平面向量与解三角形单元检测题(含答案)(最新整理)

3
17．在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.
2π a
(1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 C= ,求 的值.
3b 1
18．在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,且 a= c+bcos C.
由正弦定理得，a＋c＝2b，故 a，b，c 成等差数列．
(2)由∠B＝60°，b＝4 及余弦定理得：42＝a2＋c2－2accos 60°，
∴(a＋c)2－3ac＝16，又由(1)知 a＋c＝2b，代入上式得 4b2－3ac＝16，解得 ac＝16，
1
1
∴△ABC 的面积 S＝ acsin B＝ acsin 60°＝4 3.
1 ∴a·b＝－ b2，设 a 与 b 的夹角为 θ，又|a|＝|b|，
2
1
－ b2
a·b 2
1
∴cos θ＝ ＝ ＝－ ，∴θ＝120°.
|a||b| |a||b| 2
16.解：(1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B.
ab 即 a· ＝b· ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，
2R 2R
∴Erroru!u于ur 是 u4uλur－1u＋ur3－2λ＝0，λ＝－1. uuur uuur 11. 5 解析： AB OB OA ＝(3,2－t)，由题意知 OB AB ＝0，所以 2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.
( )1
12． －∞，－ . 因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cosθ<0 且 cosθ≠－1， 2 1
b2 c2 a2 bc 1
根据余弦定理 cos A=
≥ =,
2bc 2bc 2
π
又∵0<A<π,∴0<A≤ ,故选 C.
3
9. B 【解析】 由 3sin A＝5sin B，得 3a＝5b.又因为 b＋c＝2a，
5
7
所以 a＝ b，c＝ b，
3
3
( ) ( ) 5
7
b 2＋b2－ b 2
a2＋b2－c2 3
→→
→→
6. C 解析 因为AC·BD＝0，所以AC⊥BD.
1→ → 1
故四边形 ABCD 的面积 S＝ |AC||BD|＝ × 5×2 5＝5.
2
2
→→ →→
→→ →
→ →→
7. A【解析】.BC⊥OA,即BC⊥OC,所以(OC-OB)·OC=0,所以|OC|2-OB·OC=0,
a·b 即 λ2|a|2-λa·b=0,又 λ≠0,解得 λ=|a|2. 8 C.解析:根据正弦定理,由 sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C 得 a2≤b2+c2-bc,
所以 a·b<0 且 a 与 b 不反向．由 a·b<0 得 1＋2λ<0，故 λ<－ ， 2
由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向．
( )1
所以 λ 的取值范围为 －∞，－ . 2
13.2 解析 由题意知：A→E·B→D＝(A→D＋D→E)·(A→D－A→B)＝(A→D＋1A→B)·(A→D－A→B)＝ 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若 m∥n，求证：△ABC 为等腰三角形；
π (2)若 m⊥p，边长 c＝2，角 C＝ ，求△ABC 的面积．
uuur 1 uuur
uuur uuur
2．在△ABC 中，N 是 AC 边上一点，且 AN ＝ NC ，P 是 BN 上的一点，若 AP ＝m AB ＋
2 uuur
2
AC ，则实数 m 的值为( )
9
11 A. B. C．1 D．3
93
3．已知点 A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量A→B在C→D方向上的投影为 A.
存在唯一的实数 λ，使得O→C＝λO→A＋(1－λ)O→B成立，此时称实数 λ 为“向量O→C关于O→A和O→B
→ 的终点共线分解系数”．若已知 P1(3, 1)，P2(－1,3)，且向量OP3与向量 a＝(1,1)垂直，则“向 量O→P3关于O→P1和O→P2的终点共线分解系数”为( )
A．－3 B．3 C．1 D．－1
3
得(a-2b)2=a2+b2-2ab
1 2
.即
a2+4b2-4ab=a2+b2+ab,
a3
也即 3b2=5ab,所以 = .
b5 1
18.解:(1)由正弦定理可得 sin A= sin C+sin Bcos C,
2
4
又因为 A=π-(B+C),所以 sin A=sin(B+C),
1
可得 sin Bcos C+cos Bsin C= sin C+sin Bcos C,又 sin C≠0,
2
23
17.(1)证明:由 sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin2B=1 得 sin A+sin C-2sin B=0.
abc
因为
=
=
,所以 a+c-2b=0,
sin A sin B sin C
所以 2b=a+c,即 a、b、c 成等差数列.
2π
(2)解:由余弦定理 c2=a2+b2-2ab·cos C 及 2b=a+c,c= ,
sin
B sin C
2 cos B cosC
。
sin A
cos A
（1）证明： b c 2a ；
（2）如图，点 O 是△ABC 外一点，设 AOB (0 ) ，
OA=2OB=2，当 b c 时，求平面四边形 OACB 面积的最最大值。
2
参考答案：
1． B 由题意可知Error!解得Error!
→→ 13．已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AE·BD＝________．
π
14．设
e1，e2
为单位向量，且
e1，e2
的夹角为 ，若 3
a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量
a
在
b
方向
上的射影为________．
15．若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则 a 与 b 的夹角为________．
故 a＝b，即△ABC 为等腰三角形．
(2)由题意可知 m·p＝0，即 a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab. 由余弦定理可知 4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去 ab＝－1)．
1
1π
故 S＝ absin C＝ ·4·sin ＝ 3.
2
1
π
即 cos B= ,所以 B= .
2
3
1π (2)因为 S△ABC= 3 ,所以 acsin = 3 ,所以 ac=4,
23
由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅b≥2,所以 b 的最小值为 2.
C
A 1＋cos C 1＋cos A 3
故 a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝ 10.
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur
2
uuur
2.选
B 如图因，为 AN uuur 2 uuur
＝ 2
NC所，以
AN
＝ 3
AC
，
AP
＝m 2
AB
1
＋ 9
AC ＝m AB ＋ AN ，因为 B，P，N 三点共线，所以 m＋ ＝1，所以 m＝ .
2
2
33 3
20.解:(1)∵E 为 AC 中点时,则 AE=EC= ,∵ +3< +4,∴F 不在 BC 上.故 F 在 AB 上,
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上)
uur
uuur
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 OA ＝(－1，t)， OB ＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数 t
1
的值为________． 12．已知 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 λ 的取值范围是
π
π
π
π
(A)（0, ] (B)[ ,π）(C)(0, ] (D)[ ,π)
6
6
3
3
9．设△ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c.若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角 C＝
π
2π 3π
5π
A. B. C. D.
3
34
6
10．在平面直角坐标系中，若 O 为坐标原点，则 A，B，C 三点在同一直线上的等价条件为
平面向量与解三角形单元检测题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1．设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c, b∥c，则|a＋b|＝( )
A. 5 B. 10 C．2 5 D．10
∴综上，k 可能取－6，－1 两个数．故选 B. 5. B 解析 向量 a 与 b 的夹角为 120°，|a|＝3，|a＋b|＝ 13，