2019-2020学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
一、选择题：（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 ( )
A． 1 3
B． 3 3
C． 1 2
2．倾斜角为135 ，在 y 轴上的截距为 1 的直线方程是 ( )
D． 3 2
B． (, 1) 4
C． ( 3 , ) 4
【解答】解： BD (DA AB) ，设 CAB (0, ) ，
D． (1 , 3) 44
所以
BDCD
(DA
AB)DA
[( 1
CA)2
x
的取值．
63
16．（13 分）在 ABC 中， a2 c2 b2 ac ．
（1）求 cos B 的值；
（2）若
cos
A
1 7
，
a
8
，求
b
以及
SABC
的值．
17．已知 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的短轴长 2
3 ，离心率为 1 ，圆 O : x2 y2 b2 ． 2
)
A．0
B．1
C．2
D． 2 2
【解答】解： O 为 F1F2 的中点，
PF1 PF2 2PO ，可得 | PF1 PF2 | 2 | OP |
当点 P 到原点的距离最小时， | OP | 达到最小值， | PF1 PF2 | 同时达到最小值．
1 CAAB]
1
1
cos(
)
2
2
42
(1 1 cos ) ( 3 , 1) ．
42
44
故选： A ．
二、填空题：（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9．双曲线 x2 y2 1 的渐近线方程为 y 2x ．
2 【解答】解：双曲线 x2 y2 1 的 a 1 ， b 2 ，
，求数列 {dn} 的通项公式；
（2）证明：“数列{an} 单调递增”是“ n N * ， dn 0 ”的充要条件； （3）若 dn an 对任意 n N * 恒成立，证明：数列{an} 的通项公式为 an 0 ．
-3-
2019-2020 学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷
（1）求椭圆 C 和圆 O 的方程；
（2）过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点，| AB | 16 ，若直线 l 于圆 O 交于 M ， 5
N 两点，求直线 l 的方程及 OAB 与 OMN 的面积之比．
-2-
18．（13 分）已知函数 f (x) (ax a)ex （其中 e 2.71828) ， g(x) x2 bx 2 ，已知 f (x) 和 g(x) 在 x 0 处有相同的切线． （1）求函数 f (x) 和 g(x) 的解析式； （2）求函数 f (x) 在区间 [3 ， 3] 上的最大值和最小值； （3）判断函数 F (x) 2 f (x) g(x) 2 的零点个数，并说明理由．
x2 a2
y2 b2
1的一条渐近线，其倾斜角为 4
，且 C
的右焦点为 (2,0) ，
则 C 的右顶点为 ， C 的方程为 ．
12．已知圆的方程为 x2 y2 2x 8y 8 0 ，过点 P(1, 0) 作该园的一条切线，切点为 A ，那
么线段 PA 的长度为 ．
13．若 O1 : x2 y2 5 与 O2 : (x m)2 y2 20(m R) 相交于 A 、B 两点，且两圆在点 A 处
由直线方程的斜截式得： y 1 x 1 ，
即 y x 1，
故选： D ． 3．过点 (1, 2) 且与直线 2x 3y 4 0 垂直的直线方程为 ( )
A． 3x 2 y 1 0 B． 3x 2 y 7 0 C． 2x 3y 5 0 D． 2x 3y 8 0 【解答】解：所求直线方程与直线 2x 3y 4 0 垂直，设方程为 3x 2 y c 0 直线过点 (1, 2) ，3 (1) 2 2 c 0 c 1 所求直线方程为 3x 2 y 1 0 ．
则： AOB 的边长为 1，
则：圆心 (0,0) 到直线 x y m 0 的距离 d m 3 ， 22
解得： m 6 ． 2
故选： D ．
8．在 ABC 中， AB AC 1 ， D 是 AC 的中点，则 BDCD 的取值范围是 (
)
A． ( 3 , 1) 44
故选： A ．
-4-
5．已知椭圆
x2 4
y2 3
1 的两个焦点为
F1 ， F2
，
M
是椭圆上一点，且 |
MF1
| | MF2
| 1则△
MF1F2 是 (
)
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
【解答】解：由题意，
| F1F2 | 2 ， | MF1 | | MF2 | 4 ，
参考答案与试题解析
一、选择题：（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 ( )
A． 1 3
B． 3 3
C． 1 2
D． 3 2
【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， a 2b ，椭圆的离心率 e c 3 ， a2
2 可得渐近线方程为 y b x ，
a 即有 y 2x ．
故答案为： y 2x ． 10．已知圆 C 的圆心在直线 x y 0 上，过点 (2, 2) 且与直线 x y 0 相切，则圆 C 的方程
-6-
是 (x 1)2 ( y 1)2 2 ．
【解答】解：根据题意，圆 C 的圆心在直线 x y 0 上，设圆 C 的圆心为 (a, a) ，半径为 r ； 又由圆 C 过点 (2, 2) 且与直线 x y 0 相切，则有 r2 (a 2)2 (a 2)2 ( 2a )2 ，
| MF1 | | MF2 | 1 ，
|
MF1
|
5 2
，|
MF2
|
3 2
，
| MF2 |2 | F1F2 |2 | MF1 |2 ，
故选： B ．
6．已知点 F1 、 F2 是椭圆 x2 2 y2 2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么
| PF1 PF2 | 的最小值是 (
MF1F2 是 (
)
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
6．已知点 F1 、 F2 是椭圆 x2 2 y2 2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么
| PF1 PF2 | 的最小值是 (
)
A．0
B．1
C．2
D． 2 2
7．已知直线 x y m 0 与圆 O : x2 y2 1 相交于 A ， B 两点，且 AOB 为正三角形，则
的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 ．
14．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b
0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 的直线与 C
的
两条渐近线分别交于
A
，
B
两点．若
F1 A
AB
，
F1BF2B
0
，则
C
的离心率为
．
故选： D ．
2．倾斜角为135 ，在 y 轴上的截距为 1 的直线方程是 ( )
A． x y 1 0
B． x y 1 0
C． x y 1 0
D． x y 1 0
【解答】解：直线倾斜角是135 ，
直线的斜率等于 1 ， 在 y 轴上的截距是 1 ，
D． (1 , 3) 44
二、填空题：（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9．双曲线 x2 y2 1 的渐近线方程为
．
2
10．已知圆 C 的圆心在直线 x y 0 上，过点 (2, 2) 且与直线 x y 0 相切，则圆 C 的方程
-1-
是
．
11．已知 l
为双曲线 C :
故选： A ．
4．设 m 是不为零的实数，则“ m 0 ”是“方程 x2 y2 1表示的曲线为双曲线”的 (
)
mm
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：方程 x2 y2 1表示的曲线为双曲线 m 0 ． mm
“ m 0 ”是“方程 x2 y2 1表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件． mm
实数 m 的值为 ( )
A． 3
B． 6
C． 3 或 3
