(2)解：如图，222A B C △即为所求，点2A 的坐标为()2,1．故答案为：()2,1；(3)解：∵OA OC =∴线段AC 扫过的面积=扇形2OCC 的面积-扇形2OAA 的面积(2290909513360360244πππππ⨯⨯=-=-=． 【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了中心对称和旋转变换以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关性质及基础知识．4、 (1)相切，理由见解析 (2)52【解析】【分析】（1）连接OD ，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE ＝90°，而D 是圆上的一点；故可得直线DE 与⊙O 相切；（2）连接BD ，根据勾股定理得到AD ＝ADB ＝90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB ＝5，即可求解．(1)解：DE 所在直线与O 相切．理由：连接OD ．∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴OAD DAC ．∴ODA DAC ∠=∠．∴OD AC ∥．∴180ODE AED ∠+∠=︒．∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒．∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．∵OD 是半径，∴DE 所在直线与O 相切．(2)解：连接DB ．∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒．∴ADB AED ∠=∠．又∵DAB EAD ∠=∠，∴ADB AED ∽． ∴=AD AE AB AD． ∵90AED ∠=︒，4AE =，2ED =，∴AD =∴5AB =．∴O 的半径为52．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5、(1)①()12P ，②w 有最小值，w 的最值是2425(2)不变，1MI =(3)12⎛- ⎝或1,2⎛- ⎝ 【解析】【分析】 （1）①根据题意先求得,,,A B C D 各点的坐标，求得AD 的解析式，进而求得点E 的坐标，通过计算可得AE ED =，进而可得FAE FED S S =，由3ADP DEF S S =△△可得出2P OE y ==，依题意，设()()2,233P m m m m -->，解方程求解即可；②根据已知条件设()()2,2303P m m m m --<<，求得直线AP 的解析式，直线BE 的解析式，联立即可求得点G 的坐标，根据w 1212G G P P ABy y y ABy ==28=383m m -++，令2383z m m =-++，根据二次函数的性质求得z 的最大值，即可求得w 的最小值；（2）根据题意过点N 作NR MP ⊥，依题意，点N 为ABP △的外心，N 为AB 垂直平分线上的点则点N 在抛物线的对称轴1x =上，设()()2,2303P m m m m --<<，()1,N n ，()1,0A -，()3,0B ，根据NA NP =建立方程，解得2222m n m =--，进而求得1=M y ，即可求得1MI =； （3）作AOQ △的外心H ，作HG x ⊥轴，则12AG GO ==，进而可得H 在AO 的垂直平分线上运动，根据题意当sin OQA ∠最大转为求当AH 取得最小值时，sin OQA ∠最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，求得32AH =，勾股定理求得HG ，即可求得点H 的坐标，根据对称性求得另一个坐标． (1)抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，D 为抛物线顶点． 令0x =，解得3y =-，则()0,3C -令0y =，则2230x x --=，解得121,3x x =-=则()()1,0,3,0A B -()222314y x x x =--=--，则()1,4D -①()()1,0,1,4A D --设直线AD 的解析式为y kx b =+则04k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得22k b =-⎧⎨=-⎩ 22y x ∴=--令0x =，则2y =-，()0,2E ∴-AE ED ∴====AE ED ∴=FAE FED S S ∴=3ADP DEF S S =△△332APF ADP AFD A DEF DEF DEF DEF AEF FD S S S S S S S S S ∴=-=-=-==△△△△△ ,OE AF AF AF ⊥=，2P OE y ==依题意，设()()2,233P m m m m -->2232m m ∴--=解得1211m m ==()1P ∴ ②点P 在第四象限的抛物线上，AP 、BE 交于点G ，如图，设()()2,2303P m m m m --<<，()1,0A -设直线AP 的解析式为y cx d =+则2230m m cm d c d ⎧--=+⎨=-+⎩03m <<10m ∴+≠ 解得223313m m c m m d m ⎧--==-⎪+⎨⎪=-⎩∴设直线AP 的解析式为()33y m x m =-+-()()3,0,0,2B E -设直线BE 的解析式为11y k x b =+111302k b b +=⎧⎨=-⎩ 11223b k =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线BE 的解析式为223y x =- 联立()33223y m x m y x ⎧=-+-⎪⎨=-⎪⎩解得()()3131183311m x m m y m ⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩()83311G m y m -∴=-03m <<30m ∴-≠ ∴ABGBGP S w S =△△()()2183832231131131122G G P G P G AB y y m m m m yy m m AB y AB y --⎛⎫===÷-++ ⎪---⎝⎭- =28383m m -++令2383z m m =-++24163333m ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭2425333m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭30-<z ∴存在最大值，则w 存在最小值 当43m =时，z 存在最大值，最大值为253则w 的最小值为82425253=∴ w 有最小值，w 的最值是2425(2)不变，1MI =，理由如下，如图，过点N 作NR MP ⊥，依题意，点N 为ABP △的外心N 为AB 垂直平分线上的点，即点N 在抛物线的对称轴1x =上， PM x ⊥，NR MP ⊥，,MR PR NR x ∴=∥轴， ∴2M P N y y y += 设()()2,2303P m m m m --<<，()1,N n ，()1,0A -，()3,0B ， N 为ABP △的外心，NA NP ∴=，则22NA NP =即()()()2222211123n m m m n --+=-+---⎡⎤⎣⎦ 解得2222m n m =--2M P N y y y += 1M y ∴=即(),1M m1MI ∴=(3)如图，作AOQ △的外心H ，作HG x ⊥轴，则12AG GO ==AH HO =∴H 在AO 的垂直平分线上运动依题意，当sin OQA ∠最大时，即OQA ∠最大时， H 是AOQ △的外心，22AHO AHG OQA ∴∠=∠=∠，即当sin AHG ∠最大，sin OQA ∠最大 1122AG AO ==sin sin OQA AHG ∠=∠AGAH =12AH= 则当AH 取得最小值时，sin OQA ∠最大AH HQ =，即当HQ ⊥直线x =1时，AH 取得最小值时，此时13122HQ ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ ∴32AH =在Rt AHG 中，HG ===12H ⎛∴- ⎝．根据对称性，则存在1,2H ⎛- ⎝．综上所述，12H ⎛- ⎝或1,2H ⎛- ⎝． 【点睛】本题考查了三角形的外心，垂径定理，抛物线与三角形面积计算，二次函数的性质求最值问题，抛物线与圆综合，运用转化思想是解题的关键．。
(五四制) 鲁教版数学 9年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_8
图 5-25
图 5-26
（2）如图 5-26，圆周角∠BAC = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
例 如图 5-27（1），在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D. BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？
如图 5-28，A，B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A，B 两点的一个圆形区域内， C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”，当轮船与两个灯塔的夹角大 于“危险角”时，就有可能触礁 .
图 5-28
（1）当轮船与两个灯塔的夹角∠α 大于“危险角”时，轮船位于哪个区 域？为什么？
（2）当轮船与两个灯塔的夹角∠α 小于“危险角”时，轮船位于哪个区 域？为什么？
A
C
（第 4 题）
4. 如图，AB，DE 是 ⊙O 的直径，AC∥DE，AC 与 ⊙O 相交于点 C. BE 与 EC 的 大小有什么关系？为什么？
24
随堂练习
1. 如图，⊙O 的直径 AB = 10 cm，C 为 ⊙O 上的一点，∠ABC = 30°，求 AC 的长 .
（第 1 题）
2. 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形. 如图，你能判断哪个是半圆形？ 为什么？
（1）
（2）
（3）
（第 2 题）
（4）
23
第五章 圆
习题 5.6
知识技能
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，以 AB 为直径的圆与 BC 相交于点 D . 求 AD 和 CD 的长.
（1）
图 5-27
（2）
解：BD = CD. 理由如下：
(五四制) 鲁教版数学 9年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_4
的形状，并说明理由.
习题 5.2
知识技能
1. 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AB = DC. AC 与 BD 相等吗？为什么？
（第 1 题）
（第 2 题）
2. 如图，AB，DE 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上的一点，且 A⌒D = C⌒E. BE 与 CE 的
大小有什么关系？为什么？
10
2
圆的对称性
数学理解
3. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，OD∥AC. C⌒D 与 B⌒D 的大小有什么关系？为什么？
C D
A
O
B
（第 3 题）
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
例 2
如图
5-15，在
⊙O
中，已知弦
AB
所对的劣弧为圆的
1 3
，⊙O
的半
径为 R，求弦 AB 的长 .
