向量与三角的交汇的综合问题解法探究

向量与三角的交汇的综合问题当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。

它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势，。

一、向量与三角函数性质的交汇例1：已知向量→a = (cos 3x 2,sin 3x 2)，→b = (cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0,π2]，求：①→a ·→b 及|→a ＋→b |；②若f (x )= →a ·→b －2λ|→a ＋→b |的最小值是－32，求λ的值。

解析：①→a ·→b = cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2=cos2x ；|→a ＋→b |=(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2)2=2＋2cos2x =2cos 2x∵x ∈[0,2] ∴cos x ＞0 ∴|→a ＋→b |=2cos x②f (x ) = cos2x －4λcos x 即f (x ) =2 (cos x －λ)2－1－2λ2 ∵x ∈[0,π2] ∴0≤cos x ≤1⑴当λ＜0时，当且仅当cos x =0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾。

⑵当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2 = － 32，解得λ= 12。

⑶当λ＞1时，当且仅当cos x =1时，f (x ) 取得最小值1－4λ， 由已知得1－4λ=－32 ，解得λ = 58 ，这与λ＞1相矛盾；综上所述，λ = 12即为所求。

点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类与讨论的思想方法。

例2、设平面向量→a = (3，－1) ，→b = ( 12 ，32)，若存在实数m （m ≠0）和角θ（θ∈(－2π,2π)），使向量→c =→a ＋(tan 2θ－3)→b ，→d =－m →a ＋(tan θ) →b ，且→c ⊥→d ，求：①试求函数m =f (θ)的关系式；②令t = tan θ，求出函数m = g (x )的极值。

解析：①∵→a ·→b = 12×3－1×32= 0，→c ⊥→d∴→c ·→d = [→a ＋(tan 2θ－3)→b ]·[－m →a ＋(tanθ)→b ] = －m →a 2＋(tan 3θ－3tanθ)→b 2 = 0∵|→a | =2 ，|→b | =1∴m = 14 (tan 3θ－3 tanθ)，其中θ ∈(－2π,2π)②由tan θ = t ，得m = g(t) = 14(t 3－3t) t ∈R求导得 g ′(t)= 34 (t 2－1) 令g ′(t)=0，得t 1=－1，t 2=1当t ∈（－∞,－1）时，g ′(t)＞0 当t ∈（－1, 1）时，g ′(t)＜0 当t ∈（1,＋∞）时，g ′(t)＞0 ∴当t =－1时，即θ=－4π时，m=g(t)有极大值12当t =1时，即θ =4π时，m = g(t)有极大值－12点评：②问是求函数的极值运用求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.二、向量与三角函数求值、运算的交汇例3、设→a =（1＋cos α,sin α）、→b =（1－cosβ, sinβ）、→c =（1,0）， α∈（0,π），β∈（π,2π），→a 与→c 的夹角为θ1，→b 与→c 的夹角为θ2， 且θ1－θ2=6π，求sin α－β4 的值.解析：|→a | = (1＋cos α)2＋sin 2α = 2cosα2|→b |=(1－cos α)2＋sin 2α = 2sin β2|→c | =1，又→a ·→c =1＋cos α= 2 cos 2α2 →b ·→c = 1－cosβ = 2cos 2β2∴cos θ1= →a ·→c |→a | |→c | = cos α2 cos θ2 = →b ·→c |→b | |→c | = sin β2∵α2 ∈(0,2π) ∴θ1 = α2 又β∈(π,2π) ∴β2∈(2π,π) 即0＜β22π＜2π由cos θ2 = sin β2 = cos (β2－2π)，得θ2= β2－2π由θ1－θ2 =6π得α2－( β2－2π) =6π ∴α－β2 =－3π α－β4 =－6π∴sinα－β4 =sin(－6π)=－12 点评：本题是以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数求值的有关知识。

例4、若O 是ΔABC 内一点，则S ΔOBC ·→OA ＋S ΔOCA ·→OB ＋S ΔOAB ·→OC=→0。

证：如图所示，以O 原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设→OA =(p,0)，→OB=(qcos α,qsin α)， →OC=(rcosβ,rsinβ)。

则：S ΔOBC =12qrsin(β－α),S ΔOCA =12prsin(2π－β)=－12prsinβS ΔOAB =12pqsin α∴要证S ΔOBC ·→OA ＋S ΔOCA ·→OB ＋S ΔOAB ·→OC==12qrsin(β－α) (p,0)－12prsinβ(q cos α,qsin α)＋12pqsin α(rcosβ,rsinβ)= →0， 只须证 ：12pqrsin(β－α)－12pqrsinβcos α＋12pqrsin αcosβ=0 ①－12pqrsinβsin α＋12pqrsin αsinβ=0 ② ① s in(β－α) =sinβcos α－sin αcosβ ②显然成立。

