2014届高三数学(文)一轮总复习平面向量的数量积及平面向量的应用
数量积的计算方法: (1)已知向量 a、b 的模及夹角θ,可以选用公式 a·b=|a||b|cos θ求解. (2)已知向量 a、b 的坐标形式,可以选用数量积 的坐标形式计算.
变式训练 1-1:(2013 昆明三中月考) 如图所示,在等腰直角△ABO 中,设
2
=
2 2 ×( 2
1 =-1+ 2
1 =- , 2
所以 p·(b-a)=-
1 ,故选 A. 2
变式训练 1-2:若 a=(3,-4),b=(2,1),则 (a-2b)²(2a+3b)= =2a -a·b-6b = 2×5 -(3×2-4×1)-6×5 =50-2-30=18.
2 2 2
.
解析:法一 (a-2b)·(2a+3b)
变式训练 2 2:(2012 年高考新课标全国卷)已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= |b|= .
10
,则
解析:把|2a-b|=
2
10
两边平方得
2
4|a| -4|a|·|b|cos 45°+|b| =10. ∵|a|=1, ∴|b| -2 ∴|b|=3 答案:3
2
2 |b|-6=0.
(2)向量的投影 设θ 为 a 与 b 的夹角,则向量 a 在 b 方向上的投 影是|a|cos θ ;向量 b 在 a 方向上的投影是 |b|cos θ . (3)数量积的几何意义 数量积 a²b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上 的投影|b|cos θ 的乘积.
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a、b 的 夹角. 见附表 4.平面向量数量积的运算律 已知向量 a、b、c 和实数λ ,则: (1)交换律:a²b= b²a; (2)结合律:(λ a)²b=λ (a²b)= a²(λ b); (3)分配律:(a+b)²c= a²c+b²c.
第
节 平面向量的数量积及平 面向量的应用
基础自主梳理
考向互动探究
最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量 数量积的运算. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问 题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他 一些实际问题.
x1 x2 y1 y 2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
.
③三角函数法,可以把这两个向量的夹角放在三角 形中,利用正余弦定理,三角形的面积公式等求解.
(2)求解向量的夹角时的注意事项 ①若 a· b>0,说明两向量夹角为锐角或零(即共线 同向). ②若 a· b<0,说明两向量夹角为钝角或π(即共线 反向).
1.(2012 年高考陕西卷)设向量 a=(1,cos θ )与 b=(-1,2cos θ )垂直,则 cos 2θ 等于( C )
(A) (C)0
2 2
1 (B) 2
(D)-1
解析:∵a b, ∴1×(-1)+cos θ·2cos θ=0, 即 2cos θ-1=0. ∴cos 2θ=2cos θ-1=0. 故选 C.
解析:由|a+b|=|a|-|b|两边平方,得 a2+b2+2a· b=|a|2+|b|2-2|a|· |b|,即 a· b=-|a|· |b|, 故 a 与 b 方向相反.又|a|≥|b|,则存在实数 λ∈[-1,0),使得 b=λa.故选项 A、B 不正确,选项 C 正确,而两向量共线,不一定有|a+b|=|a|-|b|,即 选项 D 不正确.故选 C.
2 2
2.(2012 皖北协作区联考)已知 e1,e2 是两夹角为 120°的单位向量,a=3e1+2e2,则|a|等于( D ) (A)4 (B)
11
(C)3
(D)
7
解析:由题意知 a =(3e1+2e2) =9 e =7, 所以|a|= 故选 D.
2 1
2
2+4 e22+12|e1|·|e2|·cos 120°
变式训练 2 1: (2013 北大附中河南分校月考) 向量 a、b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3,则 |5a-b|= .
解析:a·b=|a|·|b|cos
2 2
3 120°=- , 2
2
所以|5a-b| =25a -10a·b+b
3 =25-10×(- )+9 2
=49, 所以|5a-b|=7. 答案:7
又∵α∈[0,π],
π ∴α= . 3
(1)求解向量夹角的方法 ①利用向量数量积的定义,cos
a b θ= ,其 | a || b |
中两向量夹角的范围为 0°≤θ≤180°,求解时 应求出三个量:a·b、|a|、|b|或者找出这三个量 之间的关系.
②利用坐标公式,若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 cos θ=
平面向量数量积的运算
【例 1】 (2012 年高考北京卷)已知正方形 ABCD 的边 长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ² CB 的值 为 ; DE ² DC 的最大值为 .
思维导引:在正方形 ABCD 中存在垂直关系.因此我们 可以建立平面直角坐标系写出各向量的坐标.利用坐 标求解使运算更简便.
2 或|b|=- 2
(舍去).
2
利用平面向量的数量积解决夹角问题
【例 3】已知向量 4a-2b=(-2,2
3 ),c=(1,
3 ),
a²c=3,|b|=4,求向量 b 与 c 的夹角α .
