线性代数 吴赣昌_课后习题答案
工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望
习题1
设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：
依题意，X的分布律为
=1-C110×0.1×0.99-0.910≈0.2639,
所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.
习题4
据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？
解答：
令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为
求E(XY).
解答：
解法一由独立性.
-dy=23×6=4.
E(XY)=E(X)⋅E(Y)=⎰10x⋅2xdx⎰+∞0()5y
ye-
解法二令z=y-5,则
E(XY)=E(X)⋅E(Y)=⎰10x⋅2xdx⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.。
高等数学(上册)第3章(2)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_理工类
∴比较可得 y x4 8x2 2, 1 x 3 的最小值为 y(2) 14 ，最大值为 y(3) 11。
（2）
在[0,2π] 上，令 y cos x sin x
0 ，得 x1
π 4
， x2
5π 4
；
∵ y(0) 1， y(π ) 2 ， y(5π ) 2 ， y(2π) 1，
值； f (x) 在某个区间内可导且只有一个驻点 x0 ，且 f (x) 在该区间上确实存在最值，则 f (x0 ) 就是
f (x) 在该区间上的最值。
解：设截去的小正方形的边长为 x ，则根据题意，得
V (x) x(a 2x)2 ，x (0, a ) ；令 dV
(a 2x)(a 6x) 0 ，得 x
y f (x) 的斜渐近线，其中 a lim f (x) (a 0),b lim[ f (x) ax] 。
x x
x
注：若 lim f ( x) 不存在，或虽然它存在但 lim[ f (x) ax] 不存在，则 y f (x) 不存在斜
图 3-5-6
知识点：求最值问题。 思路：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，
f (x) 在某个区间内可导且只有一个驻点 x0 ，且 x0 是函数 f (x) 的极值点，则当 f (x0 ) 是极大值时，
f (x0 ) 就是 f (x) 在该区间上的最大值；当 f (x0 ) 是极小值时， f (x0 ) 就是 f (x) 在该区间上的最小
思路：求函数 f (x) 在闭区间上最值的基本方法是先求 y 0 的点或者 y 不存在的点，然后求这些点处
线性代数吴赣昌第五版1-2
对角行列式
1 2
12 n ;
n
1
n n1 2
2
1
12 n .
n
三、对换
定义5 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的方法叫做 对换．
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
a1 al a b1 bm b c1 cn
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t 0 1 0 0 1 3 4 4 5
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
D 1 ai11ai2 2 ainn
N
N 记 D1 1 a1 j a2 j
1 2
anjn
t
1 2 n
对于D中任意一项
1 a1 p a2 p anp ,
s
总有且仅有 D1 中的某一项 1 aq1 1aq2 2 aqnn ,
与之对应并相等; 反之, 对于 D1 中任意一项
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
高等数学(上册)第3章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_理工类
至少存在一点
ξ (a,b)
使得
( x) 0
f / (ξ ) f (b) f (a) ba g / (ξ )
3.2 洛必 达 法则
基本形式 通 分 或 取 倒 数化 为 基本形式
0 0
型与
型未定式
0 型或 型； 0 0 2） 0 型：常用取倒数的手段化为 型或 型，即： 0 0 0 0 或0 ； 1/ 0 1/ 0
14 (1,2) ， ξ 即为满足定理的数值。 9
★★★6.设
f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (1) 0 。求证：
f (ξ ) f (ξ ) 。 ξ
存在 ξ (0, 1) ，使
知识点：罗尔中值定理的应用。 思路 ：从 f (ξ )
f (ξ ) 。 ξ
f ( x) ，只要 x
注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使 f ( x)
f ( x) 1 [ xf ( x)] [ln f ( x)] [ln x] [ln xf ( x)] 0 0 [ xf ( x)] 0 f ( x) x xf ( x)
知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：连续两次使用罗尔中值定理。 证明：∵ f ( x) 在 (a,b) 内具有二阶导函数，∴ f ( x) 在 [ x1 ,x 2 ] 、 [ x 2 ,x 3 ] 内连续，
在 ( x1 ,x 2 ) 、 ( x 2 ,x 3 ) 内可导，又 ∴由罗尔定理，至少有一点 ξ1 使得
★★8.若 4 次方程 a 0 x
4
(ξ1 ,ξ 2 ) ( x1 ,x 3 ) ，使得 f (ξ ) 0 。
3.1高斯消元法—线性代数(吴赣昌-第四版).