D． 6 或 6
2
2
2
2
2
2
8．在 ABC 中， AB AC 1 ， D 是 AC 的中点，则 BDCD 的取值范围是 (
)
A． ( 3 , 1) 44
B． (, 1) 4
C． ( 3 , ) 4
19．已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
2019-2020学年北京市清华附中高二(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市清华附中高二（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．不能确定2．（3分）已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．13．（3分）设函数f（x）＝2x+﹣1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数4．（3分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．85．（3分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．46．（3分）上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A．13时～14时B．16时～17时C．18时～19时D．19时～20时7．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S﹣ABC的体积是（）A．4B．6C．4D．68．（3分）设平面α与平面β相交于直线m，直线b在平面α内，直线c在平面β内，且c⊥m，则α⊥β是c⊥b的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD 的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于（）A．120°B．60°C．75°D．90°10．（3分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[，π]）的部分图象如图所示，且f（x）上[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．（，]D．（，]二、填空题（共5小题）.11．（3分）若双曲线的一个焦点为（2，0），则b＝；其离心率为．12．（3分）点A（1，0）和点都在单位圆O上，记∠AOB＝α，则sin2α＝．13．（3分）已知O为坐标原点，A（0，3，5），B（2，2，0），C（0，5，0），直线BD ∥CA，且BD与坐标平面xOz相交于点D，则点D的坐标为．14．（3分）已知线段AB的长度为4，P为任意一点，则的最小值为．15．（3分）方程+＝﹣1的曲线即为函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）＝4f（x）+3x存在零点；③函数y＝f（x）的值域是R；④f（x）的图象不经过第一象限；其中正确的命题序号为．三、解答题16．如图，在△ABC中，D为BC上一点，，BD＝2，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°．（1）求AD的长以及∠BAD；（2）求△ABC的面积．17．设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知满足______，求公比q以及a12+a22+…+a n2．从①a2a5＝﹣32且a3+a4＝﹣4，②a1＝1且S6＝9S3，③S2＝a3﹣1且S3＝a4﹣1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，PA＝PC，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，点M是棱PA的中点．（1）求证：PA⊥平面PBC；（2）求直线PA与平面MBC所成角的正弦值；（3）设点N是线段BM的中点，棱PC上是否存在点F，使得NF∥平面ABC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于P，Q两点，|PQ|＝4．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线l的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，直线OA与准线l 交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与准线l交于点N．求证：O，B，N三点共线．20．已知函数，其中m∈[0，1]．（1）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3．21．设n为给定的大于2的正整数，集合S＝{1，2，…，n}，已知数列A n：x1，x2，…，x n满足条件：①当1≤i≤n时，x i∈S；②当1≤i＜j≤n时，x i≠x j．如果对于1≤i＜j≤n，有x i＞x j，则称（x i，x j）为数列A n的一个逆序对．记数列A n的所有逆序对的个数为T（A n）．（1）若T（A4）＝1，写出所有可能的数列A4；（2）若T（A n）＝2，求数列A n的个数；（3）对于满足条件的一切数列A n，求所有T（A n）的算术平均值．参考答案一、选择题1．（3分）已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．不能确定解：∵M∩N＝{2}，∴2∈M而M＝{0，x}则x＝2∴M∪N＝{0，5，2}故选：C．2．（3分）已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a+b＝1，故选：D．3．（3分）设函数f（x）＝2x+﹣1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数解：∵x＜0，∴，当且仅当即x＝取等号故选：A．4．（3分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．8解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a8成等比数列，∴，解得d＝﹣2，故选：A．5．（3分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC＝，CD＝，所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，故选：C．6．（3分）上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A．13时～14时B．16时～17时C．18时～19时D．19时～20时解：结合函数的图象可知，在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间故选：B．7．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S﹣ABC的体积是（）A．4B．6C．4D．6解：如图，因为∠ABC＝，所以AC＝＝2，又因为∠SAB＝，即SA⊥AB，AB∩AC＝A，SA⊄平面ABC，所以SA⊥平面ABC，故选：C．8．（3分）设平面α与平面β相交于直线m，直线b在平面α内，直线c在平面β内，且c⊥m，则α⊥β是c⊥b的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：先看充分性当α⊥β时，因为α∩β＝m，c在β内且c⊥m，所以c⊥α再看必要性此时平面β经过平面α的斜线，不一定得到α⊥β．故必要性不能成立故选：A．9．（3分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD 的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于（）A．120°B．60°C．75°D．90°解：建立坐标系如图，B（2，0，0），A（2，2，2），G（0，0，1），F（1，1，7），C1（0，0，7），E（1，2，1）．∴cos＜，＞＝，cosβ＝，sinβ＝，∴α+β＝90°，故选：D．10．