2020年高考数学·第一轮专题复习讲义

2020年第一轮高考数学专题复习第一讲：集合一、考纲导读（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.第1课时 集合的概念一、基础过关 <1>.集合1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．2．集合中的元素属性具有：(1) 确定性； (2) ； (3) ．3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．<2>.元素与集合的关系4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作 ，若a 不是集合B 的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．<3>.集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号 表示．6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ．8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．二、典型例题例1. 已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集.变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.例2. 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.变式训练2：（1）P ＝{x|x2－2x －3＝0}，S ＝{x|ax ＋2＝0}，S ⊆P ，求a 取值？（2）A ＝{－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A,求m 。

例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m ∈R}.（1）若A 是空集，求m 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求m 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.变式训练3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A ，求实数a 的值；（2）已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b2}且M=N ，求a ，b 的值.例4. 若集合A ＝{2，4，3227a a a --+}，B ＝{1，a ＋1，222a a -+，21(38)2a a ---、3237a a a +++ }，且A ∩B ＝{2，5}，试求实数a 的值．变式训练4.已知集合A ＝{a ，a ＋d ，a ＋2d}，B ＝{a ，aq ，2aq }，其中a ≠0，若A ＝B ，求q 的值三、归纳小结1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．第2课时 集合的运算一、基础过关<1>.集合的运算1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝ ．2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝ ．3．补集：集合A 是集合S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝ ．<2>.集合的常用运算性质1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B= ，B ∩A ，A ∪A ＝ ，A ∪∅＝ ，A ∪B ＝B ∪A2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ．3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔A ∩B ＝A ⇔二、典型例题例1. 设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，{|N n =方程20x x n -+=有实数根}，求()U C M N ⋂.变式训练1.已知集合A=6|1,R ,1x x x ⎧⎫≥∈⎨⎬+⎩⎭B={}2|20,x x x m --< （1）当m=3时，求()R A C B ⋂；（2）若A B {}|14x x =-<<，求实数m 的值.例2. 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.(1)若A B =∅,求a 的取值范围;(2) 若A B B =,求a 的取值范围.变式训练2：设集合A={}2|320,x x x -+=B {}22|2(1)(5)0.x x a x a =+++-=（1）若A B {}2,=求实数a 的值；（2）若A B=A ，求实数a 的取值范围；（3）若U=R ，A （U C B ）=A.求实数a 的取值范围.例3. 已知集合A={}2|(2)10,R ,x x a x x +++=∈B {}R |0x x =∈>，试问是否存在实数a ，使得A B ？∅= 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.变式训练3.设集合A={（x,y ）|y=2x-1,x ∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x ∈N*}，问是否存在非零整数a,使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由.例4. 已知A ＝{x ｜x2－2ax ＋(4a －3)＝0，x ∈R}，又B ＝{x ｜x2－2＋a2＋a ＋2＝0，x ∈R}，是否存在实数a ，使得A B ＝∅?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．变式训练4.设集合A 为函数2ln(28)y x x =--+的定义域,集合B 为函数11y x x =++的值域,集合C 为不等式1()(4)0ax x a -+≤的解集.（1）求A B ；（2）若R C C A ⊆,求a 的取值范围．三、归纳小结1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言．2．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想．3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.集合单元测试题 一、选择题 1．设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3}2．当x ∈R ，下列四个集合中是空集的是（ ）A. {x|x 2-3x+2=0}B. {x|x 2＜x}C. {x|x 2-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx=65} 3．设集合{}25, log (3)A a =+，集合{, }B a b =，若{2}AB =, 则A B 等于（ ） A.{}1,2,5 B.{}1,2,5-C.{}2,5,7D.{}7,2,5-4．设集合{}2|1A y y x ==-，{}2|1B x y x ==-，则下列关系中正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ⊆ C ．B A ⊆ D ．[1,)A B ⋂=+∞5．设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M-P={x|x ∈M 且x ∉p},则M-（M-P ）等于（ ）A. PB. M PC. M PD. M6．已知{}{}2230,A x x x B x x a =--<=<, 若A ⊆/B , 则实数a 的取值范围是( ) A. (1,)-+∞ B. [3,)+∞ C. (3,)+∞ D. (,3]-∞7.集合M ＝{x ｜x ＝sin3πn ，n ∈Z}，N ＝{ x ｜x ＝cos 2πn ，n ∈Z }，M ∩N ＝ （ ） A ．}{1,0,1- B ．}{0,1 C ．{0} D ．∅8.