思维导引:根据数量积的公式 cos
bc α= ,所 | b || c |
以需要求 b·c 以及|c|,结合已知条件进行转化求解 b·c 是本题的关键.
变式训练 3 1: (2012 佛山模拟)设向量 a,b 满足:|a|=1,|b|=2,a²(a-b)=0,则 a 与 b 的夹 角是( (A)30° ) (B)60° (C)90° (D)120°
解析:由 a·(a-b)=0, 2 得 a =a·b, 即 a·b=a2=1, 所以 cos<a,b>=
质疑探究:若非零向量 a、 c(1)满足 a· b、 c=b· c, 则 a=b 吗?(2)(a·b)c=a(b·c)恒成立吗? 提示:(1)不一定有 a=b,因为 a·c=b·c⇔ c·(a-b)=0,即 c 与 a-b 垂直,但不一定有 a=b. 因此向量数量积不满足消去律. (2)因为(a·b)c 与向量 c 共线,(b·c)a 与向量 a 共线.当 c 与 a 不共线时(a·b)c≠a(b·c),即向 量的数量积不满足结合律.
(2)范围 向量夹角θ 的范围是[0,π ],a 与 b 同向时, 夹角θ =0;a 与 b 反向时,夹角θ =π . (3)垂直关系 如果向量 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直, 记作 a b.
2.平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为θ ,则向 量 a 与 b 的数量积是数量|a||b|cos θ ,记作 a²b, 即 a²b=|a||b|cos θ .
1 (B) 2
3 (D) 2
即( OA + = OA · = OA ·
AC + CP )· AB
AB + AC · AB + CP · AB AB + AC · AB
2 1 AB =| OA |·| AB |cos< OA , AB >+ 4
=
2
×cos
1 135°+ ×( 2 ) 4
1 )+ 2
法二 a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6), 2a+3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5), ∴(a-2b)·(2a+3b)= (-1)×12+(-6)×(-5)=-12+30=18. 答案:18
利用平面向量的数量积解决长度 及垂直问题
【例 2】已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)
7.
3.(2012 年高考浙江卷)设 a、b 是两个非零 向量( C )
(A)若|a+b|=|a|-|b|,则 a b (B)若 a b,则|a+b|=|a|-|b| (C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a (D)若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b|
(ka-b)?
思维导引:(1)根据公式|a+b|= 解即可.(2)利用(a+2b)
（ a b）
2
求
(ka-b)⇒
(a+2b)·(ka-b)=0.列出关于 k 的方程,进而求 k 的值.
1 解:由已知得,a²b=4³8³ - ） =-16. （ 2
(1)①∵|a+b| =a +2a²b+b = 16+2³(-16)+64=48, ∴|a+b|=4
OA =a, OB =b,OA=OB=1,C 为 AB 上靠近点 A 的四
等分点,过 C 作 AB 的垂线 l,设 P 为垂线上任一点,
OP =p,则 p²(b-a)等于(
)
1 (A)2
3 (C)2 1 解析:由题意知 AC = AB , 4
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
解答.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
7
8
8.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量
的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理
学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W= |F||s|cos θ (θ
即|a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 5.
-28考点1
考点2
考点3
解题心得1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
b+|b|2,把向量的模
的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作
出向量,再利用余弦定理等方法求解.
为( B )
5
A.-8
1
B.8
1
C.4
11
D. 8
-16考点1
考点2
考点3
(2)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分
7
点, ·=4, · =-1,则 ·的值是
.
8
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
cos∠ABC=
= 1×1
||||
=
3
,
2
关闭
所以∠ABC=30°,故选 A.
A
解析
答案
-13知识梳理
1
双基自测
2
平面向量的数量积及平面向量的应用(一轮公开)课
高考总复习 B 数学（文）
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
平面向量的夹角与模
【例2】 (1)(2014年锦州模拟)平面向量a与b的夹角为60° ， 2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( B ) A. 3 B．2 3 C．4 D．10
菜 单
隐 藏
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平面向量数量积的运算
→ ＝(1,2)， 【例 1】 (1)(2013 年高考福建卷)在四边形 ABCD 中，AC → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( BD A. 5 B．2 5 C．5
的乘积．
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1．(2014年武汉模拟)已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝2 3 ，且a⊥ (a＋b)，则a与b的夹角为( D ) π 2π 3π A. B. C. 2 3 4 5π D. 6
(1)交换律：a·b＝ b·a .
思考：(a·b)c=a(b·c)，对吗？
(2)分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . (3)对λ∈R，λ(a·b)＝
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(λa)·b ＝ a·(λb)
．
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(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ |a||b|·cos θ .规定0·a＝0.
2014届高考一轮复习数学53平面向量的数量积及应用
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向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则,但并不是所有乘 法法则都可以推广到向量数量积的运算,如(a·b)c≠a(b·c).