（3分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[，π]）的部分图象如图所示，且f（x）上[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．（，]D．（，]解：由题意知，f（x）＝sin（ωx+φ），∵f（0）＝，φ∈[，π]）∴φ＝，∵f（x）上[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴≤ω＜．故选：B．二、填空题11．（3分）若双曲线的一个焦点为（2，0），则b＝；其离心率为2．解：双曲线的一个焦点为（2，0），可得1+b2＝4，解得b＝，故答案为：；2．12．（3分）点A（1，0）和点都在单位圆O上，记∠AOB＝α，则sin2α＝﹣．解：由题意可得：sinα＝，cosα＝﹣，∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝﹣．故答案为：﹣．13．（3分）已知O为坐标原点，A（0，3，5），B（2，2，0），C（0，5，0），直线BD ∥CA，且BD与坐标平面xOz相交于点D，则点D的坐标为（2，0，5）．解：∵O为坐标原点，A（0，3，5），B（2，2，8），C（0，5，0），直线BD∥CA，且BD与坐标平面xOz相交于点D，∵BD∥CA，∴，解得a＝2，c＝5，故答案为：（2，0，5）．14．（3分）已知线段AB的长度为4，P为任意一点，则的最小值为﹣4．解：以AB的中点为原点建立如图所示坐标系；则A（﹣2，0），B（2，0），P（x，y）；∴＝（﹣6﹣x）•（2﹣x）+（﹣y）（﹣y）＝x2+y2﹣4；故答案为：﹣8．15．（3分）方程+＝﹣1的曲线即为函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）＝4f（x）+3x存在零点；③函数y＝f（x）的值域是R；④f（x）的图象不经过第一象限；其中正确的命题序号为①③④．解：根据题意画出方程+＝﹣1的曲线即为函数y＝f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．①f（x）在R上单调递减；正确．②由于4f（x）+3x＝2即f（x）＝﹣，从而图形上看，函数f（x）的图象与直线y＝﹣没有交点，故函数F（x）＝4f（x）+8x不存在零点；不正确．③函数y＝f（x）的值域是R；正确．④f（x）的图象不经过第一象限，正确．故答案为：①③④．三、解答题16．如图，在△ABC中，D为BC上一点，，BD＝2，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°．（1）求AD的长以及∠BAD；（2）求△ABC的面积．解：（1）因为求得AD＝2，故∠ABC＝∠BAD＝30°；求得，17．设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知满足______，求公比q以及a12+a22+…+a n2．从①a2a5＝﹣32且a3+a4＝﹣4，②a1＝1且S6＝9S3，③S2＝a3﹣1且S3＝a4﹣1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．解：若选①，则有a2a5＝a3a4＝﹣32，故有a3a3＝﹣32，a3+a4＝﹣4，解得a3＝4，a4＝﹣8，或a3＝﹣8，a4＝4，即q＝﹣2或．因为是以为首项，q6为公比的等比数列，或，a1＝﹣32，此时．因为是以为首项，q2为公比的等比数列，所以．令（**）式减（*）式，得a3＝a4﹣a3，即a4＝3a3，故q＝2．因为是以为首项，q2为公比的等比数列，所以．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，PA＝PC，AC⊥BC，AC ＝2，BC＝1，点M是棱PA的中点．（1）求证：PA⊥平面PBC；（2）求直线PA与平面MBC所成角的正弦值；（3）设点N是线段BM的中点，棱PC上是否存在点F，使得NF∥平面ABC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC，因为PA⊥PC，PA⊥BC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，（2）解：在平面PAC内，过点P作PD⊥AC，点D为垂足，过点C作直线l∥PD，∴PD⊥平面ABC，以C为原点直线CB，CA，l分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），A（0，7，0），P（0，1，1），，则，，∴，不妨设y＝1，则，故直线PA与平面MBC所成角的正弦值为．（3）解：设，λ∈（0，1），则∴，因为NF∥平面，即从而．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于P，Q两点，|PQ|＝4．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线l的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，直线OA与准线l 交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与准线l交于点N．求证：O，B，N三点共线．解：（1）由题意可得|PQ|＝2p＝4，则p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x；（2）设直线AB：x＝ty+6，联立，得y2﹣4ty﹣4＝0．则△＝16t3+16＞0，法1：直线，由得，故点．直线，则点N（﹣1，y1），直线OB的斜率由得．所以O，B，N三点共线．由y1y2＝﹣4，得M（﹣1，y2）．直线，得点．由y1y2＝﹣4，得N（﹣1，y1）．直线OB的斜率由得．由y1y6＝﹣4，得k OB＝﹣y1．法3：（8）∵|PQ|＝4，∴|PF|＝2，∴2|OF|＝2，∴OF＝1，F（4，0），（2）设直线AB：x＝my+1，所以，∴直线，x＝﹣1时，，∴直线，∴，，∴k BO＝k NO∴B，O，N共线．20．已知函数，其中m∈[0，1]．（1）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3．解：（1）当m＝0时，f（x）＝lnx﹣2x，，f'（8）＝1﹣2＝﹣1，又因为f（1）＝﹣2，所以切线方程为：y＝﹣x﹣1．①当m＝0时，令f'（x）＝4，解得，②当0＜m＜1时，f'（x）与y＝mx2﹣2x+5同正负，又因为△＝4﹣4m＞0，所以y＝mx2﹣2x+1在R上存在两个不相等的根x3，x2，又，，所以x1＞2，x2＞0，不妨设0＜x1＜x7，③当m＝1时，恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）没有极值点．∴，．令，∵恒成立，∴g（m）在（0，1）上单调递增，∴g（m）＜g（1）＝﹣6成立．即f（x1）+f（x2）＜﹣3．21．设n为给定的大于2的正整数，集合S＝{1，2，…，n}，已知数列A n：x1，x2，…，x n满足条件：①当1≤i≤n时，x i∈S；②当1≤i＜j≤n时，x i≠x j．如果对于1≤i＜j≤n，有x i＞x j，则称（x i，x j）为数列A n的一个逆序对．记数列A n的所有逆序对的个数为T（A n）．（1）若T（A4）＝1，写出所有可能的数列A4；（2）若T（A n）＝2，求数列A n的个数；（3）对于满足条件的一切数列A n，求所有T（A n）的算术平均值．解：（1）A4可以是：1243，1324，2134，共3个．（2）依题意，数列A n是1，3，…，n的排列．记b n为满足T（A n）＝2的数列A n的个数．设T（A4）＝2，考虑数列A n的个数，此时A n只能为3124、1423，即此时只有两个满足题意的数列；故T（A n）＝2，考虑数列A n的个数，此时A n只能为n﹣2个，即此时只有n﹣2个满足题意的数列；所以A n和A'n中的逆序对总数为个，可将1，8，…，n的所有排列两两配对，每一对{A n，A'n}均满足：T（A n），T（A'n）的算术平均值为．故所有T（A n）的算术平均值为．。
