解三角形——单元检测卷(A)(南航附中朱婷婷端木彦执笔)
(好题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，23AE CE ==，3DE =，若ABC ACD ∠=∠，则四边形ABCD 周长的最大值（ ）A ．24B ．1233+C ．183D ．(3532．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c 5△ABC 的面积S 5cos A ，则a ＝（ ） A ．1 B ．5 C ．13D ．173．一艘游轮航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75︒，距离为6C 在A 的北偏西30，距离为123A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则此时灯塔C 位于游轮的（ ） A ．正西方向 B ．南偏西75︒方向 C ．南偏西60︒方向D ．南偏西45︒方向4．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，3a =tan C 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若3a =2b =45B =︒，则A =（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒6．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．27．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知3a =cos sin b A B =，则A =（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π8．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．179．已知ABC ∆中，2a =3b =60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．45C ．135或45D ．9010．在ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =，3AC =ABC 的面积为（ ） A ．322B ．32C ．22D 3311．已知点O 为ABC 的外心，且3A π=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形或等边三角形D ．钝角三角形12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若tan 7C =52cos 8A =，32b =ABC 的面积为（ ） A ．37B 37C 37D 37二、填空题13．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，ABC 的面积为24b c，且221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=，则A =_______.14．某小区拟将如图的一直角三角形ABC 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF ，在其内建造文化景观.已知207m AB =，107m AC =，则DEF 区域面积（单位：2m ）的最小值大约为______2m .7 2.65≈；3 1.73≈）15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45︒方向上，另一灯塔在南偏西60︒方向上，则该船的速度是____海里/小时.16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =____.17．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.18．在ABC 中，60,12,183ABCA b S=︒==，则sin sin sin a b cA B C____________.19．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．20．一渔船在A 处望见正北方向有一灯塔B ，在北偏东45方向的C 处有一小岛，渔船向正东方向行驶2海里后到达D 处，这时灯塔B 和小岛C 分别在北偏西30和北偏东15的方向，则灯塔B 和小岛C 之间的距离为___________海里.三、解答题21．已知在△ABC 3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ． （1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．22．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A = （1）若3,7a b ==，求c ；（2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bcos A c ⋅=. （1）求角B ；（2）若ABC 的面积为BC 边上的高1AH =，求b ，c . 24．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判ABC 断的形状.25．在①()cos cos cos 0C A A B +=，②()cos23cos 1B A C -+=，③cos sin b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，___________，求角B 的值和b 的最小值.26．在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程220x -+=的两个根，且120A B +=︒，求ABC 的面积及AB 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】ACD △和CDE △中，结合正弦定理可求得6ACE DCE π∠=∠=，这样可得,DC AC ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，应用基本不等式可得AB BC +的最大值，从而可得四边形ABCD 周长的最大值．【详解】设ABC ACD ∠=∠2θ=，(0,)2πθ∈，∵CE 平分ACD ∠，∴DCE ACE θ∠=∠=， 又AE CE =，∴EAC ACE θ∠=∠=，AE CE ==DE =AD =ACD △中，由正弦定理得sin sin CD AD DAC ACD =∠∠，则sin 22cos CD θθθ==， CDE △中，2DEC EAC ECA θ∠=∠+∠=，由正弦定理得sin sin CD DE CED DCE =∠∠，则CD θ==，∴2cos θθ=，解得cos 2θ=，6πθ=，∴32CD ==，ACD △中，由角平分线定理得AC AE CD DE ==，得236AC =⨯=． ABC 中，23ABC πθ∠==，由余弦定理得2222cos 3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2222223136()3()()()44AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅=+-⋅≥+-+=+，当且仅当AB BC =时等号成立，12AB BC +≤，此时ABC 为等边三角形．∴AB BC CD DA +++的最大值为12315++=+ 故选：D ． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，在平面图形中充分利用平面几何的知识可减少计算量．本题解题关键是求出6ACE π∠=．2．A解析：A 【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cosA ，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，c S cos A ＝12bc sin A A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A .所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×25＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.3．C解析：C 【分析】根据题设中的方位角画出,ABD ACD ∆∆，在ABD ∆中利用正弦定理可求出AD 的长，在ACD ∆中利用余弦定理求出CD 的长，利用正弦定理求CDA ∠的大小（即灯塔C 的方位角）. 【详解】 如图，在ABD ∆中，45B =︒，由正弦定理有126242sin 45sin 6032AD AB ===︒︒，24AD =. 在ACD ∆中，余弦定理有2222cos30CD AC AD AC AD =+-⨯⨯︒，因3AC=，24AD =，12CD =，由正弦定理有sin 30sin CD AC CDA =︒∠，3sin CDA ∠=60CDA ∠=︒或者120CDA ∠=︒.因AD CD >，故CDA ∠为锐角，所以60CDA ∠=︒，故选C. 【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.4．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.5．C解析：C 【解析】∵45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即sin sin 2a B A b ===∵a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C6．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．7．D解析：D 【分析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =即1sin cos A A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】由题意得出点D 为AF 的中点，由余弦定理得出AB =，结合三角形面积公式得出正确答案. 【详解】2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+解得：AB=)22ABC1()sin601217sin602DEFADSS︒︒∴==故选：D【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.9．B解析：B【分析】先由正弦定理求出sin A，进而得出角A，再根据大角对大边，大边对大角确定角A．【详解】由正弦定理得：sin sin sina bAB A=⇒=sin2A B==，∴45A=或135，∵a b <，∴A B<，∴45A=，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．10．A解析：A【分析】先利用已知条件得到22B Aπ=-，再利用诱导公式和二倍角公式得到21sin3A=，又0Aπ<<，可得sin A=；已知AC=BC的长度，再根据三角形的面积公式in12sS ab C=，即可得出结果.【详解】由题意得：A B Cπ++=，()B A Cπ∴=-+，又22C A C Aππ-=⇒=+，()2222B AC A Aππππ⎛⎫∴=-+=-+=-⎪⎝⎭，21sin sin2cos212sin23B A A Aπ⎛⎫∴=-==-=⎪⎝⎭，21sin 3A ∴=，0A π<<，sin A ∴=由正弦定理得，sin sin BC ACA B=， 即3BC =，2C A π=+，A ∴为锐角，cos A ==，sin sin cos 2C A A π⎛⎫∴=+==⎪⎝⎭，11sin 32232ABCSBC AC C ∴=⋅=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.11．B解析：B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=，即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ，则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-， 同理()2212BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+， 又3A π=，由余弦定理，得222a b c bc =+-，即222b c a bc +=+，所以2bc a =，由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==， 即23sin sin 34B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以23131cos 23sin sin sin sin 23244B B B B B B B π⎫-⎛⎫-=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 32cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以262B ππ-=，解得3B π=， 所以3A B C π===， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B【点睛】 本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.12．B解析：B【分析】 结合同角三角函数的基本关系可求出14sin 4C =，2cos 4C =，14sin 8A =，由两角和的正弦公式可求出sin B ，结合正弦定理即可求出a ，进而可求出三角形的面积. 【详解】 因为sin tan 7cos C C C ==，且22sin cos 1C C +=，解得14sin C =，2cos C =，又cos 8A =，所以sin 8A ==，故sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+=．因为sin sin a b A B =，b =，故sin 2sin b A a B==，故11sin 22242ABC S ab C =⨯=⨯⨯=△． 故选:B ．【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】先由的面积为得到再用正弦定理余弦定理化简已知得解【详解】由三角形的面积公式可知得由得由正弦定理得即所以所以又所以又故故答案为：【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时要注意观察等式再利用 解析：4π 【分析】先由ABC 的面积为24b c 得到sin 2b A =，再用正弦定理余弦定理化简已知得解. 【详解】 由三角形的面积公式可知21sin 24b c S bc A ==，得sin 2b A =， 由221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=得222sin (1)sin sin C c B A +-=， 由正弦定理得222(1)c c b a +-=即2222c b a b c +-=，所以2cos b A = ，所以sin cos A A =， 又2A π≠，所以tan 1A =，又0A π<<，故4A π=故答案为：4π 【点睛】 方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时，要注意观察等式，再利用正弦定理余弦定理角化边或边化角化简求解.14．【分析】设那么在中利用正弦定理求出关于的函数并求出其最大值即可求解【详解】在中可得所以设那么在中由正弦定理可得其中所以当时取到最小值最小值为故面积的最小值故答案为：【点睛】本题考解三角形的实际应用考 解析：130【分析】设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=，在BEF 中，利用正弦定理，求出x 关于θ的函数，并求出其最大值，即可求解.【详解】在Rt ABC △中，AB =，AC =，可得CB =. 所以6ABC π∠=设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=.