（2）
am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0
则称（2）为齐次方程组（或（1） 的导出组）.
《线性代数》
返回
下页
结束
一、基本概念
２．线性方程组的矩阵表示
n元非齐次线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
， x=
x2
am1 am2 amn
xn
b1
0
，b=
b2
0 ，O =
bm
0
《线性代数》
返回
下页
结束
a11 a12 a1n
A=
a21
a22
a2n
a11 a12
A
=
(
A
b)
=
a21
a22
a1n b1
a2n
b2
例3 解线性方程组
42
x1 x1
-
x2 + 3x3 = 1 2x2 + 5x3 = 4
解
6x1 - 3x2 + 8x3 = 4
2 -1 3 1
2 -1 3 1
A
=
4
6
-2 -3
5 8
4
初等行变换
4
返回
下页
结束
4、Gauss消元法解方程组过程
例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
(完整版)线性代数吴赣昌第二章
使 AB BA成立，必须满足一定的条件。
（2）由这个例子还可知，A O ，B O ，
但却有 AB O，所以由 AB O，不能得
出 A O 或 B O的结论。若 A O，而 A(X Y ) O，不能得出 X Y 的结论。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11
B
b21
b31 b41
b12
b22
b32 b42
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11x1 a12 x2
三、 矩阵与矩阵相乘 1、定义
定义5： 设 A (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
s
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a21 b21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
43相似矩阵—线性代数(吴赣昌-第四版)
注意：mi 为方程组 ( A j E ) x 0 的基础解
系所含解向量个数 .
A可对角化
m1 m2 ms n
A不可对角化 m1 m2 ms n
推论2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 的每一个 ni
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
因而, Ai ii ,i 1, 2,L , n,
因为P (1,2 ,L
,n )可逆,故1,2 ,L
,
线性无关且
n
它们分别是A对应于特征值1,2,L ,n的特征向量。
设矩阵A有n个线性无关的特征向量 1,2 ,L ,n 它们对应的特征值分别为1，2，L ，n,则Ai ii ,
1
A(1 ,2 ,L
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
即 AP PΛ
又1,2 ,L ,n线性无关 ,故P (1,2 ,L ,n )可逆
从而 P1AP Λ, 即A与Λ相似.
推论１若n阶方阵A有n个相异的特征值1, 2 ,L n， 则A可对角化，且A相似于diag(1, 2 ,L n ).
当A的特征方程有重根时，它不一定有n个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化。
设 1, 2 ,L , s是矩阵A的所有特征值，重数分别为 m1, m2 ,L , ms ,
xj1, xj2 ,L , xjmj 是方程组
(A jE)x 0
的一个基础解系, j=1, 2, …, s, A的特征向量组为
(i=1，2，…，s) 重特征值i对应有 ni 个线性无关的特征向量.