2019-2020学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A ．13B C ．12D 2．倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=3．过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为( ) A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=4．设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m -=表示的曲线为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知椭圆22143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，M 是椭圆上一点，且12||||1MF MF -=则△12MF F 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．已知点1F 、2F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．7．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为( )A B C 或 D 8．在ABC ∆中，1AB AC ==，D 是AC 的中点，则BD CD 的取值范围是( ) A ．31(,)44-B ．1(,)4-∞C ．3(,)4-+∞D ．13(,)44二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）9．双曲线2212y x -=的渐近线方程为 ．10．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是 ．11．已知l 为双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为(2,0)，则C 的右顶点为 ，C 的方程为 ．12．已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该园的一条切线，切点为A ，那么线段PA 的长度为 ．13．若221:5O x y +=与222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ． 三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分）15．（13分）已知函数2()cos 2cos f x x x x =+． （1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离； （2）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．16．（13分）在ABC ∆中，222a c b ac +=+． （1）求cos B 的值； （2）若1cos 7A =，8a =，求b 以及ABC S ∆的值．17．已知2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长，离心率为12，圆222:O x y b +=．（1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，16||5AB =，若直线l 于圆O 交于M ，N 两点，求直线l 的方程及OAB ∆与OMN ∆的面积之比．18．（13分）已知函数()()x f x ax a e =+（其中 2.71828)e =⋯，2()2g x x bx =++，已知()f x 和()g x 在0x =处有相同的切线． （1）求函数()f x 和()g x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3-，3]上的最大值和最小值； （3）判断函数()2()()2F x f x g x =-+的零点个数，并说明理由．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过点B 作平行于x 轴的直线BN ，交直线5x =于点N ，求证：直线AN 恒过定点．20．（13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，⋯的最小值记为n B ，记n n n d A B =-． （1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -⎧=⎨⎩剟…，求数列{}n d 的通项公式；（2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“*n N ∀∈，0n d <”的充要条件； （3）若n n d a =对任意*n N ∈恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．2019-2020学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A ．13B C ．12D【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，2a b ∴=，椭圆的离心率c e a ==， 故选：D ．2．倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=【解答】解：直线倾斜角是135︒， ∴直线的斜率等于1-，在y 轴上的截距是1-，由直线方程的斜截式得：11y x =-⨯-， 即1y x =--， 故选：D ．3．过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为( ) A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=【解答】解：所求直线方程与直线2340x y -+=垂直，∴设方程为320x y c --+= 直线过点(1,2)-，3(1)220c ∴-⨯--⨯+= 1c ∴=∴所求直线方程为3210x y +-=．故选：A ．4．设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m -=表示的曲线为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：方程221x y m m-=表示的曲线为双曲线0m ⇔≠．∴ “0m >”是“方程221x y m m -=表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件． 故选：A ．5．已知椭圆22143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，M 是椭圆上一点，且12||||1MF MF -=则△12MF F 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：由题意，12||2F F =，12||||4MF MF +=， 12||||1MF MF -=，15||2MF ∴=，23||2MF =， 2222121||||||MF F F MF ∴+=，故选：B ．6．已知点1F 、2F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．【解答】解：O 为12F F 的中点，∴122PF PF PO +=，可得12||2||PF PF OP +=当点P 到原点的距离最小时，||OP 达到最小值，12||PF PF +同时达到最小值．椭圆2222x y +=化成标准形式，得2212x y +=22a ∴=且21b =，可得a =1b =因此点P 到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||OP 最小值为1b = ∴12||2||PF PF OP +=的最小值为2故选：C ．7．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为( )A B C 或 D 【解答】解：直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，且AOB ∆为正三角形， 则：AOB ∆的边长为1，则：圆心(0,0)到直线0x y m -+=的距离d解得：m = 故选：D ．8．在ABC ∆中，1AB AC ==，D 是AC 的中点，则BD CD 的取值范围是( ) A ．31(,)44-B ．1(,)4-∞C ．3(,)4-+∞D ．