第十章(第四部分)曲面积分
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
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81
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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67
实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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51
10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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21
10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
高等数学课件D104对面积曲面积分
高等数学课件
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例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
h o
Dxy a y x
d S z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
2019/11/24
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例3. 设 : x2 y2 z2 a2
内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算: 设 : z z(x, y), (x, y) Dxy , 则
f (x, y, z(x, y) )
Dxy
1
z
2 x
z
2 y
dxd y
(曲面的其他两种情况类似)
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式
z 1 x o Dx y y
计算结果如何 ?
2019/11/24
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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
《曲面积分》课件
随着计算机技术的进步，数值计算在曲面积分中的应用将更加广泛和深入。数值计算方法的发展将进一 步提高曲面积分的计算精度和效率，为解决实际问题提供更加可靠的数学模型和解决方案。
曲面的定义
曲面是三维空间中一种几何图形，它由多个点按照一定规律连接而成。 根据连接方式的差异，曲面可以分为规则曲面和不规则曲面。
03
积分的定义
积分是数学中用于描述变化和累积的数学工具，它可以通过对函数进行
极限运算来得到。在曲面积分中，需要将积分应用到曲面上。
曲面积分的几何意义
曲面积分的几何意义
曲面积分在几何上可以理解为对曲面上的曲线进 行积分。具体来说，曲面积分可以用来计算曲面 上的曲线长度、曲面面积以及曲面围成的体积等 几何量。
在解决工程问题时，常常会遇到各种复杂的几何形状和物理现象，例如机械零件的应力分 布、热传导、流体动力学等。在这些问题的求解过程中，常常需要用到曲面积分来得到精 确的结果。
数值分析
在数值分析中，常常需要用到各种数值方法来求解复杂的数学问题，例如有限元方法、有 限差分方法等。在这些方法的实现过程中，常常需要用到曲面积分来计算各种数值结果。
详细描述
在流体动力学中，曲面积分可以用于计算流 体流过曲面的流量，通过计算流体的速度矢 量在曲面上的积分，可以得到流体的流量。 此外，曲面积分还可以用于计算流体对曲面 上物体的作用力，包括压强和力矩等。这些 物理量对于流体动力学的研究和应用具有重 要意义。
在电磁学中的应用
总结词
电磁学中，曲面积分可以用于计算电场和磁 场在曲面上的分布以及能量传输等物理量。
高等数学 第十章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分
M=
∫∫ f ( x, y, z )dS
∑
(4) 当积分曲面是封闭曲面时,常记
∫∫ f ( x, y, z )dS
∑
三、对面积的曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三 种： 1. 若曲面 Σ : z = z ( x , y ) ( x , y ) ∈ D
xy
z x , z y 在D xy 上连续 .
利用极坐标
π
2 1
x = r cos t , y = r sin t ,
= 4 ∫0 dt ∫0 r 2 cos t sin t ⋅ r 2 1 + 4r 2 rdr
= 2 ∫0 sin 2tdt ∫0 r 5 1 + 4r 2 dr
2
π
1
令 u = 1 + 4r
2
1 5 u−1 2 125 5 − 1 = ∫1 u( ) du = . 4 4 420
则
∫∫ f ( x , y , z )dS
Σ
=
D xy
∫∫
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
换元 换面积元素
换域
重积分的应用中推导面积元素如下:
dσ , (∆S ≈ ∆A) dS = dA = cosγ
由于Σ的法向量为
⎧ ∂z ∂z ⎫ n = ⎨− ,− ,1⎬, ⎩ ∂x ∂y ⎭
例3
计算 ∫∫ xdS , 其中 Σ 是圆柱面 x + y = 1,
2 2
平面 z = x + 2 及 z = 0 所围成的空间立体的表面 .
∑ ρ (ξ
i=0
i
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
大一高数课件第十章 10-4-1
x yz dS
= ∫∫ x yz d S
∑4 : z = 1 − x − y,
= 3∫
1 x dx 0
0 ≤ y ≤ 1
∫
1− x y(1 − x − y) dy 0
= 3
120
例3.