在BFE △中，由正弦定理，可得cos sin sin 66xx θππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，12(cos )cos 2cos )2x x x θθθθθ++=+=，sin()x θα===+，其中tan α=， 所以当sin()1θα+=时，x取到最小值，最小值为 故DEF面积的最小值21sin 75 1.73129.7513023S x π=⨯=≈⨯=≈. 故答案为：130【点睛】本题考解三角形的实际应用，考查正弦定理，三角恒等变换，以及三角函数的性质，属于中档题.本题解题的关键在于设CED θ∠=，m DE x =，进而在BFE △中，得sin sin 66xπθ=+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为求边x 的最小值问题. 15．【分析】由题意设得到然后在中利用正弦定理求解【详解】如图所示：设船的初始位置为半小时后行驶到两个港口分别位于和所以则设则在中所以利用正弦定理解得所以船速为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的实际解析：)101【分析】由题意，设BA x =，得到CA x =，然后在Rt BDA 中，利用正弦定理求解.【详解】如图所示：设船的初始位置为A ，半小时后行驶到B ，两个港口分别位于C 和D ，所以45BCA ∠=︒，15CBD ∠=︒，则30CDB ∠=︒，设BA x =，则CA x =，在Rt BDA 中，10DA x =+. 所以利用正弦定理10sin 60sin 30x x +=︒︒， 解得)531x = 所以船速为)()153110312÷=. 故答案为：)1031 【点睛】 本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：由故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解 解析：6π【分析】 由sin 23C B =，根据正弦定理“边化角”，可得3c b =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .【详解】sin 23C B = 根据正弦定理：sin sin b c B C= ∴可得23c b =根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-由已知可得：22a b -=故可联立方程：222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：cos A =由0A π<< ∴6A π= 故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．28【分析】作于延长线交地面于则由求得从而可得然后即得【详解】如图于延长线交地面于则而所以即所以故答案为：28【点睛】本题考查解三角形的应用掌握仰角概念是解题基础测量高度问题常常涉及到直角三角形因此 解析：28【分析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ．【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40tan 60tan 30BN ==︒-︒所以tan 60tan 60323228DC AM CM BN =︒-=︒-==．故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．18．【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可【详解】由余弦定理可知故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用属于中档题解析：12【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可.【详解】113sin 12183222ABC S bc A c ==⨯⨯⨯=△6c ∴= 由余弦定理可知222cos 144367263a b c bc A +-+-=6312sin sin sin sin 3a b c a A B C A ++∴===++ 故答案为：12【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.19．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中 解析：7【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan 2ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为：【点睛】 本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．20．【分析】求得在三角形中利用余弦定理求得【详解】依题意画出图象如下图所示在三角形中由正弦定理得所以在中所以在三角形中由余弦定理得所以故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理余弦定理解三角形属于中档题解析：【分析】求得,BD CD ，在三角形BCD 中利用余弦定理求得BC .【详解】依题意，画出图象如下图所示，2AD =，301545BDC ∠=︒+︒=︒，903060BDA ∠=︒-︒=︒，45,180********CAD ACD ∠=︒∠=︒-︒-︒-︒=︒， 在三角形ACD 中，由正弦定理得2sin 30sin 45CD =︒︒，所以CD = 在Rt ABD △中，906030ABD ∠=︒-︒=︒，所以24BD AD ==. 在三角形BCD中，由余弦定理得(222424cos 458BC =+-⨯⨯︒=，所以BC =故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.三、解答题21．（1）3π ；（2）4+23． 【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解.【详解】（1）∵3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ，且A +B +C ＝π， ∴3sin C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C ，即3sin C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1． ∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin AB ACB ∠＝sin 3AB π＝2×2＝4，∴AB ＝23 ∵∠ACB ＝3π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π， ∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝3π，∴∠AIB ＝23π，设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π， 在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BI πθ-＝sin AI θ＝sin AB AIB ∠23sin 34， ∴BI ＝4sin （3π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3+4sin （3π﹣θ）+4sin θ＝33θ﹣12sin θ）+4sin θ ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3π）3 ∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π， ∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3， 故△ABI 的周长的最大值为3．【点睛】关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键.22．（1）2c =；（2）()1,1-.【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 2233a C c A A b π-⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，结合锐角三角形的范围可得解.【详解】（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=，由余弦定理2222cos b c a ac B =+-，得27923cos 3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍），故2c =符合.（2）由（1）得3B π=， 所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 2232A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c A b -∴-<<， 故cos cos a C c A b-的取值范围是()1,1-. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.23．（1）6π；（2）b =2c =. 【分析】（1）化角为边，化简得222c a b +-=，再利用余弦定理求角B ；（2）由正弦定理算出c ，由面积公式算出a ，由余弦定理计算b 中即可.【详解】 解：（1）因为cos b A c =-，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，所以22222b c a c +-=-，即222c a b +-=.由余弦定理可得222cos 22c a b B ac +-==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin 6AH AH AHB c B ππ∠===. 因为ABC的面积为11sin 22ac B a ==，解得a = 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-=4842228+-⨯⨯=，则b =【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．24．（1）120︒；（2）等腰钝角三角形.【分析】（1）根据2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，利用正弦定理转化为222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解.（2）根据（1）利用两角差的正弦公式和辅助角公式转化为sin sin B C +=()sin 601B +=求解.【详解】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，所以22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222b c a bc +-=-， 所以2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为()0,A π∈，所以120A =.（2）由（1）知()sin sin sin sin 60B C B B +=+-，()1sin sin 6012B B B =+=+=， 因为()0,60B ∈，所以6090B +=，解得30,30B C ==，所以ABC 是等腰三角形.【点睛】方法点睛：有关三角形形状的判断方法：灵活运用正、余弦定理实现边角转化，合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式辅助角公式等，通过边或角进行判断．25．条件选择见解析；3B π=，b 最小值为12. 【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan B =()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值.【详解】解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：()()cos cos cos 0A B A A B π-++-=⎡⎤⎣⎦， ()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B =又()0,B π∈，所以3B π=，因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈.由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+， ()0,1a ∈，又2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以，当12a =时，()2min 14b =，即b 的最小值为12； 若选择②：在ABC 中，有A B C π++=， 则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=， 解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去）， 又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，sin sin cos C B C B =， 又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（剩下同①）【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 26．S AB == 【分析】 利用韦达定理求出,a b ab +,再利用余弦定理,得到关于c 的方程，解之可得AB 的长；再结合面积公式可得.【详解】,a b是方程220x -+=的两个根, 2a b ab ∴+==,又因为120A B +=︒则60C =︒,所以由余弦定理得：()(22222222221cos 22222c a b ab c a b c C ab ab -⨯-+--+-====⨯，解得c =所以AB = ABC的面积11sin 222S ab C ==⨯=。
必修5《数列》,《解三角形》测试(含答案)
必修5《解三角形》、《数列》单元检测卷班别：________.姓名________.座号________.一、选择题（每题5分）AADBC ABABA1.如果a<0,b>0，那么，下列不等式中正确的是（A ）()(()()2211A B C a b D a b a b < << >2．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( A ) A ．它的首项是－2，公差是3 B ．它的首项是2，公差是－3C ．它的首项是－3，公差是2D ．它的首项是3，公差是－23．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1+ a 2＝1， a 3+a 4＝9，则a 4+a 5的值为( D )A ．16B ．81C ．36D ．274．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10＝( B )A ．45B ．50C ．75D ．605.在△ABC 中，∠A=60°，a=6, b=4，那么满足条件的△ABC （ C ）(A)有一个解 (B)有两个解(C)无解 (D)不能确定6．在△ABC 中，a ＝2bcosC ，则该三角形一定是( A )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 7．若数列{}n a 的前n 项的和为)1(log 3+=n S n ，则5a 等于( B ) A. 6log 5 B. 56log 3 C. 6log 3 D . 5log 38．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为Sn ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( A )A ．60B ．24C ．18D ．909．已知等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d<0,则使等差数列{a n }前n 项和Sn 取最大值的正整数n 是（ B ）(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或910．数列{an}满足a n ＝4a n －1＋3，a 1＝0，则此数列的第5项是( A )A ．255B ．15C ．20D ．8二，填空题（每小题5分）11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为___31___． 12．等比数列{}n a （81≤≤n ）中的中间两项a 4、a 5是方程062932=+-x x 的两个实数根，则=+++822212log log log a a a 91 ． 13．=∈+==*+1011n ,,21}{a a N n n a a a n n 则且满足中，数列__ 20__ _． 14．在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a,b,c 三条边的对角，如果b=2a,B=A+60°，那么A=____30____。