13(,)44【解答】解：()BD DA AB =-+，设(0,)CAB απ∠=∈，所以21111()[()]cos()2242BD CD DA AB DA CA CA AB πα=-+=-+=---1131(cos )(,)4244α=--∈-．故选：A ．二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）9．双曲线2212y x -=的渐近线方程为 y = ．【解答】解：双曲线2212y x -=的1a =，b =， 可得渐近线方程为by x a=±，即有y =．故答案为：y =．10．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是 22(1)(1)2x y -+-= ．【解答】解：根据题意，圆C 的圆心在直线0x y -=上，设圆C 的圆心为(,)a a ，半径为r ； 又由圆C 过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则有2222(2)(2)r a a =-+-=，解可得1a =，即圆心的坐标为(1,1)， 则222(2)(2)2r a a =-+-=， 则圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=； 故答案为：22(1)(1)2x y -+-=．11．已知l 为双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为(2,0)，则C 的右顶点为 ，C 的方程为 ． 【解答】解：由题意可得2c =，即224a b +=， 一条渐近线的斜率为tan 14b k a π===，解得a b ==，则双曲线的右顶点为，0)，C 的方程为22122x y -=．故答案为：，0)，22122x y -=． 12．已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该园的一条切线，切点为A ，那么线段PA【解答】解：圆22_2880x y x y ++-+=，即22(1)(4)9x y ++-=，表示以(1,4)C -为圆心、半径3R =的圆，再由切线长定理可得切线长PA ===13．若221:5O x y +=与222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 4 ．【解答】解：由题知1(0,0)O ，2(,0)O m，m <<． 又12O A O A ⊥，所以有22225m =+=，5m ∴=±． 再根据12121211222AO O ABSAO AO O O ==，求得52524AB ==， 故答案为：4．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 2 ． 【解答】解：如图，1F A AB =，且120F B F B =，1OA F B ∴⊥，则1:()aF B y x c b=+， 联立()ay x c b b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得222(a c B b a -，22)abc b a -， 则4222222222222()()a c abc OB c b a b a =+=--， 整理得：223b a =，2223c a a ∴-=，即224a c =，∴224c a =，2ce a ==． 故答案为：2．三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分）15．（13分）已知函数2()cos 2cos f x x x x =+． （1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离； （2）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．【解答】解：2()cos 2cos 2cos 21f x x x x x x =+=++ 2sin(2)16x π=++．（1）函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离为22T π=； （2）[,]63x ππ∈-，2[66x ππ∴+∈-，5]6π， ∴当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值为3； 当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最大值为1-．16．（13分）在ABC ∆中，222a c b ac +=+． （1）求cos B 的值； （2）若1cos 7A =，8a =，求b 以及ABC S ∆的值． 【解答】解：（1）由余弦定理及已知得：2221cos 22a c b B ac +-==， （2）因为A ，B 为三角形内角，所以sin A ===，sin B ===由正弦定理得：sin 7sin a B b A ===， 又2221cos 72b c a A bc+-==．22150c c ∴--=，解得 5c =(3c =-舍）． 110sin 2ABC S bc A ∆∴==． 17．已知2222:1(0)x y Ca b a b +=>>的短轴长，离心率为12，圆222:O x y b +=．（1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，16||5AB =，若直线l 于圆O 交于M ，N 两点，求直线l 的方程及OAB ∆与OMN ∆的面积之比．【解答】解：（1）由题得b =，12c e a ==，所以2214c a =，所以22334b a ==，则24a =， 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=，圆O 的方程为：223x y +=； （2）根据题意可知，左焦点(1,0)F -，且直线l 的斜率存在且不为0，不妨设(1)y k x =+，联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以22834A B k x x k +=-+，2241234A B k x x k -=+，所以22116|||12345A B k AB x x k +=-==⨯=+，解得k =，则:1)l y x =+；所以原点到l的距离d ==，所以AOB ∆面积为11625=；3MN ==，所以MON ∆面积为132=，所以OAB ∆与OMN ∆的面积之比为16:15．18．（13分）已知函数()()x f x ax a e =+（其中 2.71828)e =⋯，2()2g x x bx =++，已知()f x 和()g x 在0x =处有相同的切线． （1）求函数()f x 和()g x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3-，3]上的最大值和最小值； （3）判断函数()2()()2F x f x g x =-+的零点个数，并说明理由．【解答】解：（1）()()x f x ax a e =+（其中 2.71828)e =⋯，2()2g x x bx =++， (0)f a =，(0)2g =．()(2)x f x a x e '=+，()2g x x b '=+，(0)2f a '=，(0)g b '=．()f x 和()g x 在0x =处有相同的切线． 2a b ∴=，2a =．解得2a =，4b =．()2(1)x f x x e ∴=+，2()42g x x x =++，（2）()2(1)x f x x e =+，[3x ∈-，3]．()2(2)x f x x e '=+，可得()f x 在[3-，2)-上单调递减，在(2-，3]上单调递增．2x ∴=-时，函数()f x 取得极小值即最小值，22(2)f e -=-． 又34(3)f e--=，f （3）38e =． 3x ∴=时，函数()f x 取得最大值，f （3）38e =．综上可得：函数()f x 在区间[3-，3]上的最大值和最小值分别为：38e ，22e -． （3）函数2()2()()24(1)4x F x f x g x x e x x =-+=+--．()4(2)242(2)(21)x x F x x e x x e '=+--=+-．令()0F x '=，解得2x =-，2x ln =-．可得：2x =-时，函数()F x 取得极大值，24(2)40F e -=->； 2x ln =-．函数()F x 取得极小值，2(2)22220F ln ln ln -=+->．又x →-∞时，()F x →-∞．