解：由题意可知，A⌒B 的度数为 120°. ∴ ∠AOB = 120°. ∵ OA = OB， ∴ ∠OAB =∠OBA = 30°. 作 OC ⊥ AB，垂足为点 C，则
（第 4 题）
4. 如图，AB 是半圆的直径，E 是 OA 的中点，F 是 OB 的中点，ME⊥AB， NF⊥AB，垂足分别是点 E，F. A⌒M，M⌒N，N⌒B 的大小有什么关系？为什么？
想一想
（1）1 平角等于多少度？1 周角等于多少度？ （2）把顶点在圆心的周角等分成 360 份时，每一份的圆心角的度数是多 少？整个圆被等分成多少份？
初中 数学 同步练习册 一课一练 9年级下册-36
数学 九年级下册(3)在直线l 上是否存在点M ,使әMA C 为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.回顾与反思1.填空题.(1)若抛物线y =a x 2+x +c 与x 轴一个交点的横坐标是-1,则a +c = .(2)如果抛物线y =(m 2-1)x 2-(2m +1)x +1与x 轴有公共点,那么m 的取值范围是.(3)出售某种手工艺品,若每个获利x 元,一天可售出(8-x )个,则当x =时,一天出售该种手工艺品的总利润y 最大.(4)将抛物线y =2x 2向上平移1个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到的抛物线的表达式为.选择题 则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B .抛物线与y 轴交于负半轴C .当x =4时,y >0D.方程a x 2+b x +c =0的正根在3与4之间(2)抛物线y =-6x 2可以看作是由抛物线y =-6x 2-5平移得到的,则下列平移过程正确的是( )A.向上平移5个单位长度B .向下平移5个单位长度C .向左平移5个单位长度D.向右平移5个单位长度(3)一小球被抛出后,距离地面的高度h (m )和飞行时间t (s )满足函数关系式h =-(t -2)2+5,则小球距离地面的最大高度是( )A.2mB .4mC .5mD.6m(4)关于抛物线y =(x -1)2-2,下列说法错误的是( )A.顶点坐标是(1,-2)B .对称轴是直线x =-2C .开口方向向上D.当x <1时,y 随x 的增大而减小(5)抛物线y =-(x +2)2+3的顶点坐标是( )A.(2,-3)B .(-2,3)C .(2,3) D.(-2,-3)(6)二次函数y =a x 2+b x +c 的图像如图所示,则下列结论中正确的是( )。
(五四制) 鲁教版数学 9年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_29
*3用频率估计概率通过调查，我们估计了 6 个人中有 2 个人生肖相同的概率．要想使这种估计尽可能精确，往往需要大量地增加调查对象，而这样做既费时又费力. 能不能不用调查即可估计出这一概率呢？我们在估计 6 个人中有 2 个人生肖相同的概率时，可以用 12 个编有号码的、大小相同的球代替 12 种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球. 6 个人中有 2 个人生肖相同，就意味着 6 个球中有 2 个球的号码相同. 因此，可在口袋中放入这样的 12 个球，从中摸出 1 个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出 1 个球，记下它的号码，放回去……直至摸出第 6 个球，记下第 6 个号码，为一次试验．重复多次试验，即可估计 6 个人中有 2 个人生肖相同的概率.上面的方法是用摸球试验代替实际调查. 类似这样的试验称为模拟试验.议一议不同计算器产生随机数的方法可能不同，同学们可利用自己所使用的计算器探索产生随机数的具体步骤.除了用大小相同的 12 个球进行模拟试验外，你还能想出其他方法吗？事实上，还可以用计算器产生的随机数进行模拟试验.使用计算器产生随机数的大体步骤是：进入产生随机数的状态，输入所产生的随机数的范围，按键得出随机数.问题解决2. 你几月份过生日？和同学交流，看看 6 个同学中是否有 2 个人同月过生日. 开展调查，看看 6 个人中有 2 个人同月过生日的概率大约是多少.第六章对概率的进一步认识例如，利用如图所示的计算器，产生随机整数的一般步骤如下：1. 按键打开计算器，并清屏.2. 按 键进入产生随机整数的状态.3.输入所产生的随机整数的范围，如随机整数的范围为1~12，则按键顺序为4. 按键输出一个符合要求的随机整数.5. 继续按键，每次均输出一个符合要求的随机整数.两人组成一个小组，利用计算器产生 1 ~ 12 之间的随机数，并记录下来．每产生 6 个随机数为一次试验．每组做 10 次试验，看看有几次试验中存在 2 个相同的整数．将全班的数据集中起来，估计 6 个 1 ~ 12 之间的整数中有 2 个数相同的概率．这一结果与上一课的估计一致吗？