三、向量与解三角形的交汇例5、ΔABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3→OA ＋4→OB ＋5→OC=→0 ①求数量积，→OA ·→OB ，→OB ·→OC ，→OC ·→OA ； ②求ΔABC 的面积解析：①∵|→OA|=|→OB|=|→OC|=1 由3→OA ＋4→OB ＋5→OC=→0 得 3→OA ＋4→OB=－5→OC 两边平方得 9 →OA2＋24→OA ·→OB ＋16→OB 2=25→OC 2∴ →OA·→OB=0 同理 由4→OB＋5→OC=－3→OA 求得→OB ·→OC=－45由3→OA ＋5→OC=－4→OB 求得→OA ·→OC=－35②由→OA ·→OC=0得→OA ⊥→OC SΔABC =12 |→OA| |→OB| = 12由→OB·→OC=－45 得cos ∠BOC=－45 ∴sin ∠BOC=－35 ∴S ΔABC =12 |→OB| |→OC|sin ∠BOC=310由→OC·→OA=－35 得cos ∠COA=－35 ∴sin ∠COA=45 ∴S ΔCOA = 12 |→OC| |→OA|sin ∠COA=－35 = 25即S ΔABC = S ΔAOB ＋S ΔBOC ＋S ΔCOA =12 ＋310 ＋25 = 65点评：本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。

四、向量与三角变换的交汇例6、已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，→a =cos A －B 2i ＋52sin A ＋B 2j ，其中i 、j为相互垂直的单位向量，若|→a | =3 24，求tanA ·tanB 之值. 解析：|→a | = (cosA －B 2i ＋52sin A ＋B 2j )2=cos 2 A －B 2＋54 sin 2 A ＋B2=1＋cos(A －B)2 ＋54 1－cos(A ＋B)2 = 98即4cos(A －B)=5cos(A ＋B)∴4cosAcosB ＋4sinAsinB=5cosAcosB －5sinAsinB 即9sinA ·sinB=cosAcosB ≠0∴tanA ·tanB = 19例7：如图所示，向量i ， j ，e 1， e 2均为单位向量，且i ⊥j ，e 1⊥e 2； ①用i ， j 表示e 1， e 2；②→OP=x i +y j ,且xy=1；→OP=x 1 e 1+y 1 e 2；当θ=π4时，求关于x 1 、y 1的表达式，并说明方程表达的曲线形状； ①⎩⎨⎧e 1=cosθi +sinθj e 2=-sinθi+cosθj②⎩⎪⎨⎪⎧e 1=22(i +j )e 2=22(-i+j ) 方程为：x 12-y 12=2 曲线为双曲线。

点评：本题要求学生对平面向量的基本定理有较深刻的理解，基向量的选择，就是坐标系的选择。

利用向量的运算，可以研究在不同坐标系下同一曲线的不同方程，体现了坐标变换的思想，使初等数学与高等数学平稳过渡，这是新“课改”的一个方向。

五、向量与解三角不等式的交汇例8、已知二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x ) = f (1＋x )成立，设向量→a = ( sinx , 2 ) ，→b = (2sinx , 12)，→c = ( cos 2x , 1 )，→d =(1,2)，当x ∈[0,π]时，求不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )的解集.解析：设f (x )的二次项系数为m ，其图象上的两点为A(1－x ,y 1）、B(1＋x , y 2），因为(1－x )＋(1＋x )2=1 f (1－x ) = f (1＋x )，所以y 1= y 2由x 的任意性得f (x )的图象关于直线x =1对称，若m ＞0，则x ≥1时，f (x )是增函数 ；若m ＜0，则x ≥1时，f (x )是减函数。

∵→a ·→b =（sinx ，2）·（2sinx , 12）=2sin 2x ＋1≥1→c ·→d =（cos 2x ，1）·(1,2)=cos 2x ＋2≥11 e i∴当m ＞0时，f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )⇔f (2sin 2x ＋1)＞ f (cos 2x ＋2)⇔2sin 2x ＋1＞cos 2x ＋2⇔1－cos 2x ＋1＞cos 2x ＋2 ⇔cos 2x ＜0⇔2k π＋2π＜2x ＜2k π＋23π,k ∈z⇔k π＋4π＜x ＜k π＋43π, k ∈z∵0≤x ≤π ∴4π＜x ＜43π当m ＜0时 同理可得0≤x ＜4π或43π＜x ≤π综上所述，不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )的解集是： 当m ＞0时，为{ x |4π＜x ＜43π } ；当m ＞0时，为{ x |0≤x ＜4π或43π＜x ＜π}。