已知集合M ＝{x ｜Z k kx ∈+=,412}，N ＝{x │Z k k x ∈+=,214}，则（ ） A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M ⋂N ＝φ9． 设全集∪＝{x ｜1≤x <9，x ∈N}，则满足{}{}1,3,5,7,81,3,5,7U C B ⋂=的所有集合B 的个数有 （ ）A ．1个B ．4个C ．5个D ．8个10．已知集合M ＝{(x ，y )︱y ＝29x -}，N ＝{(x ，y )︱y ＝x ＋b }，且M ∩N ＝∅，则实数b 应满足的条件是（ ）A ．︱b ︱≥23B ．0＜b ＜2C ．－3≤b ≤23D ．b ＞23或b ＜－3二、填空题11．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .12．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为 .13．已知集合A={}4,3,2,1，那么A 的真子集的个数是 .14．若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛==R x ,121y |y S x ，{}1x ),1x (log y |y T 2->+==，则T S 等于 .15．满足{}0,1,2{0,1,2,3,4,5}A ⊆的集合A 的个数是_______个.16．已知集合1{|3}2P x x =≤≤，函数22()log (22)f x ax x =-+的定义域为Q. （1）若12[,),(2,3]23P Q P Q ==-，则实数a 的值为 ； （2）若P Q φ=，则实数a 的取值范围为 .三、解答题17．已知函数1()2x f x x +=-的定义域集合是A,函数22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++的定义域集合是B （1）求集合A 、B（2）若A B=B,求实数a 的取值范围．18．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(，求m 的值.19．设集合}4232/1{≤≤=-x x A ，{}012322<--+-=m m mx x x B . (1)当Z x ∈时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B=φ，求m 的取值范围；(3)若B A ⊇，求m 的取值范围.20. 对于函数f(x)，若f(x)＝x ，则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}，})]([|{x x f f x B ==.(1) 求证：A ⊆B(2) 若2()1(,)f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠φ，求实数a 的取值范围.2020年第一轮高考数学专题复习第二讲：不等式一、考纲导读1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．二、知识网络三、高考导航不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．第1课时不等式的概念和性质一、基础过关1、实数的大小比较法则：设a，b∈R，则a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔.实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性） a>b ⇔ 定理2（同向传递性） a>b ，b>c ⇒ 定理3 a>b ⇔a ＋c > b ＋c 推论 a>b ，c>d ⇒ 定理4 a>b ，c>0⇒ a>b ，c<0⇒ 推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0，c>d≥0⇒ 推论2 a>b ＞0 ⇒n n b a > (n ∈N 且n>1)定理5 a>b ＞0⇒>n a n b (n ∈N 且n>1)二、典型例题例1. 设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f(x)与g(x)的大小.变式训练1：不等式log 2x+3x 2＜1的解集是____________.例2. 设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f(x)与g(x)的大小.变式训练2：若不等式(－1)n a ＜2＋nn 1)1(+-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .例3. 函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．变式训练3：若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .例4. 已知函数f (x)＝x 2＋ax ＋b ，当p 、q 满足p ＋q ＝1时，试证明：pf (x)＋qf (y)≥f (px ＋qy)对于任意实数x 、y 都成立的充要条件是o≤p≤1.变式训练4：已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为x 1、x 2．(1)证明：－21＜ab ＜1；(2)若x 21＋x 1x 2＋x 22＝1，求x 21－x 1x 2＋x 22；(3)求| x 21－x 22|．三、归纳小结1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A≥B(或B≤A)”．第2课时 算术平均数与几何平均数一、基础过关1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2b a +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．二、典型例题例1．设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成 立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤< （3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m>0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 .例2. 已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+ybxa，求x ＋y 的最小值. 变式训练2：已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+ybx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．例3. 已知a, b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 变式训练3：比较下列两个数的大小： （1）；与3212-- （2）5632--与；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明例4. 甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元．(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数. (2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：第一种传统方法是建造一台超级计算机．此种方法在过去曾被普遍采用．但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比． 另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统．它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络．这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和． 假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS 的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS ，其价格仅为5万元．