高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

焦点弦

AB 的几条性质

11(,)

A x y 22(,)

B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α,则2

2sin p

AB α

= 若AB 的倾斜角为α，则2

2cos p

AB α

=

2

124

p x x = 212y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===••切线 方程 00()

y y p x x =+00()

y y p x x =-+00()

x x p y y =+00()

x x p y y =-+

一． 直线与抛物线的位置关系ﻫ 直线,抛物线，

,消y 得：ﻫ（1）当k=０时，直线l 与抛物线的

对称轴平行，有一个交点; （2)当k ≠0时，

Δ＞0,直线l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ=0， 直线l 与抛物线相切,一个切点； Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)

二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :b kx y += 抛物线

，)0( p

① 联立方程法：

⎩⎨⎧=+=px

y b

kx y 22

⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +,还可进一步求出

o

x ()22,B x y

F

y ()11,A x y

b

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长,中点,对称，面积等问题时，常用此法,比如 1. 相交弦ＡＢ的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ∆+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ∆+=2

1 b. 中点),(00y x M ， 2

210x x x +=

， 22

10y y y +=

② 点差法:

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程,得

12

12px y = 2222px y =

将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-

2

121212y y p

x x y y +=

--

a. 在涉及斜率问题时,2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--， 即0

y p

k AB =

， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

(注意能用这个公式的条件:1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在,

且不等于零）

抛物线练习及答案

１、已知点P 在抛物线ｙ2

＝ ４ｘ上,那么点P 到点Q （２，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离

之和取得最小值时,点P 的坐标为 。（

4

1

,－１) 2、已知点P 是抛物线2

2y x =上的一个动点,则点P 到点(0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距

离之和的最小值为 。

2

３、直线3y x =-与抛物线2

4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ,则梯形APQB 的面积为 。48

4、设O 是坐标原点，F 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60,则OA 为 。

5、抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ,经过F x 轴上方的部分

相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF △的面积是 。

６、已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =,

则AFK ∆的面积为 。8

7、已知双曲线22

145

x y -=，则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。

8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线

22(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。

９、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点O ,且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 。2

8y x =

1０、抛物线2

y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 。

4

3

１１、已知抛物线y 2=４ｘ,过点Ｐ（4,0)的直线与抛物线相交于Ａ（ｘ1,y 1),B(x ２,y 2)两点，则y 12+y ２2

的最小值是 。３２

1２、若曲线2

y =｜x ｜＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点,则k 、b 分别应满足的条件

是 。k =0,-1＜b <１

13、已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+ｙ＝０对称的相异两点A 、B ，则｜ＡＢ|等于（ )Ｃ