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1.(2012·辽宁卷,1)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x).若 a·b=1,则 x=( )
A.-1
B.-12
C.12
D.1
【答案】D 【解析】由 a·b=1,得 1×2-1×x=1, 解得 x=1,故选 D.
足OP ·OA=4,则点 P 的轨迹方程是
.
【答案】 x+2y-4=0
【解析】由OP·OA=4,得(x,y)·(1,2)=4,即 x+2y=4.
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T 题型一数 量积的基本运算
例 1(2012·天津卷,7)已知△ABC 为等边三角形,AB=2.设点
P,Q 满足AP=λAB, AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若BQ ·CP=-32,则 λ=( )
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握 此类问题的处理方法:
(1)|a|2=a2=a·a; (2)|a±b|2=a2±2a·b+b2; (3)若 a=(x,y),则|a|= x2 + y2.
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2.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. 求:(1)|a+b|;(2)|4a-2b|.
(3)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 6.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决
平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.
(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定
2014高考数学一轮复习课件4.3平面向量的数量积
【尝试解答】 (1)a＋c＝(1，2m)＋(2，m)＝(3， 3m)． ∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)· b＝(3，3m)· (m＋1，1)＝6m＋3 ＝0， 1 ∴m＝－ . 2 ∴a＝(1，－1)，∴|a|＝ 2. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直， ∴(a＋b)· (ka－b)＝0， 即ka2＋ka· b－a· 2＝0. b－b ∴k－1＋ka· b－a· b＝0.
4．(2013· 深圳质检)若平面向量α，β满足|α|＝1， 1 |β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为 ，则α 2 与β的夹角θ的取值范围是________． 1 【解析】 由题意知S＝|α||β|sin θ＝ ≤sin θ， 2 π 5 ∵θ∈[0，π]，∴θ∈[ ， π]． 6 6
•第三节 平面向量的数量积
•1．平面向量的数量积 •(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹 角为θ，则数量_______________叫做a与b |a|·|b|cos_θ 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量 0 的数量积为______． •(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b |b|cos θ 在a方向上的投影_t，－1)· (1，0)＝t.且0≤t≤1. → → ∴DE·DC的最大值为1.
•【答案】 (1)－16 (2)1 1
1．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长 度与夹角，二是利用坐标来计算． 2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所 → → → → 求相关向量，如本题(1)中用AM 、MB 表示AB 、AC 等．(2) 注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种 特殊情形． 3．应当注意：(1)向量数量积a· b中的“· ”既不能省略，也 不能写成“³”；(2)向量的数量积满足“交换律”、“分 配律”，但不满足“结合律”．
2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用 》理 新人教A版
第三节平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]年会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其[归纳²知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a²b.即a²b＝|a||b|cos θ，规定0²a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a²b＝b²a(2)(λa)²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．(1)a²b＝a²c，则b＝c吗？(2)(a²b)c＝a(b²c)吗？提示：(1)不一定，a ＝0时不成立，另外a ≠0时，a ²b ＝a ²c .由数量积概念可知b 与c 不能确定； (2)(a ²b )c ＝a (b ²c )不一定相等．(a ²b )c 是c 方向上的向量，而a (b ²c )是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a ²b ＝－10，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.23π C.π6D.56π 解析：选B 设a 与b 的夹角为θ，则a ²b ＝|a ||b |cos θ＝5³4cos θ＝－10，即cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝23π.2．(教材习题改编)等边三角形ABC 的边长为1，BC ＝a ，CA ＝b ，AB＝c ，那么a ²b＋b ²c ＋c ²a 等于( )A ．3B ．－3 C.32D ．－32解析：选D 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 与b 的夹角为120°，b 与c 的夹角为120°，c 与a 的夹角也为120°.故a ²b ＋b ²c ＋c ²a ＝－32.3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ²b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5D.7解析：选B |a ＋2b |＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ²b ＋4|b |2＝1－2＋4＝ 3.4．(教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________.解析：∵(a ＋k b )⊥(a －k b )， ∴(a ＋k b )²(a －k b )＝0， 即|a |2－k 2|b |2＝0.又∵|a |＝3，|b |＝4，∴k 2＝916，即k ＝±34.答案：±345．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝________. 解析：由题意可得8a －b ＝(6,3)，又(8a －b )²c ＝30，c ＝(3，x )，则18＋3x ＝30，解得x ＝4.答案：4[例1] (1)(2012²天津高考)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ²CP ＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222(2)(2012²上海高考)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM||BC |＝|CN ||CD |，则AM ²AN 的取值范围是________． [自主解答] (1)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP ＝λAB，得P (2λ，0)，由AQ ＝(1－λ) AC ，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ ²CP＝(－λ－1，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)²(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.(2)建立平面直角坐标系，如图．则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.令BM BC ＝CN CD＝λ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32.∴AM ²AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴AM ²AN∈[2,5]．[答案] (1)A (2)[2,5] ——————————————————— 平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ²b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用： ①(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2； ②(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2.1.(2012²江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ²AF ＝2，则AE ²BF的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ²AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ²BF＝(2，1)²(1－2，2)＝ 2.答案： 2[例2] 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[自主解答] (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，解得a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12， 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝13，∴|a ＋b |＝13. |a －b |2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.