数学人教版九年级上册二次函数与实际问题
课题： 29.1.1 投影一、教学目标①理解投影的定义及投影的几种形式②能够辨别不同事物的投影③培养学生的抽象思维能力并能辨别不同事物的影子二、重点难点重点：理解投影的定义及认识投影的主要类型。
难点：辨别不同物体的投影。
三、教法建议教学流程：观察图片→投影定义→投影的两种类型→运用知识辨别影子教学方式：教师引导和启发，师生互动，学生合作探究。
四、学法指导请阅读教材投影的知识，并加以理解，独立进行活动1，检测自己的学力。
五、教、学、练活动程序【活动1】实施诊断性评价1、在太阳下，相同时刻，物体的影长与高度成正比，物体越高，其影子也就 .2、球在灯光下的影子的形状是。
【活动2】观察与探索观察下面一组图片，它们有什么共同的特征？归纳：投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
皮影戏是利用灯光的照射，把影子的形态反映在银幕（投影面）上的表演艺术归纳：平行投影的定义：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。
由平行光线形成的投影是平行投影。
例如，物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影，日影的方向可以反映时间，我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的。
归纳：中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。
例如：物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影。
【活动3】练习与思考【活动4】问题与探究下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么区别？分析：图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图（2）（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面。
归纳：像图（3）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，否则，产生的投影是斜投影。
在实际制图中，人们经常采用正投影。
【活动5】问题与探究：如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB ）放在三个不同位置：（1）铁丝平行于投影面；（2）铁丝倾斜于投影面；（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？归纳1：通过观察，我们可以发现：（1）当线段AB 平行于投影面P 时，它的正投影是线段11B A ，线段与它的投影的大小关系为AB______11B A ；（2）当线段AB 倾斜于投影面P 时，它的正投影是线段22B A ，线段与它的投影的大小关系为AB______22B A ；（3）当线段AB 垂直于投影面P 时，它的正投影是一个点3A 。
归纳2：当线段平行于投影面时，这个线段的正投影等于这个线段。
六、形成性评价1.图中所示投影是中心投影的是 ( )2.如图所示四幅情形中,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影长可能是( )课题： 29.1.2 投影一、教学目标①理解投影的定义及投影的几种形式②能够辨别不同事物的投影③培养学生的抽象思维能力并能辨别不同事物的影子二、重点难点重点：理解投影的定义及认识投影的主要类型。
难点：辨别不同物体的投影。
三、教法建议教学流程：观察图片→投影定义→投影的两种类型→运用知识辨别影子教学方式：教师引导和启发，师生互动，学生合作探究。
四、学法指导请阅读教材影的知识，并加以理解，独立进行活动1，检测自己的学力。
五、教、学、练活动程序【活动1】实施诊断性评价：1、一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的_______，照射光线叫做_______ ___，投影所在的平面叫做____ ______。
2、由______ 光线形成的投影是平行投影。
3、由______________ ___的光线形成的投影叫做中心投影。
4、投影线______ __投影面产生的投影叫做正投影.【活动2】探究与发现：如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同位置：（1）纸板平行于投影面；（2）纸板倾斜于投影面；（3）纸板垂直于投影面。
分析：通过观察、测量可知：（1）当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样；（2）当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小发生变化；（3）当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段。
归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。
【活动3】例题与应用：例：画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影。
（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面P（如图（1））；（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P（如图（2））。
分析：（1）当正方体在如图（1）的位置时，正方体的一个面ABCD及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形A’B’C’D’。
正方形A’B’C’D’的四条边分别是正方体其余四个面（这些面垂直于投影面）的投影。
因此，正方体的正投影是一个小正方形。
（2）当正方体在如图（2）的位置时，它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A’B’C’D’和A’B’G’F’；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下底面的投影分别是线段D’F’和C’G’.因此,正方体的投影是矩形F’G’C’D’,其中线段A’B’把矩形一分为二.解：（1）如图（1），正方体的正投影为正方形A’B’C’D’，它与正方体的一个面是全等关系。
