同济大学高数上习题答案

同济大学高数上习题答案

同济大学高数上习题答案

高等数学作为理工科学生必修的一门课程，对于大多数学生来说是一座难以逾越的高山。而同济大学的高数上课程更是以其难度和复杂性而著称。为了帮助同学们更好地理解和掌握高数上的知识，我整理了一些习题答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

第一章：函数与极限

1. 设函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(-1) 的值。

答案：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 6。2. 求函数 f(x) = x^3 - 2x + 1 的极限lim(x→2) f(x)。

答案：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2^3 - 2(2) + 1 = 5。

3. 求函数f(x) = √(x + 1) 的定义域。

答案：由于函数中有根号，要使函数有意义，需要满足x + 1 ≥ 0，即x ≥ -1。所以定义域为 [-1, +∞)。

第二章：导数与微分

1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x - 3。

2. 求函数 f(x) = e^x 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = e^x。

3. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x / (x^2 + 1)。

第三章：微分中值定理与泰勒展开

1. 利用微分中值定理证明函数 f(x) = x^3 - x 在区间 [0, 1] 上存在一个点 c，使

得 f'(c) = 2c - 1。

答案：由微分中值定理可知，存在一个点 c 属于 (0, 1)，使得 f'(c) = (f(1) - f(0)) / (1 - 0) = 2c - 1。

2. 求函数 f(x) = sin(x) 在x = π/4 处的泰勒展开式。

答案：根据泰勒展开公式，将函数 f(x) = sin(x) 在x = π/4 处展开，得到 f(x) = sin(π/4) + cos(π/4)(x - π/4) + O((x - π/4)^2)。

3. 求函数 f(x) = ln(x) 在 x = 1 处的泰勒展开式。

答案：根据泰勒展开公式，将函数 f(x) = ln(x) 在 x = 1 处展开，得到 f(x) =

ln(1) + (x - 1)/1 + O((x - 1)^2)。

第四章：不定积分与定积分

1. 求函数 f(x) = 2x 的不定积分。

答案：对函数 f(x) 进行积分，得到 F(x) = x^2 + C，其中 C 为常数。

2. 求函数 f(x) = 3x^2 的定积分，区间为 [1, 2]。

答案：对函数 f(x) 进行定积分，得到∫[1, 2] f(x) dx = [x^3]1^2 = 8 - 1 = 7。

3. 求函数 f(x) = sin(x) 的不定积分。

答案：对函数 f(x) 进行积分，得到 F(x) = -cos(x) + C，其中 C 为常数。

以上仅是一些高数上的习题答案，希望能给同济大学的学生们提供一些参考和

帮助。高数是一门需要理解和练习的学科，通过不断的学习和思考，相信大家

一定能够掌握高数的知识，取得好成绩。加油！