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线性代数--吴赣昌-第四版--课后习题答案
线性代数（理工类第四版吴赣昌主编）（中国人民大学出版社）第一章习题1-11.（1）= x3—X2—1-（5）解原式= 11 —・log* = 0.2.（1）解原式= 1x1x1 +3x3 x 3 + 2 x 2x2一2x1x3-3x2x1—1x3x2 =18.（3）GLv r H +;・)z —H肥峠—— f f ——Ex ——x mi f E I .rHEH —(A ・+X)itrfH「H1E(H + .¥)—E£——A4・J J —严g l s r D I J gexEHuIm —qqq I尊厨X L I -X Q X E I O x s x n —) —守 X E X (I ——)+o x o x =+【X S X I H M ^*r(2)二ny 严<亠*-T雷■严< « J sJ ® S915 -N 5 i s J S AH IA +gN ('f lft r g Fz */-!- (寸・*<£1 ^3 ss 村气* 喘If!"帖+ = H寸《c^l Tr村來?l第X - i sTJ W 2A r u•n u口T c f fA f e J W ^ - A s r J H # EN H k s n ■ N ・r s ^& g・ J s用『A x* </代 </N s n *uE和 ■ t i -,-km J 8Pn A JL H-cL i c L r ® I L ?啊叫==o/fd ?T T T TT巧鎂 r 曲!1^_曲亦7^犬+BSrh q — ■ ) j /v (冇 "*夕性F*孑才吉换堵样K 丰”习题1-31=1OOO < 34工■吕 一>=—<> I 2^<)<»<> ■(2)Fi 23 1 2 31 2 =o 1 2 =0 «111o -1 -2(3)ab CTCb cebd z=5b —</ Qbf</he—e—11 1—1 1 11 —111 1 11 1 — 111—1—1U o■= adfbcc1 O 2=4122. ( 1)曲于SUVI £I 黔2 <><><>23^tZ 1 W 28092I OOO 1 <M><>=1 OOOK4N 1 牙 ^WOOZ12 2 212 2 012 0 0( l)<ff_ 11 JI !.(4)(5)1- I 1 I --(2)3. ( 1)a、lih、ft | + (? 1 C |ci | + kh y b\C] a i + kb | C j Ci -uE.fl z H- kb 2 b±-\-t'i c 2=^2 + ^*2 b2 C2+a z kb 2 c2 c2«3 + kb j b3 + c3 c j S + AAj h、c3較bs c a »)+ kb} b r j S b\ c1b\ b、Ga2l A T A2 /?3t?i=巧S i A b2 b2 Ci口主+人为古Z>3s心5 b 古H c y(2)4. ( 1)(2)习题1-4y z +工JZ A:JC - 7=工 少+ f+-討z - 4- ATZ -V + yJ-v yJ 7 + zy z x2P*'x yX y z :=:A ; y z 十y Z AT =2* yz x yj c y zy z X十4- X+ ZZ 十工 _＞，十器 兀+yZ -«- -V y+ z 乂 +，JV +罗 北+ ATV H- Z1 2 3 … ft — 1/IO 2 6 ■…2/7O O 3 …2/7o o 0 … /? — 1 2H oo 0 •…0 ft髯囲去=■心*”( 1-) + “JT NM A- … o (>A" o o o0 (> …《 =M 1 + if ( I —J +rf 盘…O O* = 博(> O …II 肩(I I)…*< *(C)：E»r- M B =f? —n — q•_ q n —3—心土吆）=(S) *z^z A =(1- z X-【）4 一M 心-—^X JV =1[ 疋x _■zT —oj-w X-4-z*€v =I川 f + L 0X c直一I1L 0 庖一1I II不+1 n X +I+ 1I X +m A^v—I 