实用文库汇编之三角形全章测试题(含答案)
作者：座殿角作品编号48877446331144215458创作日期：2020年12月20日实用文库汇编之七年级三角形全章测试题班级姓名成绩说明：本试题满分100分，时间100分钟。
一、选择题（每题3分，共计24分）1．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）．A．3 B．4 C．5 D．62．下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（）3．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．属于哪一类不能确定5．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A、3个B、4个C、5个D、6个6．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（）第5题图第6题图A 、900B 、1200C 、1600D 、18007．以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个8．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。
正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每题3分，共计24分）9．如图，一面小红旗其中∠A=60°, ∠B=30°,则∠BCD= 。
10．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________.11．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE 是 度。
高中数学 第一章 解三角形单元测试A必修5 试题(共3页)
高二数学(sh ùxu é)必修5解三角形单元检测一、 选择题〔每一小题5分〕 1．在△ABC 中,,,那么 〔 〕 A ．B ．C ．D ．1 2. 的内角的对边分别是,假设,,,那么〔 〕A ．B ．2C ．D ．13．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设, 那么△ABC 的形状为〔 〕A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 4．设的内角所对边的长分别为,假设,那么角c =〔 〕A ．B ．C ．D ．5．锐角ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ,,,,那么〔 〕 A ．B ．C ．D ．6、在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC( ) A 、有 一个解 B 、 有两个解 C 、 无解 D 、不能确定7、在中，，，，那么等于 〔 〕A、 B、 C、30或者(huòzhě) D、60或者8. 在△ABC中，假设，，那么等于〔〕A、2B、C、D、二、填空题〔每一小题5分〕9.ABC∆的内角、、所对的边分别是,,.假设,那么角C的大小是________10. 在ABCA=，，那么∆中，60= ．11、在△ABC中，假如，那么等于。
a=，，那么最大边c的取值范围是。
12. 在钝角△ABC中，1三、解答题13．〔此题12分〕在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=3 b .(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ) 假设a=6,b+c=8,求△ABC的面积.14．〔此题14分〕在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)假设(jiǎshè),,求向量在方向上的投影.15．〔此题14分〕在△中,角,,对应的边分别是,,..(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)假设△的面积,,求的值.内容总结（1）12. 在钝角△ABC 中，，，那么最大边的取值范围是。
南京秦淮外国语学校必修五第二章《解三角形》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC，则a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 2．在ABC 中，30A =︒，BC 边上的高为1，则ABC 面积的最小值为（ ） A．2B．2C．2+D．2+3．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D，且CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．72BC ．3 D．4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin 2B A B A A -++=，且c =3C π=，则a =（ ）A ．1BC ．1D5．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）A ．360sinnnπ︒ B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 6．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒ C． 6,60b c C ===︒ D ．4,3,30b c C ===︒7．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c△ABC 的面积Scos A ，则a ＝（ ）A ．1B ． 5C ． 13D ． 178．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km9．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin 3cos 0b A a B =，且2b ac =，则a cb+ 的值为（ ） A ．22B 2C ．2D ．410．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知3a =，(2332)b ∈，，且223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（ ）A ．[12，34] B ．(12，34) C ．[1324，34] D ．(1324，34) 12．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．23二、填空题13．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=，15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠=，则A 、B 两点的距离为______m .14．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC 的面积是______________. 15．在ABC 中，6B π=，D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD 的面积为15，则BC =_____________.16．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45︒方向上，另一灯塔在南偏西60︒方向上，则该船的速度是____海里/小时.17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，且ABC 的面积为43，则223a c +的最小值为__________．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，①若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；②若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形；③若222cos cos cos 1A B C +-=，则△ABC 为直角三角形；④若△ABC 为锐角三角形，则sin A <cos B ．以上结论中正确的有____________.（填正确结论的序号）19．在ABC 中，cos cos 3A B +=，23AB =．当sin sin A B +取最大值时，ABC 的外接圆半径为________．20．在ABC 中，60,12,183ABCA b S=︒==，则sin sin sin a b cA B C ____________.三、解答题21．如图，在ABC 中，6AB =，3cos 4B =，点D 在BC 边上，4=AD ，ADB ∠为锐角．（1）若62AC =，求线段DC 的长度； （2）若2BAD DAC ∠=∠，求sin C 的值．22．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .请在①cos 3sin b b Cc B +=；②()2cos cos b a C c A -=；③222433ABCa b c S +-=这三个条件中任选一个，完成下列问题 （1）求角C ；（2）若5a =，7c =，延长CB 到点D ，使21cos 7ADC ∠=，求线段BD 的长度. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 23．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4B π=．（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sin A 的值； ①5b =，2c =；②3a =，2c =.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. （2）若5b =，3a c +=，求ABC 的面积．24．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，8AB =，7AD =，点D 在BC 上，且1cos 7ADC ∠=．（1）求BD ； （2）若3cos 2CAD ∠=，求ABC 的面积． 25．已知,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边，且5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+. （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积33,32S c ==sin sin B C 的值 26．如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB（AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A ，并利用1315sin 2ABCSbc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，215sin 1cos A A =-=， 113115315sin 2242ABCSbc A a a ==⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C2．B解析：B 【分析】根据题意，可求得11,sin sin AB AC B C==，代入面积公式，可求得面积的表达式，设4sin sin y B C =，根据B 、C 的关系，利用两角差的正弦公式及辅助角公式，可得2sin(2)33y B π=-，根据B 的范围，即可求得max y ，即可得答案.【详解】设BC 边上的高为AD ，则AD =1，AD BC ⊥，如图所示：所以11sin ,sin AD AD B C AB AB AC AC====, 所以11,sin sin AB AC B C==， 所以111sin 244sin sin ABCSAB AC A AB AC B C=⨯⨯⨯=⨯=， 设4sin sin y B C =，因为6A π=，则56B C π+=， 所以5554sin sin 4sin sin()4sin sin cos cos sin 666y B C B B B B B πππ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭=22sin cos 23sin 2323B B B B B += =2sin(2)33B π-+，因为5(0,)6B π∈，所以42(,)333B πππ-∈-， 所以3sin(2)(32B π-∈-，则2sin(2)3(0,23]3y B π=-+，所以max 23y = 所以ABC 面积的最小值为max123y =故选：B 【点睛】解题的关键是将题干条件，转化为4sin sin y B C =，根据B 的范围，结合三角函数的图象与性质求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．B解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==， 由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.4．C解析：C 【分析】由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，可得结果． 【详解】∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC 为直角三角形，且2A π=．∵7c =3C π=，∴3sin3a ==．②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =． 综上可得，a =1故选：C ． 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题．5．C解析：C 【分析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯= 所以2180sin180cos nn n nnππ==⨯故选C 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．6．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin 3a b B A B =⇒=且,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.7．A解析：A 【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cosA ，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，c S cos A ＝12bc sin A A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A .所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.8．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos 0b A B =，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.10．B解析：B 【分析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.11．D解析：D 【分析】本题先求9c b=，再化简22222819cos 218b bc a b A bc +-+-==，接着求出22817545()42b b +∈，，最后求出cos A 的取值范围即可. 