本例条件不变，若AB＝a ，BC ＝b ，试求△ABC 的面积．解：∵AB 与BC 的夹角θ＝23π，∴∠ABC ＝π－23π＝13π.又|AB|＝|a |＝4，|BC |＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB ||BC |sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.———————————————————1．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ²a ＝|a |2或|a |＝a ²a .(2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ²b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 2．求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ²b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a ²b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．(2)利用坐标公式，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21²x 22＋y 22. (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解．2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角．解：(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α²(α－2β)＝α2－2α²β＝1－2α²β＝0. ∴α²β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α²β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )²a ＝a 2＋a ²b ＋a ²c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2a ²c ＋2b ²c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ， 则cos θ＝a ＋b ＋c ²a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.[例3] 已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|a ＋b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．[自主解答] (1)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝16＋2³4³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋64＝48，故|a ＋b |＝4 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )²(k a －b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a ²b －2b 2＝16k －16(2k －1)－2³64＝0，解得k ＝－7. 即k ＝－7时，两向量垂直． ——————————————————— 两向量垂直的判断方法及应用(1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ²b ＝0；若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．3．在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值．解：(1)当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ²AC＝0.∴2³1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ²BC＝2³(－1)＋3³(k －3)＝0，解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC，∴1³(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.综上可得k 的值为－23或113或3±132.[例4] 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . [自主解答] (1)由a 与b －2c 垂直，a ²(b －2c )＝a ²b －2a ²c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4si n β)|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32， 所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α²4cos β－sin αsin β＝0， 所以a ∥b . ———————————————————平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．4．在△ABC 中，已知2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |＝3|BC |2，求角A ，B ，C 的大小．解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∵由2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝32， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由3|AB |²|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，由正弦定理得sin C ²sin B ＝3sin 2A ＝34， ∴sin C ²sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，即sin C ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，∴2sin C ²cos C ＋23sin 2C ＝3， ∴sin 2C －3cos 2C ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0，由A ＝π6知0<C <5π6，∴－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.3个防范——与向量夹角有关的易误点 (1)若a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0°； (2)若a ²b <0，则a 与b 的夹角为钝角或180°；(3)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如等边△ABC 中，AB 与BC的夹角应为120°而不是60°.4个区别——向量运算与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ²b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ²b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |²|b |，但对于向量a ，b 却有|a ²b |≤|a |²|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ²b |＝|a |²|b |²|cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ²b ＝a ²c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ²b )²c 不一定等于a ²(b ²c )，这是由于(a ²b )²c 表示一个与c 共线的向量，而a ²(b ²c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线.创新交汇——平面向量与其他知识的交汇1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[典例] (2012²广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1 D.12[解析] a ∘b ＝a ²b b 2＝|a ||b ||b |2cos θ＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝|b ||a |²cos θ，因为|a |>0，|b |>0,0<cos θ<22，且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以|a ||b |cos θ＝n 2，|b ||a |cos θ＝m2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ²n 4＝cos 2θ，因为0<cos θ<22，所以0<cos 2θ<12，得到0<m ²n <2，故m ＝n ＝1，即a ∘b ＝12.[答案] D [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题属新定义问题，命题背景新颖；(2)考查知识新颖，本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起，较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力．2．解决本题的关键有以下几点(1)读懂、读透题目中所给的新定义α∘β＝α²ββ²β的意义．(2)理解a ∘b 与b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中的实际意义是|a ||b |cos θ与|b ||a |cos θ都能表示成n2(n ∈Z )的形式．(3)善于转化，通过两式相乘，将问题转化为0<cos 2θ<12，即0<m ²n <2成立，从而求得结论．[变式训练]1．已知向量OZ 与1OZ 关于x 轴对称，j ＝(0,1)，则满足不等式OZ 2＋j ²1ZZ ≤0的点Z (x ，y )的集合用阴影表示为( )解析：选C 依题意得，动点Z 的坐标满足：(x 2＋y 2)＋(0,1)²(0，－2y )＝x 2＋y 2－2y ≤0，即x 2＋(y －1)2≤1，易知该不等式表示的平面区域是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆及其内部．2．