（2）如图（2），正方体的正投影为矩形F’G’C’D’，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长、矩形的宽等于正方体的棱长。
矩形上、下两边中点连线A’B’是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影.练习与思考：【活动4】例题与应用：投影线的方向如箭头所示,画出图中圆锥的正投影.分析：（1）当投影线由物体上方射到下方时,圆锥的侧面的投影在底面圆上,因此此时的正投影是一个圆;（2）当投影线由物体左方射到右方时,圆锥的侧面的投影是三角形(无底边),底面圆的正投影成一条线段(即圆的直径),所以此时的正投影是三角形.解:总结：在具体观察物体某个面正投影时,以自己的视线当投影线,从而抽象出这个面的正投影主要的轮廊线,于是得到它在投影面上的正投影.六、形成性评价：1、判断下列说法是否正确,对的划“√”,错的划“×”.(1)直线的平行投影一定是直线. ( )(2)矩形的正投影一定是矩形. ( )(3)一个圆在平面上的平行投影可能是圆,也可能是椭圆或线段. ( )2、小华拿一个矩形木框在阳光下玩,矩形木框在地面上形成的投影不可能是图中的 ( )3、画出如图所示物体的投射线由前方射到后方的正投影.解:________ __________ ___________4、画出如图所示物体的正投影(正三棱柱)（1）投影线由物体前方射到后方;（2）投影线由物体左方射到右方;（3）投影线由物体上方射到下方.七、小结与反思课题：29.2.1 三视图一、教学目标：①明确什么是三视图②会作出简单几何体的三视图③通过学习和实践活动，体会数学与现实生活的密切联系，了解数学的价值，增进学好数学的信心．二、重点难点：重点：简单几何体的三视图的作法难点：三视图与几何体之间的关系三、教法建议：让学生亲自动手,多观察四、学法指导：预习课本三视图的知识，并加以理解，独立进行活动1，检测自己的学力五、教、学、练活动程序：【活动1】实施诊断性评价：1.小明在操场上练习双杠时,在练习的过程中,发现在地上双杠的影子 ( )A.相交B.平行C.重直D.无法确定2.下列光线所形成的投影不是中心投影的是 ( )A.太阳光线B.台灯的光线C.手电筒的法光线D.路灯的光线3.当线段垂直于投影面是,它的正投影是一个 .【活动2】问题与探索：视图的定义：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图本章中，我们只讨论三视图。
下图是同一本书的三个不同的视图问题：你能说出这三个视图分别是从哪个方向观察这本书时得到的吗？【活动3】问题与探索主视图、俯视图、左视图的定义：如图，我们用三个互相垂直的平面（例如墙角处的三面墙壁）作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面。
一个物体（例如一个长方体）在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的有左向右观察物体的视图，叫做左视图。
归纳:三视图的位置有规定,主视图要在左上边,它下方应是俯视图,左视图坐落在右边.分析：三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高，左视图与俯视图表示同一物体的宽归纳：画三视图时,要使主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等.【活动4】问题与探索：例1、画出图中所示一些基本几何体的三视图。
分析：画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们。
具体画法为：1、确定主视图的位置，画出主视图；2、在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；3、在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”。
解答：【活动5】形成性评价1.画出下面每种物品所对应的三视图.课题：29.2.2 三视图一、教学目标：①会根据三视图想象实物图形②逐步培养学生的空间想象能力。
③培养学生良好的思维方式和创新精神。
二、重点难点：重点：根据三视图想象实物图形难点：三视图与几何体之间的关系三、教法建议：让学生亲自动手,多观察四、学法指导：预习课本三视图的知识，并加以理解，独立进行活动1，检测自己的学力五、教、学、练活动程序【活动1】实施诊断性评价1．在下图中，图甲是图乙的（）A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图2．画出如图中物体的俯视图，其中正确的一个是（）【活动2】问题与探索例4 根据三视图说出立体图形的名称．分析：由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形．解：（1）从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出：整体是长方体。
（2）从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形；从上面看，图象是圆；可以想象出：整体是圆锥。
【活动3】问题与探索例5 根据物体的三视图描述物体的现状．分析：由主视图可知，物体正面是正五边形；由俯视图可见到，两条棱（虚线）被遮挡；由左视图可知，物体的侧面是矩形的，且有一条棱（中间的实线）可见到．综合各视图可知，物体是五棱柱形状的．解：【活动4】形成性评价：2、根据下列三视图，分别说出它们表示的物体的形状：3、根据下面的三视图说出这几个几何体是怎样由四个正方体组合而成的。
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》二次函数教学说课(第2课时)
【内化导行】
课堂小结： （1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？本节课还有
哪些疑惑？说一说！ （2）知识网络：
【内化导行】
布置作业： 教材第51页习题22.3第2，8题