【详解】 解：由题意有3a =，223cos cos a b B b A =+，由余弦定理得：2222222233232a c b b c a b b c bc+-+-=⋅+⋅⨯⨯，整理得：9bc = ， 所以9c b=， 则22222819cos 218b bc ab A bc+-+-==.因为b ∈，所以2(1218)b ∈，，所以22817545()42b b +∈，， 则133cos (,)244A ∈. 故选：D. 【点睛】本题考查余弦定理，利用函数ky x x=+，（0k >）的单调性求范围，是中档题. 12．B解析：B 【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解. 【详解】∵cos cos 2a B b A +=，∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，∴2c =，∵sin sin 3sin A B C += ∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长22， 以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】在中利用正弦定理计算出分析出为等腰三角形可求得然后在中利用余弦定理可求得【详解】在中在中由正弦定理可得在中由余弦定理可得因此故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边解析：【分析】在BCD △中，利用正弦定理计算出BD ，分析出ACD △为等腰三角形，可求得AD ，然后在ABD △中，利用余弦定理可求得AB . 【详解】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=，15DCA ∠=，15DAC ∴∠=，()45AD CD m ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=，30CBD ∴∠=，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，)45212BD m ⨯∴==，在ABD △中，()45AD m =，)BD m =，135ADB ∠=， 由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，)AB m =.故答案为： 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.15．【分析】先由面积公式求出即得再由余弦定理求出进而利用正弦定理求出再在中利用正弦定理即可求出【详解】在中解得是锐角三角形则由余弦定理可得即则在中由正弦定理可得即则则在中即解得故答案为：【点睛】本题考查【分析】先由面积公式求出sin ACD ∠，即得cos ACD ∠，再由余弦定理求出AD ，进而利用正弦定理求出sin A ，再在ABC 中利用正弦定理即可求出. 【详解】 在ACD △中，11sin 42sin 22ACDS AC CD ACD ACD =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠=解得sin 4ACD ∠=， ACD △是锐角三角形，1cos 4ACD ∴∠=,则由余弦定理可得222142242164AD =+-⨯⨯⨯=，即4AD =， 则在ACD △中，由正弦定理可得sin sin AD CDACD A=∠2sin A =，则sin 8A =， 则在ABC 中，sin sin BC ACA B=412=，解得BC =.故答案为：15. 【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先在ACD △中，利用面积公式和正余弦定理解出sin A .16．【分析】由题意设得到然后在中利用正弦定理求解【详解】如图所示：设船的初始位置为半小时后行驶到两个港口分别位于和所以则设则在中所以利用正弦定理解得所以船速为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的实际 解析：()1031+【分析】由题意，设BA x =，得到CA x =，然后在Rt BDA 中，利用正弦定理求解. 【详解】 如图所示：设船的初始位置为A ，半小时后行驶到B ，两个港口分别位于C 和D ， 所以45BCA ∠=︒，15CBD ∠=︒， 则30CDB ∠=︒， 设BA x =，则CA x =，在Rt BDA 中，10DA x =+. 所以利用正弦定理10sin 60sin 30x x+=︒︒，解得)531x =所以船速为)()153110312÷=.故答案为：)1031【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．80【分析】由已知结合正弦定理以及三角形内角和性质有根据面积公式有再应用余弦定理可得结合目标式有利用基本不等式即可求最小值；【详解】由及正弦定理可得∴即又故故因为的面积为所以即故由余弦定理可得∴当且解析：80 【分析】由已知结合正弦定理，以及三角形内角和性质有23C π=，根据面积公式有16ab =，再应用余弦定理可得22216c a b =++，结合目标式有22223164a c a b +++=，利用基本不等式即可求最小值； 【详解】由2cos 2c B a b =+及正弦定理可得2sin cos 2sin sin C B A B =+，∴2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >， 故1cos 2C =-，故23C π=．因为ABC 的面积为1sin 2ab C =122ab ⨯=16ab =， 由余弦定理可得222222212cos 216162c a b ab C a b a b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-=++ ⎪⎝⎭， ∴2222233a c a a b +=++221641641680a b ab +=++≥+=，当且仅当2a b ==时等号成立，故223a c +的最小值为80． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了正余弦定理，应用了三角形内角和性质、三角形面积公式以及基本不等式求最值；18．①③【分析】结合三角形的性质三角函数的性质及正弦定理对四个结论逐个分析可选出答案【详解】对于①由正弦定理所以由sinA ＞sinB 可推出则即①正确；对于②取则而△ABC 不是等腰三角形即②错误；对于③则解析：①③ 【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案. 【详解】对于①，由正弦定理sin sin a b A B=，所以由sin A ＞sin B ，可推出a b >，则A B >，即①正确；对于②，取15,75A B ︒︒==，则sin 2sin 2A B =，而△ABC 不是等腰三角形，即②错误；对于③，()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1A B C A B C +-=-+---=， 则222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，故△ABC 为直角三角形，即③正确；对于④，若△ABC 为锐角三角形，取80,40A B ︒︒==，此时sin80cos40sin50︒︒︒>=，即sin cos A B >，故④错误. 故答案为：①③.【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.19．2【分析】设与两边平方后相加可得即可知时最大可得角再利用正弦定理即可求解【详解】设则又因为所以所以所以当时此时的外接圆半径为故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理二倍角公式三角函数的性质同角三角解析：2 【分析】设sin sin A B t +=与cos cos A B +=两边平方后相加，可得2322cos()A B t +=+-，即21cos()2t A B +-=，可知A B =时，sin sin =+t A B 最大，可得角C ，再利用正弦定理即可求解. 【详解】设sin sin A B t +=，则()2222sin sin sin sin 2sin sin t A B A B A B =+=++， 又因为()2223cos cos cos cos 2cos cos A B A B A B =+=++，所以222223sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos t A A B B A A B B +=+++++22cos()B A =+-，所以21cos()2t A B +-=，所以当A B =时，max 1=t ，23C π∠=，此时ABC 2=． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属于中档题.20．【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可【详解】由余弦定理可知故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用属于中档题 解析：12【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可. 【详解】11sin 12222ABC S bc A c ==⨯⨯⨯=△6c ∴=由余弦定理可知a =12sin sin sin sin a b c a A B C A ++∴===++故答案为：12 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）7；（2 【分析】（1）分别在△ABD 、△ABC 中，由余弦定理求BD ，BC ，即可求DC 的长度； （2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=，在△ABD 中由余弦定理求sin 2θ、sin θ、cos θ，法一：即可求sin3θ、cos3θ，由已知求sin B ，又()sin sin 3C B πθ=--即可求值；法二：由余弦定理求cos BDA ∠，sin BDA ∠，又()sin sin C BDA θ=∠-即可求值. 【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得22223616312co 24s AB BD AD B AB B BD D BD +-⋅⋅=+-==，∴5BD =或4BD =． 当4BD =时，161636cos 0244ADB +-∠=<⨯⨯，则2ADB π∠>，不合题意，舍去；当5BD =时，162536cos 0245ADB +-∠=>⨯⨯，则2ADB π∠<，符合题意．∴5BD =．在△ABC 中，22223672312co 24s AB BC AC B AB B BC C BC +-⋅⋅=+-==，∴12BC =或3BC =-（舍）． ∴7DC BC BD =-=．（2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=．在△ABD 中，2229cos cos2216AB AD BD BAD AB AD θ+-∠===⋅，∴2θ为锐角，得21cos27sin 232θθ-==，sin 2θ=sin θ=，cos θ=，法一：sin3sin 2cos cos2sin θθθθθ=+=，同理cos3θ=由3cos 4B =知：sin 4B =，∴()()sin sin 3sin 3sin cos3cos sin3C B B B B πθθθθ=--=+=+法二：2221625361cos 22458AD BD AB BDA AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯，sin BDA ∠．∴()sin sin sin cos cos sin C BDA BDA BDA θθθ=∠-=∠-∠= 【点睛】 关键点点睛：（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC ；（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可. 22．（1）条件选择见解析，3C π=；（2）5BD =.【分析】（1）利用所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式，化简条件等式，结合三角形内角的性质，求角C ；（2）由正余弦定理，结合诱导公式及两角和正弦公式求CD ，进而求BD 的长度. 【详解】（1）若选①：∵cos sin b b C B +=，∴sin sin cos sin B B C C B +=，又sin 0B ≠，∴1cos C C +=，即1sin62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0C π<<，∴5666C πππ-<-<，即66C ππ-=，故3C π=. 若选②：∵()2cos cos b a C c A -=， ∴()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B C A C C A A C B =+=+=， 又sin 0B ≠，∴1cos 2C =，又0C π<<， ∴3C π=，若选③：由2223ABCa b c S +-=⋅，则有12cos sin 32ab C ab C =⨯， ∴tan C =0C π<<， ∴3C π=.（2）ABC 中，由余弦定理：22525cos 493AC AC π+-⋅⋅=，得8AC =或3AC =- (舍)， 由21cos 7ADC ∠=，可得27sin 7ADC ∠=，△ACD 中，()()32112757sin sin sin 72CAD C ADC C ADC π∠=--∠=+∠=⋅+⋅=， 由正弦定理得：sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，即5727147=，解得10CD =，∴5BD CD BC =-=.【点睛】 关键点点睛：（1）根据所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形性质求角； （2）利用正余弦定理及三角恒等变换求边长. 23．（1310221- 【分析】（1）选择条件①，由余弦定理求出3a =，再由正弦定理即可求出；选择条件②，由余弦定理求出5b =（2）由余弦定理结合已知条件可求出422ac =-，再由面积公式即可求出. 【详解】 （1）选择条件①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2230a a --=，解得3a =. 由正弦定理sin sin b a B A =得sin 310sin a B A b ==. 选择条件②由余弦定理2222cos 5b a c ac B =+-=得b =由正弦定理sin sin b a B A =得sin sin 10a B Ab ==. （2）由余弦定理2222cos b ac ac B =+-得225a c =+，所以25()(29(2a c ac ac =+-+=-+，得4ac =-所以1sin 12ABC S ac B ==. 24．（1）3；（2． 【分析】（1）先求出cos ADB ∠，再由余弦定理求出BD ；（2）先求出sin CAD ∠，sin C ，再由正弦定理求出CD ，进而得出BC ，再由三角形面积公式求解即可；【详解】（1）∵()1cos cos πcos 7ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠=- 在ABD △中，由余弦定理得2228727cos 3BD BD ADB BD =+-⋅⋅⋅∠⇒=或5-（舍）． （2）由已知sin 7ADC ∠=，1sin 2CAD ∠= ∴()1113sin sin 7214C ADC CAD =∠+∠+⨯= 由正弦定理得17sin 49213sin 1314AD CAD CD C ⨯∠=== ∴498831313BC =+=∴1888213ABC S =⨯⨯=△【点睛】关键点睛：解决本题一的关键是由诱导公式求出cos ADB ∠，再由余弦定理求出BD . 25．（1）3A π=；（2）12. 【分析】 （1）由已知化简可得22cos 5cos 30A A +-=，解出1cos 2A =即可求出角A 的大小； （2）利用面积公式可求得b ，再利用余弦定理可求得a ，进而求出ABC 外接圆直径，得出所求.【详解】（1）5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+，25cos()22cos 1B C A ∴++=-，22cos 5cos 30A A ∴+-= 解得1cos 2A =或cos 3A =-（舍去）. 0A π<<，所以3A π=. （2）313sin 223S bc π==，6bc ∴=， 3,c b =∴= 由余弦定理得22212369,3a b c bc a =+-=+-==，由正弦定理得ABC外接圆直径2sin a R A === 2(2)sin sin 6R B C bc ==，所以1sin sin 2B C =. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正余弦定理进行化简.26．（1）15（百米）；（2）P 和Q 均不能选在D 处，理由见解析.【分析】（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，求出BD 、cos PBD ∠的值，进而可求得PB 的长，即为所求；（2）分点P 在D 处和点Q 在D 处两种情况讨论，分析出两种情况下线段PB 、QA 上均存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，由此可得出结论.【详解】（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，则6DE BE AC ===，8AE CD ==， PB AB ⊥，84cos cos 105PBD BAE ∴∠=∠==，12154cos 5BD PB PBD ∴===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）；（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B 、E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，P ∴在D 处不满足规划要求；②若Q 在D 处，连接AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos0225AD AB BDBADAD AB+-∠==>⋅，BAD∴∠为锐角.∴线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.【点睛】思路点睛；解三角形应用题的一般步骤：（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.。