已知平面内的向量OA ，OB 满足：|OA |＝|OB |＝2，OA 与OB 的夹角为π2，又OP ＝λ1OA ＋λ2OB,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2，则点P 的集合所表示的图形的面积是( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B 如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，则由OP ＝λ1OA ＋λ2OB，得(x ，y )＝λ1(2,0)＋λ2(0,2)＝(2λ1,2λ2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ1，y ＝2λ2.又因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，2≤y ≤4.所以点P的集合为{(x ，y )|0≤x ≤2,2≤y ≤4}，它表示正方形区域(如图中阴影部分所示)，所以点P 的集合所表示的图形的面积为2³2＝4.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²重庆高考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b ，可得a ²b ＝0，即x －2＝0，得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.2．(2012²湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π4.3．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD|＝1，则AC ²AD＝( )A ．2 3B.32C ．－32D. 3解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC＝(x C －x B ，y C )， BD＝(－x B,1)， ∵BC ＝3BD，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)²x B ，y C ＝3，AC ＝((1－3)x B ，3)，AD＝(0,1)，AC ²AD ＝ 3.4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ²b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的射影的数量是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A 设a 与b 的夹角为θ，∵a ²b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的射影的数量的乘积，而cos θ＝a ²b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4. 5．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ²PB的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：选 D 设∠APB ＝2θ，|PO |＝x ，则PA ²PB ＝|PA |²|PB|²cos 2θ＝|PA |2cos 2θ＝(|PO |2－1)²(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)²⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2即x ＝42时取等号．6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a²b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π3，2π3解析：选C f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ²b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a²b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a²b ＞0⇒cos 〈a ，b 〉＜12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a ＋b 与k a －b 垂直， ∴(a ＋b )²(k a －b )＝0，化简得(k －1)(a ²b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ²b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：18．(2012²北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ²CB的值为________；DE ²DC的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ²CB ＝(λAB －AD )²(－AD)＝－λAB ²AD ＋AD 2＝－λ³0＋1＝1.又DC ＝AB ，所以DE ²DC ＝λAB－AD )²AB ＝λAB 2－AD ²AB＝λ³1－0＝λ≤1，即DE ²DC的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E 点坐标为(t ,0)(0≤t ≤1)可得DE ²CB＝(t , －1) ²(0, －1)＝1, DE ²DC＝(t , －1) ²(1, 0)＝t ≤1故DE ²CB ＝1，DE ²DC的最大值为1.答案：1 19．(2012²湖南高考)如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ²AC＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ²AC ＝AP ²2AO ＝2AP 2＋2AP ²PO＝2³32＋0＝18.答案：18三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ²(a ＋λb )>0，即(1,2)²(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ>－53且λ≠0.11．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |²|AC |²sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ²q ≤p ＋q2，∴p ²q ≤3. ∴p ²q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132³9＝18932.12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)．设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为α＝π4，所以b ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，a ²b ＝322， 则|m |＝a ＋t b 2＝5＋t 2＋2t a ²b＝ t 2＋32t ＋5＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)存在满足题意的实数t ， 由条件得cos π4＝a －b ²a ＋t b |a －b ||a ＋t b |，又因为|a －b |＝a －b 2＝6，|a ＋t b |＝a ＋t b 2＝5＋t 2，(a －b )²(a ＋t b )＝5－t ， 则有5－t 6³5＋t2＝22，且t <5， 整理得t 2＋5t －5＝0，所以存在t ＝－5±352满足条件．1．下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ²c |＝|b ²c |； ③a ，b 共线⇔a ²b ＝|a ||b |； ④|a ||b |<a ²b ； ⑤a ²a ²a ＝|a |3； ⑥a 2＋b 2≥2a ²b ；⑦非零向量a ，b 满足a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量． 其中正确的是________．解析：由于a 2≥0，b 2≥0，所以，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ²c ＝－b ²c ，所以|a ²c |＝|b ²c |，②正确；a ，b 共线⇔a ²b ＝±|a ||b |，所以③错；对于④，应有|a ||b |≥a ²b ，所以④错； 对于⑤，应该是a ²a ²a ＝|a |2a ，所以⑤错；a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ²b ，故⑥正确；当a 与b 的夹角为0°时，也有a ²b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． 答案：①②⑥2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定解析：选B 由(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，得[(DB －DA )＋(DC －DA )]²(AB －AC)＝0，所以(AB ＋AC )²(AB －AC)＝0.所以|AB |2－|AC |2＝0，故|AB|＝|AC |，故△ABC 是等腰三角形．3．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC |＝|BC|，求角α的值；(2)若AC ²BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)， BC＝(cos α，sin α－3)， ∴AC 2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC 2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC |＝|BC |，可得AC 2＝BC 2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC ²BC＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α，由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.4．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ²PF的最值．解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1. 所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ²PF的最大值为19；PE ²PF的最小值为12－4 3.。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《平面向量的数量积与平面向量应用举例 》理 新人教B版
