第43讲 抽样方法、用样本估计总体

第七章概率与统计知识体系【p98】第43讲抽样方法、用样本估计总体夯实基础【p98】【学习目标】1．了解三种抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．2．掌握“一表三图”：频率分布表、频率分布直方图、折线图、茎叶图．3．会求“六种数”：众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差．【基础检测】1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是() A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法【解析】显然，调查②为简单随机抽样，而对于调查①，因地区不同产品的销售情况会有差异，因此要采取分层抽样，故选B.【答案】B2．某校1 000名学生中，O型血有450人，A型血有200人，B型血有200人，AB型血有150人，为了研究血型与血弱的关系，从中抽取容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血，A型血，B型血，AB型血的人应分别抽取的人数为() A．16、10、10、4 B．18、8、8、6C．18、10、10、2 D．15、8、8、9【解析】分层抽样为按比例抽样，则O型血抽取的人数为40×4501 000＝18；A型血抽取的人数为40×2001 000＝8；B型血抽取的人数为40×2001 000＝8；AB型血抽取的人数为40×1501 000＝6.故本题答案选B.【答案】B3．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2 000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，…，2 000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[1，820]的人做问卷A，编号落入区间[821，1 520]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为()A．23 B．24 C．25 D．26【解析】若采用系统抽样方法从2 000人中抽取100人做问卷调查，则需要分为100组，每组20人，若第一组抽到的号码为9，则以后每组应抽取的号码分别为29，49，69，89，109，…，所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，此等差数列的通项公式为a n＝9＋20(n－1)＝20n－11.由题意可知，落在区间[1 521，2 000]的有：1 521≤20n－11≤2 000，n∈Z，解得：76.6≤n≤100.55，n∈Z，所以77≤n≤100，n∈Z.编号落入区间[1 521，2 000]的有24(人)，故选B.【答案】B4．为了解某校高二1 000名学生的体能情况，随机抽查部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是()A．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有200人B．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有20人C．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25.25次D．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次【解析】图象的纵坐标是频率比组距，故仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.04×5＝0.2，故人数有0.2×1 000＝200，A是正确的；同理次数少于20次的频率为0.1，人数为100人，故B 是错误的；高二学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25＋x ，则0.1＋0.3＋0.4×x ＝0.5，x ＝0.25.故得到中位数为：25.25，故C 是正确的；众数即出现最多的次数，频率最大的，在25到30之间，取中间值27.5即可，故D 也是正确的．故选B.【答案】B【知识要点】1．抽样方法(1)抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对样本的分析和研究更准确地反映总体的情况，常用的抽样方法有__简单随机抽样__、__分层抽样__、__系统抽样__．(2)简单随机抽样是指一个总体的个数为N(较小的有限数)，通过逐个抽取一个样本，且每次抽取时每个个体被抽取的概率相等．简单随机抽样的两种常用方法为__抽签法和随机数表法__．(3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将总体按差异分成几个部分，然后__按各部分所占的比值进行抽样__，其中所分成的各部分叫作__层__．(4)系统抽样是当总体中的个数较多时，将总体均分成几部分，按事先__确定的规则__在各部分抽取．2．总体分布的估计(1)作频率分布直方图的步骤：①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)②决定组距与组数③将数据分组，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画矩形，共得k 个矩形，这样得到的图形叫作__频率分布直方图__．频率分布直方图的性质：①第i 个矩形的面积等于样本值落入区间[t i －1，t i )的频率；②由于f 1＋f 2＋…＋f k ＝1，所以所有小矩形的面积的和为1. (2)连接频率分布直方图中各小长方形上边的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，折线图会越来越近似于一条光滑曲线，称之为__总体密度曲线__．(3)统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是__中间的一列数__，叶是从__茎旁边上长出来的数__．用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示．3．平均数和方差的计算(1)如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，则x ＝__1n(x 1＋x 2＋…＋x n )__叫作这组数据的平均数，s 2＝__1n[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x n －x)2] 叫作这组数据的方差，而s 叫作标准差． (2)公式s 2＝__1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－nx 2] ． (3)当一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′＝x 1－a ，x 2′＝x 2－a ，…，x n ′＝x n －a ，则s 2＝__1n[(x′21＋x′22＋…＋x′2n )－nx ′2] ．4．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数值．(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积与矩形底边中点横坐标的乘积之和．(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．(4)极差＝最大数－最小的数．