分类计数原理和分步计数原理(一)
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类计数原理在概率论和组合数学中，分类计数原理是一种常用的计数方法。
它基于对样本空间的划分，将问题分解为若干个互不重叠的子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加，得到问题的总计数。
分类计数原理的基本思想是将问题分解为若干个子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加。
这种方法适用于问题的样本空间可以被划分为互不重叠的子集的情况。
分类计数原理的应用非常广泛，例如在概率问题中，可以将样本空间按照事件的性质进行划分，然后对每个子事件进行计数，从而得到事件的概率。
在组合数学中，可以将集合按照元素的性质进行划分，然后对每个子集进行计数，从而得到集合的大小。
二、分步计数原理分步计数原理是一种计数方法，它将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，并通过逐步求解这些简单问题，最终得到复杂问题的计数结果。
分步计数原理的基本思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后逐步求解这些简单问题。
这种方法适用于问题的计数过程可以划分为多个步骤，并且每个步骤的计数方法相对简单的情况。
分步计数原理的应用也非常广泛。
例如，在排列组合问题中，可以将问题分解为选择元素的步骤和排列元素的步骤，然后分别计算每个步骤的计数结果，最后将两个步骤的计数结果相乘，得到问题的总计数。
在概率问题中，可以将事件的发生过程分解为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的概率，最后将各个步骤的概率相乘，得到事件的总概率。
三、分类计数原理与分步计数原理的联系与区别分类计数原理和分步计数原理都是常用的计数方法，它们在解决计数问题时具有一定的相似性，但也存在一些区别。
分类计数原理侧重于将问题分解为若干个互不重叠的子问题，并对每个子问题进行计数。
而分步计数原理侧重于将问题分解为多个步骤，并逐步求解每个步骤的计数结果。
分类计数原理更加注重问题的样本空间的划分，将问题分解为互不重叠的子集，然后对每个子集进行计数。
第一讲 分类计数原理与分步计数原理
第一讲分类计数原理与分步计数原理一、知识点拨分类计数原理：如果完成一种事件的方法可心分类几类，每类各有若干种方法，那么把各类中的方法都加起来，就得出完成这件事共有多少种方法。
分步计数原理：完成一件事，如果要为几步，每步各有几种方法，那么要求完成这件事共有多少种方法，只要把每一步方法的种数都乘起来就可以了。
二、基础训练1、10个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场。
问：一共要比赛多少场？2、一天6节不同的课，这一天的课表有多少中排法？三、例题讲评例1、有红、黄、白、蓝颜色的积木各1块，从中任意取出三块排成一排，共有多少种不同排法？例2、小军和小华用四张卡片做游戏，卡片上分加写着1、2、4、8四个数。
每次任意取出2张、3张或4张，把卡片上的数加起来。
小军突然想到一相问题：我们这样相加，一共可以得到多少个不同的和呢？例3、4只小鸟入4个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子(不同的鸟，笼子也不同)，每个笼子只能进一只鸟。
若都不飞进自己的笼子里去，有多少种不同的飞法？例4、1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？例5、在3000-7000间有多少个没有重复数字的5的倍数？例6、如下图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为1、2、3、4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有例7*、恰有两位数字相同的三位数共有多少个？四、巩固练习1、用1、2、3、4、5这五个数字组成的不含重复数字的四位数有多少个？其中有多少个偶数？2、长沙至北京间往返的特快列车，中途要停7个站，那么这种列车使用的车票有多少种？至多有多少种不同的票价？3、有20个队参加篮球比赛，比赛先分三组，第一组7个队，第二组6个队，第三组7个队。
每个组先进行单循环赛，然后由每个小组的前两名共6个队，再进行单循球赛，决出冠亚军。
问：共需要比赛多少场？4、在4000-7000之间有多少个没有重复数字的5的倍数？5、将一个正方体割成4个小正方形，用5种颜色染色。
分类和分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法注：在分类计数原理中，n 类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有多少种？例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（合理分类）二、分步乘法计数原理：完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的办法……，做第n 步有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.N=n m m m ⨯⨯⨯ 21 注：分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有多少个？例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？（2）若将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？若3位旅客到4个旅馆住宿，又是多少种住宿方法？ 例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？变式训练：1、如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？2、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？三、计数原理综合应用作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 方法：（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.AB C D典型例题分析（先分类再分步.）【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?【例3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【例4】d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？【例5】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 654321四、课堂练习1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有______种不同的选法.3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.4.从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_______种不同的抽法.5.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有______种。
分类计数原理与分步计数原理(课例)
1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）东莞中学庞进发教学目标知识目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；能力目标：培养学生的归纳概括能力；情感目标：①了解学习本章的意义，激发学生的兴趣②引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式..教学重点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解教学难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的理解教学方法问题式、螺旋上升的教学方法教学过程引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知m种不同的方分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有法，在第2类方案中有=N+nm种不同的方法.（3）知识应用问题1.3：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？探究：你能说说这个问题的特征吗？（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N ⨯= 种不同的方法.（3）知识应用问题2.2：设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用问题3.1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.略解：①9234=++=N②24234=⨯⨯=N③26232434=⨯+⨯+⨯=N问题3.2 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？巩固练习1.填空：①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 .②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有条.2. 现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名.①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有种.4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有种不同的推选方法.课堂小结1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即"不重不漏".分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成.课外作业1．课本第14页的习题1.1A第1，2，3题2．编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题，并加以解答。
§10.1计数原理、排列与组合
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(2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,
Am 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 n 表示.