可得：函数()2()()2F x f x g x =-+只有一个零点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过点B 作平行于x 轴的直线BN ，交直线5x =于点N ，求证：直线AN 恒过定点．【解答】解：（1）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，则a =，，即c e a ==，解得2c =，2221b a c ∴=-=， ∴椭圆C 的方程为2215x y +=；（2）证明：当直线l 的斜率不存在，即方程设为1x =，代入椭圆方程可得y ==，即有A，(1,B，(5,N ，直线AN的方程为3)y x =-，直线AN 恒过定点(3,0)Q ； 当直线l 的斜率存在，设过点(1,0)的直线l 的方程为(1)y k x =-， 由22(1)55y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 整理得2222(15)10550k x k x k +-+-=． 由△42221004(15)(55)80200k k k k =-+-=+>恒成立， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2(5,)N y ，则21221015k x x k +=+，⋯①，21225515k x x k -=+，⋯②， 212111()55AN y y k x x k x x --==--，由2220(1)5322QN y y k x k --===-，21211()52AN QN x x x k k k x ---=-- 121213()52(5)x x x x kx -++=-，由①②可得2212122255103()53501515k k x x x x k k --++=-+=++， 则0AN QN k k -=，即AN QN k k =， 综上可得直线AN 过定点(3,0)．20．（13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，⋯的最小值记为n B ，记n n n d A B =-． （1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -⎧=⎨⎩剟…，求数列{}n d 的通项公式；（2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“*n N ∀∈，0n d <”的充要条件； （3）若n n d a =对任意*n N ∈恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．【解答】解：（1）当14n 剟，数列{}n a 是递减数列，最大为14a =，又451n a a a ==⋯==⋯=，所以4n A =，1n B =，1n =，2，3，⋯，所以413n n n d A B =-=-=，（2）充分性：数列{}n a 单调递增，则12n a a a <<⋯<<⋯，则1n A a =，1n n B a +=， 所以110n n n n d A B a a +=-=-<；必要性：数列{}n a ，*n N ∀∈，0n d <，0n n n d A B =-<， 1110d A B =-<，11{a B min <=2a ，⋯，1n a +，}⋯，所以12a a <，2220d A B =-<，1{n A max a =，22}a a =，2{B min =3a ，⋯，1n a +，}⋯，所以23a a <，同理34n a a a <<⋯<⋯即数列{}n a 单调递增，故“数列{}n a 单调递增”是“*n N ∀∈，0n d <”的充要条件． （3）反证法：若n n d a =对任意*n N ∈恒成立，数列{}n a 的通项0n a ≠．当1n =时，1111d a A B ==-，1n A a =，所以10B =，这说明从第二项起，至少有一个项为0，这与假设矛盾， 故原命题成立．。
北京市清华大学附属中学2019~2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
高二年级检测试卷数学一、选择题1.已知集合M ＝{0，x }，N ＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝( )A. {0，x ,1,2}B. {2,0,1,2}C. {0,1,2}D. 不能确定 【答案】C【解析】集合M ＝{0，x }，N ＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则2x =.所以{}0,1,2M N ⋃＝.故选C.点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元素组成. 2.已知(,)a bi a b R +∈是11i i -+的共轭复数，则a b +=（ ） A. 1- B. 12- C. 12 D. 1 【答案】D【解析】【分析】 首先计算11i i-+，然后利用共轭复数的特征计算,a b 的值. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-， ()a bi i i ∴+=--=，0,1,1a b a b ∴==∴+=.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设函数1()21(0),f x x x x =+-<则()f x （ ） A. 有最大值B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A【解析】1()21f x x x =+-，则2221'()x f x x -=．当22x <-时，'()0f x >，此时()f x 单调递增；当202x -<<时，'()0f x <，此时()f x 单调递减．所以()f x 在22x =-处取到极大值，故选A4.等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A. －24B. －3C. 3D. 8【答案】A【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，转化为1,a d 的形式，由此解得d 的值，进而求得数列{}n a 的前6项和.【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得2326a a a =⋅，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，∴S 6＝6×1＋652⨯×(－2)＝－24. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====， 由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解. 6.北京园博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，……，20时~21时这八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）A. 13时~14时B. 16时~17时C. 18时~19时D. 20时~21时【答案】B【解析】【分析】 要找入园人数最多的时段，只要根据折线图找出图象中变化最大的即可.【详解】解：结合折线图可知，在八个时段中，图象变化最大的在16时~17时之间，所以入园人数最多的时段是16时~17时.故选：B.【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.7.已知三棱锥S ABC -中，2SAB ABC π∠=∠=，4SB =，213SC =，2AB =，6BC =，则三棱锥S ABC -的体积是（ ）A. 4B. 6C. 43D. 83 【答案】C【解析】【分析】根据条件，由勾股定理分别算出AC 和SA ，利用勾股定理的逆定理得出222AC SA SC +=，进而得出SA AC ⊥，结合已知条件，根据线面垂直的判定定理，可证出SA ⊥平面ABC ，利用棱锥的体积公式即可求出答案.