南京市必修五第二章《解三角形》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．43kmB ．210kmC 10kmD ．62km2．在△ABC 中，若2223a c b ab -+=，则C ＝( )． A ．45°B ．30°C ．60°D ．120°3．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，3a =，2b =，且227cos ac B a b ⋅=-，则B =（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 4．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，3a =tan C 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若3a =2b =45B =︒，则A =（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 3a ，则c bb c+的最大值是（ ） A ．8B ．6C ．32D ．47．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B =，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ）A ．2B ．22C ．1D ．2 9．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（ ） A ．33B ．3C ．23D ．4310．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<11．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15，山脚A 处的俯角为45，已知60BAC ∠=，则山的高度BC 为（ ）A ．700mB ．640mC ．600mD ．560m12．在ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足()cos 3cos b C a c B =-，若4BC BA ⋅=，则ac 的值为 ()A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，且2C A =，则a =______.14．在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，2BD =，则ABC 的面积为_________.15．ABC 的三边边长,,a b c 成递增的等差数列，且最大角等于最小角的2倍，则::a b c =______16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．18．在ABC 中，若3b =3c =，30B ︒=，则a 等于________. 19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 的最大角的大小是________.20．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos cos sin b C c B a A +=，则A =________.三、解答题21．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值；（2）求三角形BC 边的中线AD 长； （3）求πsin(2)4A +的值． 22．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--=. （1）求A ；（2）若4b c =，且BC 边上的高为ABC 的面积. 23．在ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，sin B b B =-．（1）求角B 的大小；（2）若BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，△ACD BD 的长度． 24．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，221sin cos 22A B C +-=． （1）求角C ； （2）若2c =，4A π=，求ABC 的面积．25．在ABC 中，cos sin )sin cos B b C b B C -=． （1）求B ；（2）若2c a =，ABC ABC 的周长． 26．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,),(1,sin )m A a n B ==（1）当2sin m n A =时，求b 的值；（2）当//m n 时，且1cos 2C a =，求tan tan A B 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.2．B解析：B 【分析】根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出C 角．【详解】∵222a c b -+=，∴2222a b c cosC ab +-==. 又∵C 为三角形内角∴30C =︒. 故选B ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题．3．B解析：B 【分析】由余弦定理化简得222b a c -+=，得到cos A =，进而求得3sin 4A =，再由正弦定理，解得1sin 2B =，即可求解. 【详解】在ABC 中，因为22cos ac B a b ⋅-=-，由余弦定理可得222222a c b ac a b ac +-⋅=-，即222222a c b a b +-=-，整理得222b ac -+=，所以222cos 2c b a A bc -+==，因为(0,)A π∈，所以3sin 4A ==， 又由正弦定理，可得sin sin a b A B=，解得sin 1sin 2b A B a ==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=或56B π=， 又因为a b >，所以A B >，所以6B π=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.4．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.5．C解析：C 【解析】∵45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即sin sin 2a B A b ===∵a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C6．D解析：D 【分析】首先利用面积公式可得：2sin a A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两者结合可得22sin 2cos b c A bc A +=+，而22c b b c b c bc++=，即可得c bb c+2cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】由已知可得：11sin 226bc A a a =⨯，所以2sin a A =，因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+所以222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭， 所以c bb c+的最大值是4故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.7．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．8．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．9．B解析：B 【分析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值． 【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+， 又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，∴2sin 2sin 2sin a A c C b B +-=，即2222a b c ac R R R +-=，2222cos 2a c b ac B ac R R+-==，∴3R =又由正弦定理得2sin ,a R A A c C ===，∴112sin sin sin()2233333ABC S ac B A C A A △ππ==⨯⨯⨯=-21sin (cos sin )cos 2sin )3223A A A A A A =+=+21cos 2)A A =+-)6A π=-+∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABCS= 故选：B ． 【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．10．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B ==，故sin A =故sin 12A <=<，解得2a <<故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．C解析：C 【分析】可知ADM ∆为等腰直角三角形，可计算出AM 的长度，在ACM ∆中，利用正弦定理求出AC 的长度，然后在ABC ∆中，利用锐角三角函数求出BC ，即可得出答案.【详解】根据题意，可得在Rt ADM ∆中，45MAD ∠=，400DM =，所以，sin 45DMAM ==，因为在ACM ∆中，451560AMC ∠=+=，180456075,AMC ∠=--=180756045ACM ∠=--=，由正弦定理，得sin sin 2AM AMCAC ACM∠===∠在Rt ABC∆中，()sin 600BC AC BAC m =∠==，故选C. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得cos B 的值，由4BC BA ⋅=可得ac 的值 【详解】 在ABC 中，()3bcosC a c cosB =-由正弦定理可得()sin cos 3sin sin cos B C A C B =-3sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=化为：3sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+即()sin sin B C A += 在ABC 中，sin 0A ≠，故1cos 3B =4BC BA ⋅=,可得cos 4ac B =，即12ac = 故选A 【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．二、填空题13．8【分析】根据大边对大角可得可设由已知条件利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可【详解】由题意可得又角ABC 的对边abc 为三个连续偶数故可设由由余弦定理得所以即解得故故答案为：【点睛解析：8 【分析】根据大边对大角，可得a c <, 可设22,2,22a n b n c n =-==+,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于n 的方程求解即可. 【详解】由题意可得A C <,a c ∴<,又角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，故可设22,2,22,a n b n c n =-==+由2,sin sin 2,sin 2sin cos ,C A C A C A A =∴=∴=sin sin a b A B=,()sin 1cos 2sin 221C c n A A a n +∴===-,由余弦定理得()()()()()()22222224414144cos 222222121n n n b c a n n n A bc n n n n n ++--+-++====+++. 所以()()142121n n n n ++=-+,即()()()2114,n n n +=-+解得5n =,故228a n =-=. 故答案为：8. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.14．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案解析：8【分析】设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠， 设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=，因为BAD CADABC S S S +=△△△，设AB x =， 所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=， 所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=，因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=， 在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=， 可得220x x --=，解得：2x =， 所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin BAD ∠==，3sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以1sin 2ABC S AC AB BAC =⋅∠=，【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.15．