1 L X —I I L/T_II -1 1«+ 11O H- 1O十I兀十z aLv =JV —I/T 一I I L11+ I1JV 十z Elv =I I1<-l I I0 £- 00IT T 龙+T TI *一〕0 0 +彳ft 0X —II=卒晋kT 1 L JC00 0I ^-l I I 0I I 0 I T x_【0 T I I 十-<-l I I1 "+【I1I I x-1 i1111L[r[=¥宙W(Q 9q —a t> —q0y -0—n n l> o(y + "M)=q n I甘if </ +非rr V + W Zn0 9 + 吃一衣昌卜曲峙抄耶十h至口g目罟片°匕＞ *母6(4)对耶 斗目_*■ 2 丰zr + I 丰!1沟"力口 wu *T 1 丰U , 牛i«1 刁■ <* <1—- 0之<72<> O1 1o <1<>习题1-51. ( 1)6 —41 o—4n —G2 , J O| =1 SG 、5 7297<> 101 2 4寸_f=i5 2*>■ i -xr-丈1 = />i _ 1 3/>2 124r/> —62 _3,工2 -r>-- -------------- 厶626 =3 22 41 - 274=53 +6 =5 — 1 -2 -5—322 4 = 1S9,8632-6 -263 27427412 51522. ( 1)32 4-2-152(2)(>(2)N C II I n ih餐怕IN寸寸9村"赳IIII忆M付寸百料汽n0<N N NOIIO *II2仪E11Q =215------=O1U4> —21 B O 4 -22=—30 弓Qi = =S = =d5」歼以矛帝SL AH-•5AI1/> =1 j.e1 — f-t —Q 丸 I £“1齐木逐，l 土力■韦罡箕宜黃N 洛％祸,JCJ ZJ = O, W // — //Z = o// = O NC /L ■= 1 ,□K 皿马SrwiE, 当 // = <)*«. ^ = i H^r , 运务壽圮谢匕屮生力■毛上直硒NT 勻民竽如.总复习题一1. (1)(2)>4k^U 1 3 …(2zr — 1) ( 2n) ( 2jf —2) …42逛吋 4» O …<1O2 …2J * —4 2J / —2込陛壬生斟匸尹!18 潞也/T*型夂KTV = 2 + 川 + …+ 2/r — 4 4- 2/r — 2—2 | I H-王 + *** + (山一N) 4- < rr — 1)]=n fi — 1 ).2祸 因刃 A<(12345) + /V(3Ar42Z) - /V(3)142/), 才艮垢于亍尹口式白勺生X ,k , / 貝宜岂平 15 ,A = 5, / = 1 ,顶H 7V(35421)= 8;看 A = 1, / = 5,"(31425) = 3.卫斤站耳A = 1,1 = 5・(2)ICE 聊門 <|・啰^|^|i 叭O =z — HM00村，N o n N…眄u o w H .R e o r c w 4i r t 5 ;■■==««!> :r ==rt =g Hm CJ Q w * *用黑務传缆建w <r::£ r s时 <2*Q W H r l > r 【 ¥=<•:: CQ C N H <■ <- W E N H <• *•恂 * 檢田应6+£6 +6. +J*寸 + 寸—L—Nri£U46+£6 +9寸 +3寸料 < UPNVINMU N6+ W9 6+ U 9;£r -+芯料 一 +肯-»+ *■ «! 1 || I|iN||g L 尸* 申■■N■■ 1^1 ■備3 Q ft 乍 ib YT Z 爭4宀I +恤■"V II■> ■pw+ u II:NI□ oI1 fr ¥n 「 禺 H <r $ #■ ■-t 蛊 N■ ■ ■ ■■■ ■ ■1■iB ■ ■Ii-1- -I-=o* *Ji■ c e■H 4 ■aQ=Cfk 出 r - N¥■"P 1■ <■■ ■iP4十II SII(寸)q — H q — p (/ — JJo o o四5W L挣 qa.