典例剖析【p99】考点1频率分布直方图及应用例1某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35 ℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助．随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)求频率分布直方图中x的值；(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？【解析】(1)由直方图可得：20×(x＋0.025 0＋0.006 5＋0.003 0＋0.003 0)＝1，解得x＝0.012 5.(2)设中位数为t，则20×0.012 5＋(t－20)×0.025 0＝0.5，得t＝30.样本数据的中位数估计为30分钟．(3)享受补助人员占总体的12%，不享受补助人员占总体的88%.因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%＝3人，抽取不享受补助人员25×88%＝22人．【小结】从直方图中估计(1)平均数：各组的平均数(矩形底边的中点)×本组的频率(本矩形的面积)；(2)众数：最高矩形的底边的中点；(3)中位数：以中位数为界把直方图分成左右两部份，每部分的面积各为0.5.考点2茎叶图及应用例2某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在[223，228]内(单位：mm)的零件为一等品，其余为二等品．在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示：(1)分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数；(2)已知甲工艺每天可生产300个零件，乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个．视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高？【解析】(1)x 甲＝110(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1； x 乙＝110(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7. (2)由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25，二等品的概率为35，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w 甲＝300×25×30＋300×35×20＝7 200元； 应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w 乙＝280×12×30＋280×12×20＝7 000元． 因为w 甲＞w 乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．【小结】本题主要考查了统计知识的综合应用，认真审题，同时熟记数据平均数的计算公式和概率的应用，求解甲乙两种工艺生产的利润是解答的关键，着重考查了分析问题和解决问题的能力．考点3 统计图表与概率综合例3经国务院批复同意，重庆成功入围国家中心城市，某校学生社团针对“重庆的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分(满分100分)，得到如图所示茎叶图：(1)计算男生、女生打分的平均分，并用茎叶图的数字特征评价男生、女生打分谁更分散；(2)如图按照打分区间[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高h ；(3)从打分在70分以下(不含70分)的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．【解析】(1)男生打分平均数为110(53＋55＋62＋65＋70＋71＋73＋74＋81＋86)＝69， 女生打分平均数为110(68＋69＋70＋75＋76＋78＋79＋82＋87＋96)＝78， s 2男>s 2女，说明男生打分数据比较分散(通过观察茎叶图或者众数中位数说明，理由充分即可)．(2)h ＝920÷10＝0.045. (3)设“有女生被抽中”为事件A ，打分在70分以下(不含70分)的同学中女生有2人设为a ，b ，男生有4人设为c ，d ，e ，f.基本事件有：abc ，abd ，abe ，abf ，acd ，ace ，acf ，ade ，adf ，aef ，bcd ，bce ，bcf ，bde ，bdf ，bef ，cde ，cdf ，cef ，def 共20种，其中有女生的有16种，所以P (A )＝1620＝45. 考点4 用数字特征估计总体例4某工厂36名工人的年龄数据如下表．到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?【解析】(1)44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40. s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009. (3)40－103＝1103，40＋103＝1303在⎝⎛⎭⎫1103，1303的有23个，占63.89%. 【小结】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．【能力提升】例5已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．【解析】(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为k ＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，42，47.(2)因为这10名职工的平均体重为x －＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71， 所以样本方差为：s 2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52. (3)从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73，76)，(73，78)，(73，79)，(73，81)，(76，78)，(76，79)，(76，81)，(78，79)，(78，81)，(79，81)．记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A ，它包括的事件有(73，76)，(76，78)，(76，79)，(76，81)共4个．故所求概率为P (A )＝410＝25.方 法 总 结 【p 101】1．三种抽样方法易混淆，请分清．系统抽样即均分分组，分层抽样例如分男、女层，简单随机抽样例如抽签．2．频率分布直方图中，各组频率是求各矩形的面积．3．理解记忆中位数、众数、平均数的估计方法．走 进 高 考 【p 101】1．(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)【解析】(1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m 3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x 1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x 2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3)．。