【分析】由题意可得又最大角等于最小角的倍运用正弦定理求出用余弦定理化简求出边长关系【详解】的三边边长成递增的等差数列最大角为最小角为由正弦定理可得化简可得用余弦定理代入并化简可得：则则移项可得：消去 解析：4:5:6【分析】由题意可得2b a c =+，又最大角等于最小角的2倍，运用正弦定理求出2cos a A c =，用余弦定理化简求出边长关系.【详解】 ABC 的三边边长a 、b 、c 成递增的等差数列，2b a c ∴=+，最大角为C ∠，最小角为A ∠， sin sin 2C A ∴=， 由正弦定理可得sin sin sin 22sin cos a c c c A C A A A===，化简可得2cos a A c =， 用余弦定理代入并化简可得：23220ab a ac bc -+-=，()()2220c a b a a b ---=，则()()20a b c a a b ⎡⎤--+=⎣⎦， a b ≠，则22c a ab =+，移项可得：()()c a c a ab -+=，()2b c a ab -=，消去b 并化简可得23a c =， 设4a k =，6c k =，则5b k =，则::4:5:6a b c =.故答案为：4:5:6.【点睛】 本题结合数列知识考查了运用正弦定理和余弦定理来解三角形，探究出三角形根据已知条件得到的三边数量关系，有一定的计算量，需要熟练运用各公式进行化简.16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B =，根据正弦定理：sin sin b c B C=，∴=c ， 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，故可联立方程：222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A =.. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B 的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可.【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA =12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故答案为3-【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．或【分析】由正弦定理求得得到或分类讨论即可求得的值【详解】由正弦定理可得所以因为所以或当时可得；当时此时综上可得或故答案为：或【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用其中解答中利用正弦定理求得的值得出的解析：【分析】由正弦定理，求得sin C =，得到60C ︒=或120C ︒=，分类讨论，即可求得a 的值. 【详解】 由正弦定理，可得sin sin b c B C =，所以sin 3sin 2c B C b ⋅===， 因为(0,180)C ∈，所以60C ︒=或120C ︒=，当60C ︒=时，90A ︒=，可得a =当120C ︒=时，30A ︒=，此时a b ==综上可得a =或a =故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得sin C 的值，得出C 的大小是解答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力.19．【分析】根据设根据大角对大边确定角C 是最大角再利用余弦定理求解【详解】因为所以设所以角C 是最大角因为所以则的最大角是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：23π 【分析】根据sin :sin :sin 3:5:7A B C =，设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，根据大角对大边，确定角C 是最大角，再利用余弦定理求解.【详解】因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =，所以设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，所以角C 是最大角2221cos 22a b c C ab +-==-， 因为()0,C π∈，所以23C π=， 则ABC 的最大角是23π. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】由于为三角形内角可得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为 解析：2π 【分析】 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A ．【详解】cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠，sin 1A ∴=，∴由于A 为三角形内角，可得2A π=． 故答案为：2π． 【点睛】 本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．三、解答题21．（1；（2；（3. 【分析】（1）确定B 锐角，求得cos B ，由余弦定理求得b ，再由正弦定理得sin A ； （2）在ABD △中由余弦定理求得中线AD ，（3）确定A 是锐角，求得cos A ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A ，然后由两角和的正弦公式求值．【详解】（1）在ABC 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得cos 45B =． 由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin 13a B Ab ==. 所以，b，sin A的值为13. （2）设BC 边的中点为D ，在ABD △中，cos 45B =由余弦定理得:AD ===， （3）由（1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2coscos 2sin 44426A A A +=+=． 【点睛】 关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算．22．（1）6π；（2） 【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积．【详解】 （1）由22sin cos 2c a B C ab--=得222sin 2cos ab B ab C c a -=-， 由余弦定理得222222sin ab B c a b c a +--=-，所以2sin a B b =，由正弦定理得2sin sin sin A B B =，B 是三角形内角，sin 0B ≠， 所以1sin 2A =，又A 为锐角，所以6A π=．（2）由（1）2222232cos 2cos 166a b c bc A c c c π=+-=+-⋅⋅2716c =，a =，所以11sin 22ABC S bc A a ==⨯△2111222⨯=⨯c =4b c == 111sin 222ABC S bc A ===△ 【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．23．（1）6B π=；（2）BD = 【分析】（1）有已知条件，结合正弦定理边角关系、辅助角公式得sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据三角形内角的性质，即可求角B ．（2）由题设，应用正弦定理得1sin2 AD BDθ⋅=，结合三角形面积公式有sinADθ=BD的长度．【详解】（1）由2b=sinB b B=-，∴sin2B B=，即1sin122B B+=，得sin13Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()0,Bπ∈，∴4,333Bπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可知32Bππ+=，解得6Bπ=．（2）设BADθ∠=，由AD是BAC∠的平分线，有CADθ∠=，在△ABD中，由正弦定理得sin sin6BD ADπθ=，所以1sin2AD BDθ⋅=．又△ACD1sin sin2b AD ADθθ⋅==∴12BDBD=【点睛】关键点点睛：（1）综合应用正弦定理边角互化，辅助角公式，三角形内角的性质求角；（2）应用正弦定理及三角形面积公式求边长.24．（1）2Cπ=或3Cπ=；（2或1．【分析】（1）利用二倍角余弦公式可得22cos cosC C-=-，从而可得cos0C=或1cos2C=，即求.（2）由（1）知3Cπ=或2Cπ=，当3Cπ=时，利用正弦定理求出,a b，再根据三角形的面积公式即可求解；当2Cπ=时，根据直角三角形即可求解.【详解】（1）由221sin cos22A BC+-=，得222sin2cos12A BC+-=，化简得222cos12sin2A BC+-=-，即()22cos cosC A B-=+，即22cos cosC C-=-，即()cos2cos10C C-=，解得cos0C=或2cos10C-=．即cos 0C =或1cos 2C =． 又0C π<<，所以2C π=或3C π=． （2）由（1）得3C π=或2C π=，当3C π=时，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得，sin sin c a A C =⋅=， 2sinsin 34c b B C ππ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22sin cos cos sin3434ππππ⎫=-⎪⎭12⎛⎫=--= ⎪⎝⎭⎦，故113sin 223323ABC S ab C +==⨯=△；当2C π=时，由2c =，4A π=，得4B π=，a b ==因此11122ABC S ab ===△．综上，ABC 或1．25．（1）3B π=；（2）2+.【分析】（1cos sin B b A =，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求B ；（2）由三角形面积公式求出a 、c ，再根据余弦定理求b ，即可求ABC 的周长．【详解】（1）由cos sin )sin cos B b C b B C -=，得cos cos sin sin cos B b B C b B C -=，∴cos sin cos cos sin B b B C b B C =+cos sin()B b B C =+， ∴cos sin B b A =．cos sin sin A B B A =，又sin 0A ≠， ∴sin B B =，即tan B 0B π<<，∴3B π=．（2）由2,c a ABC =11sin 222ABC S ac B a a ==⨯⨯=解得a =2c a ==． 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得22212433332b ⎛⎛=+-⨯= ⎝⎭⎝⎭，解得2b =．∴ABC 的周长为22a b c ++=+=+ 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换及正弦定理，将已知条件化简为一个内角的函数值，根据函数值确定角的大小.（2）综合应用正余弦定理求三角形的边，进而求其周长.26．（1）1；（2）2．【分析】（1）由题意得sin sin 2sin m n A a B A =+=，即1sin sin a A B=，由正弦定理有：sin sin a b A B=，联立即可得解b 的值． （2）由平行条件得sin sin a A B =，由1cos 2C a =，则可得1cos cos 2A B a =，联立即可得解．【详解】解：（1）由题意得：sin sin 2sin m n A a B A =+=， 即得1sin sin a A B=， 在三角形中由正弦定理有：sin sin a b A B=， 由以上两式可知：1b =． （2）由平行条件得sin sin a A B =，1cos cos()sin sin cos cos 2C A B A B A B a =-+=-=， 则可得到：1cos cos 2A B a =， ∴sin sin tan tan 2cos cos A B A B A B ==．。
(好题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c ，已知3b =，22cos c a b A -=，则a c +的最大值为（ ）A ．3B ．23C ．32D ．22．在△ABC 中，若2223a c b ab -+=，则C ＝( )． A ．45°B ．30°C ．60°D ．120°3．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2a B c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 5．如图所示，在DEF 中，M 在线段DF 上，3DE =，2DM EM ==，3sin 5F =，则边EF 的长为（ ）A ．4916 B ．15716C ．154D 576．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是 A ．518B ．34C ．32D ．787．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知3a =cos sin b A B =，则A =（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 8．已知锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B A A C -=⋅，3c =，则a 的取值范围是（ ）A ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()1,3D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭9．在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，3ABCS =，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．263B ．239C ．83D ．2310．在ABC 中，tan sin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( ) A ．(2,22⎤⎦ B ．(22,4⎤⎦C ．(4,222⎤+⎦D ．(222,6⎤+⎦11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．ππ(,)43D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15，山脚A 处的俯角为45，已知60BAC ∠=，则山的高度BC 为（ ）A ．700mB ．640mC ．600mD ．560m二、填空题13．在ABC 中，2a =，3b =，1cos 3C =，则ABC 的外接圆半径为___________. 14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=，15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠=，则A 、B 两点的距离为______m .15．在ABC 中，6B π=，D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD 的面积为15，则BC =_____________.16．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S ，若,,B A C 成等差数列，3cos cos 3S a B b A =+，3c =，则a =__________. 17．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +c ＝2b ，3sin B ＝5sin A ，则C ＝_____．18．在相距3千米的A ，B 两个观察点观察目标点C ，其中观察点B 在观察点A 的正东方向，在观察点A 处观察，目标点C 在北偏东15︒方向上，在观察点B 处观察，目标点C 在西北方向上，则A ，C 两点之间的距离是______千米．19．