设 ∑ : x2 + y2 + z2 = a2
二、计算下列对面积的曲面积分: 计算下列对面积的曲面积分: 1 、 ∫∫ ( 2 xy − 2 x 2 − x + z )ds , 其中 ∑ 为平面
∑
2x + 2 y + z = 6在
第一卦限中的部分； 第一卦限中的部分； 2、 ∫∫ ( xy + yz + zx )ds ,其中 ∑ 为锥面 z =
Σ2
例2. 计算
其中∑ 其中∑ 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面. 坐标面所围成的四面体的表面
z
1
解: 设
分别表示∑ ∑1, ∑2, ∑3, ∑4 分别表示∑ 在平面 上的部分, 上的部分 则
o
1 x 1 y
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原式 =
∫∫Σ
Σ4
1
+∫∫
Σ2
+∫∫
Σ3
+∫∫
Σ4
(1) 若Σ可分为分片光滑的曲面 Σ 1及 Σ 2 , 则
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
Σ
1 2
( 2)
∫∫ dS = 曲面 ∑ 的面积
∑
3.物理意义： 3.物理意义： 物理意义
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第十章曲线积分与曲面积分(第四部分)曲面积分
Ⅰ、对面积的曲面积分（第一型曲面积分）
一、对面积的曲面积分的定义
1．定义
.
2．物理意义
表示面密度为
的曲面
的质量.
二、对面积的曲面积分的性质
1．线性性质：
2．可加性：
.
3．
的面积：
.
4．单调性：若在
上，
，则
.
三、对面积的曲面积分的计算方法
方法：化为二重积分计算（关键：确定二重积分的积分变量）（1）若
，
. 则
.
（2）若
，
. 则
.
（3）若
，
. 则
.
四、对面积的曲面积分典型例题
例1．计算曲面积分
，其中
为
在
与
之间的部分。
分析因为
：
，即
，从
中能确定
，或。
解令
：
；
：
. 则
（如图）.
（1）求
和
在
平面上的投影区域：
因
和
在
平面上的投影区域相同，设为
，则
：
，
.
（2）求微元
：在
和
上，
；
（3）转化为二重积分：
.
例2．计算曲面积分
，其中
为曲面
.
分析注意到积分曲面
为旋转抛物面
，它关于
面和
面对称，且被积函数
关于变量
和
均为偶函数，因此只要计算
在第一卦限部分，再4倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。
解设
在第一卦限的部分为
，则
在
面上的投影区域为
于是
（令
）
.
例3．计算曲面积分
，其中
为球面
.
分析由于积分曲面
为球面
，它关于三个坐标面具有轮换对称性，所以
，而
. 故本题利用轮换对称性和奇偶对称性计算比较简单。
解因
，由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为
，而由轮换对称性易知
，故
.
注从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意掌握以下几个要点：
（1）由于积分范围
是曲面，所以点
的坐标满足曲面
的方程
,计算中要善于利用曲面
的方程来化简被积函数；
（2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面
的对称性（包括轮换对称性）和被积函数
的奇偶性，可以利用此类特殊性来简化积分的计算；
（3）将对面积的曲面积分转化为二重积分计算，关键在于二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面
的方程
的特点所决定的，从以上的例子即可看出。
五、对面积的曲面积分的应用
1．几何应用求曲面的面积：
.
2．物理应用
质量
.
质心
，
，
.
转动惯量
，
，
.
例4．求面密度为
的均匀半球壳
对于
轴的转动惯量。
分析本题为曲面积分在物理中的应用问题，只需按公式将其转化为对面积的曲面积分进行计算即可。
解由题意
；
因
：
；在
坐标面上的投影区域为
；
. 所以
（令
）
Ⅱ、对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）
一、对坐标的曲面积分的概念
1．定义
.
2．物理意义
表示流体密度
速度场为
，单位时间内流过曲面
一侧的流量。
二、对坐标的曲面积分的性质
1．可加性
；
2．反号性
三、对坐标的曲面积分的计算方法
1．直接投影法（化为二重积分）
（1）设
，
. 则
.