通过试验估计随机事件发生的概率是一种很常见、很有效的方法．我们以前所进行的抛硬币、掷骰子、摸球、转转盘、摸牌等活动，都是在进行概率试验．对于很多简单的问题，我们借助上面的“道具”，依靠手工就可以完成．然而，随着问题背景的逐步复杂，以及试验次数的不断增加，手工试验的不便之处就暴露出来了．这时，我们可以借助一些计算机软件进行模拟试验．有兴趣的同学可以查阅有关资料或上机试一试．做一做*3用频率估计概率数学理解问题解决习题 6.71. 如果手头没有硬币，那么你能用什么办法模拟掷硬币试验？你能用计算器模拟该试验吗？做一做，看看结果如何.2. 某种“15 选 5 ”的彩票规定：从 1 ~ 15 这 15 个数字中选择 5 个（可以重复），如果其中有 2 个与所公布的中奖号码（不妨设为 1，2，6，8，8）相同，即可获得四等奖．利用计算器模拟试验估计获得四等奖的概率.3. 老师要求化学兴趣小组的 8 名同学每人在化学元素周期表中的前 20 号元素中随机选取一种元素了解其化学性质．利用模拟试验的方法估计有两人或两人以上选择同一种化学元素的概率．1. 用计算器模拟试验估计 50 个人中有 2 个人生日相同的概率：两人组成一个小组，利用计算器产生 1 ~ 366 之间的随机数，并记录下来．每产生 50 个随机数为一次试验．每组做 5 次试验，看看有几次试验中存在 2 个相同的整数. 将全班的数据集中起来，估计 50 个 1 ~ 366 之间的整数中有 2 个数相同的概率.2. 老师有 5 张电影票，现在要将它们随机分给班上的 5 名同学，为了保证公正，你能利用计算器帮老师作出决定吗？随堂练习。
(五四制) 鲁教版数学 9年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_7
4圆周角和圆心角的关系已知：如图 5-24，∠ACB 是 A ⌒B 所对的圆周角，∠AOB 是 A ⌒B 所对的圆心角．求证：∠ACB = 12∠AOB ．分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：（1）圆心 O 在 ∠ACB 的一条边上，如图 5-24（1）；（2）圆心 O 在 ∠ACB 的内部，如图 5-24（2）；（3）圆心 O 在 ∠ACB 的外部，如图 5-24（3）．议一议在图 5-23 中，改变 ∠AOB 的度数，上面的结论仍然成立吗？圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．在三种位置关系中，我们选择第（1）种情况给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．证明：圆心 O 在 ∠ACB 的一条边上，如图 5-24（1）．∵ ∠AOB 是 △AOC 的外角，∴ ∠AOB = ∠CAO + ∠ACB ．∵ OA = OC ，∴ ∠CAO = ∠ACB ．（1） （2） （3）图 5-24O AB C OA B C OA B C第五章圆∴ ∠AOB = 2∠ACB ，即 ∠ACB= 12∠AOB ．在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴交流．做一做你能将图 5-24（2）和图 5-24（3）这两种情况分别转化成图 5-24（1）的情况去解决吗？做一做，并与同伴交流．由圆周角定理，我们还可以得到下面的结论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.你能解决射门游戏中的问题了吗？当球员在 B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门柱 A ，C 形成的三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理去解决它吗？同弧或等弧所对的圆周角相等.议一议1. 如图，在 ⊙O 中，∠BOC = 50°，求∠BAC 的度数 .随堂练习（第 1 题）（第 2 题）想一想4圆周角和圆心角的关系2. 如图，在 ⊙O 中，∠A = 40°，求∠OBC 的度数.知识技能数学理解习题 5.5（1）如图 5-25，BC 是 ⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？1. 如图，点 A ，B ，C ，D 在同一个圆上，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 E . 在图中标出的 8 个角中，哪些是相等的角？2. 如图，OA ，OB ，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. ∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系？为什么？3. 如图，A ，B ，C ，D 是 ⊙O 上的四个点，且∠BCD = 100°，求∠BOD （ B ⌒CD 所对的圆心角）和∠BAD 的度数.4. 为什么有些电影的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性.（第 2 题）（第 1题）（第 3 题）想一想12345678。