<7«r肿 + n 十 4 d- 〃 £ 宙曲空 士斗 I 宓WW Q I 亦臨口eil 护空"“£、工亦©3 C7 班 w (Q -Loonz = g 石_ <K >I =(» U 1o t 1<i t>i>tr i圻—占 i O«k 1 = 蚯一z r — 4M» 1 = 弓—(>(>Z L -r H - vr I €r IM »I t an & pe+i-K 吉*on x W 臨 0 0-FT 筑作-l«t 百至 z AJt £ (i 丕忙 $tg 百至 I JrlTNrug 「空 fct 丄 Z — TEW PL I — 塩号 ri 疋 z Jrf£173F JS.1W- * ・MTJ *00^ *002： f Ate ： JMC O(>£ *(>OZ *■<><> [ 1 玉亠 Kfi 壬上 4*OOOZ f 吋加9■fl — pgPt 卄i i +66 rp=・"- -”v - 运=古-7 V 一 797ri6qE.>9 -怜"9iz°6rn4茫了还一逛p 卜—nJ — #p-HJ f - qp — D n — p • (p + J — # —尊)(尹 + 7 + q + n) = oIp — n p - qa _ q訂一疗歩一 p・lp + n — q_ H 、t p + n + g + A )= (/0 II-ft t * /» + Ji 主WH 4 -£> i 生 n 罡口r 邑卿与d«=rn 乍3 _q 3_ D q-o q-p+ J 十 9 + ») = (/*亠+ § + /> =(/住壬丢• g 一适 母"€号 堆(Q '61 - J -I (I)U — |■ •F 一 11 (1)1 OJ _« -I… I 1 0 1… CZ17Yp+3+g+』)(p_3)(p_g)(3_q)(p_D)(j_°)(g_^)=(J7 — + ¥- *>(/>-R — q + 门一g — + @十 W )=I z (J-<7)-£(/>—^)1*( P + <>-</-+ +<7 + ^)= p — ” ；？ 一 q*(抨+ / — # — (尹-I ■寸 + q + 拧、=<7D — q p —t>•空+戶、”+・工4++“、<片+n »■+(；：时+亠〜+工介»Ii乂 IQ 7^><^>><r* — 4/> =——占1 1 1=i彳*i ==i ii■i M 皆1 1 1■ o 料怕N r■ 1 in r ©ailw 1 II比*H 乂■ ■忙i|■ = — E1 1 * 5 ■0? 7 I M> — n—jlXII eII II■r. *i a■1 e■村1 1 N0 1 1b1*I g n 1 ■ N1 ¥X ■ N 旳 1 1料为r*i1 ” ¥ *IIIQ )t 丨■■1■■ I■ ■. ■e1 ■: 1 4*4 + * *■wl «« ■ ■1# PV ■ f *■ 1 ■1*—I *■ :■ +5 匸 S i NII整理文本证该行母U 式与超就象行号U 式祚t 按近F T 又缺少一「次项, 可迪1 1 11*】乂工文”y运杓适辅助行汐!J 式来证明. 令 D =T 2 2-vf XI xf y士 3 — 3 一 • 3_V ： JC 目 xjy则 D = (y-x t Hy-x 2)(y-x 3) n g -•勺）(1)另一方面，按第4列展开.傅弔 A f >/ A 1D = 1 */討 + »"・ i4~^~ y * 川 34 + F ' ・^44題仓氐疗号!J 式正星 /対,民P” 的系變攵,展开（1）式,y 的fXjAj + XjAj +XjXJ"J(X, - Xj ).证毕.J i i >> ^ 111解 由题评；如,a u ^ n 12,計口, 分思U 考 12、U, — 4;M M , M U ,"心，AT.M 令别为 6,x, 19, 2.从帀^寻 ^31, A 32, 4林,^34 ：＞『岗小为 6, -A-, 19, -2. 由彳亍歹山就按彳亍（耳U ） 展开亢理，組ST 1 x 6-b2x(-x) + 0x 19 十(一4) x(-2) =0济夂A - = 7.12处早 41 2/ 42 十 3/ 44 = 1 * X 4. + 2 ■ / 4工 + ° * / 4S + 3*/ 4413M 曲题?