第二十二章 二次函数
实际问题与二次函数
第3课时
【情感预热】
问题1 （1）欣赏一组石拱桥的图片（如图22－3－26），观察桥拱的形状.这 组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物 线知识来解决吗？
第二十二章 二次函数
实际问题与二次函数
第2课时
【情感预热】
问题1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调 整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20 件．已知商品的进价为每件40元，应如何定价才能使利润最大？
[解]分两种情况讨论： ①设每件涨价x元，利润为y元．根据题意，得 y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000(0≤x≤30)． 因为a＝－10<0，所以函数有最大值． 当x＝5时，y有最大值为6250.
【情感预热】
问题1 （2）步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉（如图22－3－27）， 喷泉的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？
【合作互动】
问题2 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米， 则水面宽度将增加多少米？
[解]以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，
【合作互动】
问题3 例1 一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示，设水管AB在高出地面1.5 米的B处有一自动旋转的喷水头，其喷出的水流成抛物线形.喷头B与水流最 高点C的连线与水管AB之间夹角为135°（即∠ABC=135°），且水流最高点 C比喷头B高2米.试求水流落点D与A点的距离.（精确到0.1米）
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习题附答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y=﹣112x 2+23x+53．则他将铅球推出的距离是（ ）m ． A ．8B ．9C ．10D ．112．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高（ ） A ．4元或6元B ．4元C ．6元D ．8元3．为了响应“足球进校园”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛．在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式 ℎ=−5t 2+v 0t 表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，v 0(m ／s)是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ） A ．5m ／sB ．10m ／sC ．20m ／sD ．40m ／s4．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y ＝－n 2＋15n －36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ） A ．1月，2月 B ．1月，2月，3月 C ．3月，12月D ．1月，2月，3月，12月5．小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x ，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．y=500(x+1)2B ．y=x 2+500C ．y=x 2+500xD ．y=x 2+5x6．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t 秒时球的高度为h 米，h 和t 满足公式：表示球弹起时的速度，g 表示重力系数，取 g =10 米/秒2) ，则球不低于3米的持续时间是（ ） A ．0.4 秒B ．0.6 秒C ．0.8 秒D ．1秒7．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 y =−125x 2 ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（ ）A．2m B．4m C．10m D．16m8．如图，已知二次函数y=mx2-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（）A．√3B．√2C．√22D．√33二、填空题9．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y=−2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是m .10．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.(精确到1米)11．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于．12．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是m.三、解答题13．建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2√6米，此时水位上升了多少米？14．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．15．