(五四制) 鲁教版数学 9年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_6
AC
O DB
M O
（第 3 题）
（第 4 题）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4. 如图，M 为 ⊙O 内一点，画一条弦 AB，使 AB 过点 M，并且 AM = BM．
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第五章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置对球门的张角（如图 5-21中的∠ABC） 有关 . 就角度大小而言，球员在 B，D，E 中的哪一个点处 射门更容易些？还是都一样？
37.4 C
7.2
A
D
B
R
O （第 1 题）
2. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
习题 5.4
知识技能
1. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的
一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯 A
锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为 C E
O
D
现在的数学语言就是：如图，CD 为 ⊙O 的直径，弦 B
第五章 圆
OC2 = CF2 + OF2, 即
R2 = 3002 +（R - 90）2． 解这个方程，得 R = 545． 所以，这段弯路的半径为 545 m．
随堂练习
1. 1400 多年前，我国隋朝建造了赵州石拱桥（如图），它的桥拱是圆弧形，它的跨度 （即弧所对的弦长）为 37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为 7.2 m，求桥拱 所在圆的半径（结果精确到 0.1 m）．
上面的问题就是要研究同一条弧（A⌒C）所对的圆周角（∠ABC，∠ADC， ∠AEC）之间的大小关系.
做一做
如图 5-23 ，在 ⊙O 中，∠AOB = 80°． （1）请你画出几个 A⌒B 所对的圆周角，这几个圆周角 有什么关系？与同伴交流． （2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？ 你是怎样发现的？与同伴交流．
(五四制) 鲁教版数学 9年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_17
过正 n 边形顶点的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，每个 等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形.
正多边形的计算问题 常常可以归结为解直角三 角形问题 .
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第五章 圆
例 2 已知正六边形 ABCDEF 的半径是 R，求这个正六边形的边长 a，周 长 p 和面积 S .
图 5-57
图 5-58
如果 ⊙O 的半径为 R ，它的内接正 n 边形的边长 AB = an，我们来求它的内接正
2n 边形的边长 AC = a2n，如图 5-58.
a2n = AC = AD2 + DC2
= AD2 +（OC - OD）2
= AD2 +（OC - OA2-AD2）2
= 2·OC2 - 2·OC OA2-AD2
（第 2 题） 50
8
正多边形和圆
读一读
圆的周长及面积公式是怎样得出的
我们已经知道，圆的周长及面积公式是： C = 2 R， S = R2，
这里的 = 3.141 59…，它是一个无理数，叫做圆周率. 上面的公式是怎样得出的呢？学过正多边形和圆的知识后，可以来说说其中的道 理了. 由于一个圆被 n 等分后，顺次连接各分点，便得到一个正 n 边形 . 如果再取这 n 条 弧的中点，圆上便有 2n 个分点，顺次连接这 2n 个分点，可以得到一个正 2n 边形 . 这 个正 2n 边形便包围着原来的正 n 边形，这个正 2n 边形的周长和面积都比原来正 n 边 形的周长和面积大（图 5-57）. 继续这样做下去，可以得到边数为4n，8n，…的圆内 接正多边形 . 可以看出，这样的圆内接正多边形随着边数的成倍增加，它们的周长和 面积就越来越逼近圆的周长和面积 . 这样，当已知圆的半径时，便可以通过计算它的 边数为 n，2n，4n，…的圆内接正多边形的周长和面积，作为精确度不同的圆的周长和 面积的近似值.