上侧取“+”，下侧取“–”.
（2）设
，
. 则
.
前侧取“+”，后侧取“–”.
（3）设
，
. 则
.
右侧取“+”，左侧取“–”.
2．高斯（Gauss）公式计算法
.
或
.
这里
是
的外侧边界，
为曲面
上点
处的法向量的方向余弦.
3．转化为第一型曲面积分计算法
其中
为曲面
在点
处的法向量的方向余弦.
4. 斯托克斯公式：
或
.
其中，
为分段光滑的空间有向闭曲线，
是以
为边界的分片光滑的有向曲面，
的正向与
的侧符合右手规则，
在
（连同边界
）上具有一阶连续偏导数。
四、对坐标的曲面积分典型例题
例5．计算曲面积分
，其中
为下半球面
的上侧。
分析由于
，
，
定义在曲面
上，所以被积函数满足曲面方程
. 故应首先考虑用曲面方程化简被积函数，即
，然后再计算。
解先以
代入被积表达式中，得
.
（法一）直接计算
将
（或分片后）投影到相应坐标面上化为二重积分逐块计算。
其中
为
平面上的半圆
. 利用极坐标，得
因此，
.
（法二）高斯公式
补有向曲面
取下侧，则
构成封闭曲面，且方向为内侧。
由
所围成的空间闭区域为
：
（如图所示）.
应用高斯公式，得
.
又因
，
因此
.
例 6．计算曲面积分
，其中
是曲面
的外侧。
分析由于
，
，
，
有
，
，
，从而
，故可考虑用高斯公式。
但是三个偏导数在
点不连续，所以，需要补面去掉奇点。
解补有向曲面
取内侧，则
构成封闭曲面，且方向为外侧。
设由
所围成的空间闭区域为
.
应用高斯公式，得
．
（用高斯公式）
．
因此，
．
例7．计算
，其中
是平面
与柱面
的交线，从
轴正向看去，
为逆时针方向。
分析本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，若采用参数法转化为定积分计算比较困难。
现利用Stokes公式将曲线积分转化为曲面积分计算。
但要注意将曲面积分转化为二重积分时，曲面
的侧与曲线
的方向符合右手规则，从而正确决定二重积分的正负号。
解设
为平面
上
所围成部分的上侧，
为
在
坐标面上的投影区域，则
；由Stokes公式，得
.
例8．求曲线积分
，其中
是球面
与柱面
的交线
.
的方向规定为沿
的方向运动时，从
轴正向往下看，曲线
所围球面部分总在左边。
解记
所围的球面部分为
，按
的方向与右手规则，取
的法向量朝上，先利用曲线方程简化函数，然后利用Stokes公式，得
因为
关于
面对称，被积函数是
的偶函数，所以
. 记
在
面的投影区域为
，因此，
.
五、其它结论
1.
与
无关
，
为区域
内任意闭曲面
，
—二维单连通域。
2. 空间曲线积分与路径无关的条件
与路径无关
，
为区域
内任意闭曲线
，
—一维单连通域
，
—一维单连通域
.
.
注：二维单连通区域：
内任一闭曲面所围成的区域完全属于
. 如环面。
一维单连通区域：
内任一闭曲线总可以张一片完全属于
的曲面，如同心球面之间的区域。
3. 散度与旋度
设
，
均有一阶连续偏导数，
（1）散度
.
（2）旋度
.
例9．设
存在一阶连续导数，
，且
存在。
并设
为任意一张可定向的逐片光滑曲面片，它的边界为
，
的定向与
的定向按右手法则，设
的值仅与
及其走向有关，而与绷在
上的
无关。
求
.
解由已知得
，即
为一阶线性微分方程，利用求解公式得
，又因为
存在，所以，
，故
.
例10．设
有连续导数，且
，对任意简单闭曲线
，有
，求(1)
；
(2)
，其中
.
解 (1)由已知，该曲线积分与路径无关，所以，
得
，
由
的任意性，有
，即
，
，
，解方程得
，因此，
.
(2) 设点
，因为积分与路径无关，所以
.。