某造纸厂生产甲、乙两种生活用纸的相关信息如下表，其中x（吨）表示甲、乙两种生活用纸的月产量，请根据表中的信息解答后面的问题：种 品价 目出厂价（元/吨） 成本价（元/吨）排污处理费甲种生活用纸48002200200（元/吨）每月还需支付设备管理、维护费20000元乙种生活用纸7000﹣10x1600400（元/吨） （1）设该造纸厂每月生产甲、乙两种生活用纸的利润分别为y 1元和y 2元，分别求出y 1和y 2与x 的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；（2）若某月要生产甲、乙两种生活用纸共300吨，求该月生产甲、乙两种生活用纸各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？16．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S ．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）并求出当AB 的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？17．某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品.成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，当x=40时，y=300；当x=55时，y=150． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围．18．如图，抛物线L ：y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （3，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．C2．C3．C4．D5．A6．A7．B8．D9．310．8√511．√512．15413．解：以点E为原点、EF所在直线为y轴，垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系根据题意知E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3）设y=kx2（k＜0）将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣13x2∴y=﹣13将x=√6代入，得：y=﹣2∴上升了1米．14．（1）解：设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得：x=82 答：每套课桌椅的成本为82元（2）解：60×（100﹣82）=1080（元）答：商店获得的利润为1080元15．解：（1）依题意得：y 1=（4800﹣2200﹣200）x ﹣20000=2400x ﹣20000 y 2=（7000﹣10x ﹣1600﹣400）x=﹣10x 2+5000x ；（2）设该月生产乙种生活用纸m 吨，则生产甲种生活用纸（300﹣m ）吨，总利润为W 元 依题意得：W=2400（300﹣m ）﹣20000﹣10m 2+5000m =720000﹣2400 m ﹣20000﹣10 m 2+5000m =﹣10 m 2+2600 m+700000 ∵W=﹣10（m ﹣130）2+869000． ∵﹣10＜0∴当m=130时，W 最大=869000即生产甲、乙生活用纸分别为170吨和130吨时总利润最大，最大利润为869000元． 16．（1）解：∵围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 AB=EF=CD=x 米，BC=（24-3x ）米 S=（24-3x ）x =-3x 2+24x （平方米） ∵x > 0,且 15≥24-3x > 0 ∴3≤x <8S=-3x 2+24x （ 3≤x <8 ）（2）解：S=（24-3x ）x =-3x 2+24x =-3（x-4）2+48 ∵a=-3<0，二次函数图形开口向下，函数有最大值 当x=4时，S 最大=48平方米∴当AB 长为4m ，宽BC 为12m 时，有最大面积，最大面积为48平方米． 17．（1）解：设y 与x 之间的函数关系式： y =kx +b 由题意得： {40k +b =30055k +b =150 ，解得： {k =−10b =700∴y 与x 之间的函数关系式为： y =−10x +700 （2）解：设利润为 w 元由题意，得 −10x +700≥240 ，解得 x ≤46 则 w =(x −30)(−10x +700) =−10x 2+1000x −21000=−10(x −50)2+4000 ∵−10<0∴x <50 时， w 随 x 的增大而增大 ∴x =46 时答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 （3）解： w −150=−10x 2+1000x −21000−150=3600 −10(x −50)2=−250 解得： x 1=55 结合二次函数图象可得：当 45≤x ≤55 时，捐款后每天剩余利润不低于3600元 18．（1）解：∵抛物线的对称轴x=1，B （3，0） ∴A （﹣1，0）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点C （0，3） ∴当x=0时，c=3．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （﹣1，0），B （3，0） ∴{a −b +3=09a +3b +3=0 ∴{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 （2）解：∵C （0，3），B （3，0） ∴直线BC 解析式为y=﹣x+3 ∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4 ∴顶点坐标为（1，4）∵对于直线BC ：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L 向下平移h 个单位长度 ∴当h=2时，抛物线顶点落在BC 上； 当h=4时，抛物线顶点落在OB 上∴将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC 的边界）则2≤h≤4（3）解：设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n）①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N 点，如图所示：∵B（3，0）∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形∴∠BPQ=90°，BP=PQ则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP在△PQM和△BPN中∴△PQM≌△BPN（AAS）∴PM=BN∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6解得：m=1或m=0∴P（1，4）或P（0，3）．