【详解】解：如图，由题知2ABC π∠=，2AB =，6BC =， 得：222226210AC AB BC =+=+=，由于2SAB π∠=，4SB =，213SC =， 得：22224223SA SB AB =-=-=，则：222401252AC SA SC +=+==，所以：SA AC ⊥，已知2SAB π∠=，即SA AB ⊥，AB AC A =I ，SA ⊄平面ABC ，所以：SA ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ABC -的体积为：111262343332ABC V S SA =⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=△. 故选：C.【点睛】本题考查棱锥的体积公式，涉及线面垂直的判定定理和勾股定理的应用，考查推理和计算能力. 8.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分不必要条件 【答案】A【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件.9.正方体1111ABCD A B C D -中E F 、分别是正方形11ADD A 和ABCD 中心，G 是1CC 中点，设1,GF C E 与AB 所成角分别是αβ、，则αβ+（ ）A. 0120B. 060C. 075D. 090 【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为2如图取1DD 的中点H ，并连接GH ，FH ，又G 是1CC 中点，所以////GH CD AB ，即GH 与GF 的夹角即为AB 与GF 的夹角连接AC ，BD ，由正方形的性质知，AC 与BD 交于F ，则2CF FD ==连接1AD ，由正方形的性质知，E 为1AD 的中点，则12AD =因为11//C D AB ，所以11C D 与1C E 的夹角即为1C E 与AB 的夹角在GHF ∆中，同理得 在中， 所以6sin 3α=，6cos 3β= 在,,所以 所以3sin 3β=，所以故答案选 考点：异面直线及其夹角．【方法点睛】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，,2πϕπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的部分图象如图所示，且f （x ）在[0,2]π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（）A. 713,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1117,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】【分析】 根据条件先求出ϕ得值，结合()f x 在[0,2]π上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式，即可求解．【详解】由题意知，根据函数()sin()f x x ωϕ=+，的部分图象，因为(0)f =，且,2πϕπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以23ϕπ=， 又因为[0,2]x πÎ，所以2222333x πππωπω≤+≤+， 所以5272232ππππω≤+<，所以11171212ω≤<. 故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，结合函数一个周期内的最大值和最小值对应的范围求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题11.若双曲线()22210y x b b -=>的一个焦点为()2,0，则b =______；其离心率为______.【答案】 (1).(2). 2【解析】【分析】 由双曲线的焦点坐标()2,0，得出2c =，由双曲线()22210y x b b -=>得出1a =，再根据222c a b =+，求出b =c e a=求出离心率. 【详解】解：由于双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点为()2,0， 则2c =，且可知1a =，由222c a b =+，得2223b c a =-=，所以b =所以双曲线的离心率为：2c e a ==.故答案为： (2)2.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质以及离心率，属于基础题.12.点()1,0A 和点34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭都在单位圆O 上，记AOB α∠=，则sin 2α=______.【答案】2425-【解析】【分析】 根据题意，利用三角函数的定义，可得出43sin ,cos 55αα==-，再利用二倍角的正弦公式，即可求出sin 2α.【详解】解：因为点()1,0A 和点34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭都在单位圆O 上，AOB α∠=， 则点34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在角α的终边上， 由三角函数的定义可知，43sin ,cos 55αα==-， 则4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：2425-. 【点睛】本题考查三角函数的定义求三角函数值，以及二倍角的正弦公式，属于基础题.13.已知O 为坐标原点，()0,3,5A ，()2,2,0B ，()0,5,0C ，直线//BD CA ，且BD 与坐标平面xOz 相交于点D ，则点D 的坐标为______.【答案】()2,0,5【解析】【分析】根据题意，利用平面上点的坐标性质，可设(),0,D x z ，且BD CA →→P ，根据空间向量平行的坐标关系得出BD CA λ→→=，即可求出点D 的坐标.【详解】解：已知，直线//BD CA ，且BD 与坐标平面xOz 相交于点D ，则有BD CA →→P ，可设(),0,D x z ，而()0,3,5A ，()2,2,0B ，()0,5,0C ，则BD CA λ→→=，即：()()2,2,0,2,5x z λ--=-即：20225x z λλ-=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，解得：25x z =⎧⎨=⎩， 所以点D 的坐标为()2,0,5.故答案为：()2,0,5.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标运算，以及平面内点的坐标的性质特征，考查计算能力. 14.已知线段AB 的长度为4，P 为任意一点，则PA PB →→⋅的最小值为______.【答案】4-【解析】【分析】根据题意，设()()2,0,2,0A B -，(),P x y ，得出,PA PB →→的坐标，根据平面向量数量积坐标运算得出2244PA PB x y →→⋅=+-≥-，即可求出PA PB →→⋅的最小值.【详解】解：由题可知，线段AB 的长度为4，P 为任意一点，可设()()2,0,2,0A B -，(),P x y ，则()()2,,2,PA x y PB x y →→=---=--，所以()()222224PA PB x x y x y →→⋅=---+=+-，又因为220≥+x y ，则2244x y +-≥-，即4PA PB →→⋅≥-，当且仅当0x y ==时，取等号，所以PA PB →→⋅的最小值为：-4.故答案为：-4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.15.方程||||1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④()f x 的图像不经过第一象限，其中正确结论的个数是___________【答案】4【解析】【分析】 先根据题意画出方程1169x x y y+=-的曲线即为函数y=f （x ）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f （x ）的结论的正确性．【详解】根据题意画出方程1169x xy y+=-的曲线即为函数y=f （x ）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y f x =（） 的有下列说法：①f x （）R 上单调递减；正确．②由430f x x +=于（） 即34x f x =-（） ，从而图形上看，函数f x （）的图象与直线34x y =-没有交点，故函数F （x ）=4f （x ）+3x 不存在零点；正确．