需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元． 请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？三、归纳小结1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．第3课时 不等式证明（一）一、基础过关1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是： ⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a ba b a 000 它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等． (2) 作商比较法，它的依据是：若a >0，b >0，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a bab a b ab a b a111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．二、典型例题例1. 已知0,0>>b a ，求证：ba ab b a +≥+变式训练1：已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b 1，x ＞y.求证：a x x +＞by y +．例2. 已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++ 变式训练2：已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++例3. 已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=．求证：s t >变式训练3：若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥B ． 2p S p <<C ．S p >D ．2p S p ≤<例4. 设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足ax x 1021<<<． (1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x<f (x)<x 1(2) 设函数f (x)的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0<21x ． 变式训练4：设f(x)=3ax 22.0bx c a b c 若,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(1)a ＞0且-2＜ba＜-1； (2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.三、归纳小结1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口． 3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．第4课时 不等式证明（二）一、基础过关证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法． 换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．二、典型例题例1. 已知f(x)＝x 2＋px ＋q ， (1) 求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2) 求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于21． 变式训练1：设∈c b a 、、+R ，那么三个数b a 1+、c b 1+、ac 1+ （ ） A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2例2. （1） 已知x 2＋y 2＝1，求证:2211a ax y a +≤-≤+-. （2） 已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1，求证:2222≤-+b ab a .变式训练2： 设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，当x ＋y ＋c≥0时，c 的取值范围是（ ）A.)12[∞+-，，B. ]12(--∞，，C.)12[∞++，，D.]12(+-∞，，例3. 若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-nn 变式训练3：若f(n)＝12+n －n ，g(n)＝n －12-n ，ϕ(n)＝n21，则f (n)，g (n)，ϕ(n)的大小顺序为____________．例4. 证明：23112122≤+++≤x x x ．变式训练4：设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点． (1) 求证：142>-b ac (2) 求证：对于一切实数x 恒有||41||2a c bx ax >++三、归纳小结1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．第5课时 绝对值不等式的应用一、基础过关1、有关绝对值不等式的主要性质：① | x |＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(x x x x x ② | x |≥0 ③ | |a|－|b||≤|a±b|≤| a |＋| b |④| ab |＝ ，ba＝ (b≠0) 特别：ab≥0，|a ＋b|＝ ，|a －b|＝ ab≤0，|a －b|＝ ，|a ＋b|＝ ． 2、最简绝对值不等式的解法．① | f(x) |≥a ⇔ ；② | f(x) |≤a ⇔ ； ③ a≤| f(x) |≤b ⇔ ．④ 对于类似a | f(x) |＋b| g(x) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解．二、典型例题例1. 解不等式：| x 2－3x －4|> x ＋1变式训练1：若不等式|x －4|－|x －3|≤a 对一切实数x 都成立，则实 数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ＜1 C ．a≤1 D ．a≥1例2. 设f(x)＝x 2－x ＋b ，| x －a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a |＋1).变式训练2：若a 、b ∈R ，α, β是方程x 2＋a x ＋b ＝0的两根，且|a|＋| b |＜1，求证：| α |＜1且| β |＜1．例3. 已知f(x)＝x ，g(x)＝x ＋a(a>0)，⑴ 当a ＝4时，求)()()(x f x g a x f -的最小值；⑵ 若不等式)()()(x f x g a x f ->1对x ∈[1,4]恒成立，求a 的取值范围．变式训练3：已知适合不等式| x 2－4x ＋p|＋| x －3 |≤5的x 的最大值是3，求p 的值．例4. 设a 、b ∈R ，已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，g(x)＝cx 2＋bx ＋a ，当｜x ｜≤1时，｜f(x)｜≤２ ⑴ 求证：｜g(1)｜≤２；⑵ 求证：当｜x ｜≤1时，| g(x)|≤4. 变式训练4：(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：|ba ab--1|＞1； (2)求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a 、b 恒成立； (3) 已知| a |＜1，若|abba ++1|＜1，求b 的取值范围.三、归纳小结1．利用性质｜|a|－|b|｜≤｜a ＋b ｜≤|a|＋|b|时，应注意等号成立的条件．2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．第6课时 含参数的不等式一、基础过关含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．二、典型例题例1. 已知A ＝{x| 2ax 2＋(2－ab)x －b>０}，B ＝{x| x<－2或x>３}，其中b>0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围． 