②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点同理可得△PQM≌△BPN∴PM=BN∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3则3+m=m2﹣2m﹣3解得m= 3+√332或3−√332．∴P（3+√332，−√33−92）或（3−√332，√33−92）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（3+√332，−√33−92）和（3−√332，√33−92）．。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(3)1优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们建立完整的知识体系；
2.学生通过总结归纳，巩固所学知识，提高他们的自我认知能力；
3.教师对学生的总结归纳进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
4.引导学生发现二次函数在实际问题中的应用规律，培养他们的实践能力。
（三）学生小组讨论
1.教师提出具有挑战性和开放性的课题，让学生在小组内进行讨论和合作交流；
2.引导学生运用所学知识，分析问题、解决问题，提高他们的实践能力和团队协作精神；
3.鼓励学生分享自己的观点和思考，培养他们的表达能力和批判性思维；
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1为例，旨在通过实际问题引导学生理解和掌握二次函数的性质和应用。在教学过程中，我以生活实际为载体，设计了一系列具有代表性的例题和练习，让学生在解决实际问题的过程中，深化对二次函数的理解，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
在案例背景中，我充分考虑了学生的年龄特点和知识水平，以符合九年级学生的认知发展需求。在教学设计上，我注重启发式教学，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索二次函数的性质和实际应用。同时，我还关注学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在数学学习中找到适合自己的路径，从而提高他们的自信心和积极性。
4.教师对小组合作过程进行指导和评价，确保学生能够从合作中获得充分的提升。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和方法，提高他们的自我认知能力；
数学人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数 PPT课件
时, 二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
3．类比引入, 探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地, 矩形面积 S
随矩形一边长ห้องสมุดไป่ตู้l 的变化而变化．当 l 是多少米时, 场地
的面积 S 最大?
解:
S
（60 2
l）l
,
整理后得 S l2 30l（0＜l＜30）．
2．探究二次函数利润问题
问题4 在降价情况下, 最大利润是多少? 请你参考上述的讨 论, 自己得出答案．
由上面的讨论及现在的销售情况, 你知道应如何定价 能使利润最大了吗?
三．探究3“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥, 当拱顶离水面 2 m时, 水面宽 4 m . 水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
（1） 题目中有几种调整价格的方法? （2） 当每件涨 1 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润呢? （3） 最多能涨多少钱呢? （4） 当每件涨 x 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润 y 呢?
2．探究二次函数利润问题
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数
一．探究一 1.创设情境, 引出问题
从地面竖直向上抛出一小球, 小球的高度 h（单位: m）与小球的运动时间 t（单位: s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时, 小
球最高? 小球运动中的最大高度是多少?
t
b 2a
y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）．
人教版数学九年级上册实际问题与二次函数课件
对称轴：x=2；
3
对称轴：x=− ；
2
顶点坐标：(2，－9)；
顶点坐标：( − ，
最小值：－9；
3
2
最大值：
25
4
.
25
4
)；
新知探究
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运
动时间 t(单位：s)之间的关系式是h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间
是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
是多少？(铝合金型材宽度不计)
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为
这里应有x＞0，
6−3
＞0，
2
6−3
m.
