2018年杨浦区高三二模数学卷

2018年杨浦区高三二模数学卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．函数lg 1y x =-的零点是 ． 2．计算：=+∞→142limn nn ．3．若()13nx +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n = ． 4．掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．5．若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．6．若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ．7．若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的体积是 ． 8．若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．9．若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 ．10．若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 ． 11．在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =．若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．12．已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++ ，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为 ． 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13．已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为)(A4π)(B2π)(C 2π-)(D 3π-14．设B A 、是非空集合，定义：B A ⨯={|}x xA B x A B ∈⋃∉⋂且. 已知{|A x y ==， }{1>=x x B ，则A B ⨯等于 （ ）)(A [0,1](2,)+∞U ． )(B [0,1)(2,+∞U ． )(C ]1,0[． )(D ]2,0[． 15．已知222211220,0a b a b +≠+≠,则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=”平行的 （ ）)(A 充分非必要条件)(B 必要非充分条件)(C 充要条件)(D 既非充分也非必要条件ABCD A 1B 1C 1D 116．已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为 （ ）1()arccos()arccos()()33A B C D三、解答题 17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y (单位：元）与营运天数()*x x N ∈满足 21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？ 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论. 19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2≥n ，n *∈N ， λ，μ∈R .(1) 若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和； (2) 若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分） 已知椭圆222:9(0)x y m m Ω+=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅ 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数tx g x+=21)(，其中常数0≠t ，证明：)(x g 是ψ函数； （3）若)(x h 是定义在R 上的ψ函数，且函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断)(x h 是否为周期函数？并证明你的结论.杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷答案 2018.4.10一、填空题1. 10x = ；2．21 ； 3．4 ； 4. 12 ； 5．3 ； 6. 2； 7． ；8．4； 9． 2424.77-或 ；10．4 ； 11． ； 12. 34二、选择题13． C ； 14 . A ； 15． B ; 16. D ;三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 【解】（1） 要使营运累计收入高于800元，令80080060212>-+-x x ， …………………………………2分 解得8040<<x . …………………………………5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .…………………………………7分 （2）6080021+--=xx x y …………………………………9分 20604002=+-≤ 当且仅当18002x x=时等号成立，解得400x = …………………………12分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A （1，0，0），B(1,1,0)，C(0,1,0),D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）（1）证明：1(1,0,1)DA = ，1(1,,1)ED m =--………2分 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯= ………4分 所以DA 1⊥ED 1. ……………6分 另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥. ……………2分又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分 所以11DA ED ⊥……………………………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分设平面CED 1的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x ，所以⎩⎨⎧-==x t y xz )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，可得||||45sin 11n DA =︒ ……11分可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ，解得21=t ………13分由于AB=1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45时，点E 在线段AB 中点处. …14分 19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）【解】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+.两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S . 即1144-+-=n n n a a a………2分所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，………3分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分 因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列.nn b 2=，前n 项和为221-+n …7分（2）当n=2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+.又32λμ+= 可以解得1=λ，1=μ………9分所以12-+=n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a n a n a 即112221-++-=-n n n a a n a n . 猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明：①当n=1或2时，1121+==a ，1232+==a ，猜想成立； ②假设当k n ≤（2,*≥∈k N k ）时，1k a k =+ 成立则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立. 由①、②可知，对任意正整数n ，1+=n a n .………13分 所以11=-+n n a a 为常数，所以数列{}n a 是等差数列.………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ． ………9分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分 相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+- ，因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分 20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分） 【解】（1）椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K所以2212()(,)8KF KF x y x y x y ⋅=-⋅--=+-由椭圆性质可知11x -≤≤，所以12[7,1]KF KF ⋅∈-……………5分（2）设直线b kx y l +=:（0,0≠≠k b ），),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ，所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根，化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ，所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k bb k b k b kx y . ……………8分 kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于 -9为定值. …………10分 （3）因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:（0,0≠≠k m ），即m mk kx y +-=3. 由（2）的结论可知x k y OM 9:-=，代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分由（2）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k kmm k k mk m M ， ……………14分 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以p x x =02，得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ，解得74±=k 所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】 （1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a xa xb tt-++=++恒成立.所以22(2)(2)a xa x a x a x t tb t t +-+-+++=++， ……5分化简得，22(1)(22)(2)2a xa x a btb t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=.因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =, 即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2xg x t=+是ψ函数. …………10分 （3）函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以)()(x m h x m h +=- （1）， ……………12分 又因为b x a h x a h =++-)()( （2）， 所以当a m ≠时，)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+由（1 ） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-= 由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+ （取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44-. ……………15分 当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-，所以2)(bx a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数，2)()1(bx h x h ==+，)(x h 是一个周期函数. ……………17分 综上，函数)(x h 为周期函数。