A [第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2013²大连模拟] 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →²AC →＝( )A ．－32B ．－23C.23D.322．[2013²大连模拟] 若向量a 与b 不共线，a ²b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ²a a ²b b ，则向量a与c 的夹角为( )A ．0 B.π6C.π3D.π23．[2013²锦州模拟] 已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →²OB →＝( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－144．已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2能力提升5．[2013²郑州检测] 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．46．[2013²石家庄模拟] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a²b ＝0，(a －c )²(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．27．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列命题不正确的是( ) A ．e 1在e 2方向上的射影为cos θB ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1²e 2＝18．[2013²大连模拟] 设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a³b 是一个向量，它的模|a³b |＝|a|²|b |²sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ³b |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1²b 2＝________．10．[2013²烟台质检] 在平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝________．11．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →²MB →＝________．12．(13分)[2013²吉林模拟] 已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )． (1)当m >0时，若|a |<|b |，求x 的取值范围；(2)若a ²b >1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．难点突破13．(12分)已知向量a ＝cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求a²b 及|a ＋b |的值；(2)若f (x )＝a²b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值．B [第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2013²辽宁卷] 已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b2．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a²b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ²b ＝a²c ，则b ＝c3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →²AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．164．[2013²沈阳模拟] 如图K27－1，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3 BD →，|AD →|＝1，则AC →²AD→＝( )A ．2 3 B.32 C.33D. 3能力提升5．[2013²郑州模拟] 如图K27－2，设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →²AF →＝( )图K27－2A ．8B ．10C ．11D ．126．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，满足2OA →＋AB →＋AC →＝0(其中O 为坐标原点)，又|AB →|＝|OA →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－127．[2013²吉林模拟] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若m⊥n ，则角A 的大小为( )A.2π3B.π3C.π2D.π48．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →²AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1，2)D ．(2，22)9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．10．[2013²郑州检测] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．11．[2013²北京卷] 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →²CB →的值为________，DE →²DC →的最大值为________．12．(13分)在▱ABCD 中，A (1，1)，AB →＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3，5)，求点C 的坐标；(2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹．难点突破13．(12分)[2013²石家庄模拟] 已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x ，2cos x )．(1)求证：向量a 与向量b 不可能平行；(2)若a²b ＝1，且x ∈[－π，0]，求x 的值．课时作业(二十七)A【基础热身】1．D [解析] AB →²AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝|AB →||AC →|²|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|22|AB →||AC →|＝32.2．D [解析] ∵a ²c ＝a ²⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ²a a ²b b＝a²a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ²b a ²b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0，c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D.3．B [解析] 设AB 中点为P ，∵|AB |＝3，∴|AP |＝32. 又|OA |＝1，∴∠AOP ＝π3，∴∠AOB ＝2π3，∴OA →²OB →＝|OA →||OB →|cos 2π3＝－12.4．B [解析] 由a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)， 得b ＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)． 设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a||b |＝222＝22，∴θ＝π4.【能力提升】5．B [解析] 设A 1A 2中点为P ，A 3A 4中点为Q ，则MA 1→＋MA 2→＝2MP →，MA 3→＋MA 4→＝2MQ →， ∴2MP →＋2MQ →＝0，即MP →＝－MQ →，∴M 为PQ 中点， 所以有且只有一个点适合条件．6．B [解析] |a ＋b －c |＝（a ＋b －c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a²b －2a²c －2b²c ，由于a²b ＝0，所以上式＝3－2c ²（a ＋b ），又由于(a －c )²(b －c )≤0，得(a ＋b )²c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ²（a ＋b ）≤1，故选B.7．D [解析] ∵|e 1|＝1，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝θ， ∴e 1在e 2方向上的射影数量为|e 1|cos θ＝cos θ， ∴A 正确；又e 21＝e 22＝1，∴B 正确；∵(e 1＋e 2)²(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0， ∴(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，∴C 正确；∵e 1²e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，∴D 不成立． 8．B [解析] ∵|a|＝|b|＝2，a²b ＝－23，∴cos θ＝－232³2＝－32.又θ∈[0，π]，∴sin θ＝12.∴|a ³b |＝2³2³12＝2.9．－6 [解析] ∵〈e 1，e 2〉＝π3，|e 1|＝1，|e 2|＝1，∴b 1²b 2＝(e 1－2e 2)²(3e 1＋4e 2)＝3|e 1|2－2e 1²e 2－8|e 1|2＝3－2cos π3－8＝－6.10．0或－2 [解析] ∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →²AC →＝(i ＋j )²(2i ＋m j )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →²BC →＝AB →²(AC →－AB →)＝(i ＋j )²[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0；当C 为直角时，AC →²BC →＝AC →²(AC →－AB →)＝(2i ＋m j )²[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或－2.11．