2
故0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
=∙
6−3
2
x
例题探究
当 =
− 时，二次函数
2
值 =
4−2
．
4
y = ax 2 ＋ bx ＋ c 有最小(大)
h/m
=
−
2
=
30
−
2×(−5)
ℎ=
4−2
4
−302
4×(−5)
=
= 3，
40
= 45．
20
O
h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)
1
2 3
4
5 6 t/s
小球运动的时间是 3s 时，小球最高. 小球运动中的最大高度是 45 m．
墙长18m，这个矩形的长、宽
各为多少时，菜园的面积最大， 问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？
则如何表示另一边？
最大面积是多少？
22.3 实际问题与二次函数(商品利润问题)课件人教版数学九年级上册
巩固练习
该怎么解这个题 目呢？
本题是以文字信息形式出现的求最大总收入的 实际应用问题，解题时要抓住题目中关键词语， 对信息进行梳理，分析，建立二次函数模型。
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑 单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0, 因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？ 即：y=-20x2+100x+6000，
复习回顾
利润问题 一.几个量之间的关系. 1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量 二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
新课导入
某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？
巩固练习
解析 总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。 (2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。 由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］ =-5x2+330x-4600 =-5（x-33）2+845 当x=33时，y的最大值是845. 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
新课导入
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大铸量等问题，解此类题的关健 是通过题意，找出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围。
人教版九年级数学上册(教案)：22.3实际问题与二次函数-利润
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数在解决实际问题中的应用，尤其是如何计算最大利润。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在总结回顾环节，我尝试让学生自己总结课堂所学，并提出疑问。这种方式有助于巩固知识，也让我了解到学生在学习过程中存在的问题。今后，我会更加注重课堂小结，让学生在总结中不断提升自己。
5.培养学生对数学美的鉴赏能力，激发学习兴趣，树立正确的数学观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握利用二次函数解决实际生活中的利润问题。
举例：根据实际情境，构建二次函数模型，求解最大利润及对应的销售量。
（2）熟练运用二次函数的性质，分析并解决实际问题。
举例：通过二次函数的顶点公式，求解最值问题，并将其应用于实际利润问题中。
（2）在实际问题中，如何正确确定二次函数的系数。
难点解析：学生需要掌握根据实际问题情境，分析并确定二次函数各系数的方法。
（3）将实际问题转化为二次函数模型，并求解出具有实际意义的答案。
难点解析：学生需要学会将现实问题抽象成数学模型，然后运用数学知识求解，并解释结果的实际意义。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，采用适当的教学方法，如实例演示、分组讨论、问题引导等，帮助学生理解并掌握这些核心知识。同时，注重引导学生将数学知识应用于实际生活，提高学生的数学应用能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数在解决实际问题中的应用。二次函数是描述变量间二次关系的一种数学模型。它在解决最大值或最小值问题，如成本、收益和利润等方面具有重要作用。
部编人教版九年级数学上册22.3.2 用二次函数求实际中的应用问题(课件)
知2－讲
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知 道应如何定价能使利润最大了吗？ 定价为65元时，利润最大.
总结
知2－讲
用二次函数解决最值问题的一般步骤： (1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的
实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通
过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
知2－讲
(1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变 化．我们先来确定y随x变化的函数解析式．涨价x元时， 每星期少卖_1_0_x__件，实际卖出(_3_0_0_－__1_0_x_)_件，销售额 为_(_6_0_＋__x_)_(_3_0_0_－__1_0_x_)元，买进商品需付_4_0_(_3_0_0_－__1_0_x_)
知识点 1 用二次函数解析式表示实际问题
知1－讲
运用二次函数的代数模型表示实际问题时，实际上 是根据实际问题中常量与变量的关系，构造出 y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k或y=a(x-x1)(x-x2)等二次函 数模型，为运用二次函数的性质解决实际问题奠定 基础.
知1－讲
例1 某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日 租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增 加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各 项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y 元，(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 (_1__4_0_0_－__5_0_x_)_(_0_≤__x_≤__2_0_)_元(用含x的代数式表示)； (2)求租赁公司日收益y(元)与每日租出汽车的辆数x之 间的函数关系式．
知1－讲
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张PPT)
合作探究 达成目标
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为: 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x 轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面 直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
思考：飞机从着陆的一瞬间开始计时，到滑行到最远 距离停下来所用的时间即为所求，也就是使S取得什 么值时的t的值？
解： s=60t-1.5t2
=-1.5(t-20)2+600
∴当t=20时，s最大，此时飞机才能停下来。
合作探究 达成目标
探究点二 用二次函数解决生活中的实际问题
实际问题
抽象 转化
运用 数学问题 数学知识 问题的解决
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
合作探究 达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴这时水面的宽度为: ∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
“二次函数应用”的思路 回顾上一节“最大利润”和本节“桥梁建筑”解决问题的 过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴 交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
D B
y=-2x2
达标检测 反思目标
102
感谢关注！
创设情境 明确目标