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()231a b b a +=，1c =3a b -的取值范围是______.20．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和132c b =，则tan B =______ 三、解答题21．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 的面积43ABCS=a 的取值范围.22．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C +c cos A（1）求角B 的大小；（2）若线段BC 上存在一点D ，使得AD ＝2，且AC 6=，CD 3=-1，求S △ABC .23．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．若272,cos 7b c C -==，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求,b c 的值；（2）求角A 的值及ABC 的面积． 条件①：7cos cos 14a B b A ac +=；条件②：72cos 27b C ac =-． 24．如图所示，某镇有一块空地OAB ，其中3km,60,90OA OAM AOB =∠=∠=.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN△地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网.设AOM θ∠=.（1）当3km 2AM =时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；（2）若=15θ，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？25．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin a S A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B π=;（2）B C =.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．已知半圆O 的直径MN 为2，A 为直径延长线上一点，且2OA =.B 为半圆周上任意一点，以AB 为边，作等边ABC ，角AOB 等于何值时，四边形OACB 的面积最大?最大面积为多少?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由正弦定理化边角，利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得B 角，然后用余弦定理得2()33a c ac +-=，再利用基本不等式变形后解不等式得a c +的最大值．【详解】因为22cos c a b A -=，所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos C A B A -=，因为A B C π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=，化简得(2cos 1)sin 0B A -=，因为sin 0A ≠，所以2cos 10B -=，解得1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，因为b =222232cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2()33a c ac +-=，所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+，当且仅当a c =时取等号，所以a c +≤a c +的最大值为故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查主要正弦定理、余弦定理，在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角，然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式，两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论．2．B解析：B 【分析】根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出C 角．【详解】∵222a c b -+=，∴2222a b c cosC ab +-==又∵C 为三角形内角 ∴30C =︒. 故选B ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题．3．D解析：D 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =． ∵212cos sin sin (2cos )sin222A AB C A --=+=，易知2cos 0A -≠，∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用余弦定理求得cos EMD ∠，由此求得cos EMF ∠，进而求得sin EMF ∠，利用正弦定理求得EF . 【详解】在三角形DEM 中，由余弦定理得2222231cos 2228EMD +-∠==-⨯⨯，所以1cos 8EMF ∠=，由于0EMF π<∠<，所以sin EMF ∠==. 在三角形EFM中，由正弦定理得283sin sin 45EF EMEF EMF F=⇒==∠. 故选：D 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.6．D解析：D 【解析】设顶角为C ，∵l=5c ， ∴a=b=2c ，由余弦定理得：222222447cos 22228a b c c c c C ab c c +-+-===⨯⨯． 故答案为D.7．D解析：D 【分析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =即1sin cos A A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得312cos a B=+，结合三角形为锐角三角形可得a 的取值范围. 【详解】∵22sin sin sin sin B A A C -=⋅， ∴由正弦定理可得22b a ac -=，∵由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2222cos a c ac B a ac +-=+， 又3c =，∴可得312cos a B=+，∵锐角ABC 中，若B 是最大角，则B 必须大于 3π，所以,3B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以1cos 02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由三角形的面积公式可得，4c =，再由余弦定理可得a =，最后由正弦定理可得结果.11c sin6042︒=⋅⋅⋅=∴=ABCSc由余弦定理可得：22212cos 1612413,2=+-=+-⨯⨯=∴=a b c bc A a由正弦定理可得：2sin sin sin 2sin sin ++=====++a b c a b c sinA B C A B C 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题目. 10．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>， 综上可得：ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【分析】由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即可求出答案.由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-， 由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-， 又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+， 所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以C B C =-，即2B C =.在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.故选：D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】可知ADM ∆为等腰直角三角形，可计算出AM 的长度，在ACM ∆中，利用正弦定理求出AC 的长度，然后在ABC ∆中，利用锐角三角函数求出BC ，即可得出答案.【详解】根据题意，可得在Rt ADM ∆中，45MAD ∠=，400DM =，所以，sin 45DMAM ==因为在ACM ∆中，451560AMC ∠=+=，180456075,AMC ∠=--=180756045ACM ∠=--=，由正弦定理，得sin sin AM AMCAC ACM∠===∠在Rt ABC∆中，()sin 600BC AC BAC m =∠==，故选C. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求出并求出再利用正弦定理可求得的外接圆半径【详解】由余弦定理可得则为锐角所以因此的外接圆半径为故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用解析：8【分析】利用余弦定理求出c，并求出sin C，再利用正弦定理可求得ABC的外接圆半径.【详解】由余弦定理可得3c===，1cos3C =，则C为锐角，所以，sin3C==，因此，ABC的外接圆半径为2sin8crC===.故答案为：8.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】在中利用正弦定理计算出分析出为等腰三角形可求得然后在中利用余弦定理可求得【详解】在中在中由正弦定理可得在中由余弦定理可得因此故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边解析：【分析】在BCD△中，利用正弦定理计算出BD，分析出ACD△为等腰三角形，可求得AD，然后在ABD △中，利用余弦定理可求得AB . 【详解】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=，15DCA ∠=，15DAC ∴∠=，()45AD CD m ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=，30CBD ∴∠=，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，)45212BD m ⨯∴==，在ABD △中，()45AD m =，)BD m =，135ADB ∠=， 由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，)AB m =.故答案为： 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.15．【分析】先由面积公式求出即得再由余弦定理求出进而利用正弦定理求出再在中利用正弦定理即可求出【详解】在中解得是锐角三角形则由余弦定理可得即则在中由正弦定理可得即则则在中即解得故答案为：【点睛】本题考查【分析】先由面积公式求出sin ACD ∠，即得cos ACD ∠，再由余弦定理求出AD ，进而利用正弦定理求出sin A ，再在ABC 中利用正弦定理即可求出. 【详解】 在ACD △中，11sin 42sin 22ACDS AC CD ACD ACD =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠=解得sin ACD ∠=ACD △是锐角三角形，1cos 4ACD ∴∠=,则由余弦定理可得222142242164AD =+-⨯⨯⨯=，即4AD =， 则在ACD △中，由正弦定理可得sin sin AD CDACD A=∠2sin A =，则sin A =则在ABC 中，sin sin BC ACA B=412=，解得BC =.【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先在ACD △中，利用面积公式和正余弦定理解出sin A .16．【分析】由三角形内角和为及内角的等差关系可得再由面积公式和正弦定理可得再由余弦定理可得解【详解】由成等差数列可知即解得由可知根据正弦定理知即因此由余弦定理得故故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形【分析】由三角形内角和为π及内角的等差关系可得3A π=，再由面积公式和正弦定理可得4b =，再由余弦定理可得解.【详解】由,,B A C 成等差数列可知2A B C =+，即3A π=，解得3A π=.cos cos S a B b A =+1sin cos cos 2ab C a B b A =+，1sin sin sin cos 2A b C AB ⋅=sin cos sin B AC +=，即sin b A =4b =，由余弦定理得22212cos 169243=132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯，故a =.【点睛】本题主要考查了解三角形的相关知识，涉及等差中项的应用，属于基础题.17．【分析】由正余弦定理可得的余弦值进而求出的值【详解】因为则由正弦定理可得所以又所以由余弦定理可得又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用考查了运算能力属于中档题 解析：23π 【分析】由正余弦定理可得C 的余弦值，进而求出C 的值. 【详解】因为3sin 5sin B A =，则由正弦定理可得35b a =，所以35a b =， 又2a c b +=，所以725c b a b =-=，由余弦定理可得22222294912525cos 32225b b b a bc C ab b b+-+-===-⋅⋅， 又因为(0,)C π∈， 所以23C π=， 故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题．18．【分析】在中则再由正弦定理列出方程即可求解【详解】由题设可知在中所以由正弦定理得即解得故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用其中解答中熟练应用正弦定理列出方程是解答的关键着重考查运算与求【分析】在ABC 中，75CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，则60ACB ∠=︒，再由正弦定理列出方程，即可求解. 【详解】由题设可知，在ABC 中，75CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，所以60ACB ∠=︒， 由正弦定理得sin sin AB AC ACB CBA =∠∠，即3sin 60sin 45AC=，解得AC =．. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中熟练应用正弦定理，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.19．【分析】根据结合余弦定理可得再根据正弦定理将化简成关于的三角函数表达式再根据锐角求得的取值范围结合三角函数的性质求解值域即可【详解】因为故所以又锐角故由正弦定理所以又锐角故解得即故故答案为：【点睛】解析：(【分析】根据()21a b b +=，结合余弦定理可得6C π=b -化简成关于A 的三角函数表达式，再根据锐角ABC 求得A 的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可. 【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b c C ab +-===.