把0匕行茅口式按第四行展开― 以及用第二^亍夭素 乘以对应第四行元素的代散余子式，得（”钊+川竝+ 2（/和+川44）= 一 6I 3（上41 十/42）+4（.N 翻+/+*） = 0由此柿寻灯41十川舱=12专6 4 2 23 2 119 12kS膽E __________________________________________________________________________ 直二蚩C S99=呂x frH-6lx ^9 = (l)(/ Fll-⑵(/£9 =<70£一&、<7 &I = <U<Z 9 - ((ZJ (/ 9 - Q></ S ) S = (t)<Z 9 - S =(I></OfI =(t>€^ 9 -(<,>€/<>—<V>C/S)S -眩》€7 9O^IO0 9^1O U 9 £zszo-91*oo1-oI--mooIooIoIoIzII7-z0 I- L 1华TI 0 T-£毎J[- I 0 J洛竺KUfc壬廩卡竺〜銅够J/oo I s 9oL 9oIs 9 o os9o o o1^-90<Q oo,sQ o o o(S)9.Z\ I- z- A S 9 l- 二辛当(l)製「Z£、9£丿(Q N=誓巒(Z)00〉90000000 0£00z£(1 2 1 2 2/+ 3〃=2 2 1 21< 1 234(2 4 2 4、(12= 4 24 2 + —6 U 4 68>0(1413 8 7 >—-2 5-2 5< 2 1 6 5丿/ 4 3 2 1、+ 3-21-21<0-10 -1丿9 6 3、3 -6 3-30 -3;X = B-A〔43 2 1>r 1 212)=21-21—2121L o-1 0-1丿234)(3 1 1 -1 >--4 0-4 0.一1 —3 —3 —5 >3. ( 1)(431、r、r4x7+3x2+1x1解1-232lx 7 + (-2) x 2 + 3x17 0丿I 5x7+7x240x1=6(49丿(2)(123)f-1 -2 -4 r o <)u)2 4 6 —1 -2-40 ()0■(369丿I1 2 4lo ()0 >(3)(3)解(1,2,3) 2=(1 x 3 + 2 x 2 + 3x1)11< ■丿二（叭(4)<3\<3 6 9)解2 (1 2 3)= 2 4 6 .d丿U 2 3丿(5)(6)厂% «12為八V（工］字兀£,兀3）^12 «22 ^23X,«21幻3宀丿丿4解 3AR-2A=3 1/ 0 5 3 0-5 U 9 8A ( 1 6 -2 10 12 3 >2 4-21 5 1 >13 _ 17 29 (1 1 n (12 3](0 5 811 一 1 -1 -24 — 0 -5 6-1 1丿< 0 5 1><2 9 0丿1,其几何M-XX:在线性凭换A TB ^(1) y = Ax(1 oyi5 0丿"一⑴—W 丿5齢止上5量“⑴的投影，见下图. 解(2) y - Ax -y = Ax下、向量$ = 22 > 20 , -2,在反皿由上(U)(04),其几何意义是：在线性变换是平面斗处2上的向量％1 00 0.在X 】轴上的反射，见卞EL 0(14)1o(1厂1)< -6 112-4 l —10 —I[r = -6 訂[+ 签—►X2=12Z1-4Z2+9Z3.L = - IO ZJ- z2+ 16J37解如国，设—fycx^OP}二**丿5丿/cos^? - sin^ Vx1< sin <p co$^9 J V v2>f x} cos ip— x1 sin <p ]sin <p -vx2cos^> 丿为方便起见’利用极生标表示-春tXi = F3Si&X尸“彻炉则有f ”、( r cos 6^ cos r sin 0 sin <p\ rsin 0 sin <p+ r cos^cos <p (r sin(^ +俨)丿从几何上君,在线性疾换y = Ax^F.向-^y = OP.^^x^rx = OP f 披依逆时针方向旅砖了(p甬(即将点1\決原点为中心逆时针雄转炉并)的结果.