变式训练1：不等式11<-x ax的解集是{x| x<1或x>2}，则a ＝ ．例2. 已知关于x 的不等式ax ax --25<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．变式训练2：已知函数f (x)＝bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x)－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4．(1)求函数f (x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x)＜xkx k --+2)1(．例3. 若不等式2x －1>m(x 2－1)对满足－2≤m≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围． 变式训练3：若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是例4. 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax(a ∈R)． 变式训练4：解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ．三、归纳小结解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．第7课时不等式的应用一、基础过关1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．二、典型例题例1.若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围.变式训练1：已知方程sin2x－4sinx＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是（）A．[－3，6] B．[－2，6]C．[－3，2] D．[－2，2]例2.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．变式训练2：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于v)2千米，运完这批物资至少需要（）(10A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时例3. 已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：3＜l＜23.变式训练3：设函数f(x)＝x2＋2bx＋c (c＜b＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负，并加以证明．例4. 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．⑴把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域．⑵为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？变式训练4：某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？三、归纳小结不等式的应用主要有两类：⑴一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．不等式章节测试题一、选择题1. 关于x的不等式|x－1|>m的解集为R的充要条件是（）A．m＜0 B．m≤－1 C．m≤0D．m≤12. 若a、b是任意实数，且ba ，则（）A ．22b a >B ．1<abC ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3． 若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（ ） A ．h y x <-B ．hy x 2<-C ．h y x >-D ．h y x 2>-4． 欲证7632-<-，只需证（ ）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则 （ ）A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2B ．| x 1＋x 2|＞4C ．| x 1＋x 2|＜4D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝1 6. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是 （ ）A ．(0,32) B ．(32,0]C ．(52,∞-)),1(∞+⋃ D ．(52, 1)7. 已知函数f (x)＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f(x)＋2>0的解区间是 （ ） A ．(－2，2) B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞)C ．(－1，1) D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞)8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则（ ） A ．11a -<< B ．02a << C ．3122a -<< D ．1322a -<<9． 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（ ） A ．5 B ．10 C ．14 D ．15 10.集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 .12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a . 13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ．15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥ba bb a a ，函数f(x)＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R)的最小值是 ．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc ．17．已知函数f(x)＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y ∈R ＋，f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(8)＝3，且当x ＞1时，f(x)＞0．(1)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)对一个各项均正的数列{a n }满足f(S n )＝f(a n )＋f(a n ＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式；(3)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a n对n ∈N *恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为： 1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．(1) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(2) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响． 21. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B构造命题：“若A 则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.2020年第一轮高考数学专题复习第三讲：函数概念与基本初等函数一、考纲导读 （一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。