又锐角ABC ，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos 2cos 2sin 226A A A A A A π⎫⎫⎛⎫=-=-=-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又锐角ABC ，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，即663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：( 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题.20．【分析】先利用余弦定理求得再由正弦定理结合已知条件求得的关系式求得即可【详解】由得又因为得由正弦定理得又因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用属于中档题 解析：12【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再由正弦定理()sin sin sin sin A B c C b B B+==结合已知条件，求得tan B 的关系式，求得tan B 即可.【详解】由222b c bc a +-=得2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0A π∈，得3A π=.由正弦定理，得()sin sin sin sin A B c C b B B +==sin cos cos sin 1sin 2tan 2A B A B B B +==+又因为12c b =+，所以1=2tan 2B +12+1tan 2B =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.三、解答题21．（1）π3；（2）[)4,+∞. 【分析】（1）由条件和正弦定理化简得到2cos sin sin 0A C C -=，求得1cos 2A =，即可求解； （2）由（1）和三角形的面积公式，求得16bc =，结合余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为22cos b c a C -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=， 又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=， 所以2cos sin sin 0A C C -=，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以，π3A =. （2）由（1）知π3A =，所以11πsin sin 223ABC S bc A bc ====△16bc =，由余弦定理得22222π2cos 2cos3a b c bc A b c bc =+-=+- 22216b c bc bc bc bc =+-≥-==，当且仅当4b c ==时取等号，所以216a ≥， 因为0a >，所以a 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.22．（1）3π；（2）32+. 【分析】（1）由2b cos B ＝a cos C +c cos A ，利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sin B cos B ＝sin （A +C ），再根据诱导公式化简可得cos B 12=，结合B ∈（0，π）可得角B 的大小. （2）由余弦定理求得cos C 的值，可得C 的值，利用三角形内角和公式求得A 的值，再利用正弦定理求得AB 的值，从而求得S △ABC 12=⋅AB ⋅AC ⋅sin A 的值. 【详解】（1）∵2b cos B ＝a cos C +c cos A ，∴根据正弦定理，可得2sin B cos B ＝sin A cos C +sin C cos A ， 即2sin B cos B ＝sin （A +C ）.又∵△ABC 中，sin （A +C ）＝sin （180°﹣B ）＝sin B ＞0 ∴2sin B cos B ＝sin B ，两边约去sin B 得2cos B ＝1，即cos B 12=， ∵B ∈（0，π）， ∴B 3π=.（2）∵在△ACD 中，AD ＝2，且AC =CD =1，∴由余弦定理可得：cos C 222==， ∴C 4π=，∴A ＝π﹣B ﹣C 512π=，由sin sin AC AB B C=，可得sin sin 34ABππ=，∴AB ＝2， ∴S △ABC 12= ⋅AB ⋅AC ⋅sin A 12= ⋅2⋅⋅sin （46ππ+）=⋅（sin4πcos 6π+cos 4πsin 6π）=⋅4+）= 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.23．（1）6,4b c ==； （2）3A π=，S =【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得a =2b c -=，即可求解； 选用条件②：由正弦定理求得cos B =，得出sin 14B =，再由cos C =，求得得sin 7C =，结合正弦定理，即可求解； （2）由余弦定理求得A 的值，结合面积公式，即可求解． 【详解】（1）选用条件①：因为cos cos 14a Bb A ac +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C +=，可得sin sin C C =， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得a =又由cos C =，由余弦定理得2222a b c ab +-=， 将2b c -=代入上式，解得6,4b c ==． 选用条件②：因为2cos 27b C a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin 7B C A C =-2sin()7B C C =+-2(sin cos cos sin )B C B C C =+即2cos sin sin 07B C C -=， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得cos B =，则sin B =，又由cos C =，可得221sin 1cos C C由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 3sin 2b Bc C ==， 又由2b c -=，可得6,4b c ==．（2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=．所以ABC的面积为11sin 64222S bc A ==⨯⨯⨯= 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.24．（1）9km ；（23）15θ=︒时，OMN 的面积最小，最小面积为(2272km 4.【分析】（1）利用余弦定理求得 OM ，结合勾股定理求得θ，判断出OAN 是等边三角形，由此求得防护网的总长度. （2）结合正弦定理求得MNAM，由此求得人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的倍数.（3）求得,OM ON ，由此求得三角形OMN 面积的表达式，结合三角函数最值的求法，求得当15θ=︒时，OMN 的面积最小为(2272km 4.【详解】（1）在三角形OAM中，由余弦定理得2OM ==，所以222279944OM AM OA +=+==，所以三角形OAM 是直角三角形，所以90,30OMA θ∠=︒=︒.由于30MON ∠=，所以60AON A ∠=∠=︒，所以OAN 是等边三角形，周长为339⨯=，也即防护网的总长度为9km . （2）15θ=︒时，在三角形OAM 中，由正弦定理得sin 60sin 60sin15sin15OM AM AM OM ⋅︒=⇒=︒︒︒，在三角形OMN 中，180********ONA ∠=︒-︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin 30sin 60sin 30sin 30sin 75sin 75sin 75sin15MN OM OM AM MN ⋅︒⋅︒⋅︒=⇒==︒︒︒︒︒.所以sin 60sin 30sin 60sin 30sin 60sin 302sin 601sin 75sin15cos15sin15sin 302MN AM ︒⋅︒︒⋅︒︒⋅︒====︒=︒︒︒︒︒以O 为顶点时，OMN 和OAM △的高相同，所以3OMN OMNOAMOAMS MNS SSAM===，即人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △.（3）在三角形OAN 中，180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-，由正弦定理得()333sin 60sin 60sin 90cos cos 2cos ON ON θθθθ⋅︒==⇒==︒︒-.在三角形OAM 中，18060OMA θ∠=︒-︒-，由正弦定理得()()()333sin 60sin 60sin 18060sin 60sin 60OM OM θθθ⋅︒==⇒==︒︒-︒-+︒+︒.所以()11271sin 302416sin 60cos OMNSOM ON θθ=⋅⋅⋅︒==⋅+︒⋅ ()27116sin cos 60cos sin 60cos θθθ=⋅︒+︒⋅2727161622422==2727168444222==2727842==.由于()0,60AOM θ∠=∈︒︒，所以当26090,15θθ+︒=︒=︒时，OMN S △最小值为(22722727km 444-==. 【点睛】求面积最值的实际问题，可转化为三角函数求最值来求解.25．2+【分析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长.【详解】由三角形的面积公式可知，1sin 2S ab C =， 21sin 28sin a ab C A∴=， 整理得4sin sin ,b A C a =由正弦定理得:4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠，4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=， 若选择条件（1）由6B π=：得1sin 2B =，则1sin 2C =， 又,,A B C 为三角形的内角，6B C π∴==，2,3A π∴= 由正弦定理得sin sin sin a b c A B C== 代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2若选择条件（2）B C =，则由B C =，得sin sin ,B C =又1sin sin 4B C =，1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角，,6B C π∴==23A π∴=. 由正弦定理得:sin sin sin a b c A B C ==， 代入1,bc ==解得a =∴三角形的周长为2【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式和正弦定理求出三角形的另外两边是解题关键.26．150︒2+ 【分析】 2OA =，B 为半圆周上任意一点，那么OAB 是直角三角形，254cos AB α=-，三角形sin OAB S α=，三角形2ABC S AB =，可得四边形OACB 面积，利用三角函数的有界性，可求得面积的最大值.【详解】ABC 2AB ，半径1,2OB OA == 过B 作BE 垂直OA ，则sin sin BE OB αα=⋅=由余弦定理：2222cos 54cos AB OB OA OB OA αα=+-⋅⋅=-设所求的四边形面积S ，则)154cos sin 2AOB ABC S SS OA BE ααα=+=⋅⋅+-=()12sin 2sin 602ααα⎛⎫==-︒ ⎪ ⎪⎝⎭，()sin 601α∴-︒=时，max 2S =+，150α⇒=︒.。
宁夏大学附属中学三角函数与解三角形多选题试题含答案
宁夏大学附属中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ） A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点 B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+，所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ） A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍 B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4,5,6a b c ===，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin 8C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.4．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABC的外接圆半径为3D ．ABC 的中线CD的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin 2C =，由正弦定理得2sin 3c R C ===，3R =，C 错误；D 项：由余弦定理得222cos2a c b B ac +-===在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得2cosB ==，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.5．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-，故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此函数()f x 的图像在y 轴上的截距为3，故B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.7．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin ϕ=sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<，此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.二、数列多选题9．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列” C ．若(),2n r a n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误.【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n k n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦， 当n 是奇数时，()211k n k n a a k +=---+，则存在1k 时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211k n k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<.又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.10．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ） A ．(1)1()2n nF n -+= B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦【答案】BC【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭11515()n F F n n -+=+，令1nn n F b -=⎝⎭，则11n n b ++，所以1n n b b +=-，所以n b ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭以510-32-为公比的等比数列，所以1n n b -+， 所以()1115n n n n F n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件；故选：BC【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．。