高三数学培优试题——综合(2)

高三数学培优试题——综合（2）
1．已知两圆都与坐标轴相切，且都经过点(4,1)P ，则两圆的圆心距为 ．
2．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是2121,,,B B A A ，焦点为21,F F ，延长12B F 与22B A 交于P 点，若
21PA B ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 （ ）
A
．0（ B
． C
． D
．
3．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]22
a b
，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()x a f x a t =+ (0,1)a a >≠是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ）
A ．(0,)+∞
B ．1(,)4
-∞ C ．1(0,)4
D ．1(0,]4
4．已知集合{1,2,3,,}(*)M n n =?N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m
=臀N ，且对任意的b M Î，存在
,(1)i j a a A i j
m 危＃，使得12i j b a a λλ=+（其中12,{1,0,1}λλ?）
，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底.给出下列命题：
①若集合{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =，则A 是M 的一个二元基底；
②若集合{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =，则A 是M 的一个二元基底； ③若集合A 是集合M 的一个m 元基底，则(1)m m n +?；
④若集合A 为集合{1,2,3,,19}M = 的一个m 元基底，则m 的最小可能值为5． 其中是真命题的为( )
A. ①③
B. ②④
C. ①③④
D. ②③④
5．设椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点与抛物线2C
：2x = 的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左右焦
点，离心率1
2
e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆1C 交于,M N 两点．
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）是否存在直线l ，使得 2OM ON ⋅=-
，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；
（3）若AB 是椭圆1C 经过原点O 的弦，且//MN AB ，求证：2
||||
AB MN 为定值．
6．已知函数d cx bx x x f +++=
23
3
1)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．
（1）求()f x ；
（2
）设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；
（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．
答案：
1．8 2．C 3．C 4．D
5．解：（1
）椭圆的顶点为
，即b =
1
2
c e a ==，解得2a =，
∴椭圆的标准方程为22
143
x y += （2）由题可知，直线l 与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)M x y ，22(,)N x y .
由22
143(1)
x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222
(34)84120k x k x k +-+-=， 2122834k x x k +=+，2122
41234k x x k -⋅=+， 21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++
=
22
2222222
4124128512(1)234343434k k k k k k k k k ----+-+==-++++
所以k =l
的方程为1)y x =-
或1)y x =- （3）设1122(,),(,)M x y N x y ,3344(,),(,)A x y B x y
由（2）可得： |MN
12|x x -=
22
12(1)
34k k
++． 由22
143x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
消去y ，并整理得：2
2
1234x k =+，
34|||AB x x =-=，∴22222
48(1)
||34412(1)||34k AB k k MN k ++==++为定值 6．解：（1）2()2f x x bx c '=++， )()2(x f x f '=-'，
∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．……2分 直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)，∴(3)0f =，且(3)4f '=，
即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-． 则3
21()33
f x x x x =
-
+-．……5分 （2）2
2
()21(1)f x x x x '=-+=-，22
,1,
()1, 1.
x x x g x x x x x x
⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩……7分 其图像如图所示．当2
14x x -=时，
x =
（ⅰ）当102
m <≤
时，()g x 最大值为2
m m -；
（ⅱ）当12m <≤时，()g x 最大值为14；
（ⅲ）当12
m >
时，()g x 最大值为2
m m -． （3）方法一：2
()ln(1)2ln 1h x x x =-=-，(1)2ln h x t x t +-=-，(22)2ln 21h x x +=+，
当[0,1]x ∈时，2121x x +=+，
∴不等式2ln 2ln 21x t x -<+恒成立等价于21x t x -<+且x t ≠恒成立，
由21x t x -<+恒成立，得131x t x --<<+恒成立，
当[0,1]x ∈时，31[1,4]x +∈，1[2,1]x --∈--，∴11t -<<，
又 当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12∈+=x x y t x y -=的图像过点A 时，1-=t 或1=t ， ∴要使不等式21x t x -<+对[0,1]x ∈恒成立，
必须11t -<<， 又 当函数)1(t x h -+有意义时，x t ≠，
∴当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，
因此，实数t 的取值范围是10t -<<．
方法三：2()ln(1)h x x =- ， ()h x 的定义域是{1}x x ≠，
∴要使(1)h x t +-恒有意义，必须t x ≠恒成立，
[0,1]x ∈，[0,1]t ∴∉，即0t <或1t >． ………………①
由(1)(22)h x t h x +-<+得22()(21)x t x -<+， 即223(42)10x t x t +++->对[0,1]x ∈恒成立， 令22()3(42)1x x t x t ϕ=+++-，()x ϕ的对称轴为23
t
x +=-
， 则有20,3(0)0t ϕ+⎧-<⎪
⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0t t t +⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩
或21,3
(1)0t ϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩ 解得11t -<<． ………………②
综合①、②，实数t 的取值范围是10t -<<．。