因此,本题所讨论的线性变换被荷为扯转銮换.8. ( 1)x n + 3X 2I即r 2X … + 5X 21 =4 I + 3*21 = 2分别琳上进阿于右程组碣2-23 0 8(2)<2\3I 石丿WT3t 扌奂白勺灵巨眸K X —21HP12 — b 、-V 2i —济以与力 ET 手t 按白勺绘梓K （常 ：）•21 人 22 u 1222X|］十 5X 2I 2X 12+ 5XX|2 + 3兀2x 11 — 2，21 0, x 1223 丁22-2 1v 2 =3, V 3 — 22* 11 -Y 122-v 12 + 5AT 21 *12 +3* 22 —乂1】+ >*12 心1 + ^221o1oIo1o1oIo1o1o1o1o1o1o1o1□=10. (1)解/I2-3oo厂I\7oA-oMoo厂)2)oftAB =^12 IIII解aA = aii *12力+屈=“11 十方11 a\2"12 佝3+ 〃13«22 + A22 仏 + H 盘33 +*33> 叫丿^33 >*11*22 *23為3丿%11如 5如十％血2 %1如+糾血$ +5僞3幻如+5勺3 所以,aA.A + B.AB仍为同阶同£害构上三角形矩阵.14<^11 曰12角军吃殳/t —a 21 a 2223<^31 a M”33 丿(—ma\ i 贝U —mA = —ma2l1一"恆站—ma\r—以⑷八—ma22 ~ w^2j一wa^一丿从而| —mA | =—w«n — mni2 — ma\y ——ma iz —ma2^ —ma3X - ma32—丽席阳二—wp \A \ ——nt4.^ii =5, yiji = 2 x ( —1), >4 |2 = 2 x ( —1), A 22习题2-31.(1)5 z4*r4 [ | —h^4 21 =-2,=1, ^41 = o ,力1工=o> ^22 = 1 , ^32 =—2, ^42 =1,儿3 = th仏3 =心3 =1 ,/心= 一2，^14 = 0,」34 =»,如= 1,< 1 -210、11 —21故AI■⑶故 A~A\(2)丿 A\ = l1—22. ( 1)-X42XIJo2XIJz11zflx\丿6o\7oloooo1loo4.(1)『123(x2 2 5勺=2<3 5 1>(x 、鼻1厂 12 3、 1⑴rn"X |— 1 故— 2 2 52—,从而4x 2 = 0宀丿<3 5 134丿x, = 0J 3(2)(1 -1 -iVx^(2、解芳程组可表示为2 -1 _3 J =1<32 - §丿1心丿<1-1-01f 2、 <5>! = 5 故—2 -1 -31 —0 勺从而*X, = (11 *3丿22 -5；<0；.3丿A\ = 3L3解宙题设 儿丿兀2l 打 2 2 3 1 3 2从而 儿=r 21)353 X 2K 丿 丿1尸3丿-7 6 -4 3 2 9Y -7 -4 八X J-7心 6心 +3X 2 3A ：［ + 2X 2—4X 2 + 9X 37兀34兄［⑷『宀［⑷T,（击”-4 0 0 ) 0 -2 -4 0 -6 -10>解 因为|/|=2, 所以/可逆•由求逆公式彳鼻又由 AA~^E^- |/||"i| = |E|,_i即1/ UfTT ，Ml代入|川|得 |才| =国八善=凶2 = 4・ Ml7.（1）由 AB = A \ 2K —(/<- 2F)« = A. 放R ="-2E )r(-233、 -1c0 3 3=1 -11 1 0< ■ -12 1 >l - -1 23 j* 0 3 3、 -1 2 3 < 110>解因（才）"=（|丄|/"）-1 =Ml解由方程AR \ A1 \ R、合并含科未知矩阵B的项得(A-E)B = A2-E = (A-E)(A十E),f 0 0 1 ]又A-E=010,<i o oj其行列式|昇—E|=—1工0, ^A-E可送，用(A-E) 1左乘上式两边，即得r 2 o 1R = A + E =0 3 0 *< '0 2 丿2-41. ( 1)M 由方程十E=卫2+号，合并含科耒如夫巨阵〃的项厲寻(A- E)B = A2-E = (A - E)(A + E).r o o 1 >又A-E=010,1 0 0 >其行列式|乂-£|=-1工0,故zi-E可送，用(zi-E)7左乘上式两边，即得r2 0 1 >B =A +E =030.」° 2丿(2)解原式二< a li ac0 、0 a0 ac1 0 c + bd0 1 0 1 0 c^ bd )。