－2 [解析] 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (－3，0)，B (3，0)，C (0，3)．设M点的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x ，y －3)，CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)．又CM →＝16CB →＋23CA →，即(x ，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，所以MA →²MB →＝－2.12．解：(1)|a |2＝x 2＋m 2，|b |2因为|a |<|b |，所以|a |2<|b |2.从而x 2＋m 2<(m ＋1)2x 2＋x 2.因为m >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m m ＋12<x 2， 解得x <－m m ＋1或x >mm ＋1. (2)a²b ＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx >1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1>0对任意的实数x 恒成立． 当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，从而⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，m 2－4（m ＋1）（m －1）<0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－1，m >233或m <－233，所以m >233. 【难点突破】13．解：(1)a²b ＝cos 3x 2²cos x 2－sin 3x 2²sin x2＝cos2x .|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos2x ＝2cos 2x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ≥0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1.①当λ<0时，当且仅当cos x ＝0时， f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ>1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝12即为所求．课时作业(二十七)B【基础热身】 1．B [解析] 本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．因为|a ＋b |＝|a －b |⇒(a ＋b )2＝(a －b )2⇒a ²b ＝0，所以a⊥b ，答案选B. 2．B [解析] a²b ＝0⇒a ⊥b ，故A 错；a 2＝b 2⇒|a |＝|b |，得不出a ＝±b ，不要与实数x ，y 满足|x |＝|y |⇒x ＝±y 混淆，故C 错；a ²b ＝a²c ⇒a ²(b －c )＝0，同A 知D 错，故选B.3．D [解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →²CB →＝0，所以AB →²AC →＝(AC →＋CB →)²AC →＝|AC →|2＋AC →²CB →＝AC →2＝16.4．D [解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →， ∴AC →²AD →＝(AB →＋ 3 BD →)²AD →＝AB →²AD →＋ 3 BD →²AD →.又∵AB ⊥AD ，∴AB →²AD →＝0， ∴AC →²AD →＝ 3 BD →²AD →＝3|BD →||AD →|cos ∠ADB＝3|BD →|cos ∠ADB ＝3|AD →|＝ 3. 【能力提升】5．B [解析] AE →²AF →＝(AB →＋BE →)²(AC →＋CF →)＝AB →＋13BC →²AC →－13BC →＝AB →²AC →－19|BC →|2＋13BC →²(AC →－AB →)＝29|BC →|2＝29(62＋32)＝10. 6．C [解析] 由2OA →＋AB →＋AC →＝(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝OB →＋OC →＝0得，OB →＝－OC →，即O ，B ，C 三点共线．又|AB →|＝|OA →|＝1，故向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos π3＝12.7．B [解析] m²n ＝b (b －c )＋c 2－a 2＝c 2＋b 2－a 2－bc ＝0，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.8．B [解析] 由题意F (1，0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0.∵OA →²AF →＝－4， ∴y 204⎝⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝2或y 0＝－2. ∴当y 0＝2时，x 0＝y 204＝1；当y 0＝－2时，x 0＝y 204＝1.故A (1，±2)，故选B.9．1 [解析] 由a ＋b 与k a －b 垂直知(a ＋b )²(k a －b )＝0，即k a 2－a²b ＋k a²b －b 2＝0，又由|a |＝|b |＝1知(k －1)(a²b ＋1)＝0.若a²b ＝－1，则a 与b 夹角180°，与a ，b 不共线矛盾，∴k －1＝0，∴k ＝1.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 [解析] 平行四边形面积S ＝|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ≥12.又θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.11．1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．方法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，则DE →²CB →＝DE →²DA →＝|DE →|²|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →²DC →最大只要使向量DE →在向量DC →上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →²DC →)max＝|DC →|2＝1.方法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE ，所以DE ²CB ＝(DA ＋AE →)²DA →＝|DA →|2＝1，DE →²DC →＝(DA →＋AE →)²AB →＝AB →²AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →²DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →²DC →)max ＝1.方法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x ，1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x ，1)，CB →＝(0，1)，可得DE →²CB →＝x ³0＋1³1＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →²DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →²DC →)max ＝1.12．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0又AC →＝AD →＋AB →＝(3，5)＋(6，0)＝(9，5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9，5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10，6)． (2)设P (x ，y )， 则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6，0) ＝(x －7，y －1)， AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →) ＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6，0) ＝(3x －9，3y －3)． ∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 为菱形， ∴BP →⊥AC →，∴(x －7，y －1)²(3x －9，3y －3)＝0， 即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0. ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5，1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y ＝1的两个交点． 【难点突破】13．解：(1)证明：假设a∥b ，则2cos x (cos x ＋sin x )＝sin x (cos x －sin x )，即2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin x cos x －sin 2x ，1＋sin x cos x ＋cos 2x ＝0，1＋12sin2x ＋1＋cos2x 2＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－322. 而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－1，1]，－322<－1，矛盾．故假设不成立，向量a 与向量b 不平行．(2)a²b ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， a ²b ＝1⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝22. 又x ∈[－π，0]⇒2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4，π4，∴2x ＋π4＝－7π4或2x ＋π4＝－5π4或2x ＋π4＝π4，∴x ＝－π，－3π4或0.。
高考文科数学一轮复习课件——第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
uuur
(2)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则| PA +
uuur
3 PB |的最小值为
.