(3)排列数公式: Am n =n(n-1)…(n-m+1). (4)全排列:n个不同元素全部取出的排列,叫做n个不同元素的一个全排
不同的摆法. (2)不同的获奖情况可分为以下两类:
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2 C3 A2 ①有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 4
=36种获奖情况. ②有三个人各获得一张有奖奖券,有 =24种获奖情况. A3 4 故不同的获奖情况有36+24=60种.
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(1)解排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分 组,再对取出的元素或分好的组进行排列. (2)解决不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种 类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.无序分组要除以均匀组
1 3 = 3· (种).根据分步计数原理知,第二类中符合条件的五位数的个数为 · A1 3 A3 A3 3
54. 由分类计数原理知,符合条件的五位数共有24+54=78(个).
栏目索引
组合问题
典例2 (2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医 生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有 ( A.60种
上的五位数?
解析
本题可分两类:第一类:0在十位位置上,这时,5不在十位位置上,所
以符合条件的五位数的个数为 =24.第二类:0不在十位位置上,这时,由于 A4 4 5不能排在十位位置上,所以十位位置上只能排1,3,7之一,这一步有 =3种 A1 3 方法.又由于0不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作 十位位置上的数字后余下的两个数字之一,这一步有方法 =3(种).十位、 A1 3 万位位置上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法 =6
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。
特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。
例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时PPT课件(人教版)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班 学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4 类,从四班学生中选1人,有10种选法. 由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一 人任组长.
加法计数原理知共有不同的选法
N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是 对于较复杂应用问题的元素分成互相排挤的几类,逐类解决,用分 类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然 后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算.
探究二探Leabharlann 三素养形成当堂检测
变式训练2要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶 梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则从一层到三层有多少种不 同的走法? 解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法; 第2步,从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知,从教学楼的一层到三层的不同走法有
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.分类加法计数原理的推广 分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中 有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n 类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法. 2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类; (2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
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练习2：
1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数
是( C ) A. 12
B.64
C.81
D.7
2、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的
可能方式有 （ A ）种
A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
总结：
１．分类计数原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一 类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方 法，… …，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事 共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。
分步计数原理
m ▪ 完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有 1 种 m 不 ｎ同步的有方m法n ，种做不第同2的步方有法．2那种么不完同成的这方件法事…共…有做第
▪ N＝ m1 m2 ... mn 种不同的方法．
分步计数原理又叫作“乘法原理”
关于分步计数原理的几点注意
⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数 相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ；
问题1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘 汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么 一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法？
火车1
火车2
甲
火车3
乙
汽车1
汽车2
3+2=5（种）
分类计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中 有m1 种不同的方法，在第2类方法中有 m2 种 不同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有
种取法。
4×3×2=24
分步时做到不缺步
答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的 取法。
例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2 名分别上日班和晚班，有多少种不同的 选法？
解：从3名工人中选出2名分别上日班和晚班， 可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上 晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有 3种选法；上日班的工人选定后再选1名上晚 班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数 原理,所求的不同的选法数是
例题
例1. 某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选
法？ (2)从中任选男、女三好学生各一人去参加
座谈会,有多少种不同的选法？
分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类 办法(2,) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加
座第谈一会类这办件法事, 从, 需男分三2好步学完生成中, 任选一人, 共有 m1 = 5 种不 同的方第法一;步,选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法;
N 3 2 6.
答：有6种不同的选法。
不同排法如下图所示Βιβλιοθήκη 日班 晚班乙甲
丙
乙
甲 丙
丙
甲 乙
相应的排法
日班 晚班
甲
乙
甲
丙
乙
甲
乙
丙
丙
甲
丙
乙
练习1：
1． 一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种
方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一
个人来完成这件工作，共有多少种选法？
4+5=9
2．乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 +
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第 一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …， 做第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类 完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可，就 用分步计数原理。
的点“方评分N第所法=二以:类第所5;类,二以根完解×办步,据成题根4法,加=”据的选,法2从乘,0关一还原女法种名键是理三原。女是,“好得理三从学到分,好得总生不步学到中同体完生不任选上,成同有选法看选”m一种做法2。人数=种这共,“4共数件有分种有共N事方类m有=法情2完5=;是+成4 4种=不9。同 ”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理 ”。
种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有
种取法。
4+3+2=9
分类时要做到不重不漏
答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。
(2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1 步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种 取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知, 共有
⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后 在确定的分步标准下分步；
⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一 个步骤．
分类计数原理与分步计数原理的区别
▪ 分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有 关做一件事的不同方法总数的问题．区别在于： 分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各 种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做 完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问 题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步 骤都完成才算做完这件事．
例题
例2 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本 不同的体育书。
（1）从书架上任取一本书，有多少种 取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书, 有多少种不同的取法?
注意区别“分类”与“分 步”
解 : (1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3
问题2 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地， 再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3 班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有 多少种不同的走法？
火车1
汽车1
甲
丙
火车2
乙
火 车 3 3 2 6(种） 汽 车 2
火车1－汽车1 火车1－汽车2 火车2－汽车1 火车2－汽车2 火车3－汽车1 火车3－汽车2
N＝m1 ＋m2 ＋＋mn
种不同的方法 分类计数原理又称“加法原理”
关于分类计数原理的几点注意：
⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各 类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；
⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然 后在确定的分类标准下进行分类；
⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不 同两类的两种方法都是不同的——不重不漏．