《高等数学教程》第三章 习题答案

《高等数学教程》第三章 习题答案

习题3-1 (A)

1. 34=

ξ 2. 14

-=

π

ξ

习题3-2 (A)

1. (1)31 (2) 8

1

- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31

e e --∞ 习题3-2 (B)

1. n a a a e

e 21)8(1

)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)

1(--

2. 连续 4. )(a f '' 5. )0()1(g a '=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+''≠--+'='0

]

1)0([210

]c o s )([]s i n

)([)()2(2

x g x x x x g x x g x x f

(3) 处处连续.

习题3-3

1. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f

2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f

3. )40(,

)

(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4

523<<+++=θθθθx x x x x x x

4.

)10()]

4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(41243

2<<-+--

-+---+=θθx x x x x x

5. )10()

(!

)1(2132

<<+-++++=θn n

x

x O n x x x x xe

6. 645.1≈e

7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R

8. 12

1)3(2

1)

2(2

3

)

1(-

习题3-4 (A)

1. 单调减少

2. 单调增加

3. .),2

3()23

,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞ .),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞

.),2

1()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降

在上单调上升；，在+∞n n 7. (1) 凸 (2) 凹 （3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹

8. ），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（22

2),2[]2,(2e

+∞-∞

内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞

），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞

）

，（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 2

1),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞

9. 2

9,32

=

-=b a 10. a = 3, b = -9, c = 8

11. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16

习题3-4 (B)

1. .)1,2

1(),1()21

,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞

.]22,32[]32,2[)2(内单调下降

在内单调上升；在π

ππππππ+++k k k k .],32

[),[]32,()3(内单调下降

在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2. .1

)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根e

a e a e a =<<>

3. .)2

,

0(内只有一个实根在π

8. .9

3

20时及当=

≤k k 9. 在）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 8

2

±

=k 习题3-5 (A)

1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值 .0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值 .25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值

.205101)512(

)4(=y 极大值 .4

5

)43()5(=y 极大值

.0)0()6(=y 极小值

(7) 没有极值. .)

()8(1

e e e y =极大值

.3)1()9(=y 极大值 .0)5()1(,188

81)21()10(3

==-=

y y y 极小值极大值 2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值

.22)2ln 2

1(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值 .2ln )4

1(,0)1()3(-==y y 最小值最大值

3. 提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点

所以可证明y ' 4. .29)1(-=y 最大值 5. .27)3(=-y 最小值 6. .3)3

2

(,2为极大值==f a 7. .2

1,2-=-=b a 8. 长为100m ，宽为5m. 9. .1:1:;22,233

===h d v h v r π

π 10. .44π

πππ++a

a ，正方形周长为圆的周长为

11. .3

8

43a a h π时，最小体积为锥体的高为= 12. .22.1.77

6

小时时间为公里处应在公路右方 13. .6000)2(1000

)1(==x x

14. .45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15. .167080,101利润=p

习题3-5 (B)

1. 1,0,4

3

,41==-==

d c b a 2. x = 1为极小点，y (1) = 1为极小值

3. 当c = 1时，a = 0，b = -3，当c = -1时，a = 4，b = 5.

4. 296)(23++-=x x x x P

5. (1) f (x ) 在x = 0处连续；(2) 当e

x 1

=时，f (x ) 取极小值；当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 3

10=

x 当时，三角形面积最小