解析:(2)以 D 为原点,分别以 DA,DC 所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角
uuur
坐标系,设 DC=a,DP=m(0≤m≤a),所以 D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,m). PA =
︱高中总复习︱一轮·文数
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b= b·a . (2)(λa)·b=λ(a·b)= a·(λb) .
(3)(a+b)·c= a·c+b·c
.
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
数量积 模
【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+
2b|=
;
解析:(1)因为|a+2b|2=a2+4a·b+4b2 =4+4|a||b|cos 60°+4
=8+4×2×1× 1 =12. 2
所以|a+2b|=2 3 . 答案:(1)2 3
︱高中总复习︱一轮·文数
a·b=|a||b|cos θ
|a|=__a__ a____
a·b=x1x2+y1y2
|a|=____x_12 __y12____
夹角
a⊥b 的 充要条件 |a·b|与
|a||b| 的关系
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第26讲 平面向量的数量积
第26讲
平面向量的数量积
• 点 面 讲 考 向
[归纳总结] (1)利用向量夹角公式时， 不一定非得算出 |a|，|b|和 a· b 的值，只要能得出它们的关系即可． (2)求角时，注意向量夹角的取值范围是[0，π ]．若题 目给出向量的坐标表示，可直接套用公式 cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2 2 2 2 2求解． x1＋y1 x2＋y2
[解析] (1)(a· b)· c是一个与c共线的向量，a· (b· c)是一个与 a共线的向量，因此它们不一定相等． (2) a· b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b. (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
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第26讲
平面向量的数量积
►
探究点一
平面向量的数量积的概念
• 点 面 讲 考 向
•
例1 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD的边 → ·BD → ＝________． 长为2，E为CD的中点，则AE (2)[2013· 湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2， → 在CD → 方向上的投影为________． －1)，D(3，4)，则向量AB
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第26讲
平面向量的数量积
• 双 向 固 基 础
2．向量数量积的性质与运算 (1)(a· b)· c＝a· (b· c)．( ) (2) a· b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (3)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1y2－x2y1＝ 0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
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第26讲
平面向量的数量积
•
[思考流程] (1)分析：利用向量的数量积公式．推理： 依题意列方程得(m＋n)· (m－n)＝0.结论：解方程得λ的值． (2)分析：利用向量的数量积公式．推理：将已知等式 点 两边平方，再利用向量的夹角公式．结论：解方程得cos 面 讲 〈a，b〉的值．
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
1.平面向量数量积的有关概念
向量的
夹角
数量积
的定义
已 知两 个 非 零 向 量 a , b , O 是平 面上的 任意一 点 , 作
→
→
=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b
的夹角
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把|a||b|
cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
A.20
C.20
)
B.-20
√
D.-20
→
→
→
→
→
→
→
解析:由题意知<,>=120°,故·=||·||·cos<,
→
>=-5×8× =-20.故选 B.
3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),则a与b的夹角的余弦值为(
A.-
√
C.
B.
解析:(2)因为a=(3,1),b=(2,2),
所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),
则|a+b|= + = ,|a-b|= + = ,(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,
(+)·(-)
所以 cos<a+b,a-b>=
|+||-|
=
→
→
→
||cos∠PAB 表示在上的投影向量的数量,所以结合图形可知,
当 P 与 C 重合时投影向量的数量最大,当 P 与 F 重合时投影向量的数量
→
→
→
→
最小.又·=2 ×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=
高三一轮复习--28平面向量的数量积及平面向量的应用
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2．(2012· 永州模拟)已知平面上三点A、B、C满足| ＝6，|
BC |＝8，| C A
AB
| ＋ )
|＝10，则
AB
B ·C
＋
BC
C ·A
A C A · B 的值等于
( B．96 D．－96
)
A ＝C A · C ＝－ A C 2＝－100.
答案：C
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[做一题] [例 2] (1)(2011· 重庆高考)已知单位向量 e1，2 的夹角为 60° 则|2e1 e ， －e2|＝________. (2)若 a＝(1,2)，b＝(1,1)，且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是________．
答案： 10
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[做一题] [例4] 设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β， 4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
[自主解答]
(1)由a与b－2c垂直，
解析：设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有(a＋2b)· (a－b)＝a2 1 ＋a· b－2b ＝－7＋2cos θ＝－6，所以 cos θ＝ ， 2
2
π 因为 0≤θ≤π，所以 θ＝ . 3 π 答案：3
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1．平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义 已知两个 非零 向量a和b，它们的夹角为θ，把数量
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[通一类] 5．已知平面向量 α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β| 的值是________．