③函数y=f （x ）的值域是R ；正确．④f x （）的图象不经过第一象限，正确．其中正确的个数是4．故选D ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、函数单调性的应用、圆锥曲线的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题三、解答题16.如图，在ABC V 中，D 为BC 上一点，23AB =，2BD =，30ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒.（1）求AD 的长以及BAD ∠；（2）求ABC V 的面积.【答案】（1）2AD =；30BAD ∠=︒（2）)312【解析】【分析】 （1）根据题意，在ABD △中由余弦定理得222cos 2AB BD AD ABC AB BD+-∠=⋅，代数求解得2AD =，而AD BD =，从而可得出30ABC BAD ∠=∠=︒；（2）在ACD V中，利用正弦定理得出AC =sin sin 1054BAC ∠=∠︒=，根据1sin 2S AB AC BAC =⋅⋅∠，即可求出ABC V 的面积. 【详解】解：（1）由题可知，AB =2BD =，30ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，在ABD △中，由余弦定理得：222cos 2AB BD AD ABC AB BD+-∠=⋅，2222AD +-=， 求得：2AD =，因为AD BD =，故30ABC BAD ∠=∠=︒； （2）在ACD V 中，由正弦定理得：sin sin AD AC ACB ADC=∠∠， 求得：AC =，sin sin 105BAC ∠=∠︒=， 则ABCV 的面积为： )311sin 22S AB AC BAC =⋅⋅∠=.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，考查求解运算能力. 17.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知满足______，求公比q 以及22212...n a a a +++. 从①2532a a =-且344a a +=-，②11a =且639S S =，③231S a =-且341S a =-这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】若选①，根据等比数列的性质得出253432a a a a ==-，结合344a a +=-，联立方程组求出3a 和4a ，从而求出2q =-或12q =-，进而算出对应的1a ，结合{}2n a 是以21a 为首项，2q 为公比的等比数列，利用等比数列求和公式，即可求出22212...n a a a +++；若选②，由于11a =且639S S =，可求出2q =，结合{}2n a 是以21a 为首项，2q 为公比的等比数列，利用等比数列求和公式，即可求出22212...n a a a +++；若选③，根据231S a =-且341S a =-，利用等比数列的性质，即可求出2q =，进而求得11a =，结合{}2na 是以21a 为首项，2q 为公比的等比数列，利用等比数列求和公式，即可求出22212...n a a a +++. 【详解】解：若选①，则有253432a a a a ==-，故有3434324a a a a =-⎧⎨+=-⎩，得3448a a =⎧⎨=-⎩或3484a a =-⎧⎨=⎩， 即2q =-或12q =-. 因为{}2n a 是以21a 为首项，2q 为公比的等比数列， 若2q =-，11a =，此时2221241...3n na a a -+++=； 或12q =-，132a =-，此时122221221...134n n a a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭； 若选②，6338S S S -=，即38q =，故2q =，因为{}2n a 是以21a 为首项，2q 为公比的等比数列， 所以2221241...3n na a a -+++=； 若选③，231S a =-（*），341S a =-（**），令（**）式减（*）式，得343a a a =-，即342a a =，故2q =，则（*）式中，1231a a a +=-，即111241a a a +=-，即11a =，因为{}2n a 是以21a 为首项，2q 为公比的等比数列， 所以2221241...3n na a a -+++=. 【点睛】本题考查利用等比数列的通项公式求出基本量，以及等比数列的求和公式，还涉及等比数列的性质，考查计算能力.18.如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ⊥，PA PC =，AC BC ⊥，2AC =，1BC =，点M 是棱PA 的中点.（1）求证：PA ⊥平面PBC ；（2）求直线PA 与平面MBC 所成角的正弦值；（3）设点N 是线段BM 的中点，棱PC 上是否存在点F ，使得//NF 平面ABC ？若存在，求CF CP 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（225（3）存在；14CF CP =【解析】【分析】（1）已知平面PAC ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质，得出BC ⊥平面PAC ，从而有BC PA ⊥，又PA PC ⊥，且BC PC C ⋂=，,BC PC ⊂平面PBC ，根据线面垂直的判定定理，即可证出PA ⊥平面PBC ；（2）在平面PAC 内，过点P 作PD AC ⊥，点D 为垂足，过点C 作直线l PD P ，利用面面垂直的性质可得出PD ⊥平面ABC ，l PD P ，可证出l ⊥平面ABC ，以C 为原点建系，直线,,CB CA l 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求出()0,1,1PA →=-和平面MBC 的法向量为()0,1.3n →=-，根据空间向量线面夹角公式，即可求出直线PA 与平面MBC 所成角的正弦值；（3）设CF CP λ→→=，()0,1λ∈，则()0,,CF λλ→=，131,,244FN λλ→⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，平面ABC 的法向量()10,0,1n →=，由于NF P 平面10ABC NF n →→⇔⋅=，即可求出λ，从而得出CF CP的值. 【详解】（1）证明：∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，AC BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面PAC又PA ⊂平面PAC ，∴BC PA ⊥，因为PA PC ⊥，PA BC ⊥，BC PC C ⋂=，,BC PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC .（2）解：在平面PAC 内，过点P 作PD AC ⊥，点D 为垂足，过点C 作直线l PD P ，∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ，∴PD ⊥平面ABC ，∵l PD P ，∴l ⊥平面ABC ，以C 为原点建系，直线,,CB CA l 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0B ，()0,2,0A ，()0,1,1P ，310,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,0,0CB →=，310,,22CM →⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1PA →=-， 设平面MBC 的法向量为(),,n x y z →=，则0n CB →→⋅=，0n CM →→⋅=， ∴031022x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，不妨设1y =，则()0,1.3n →=-， 设直线PA 与平面MBC 所成角为θ， 则2sin cos ,55210n PA θ→→===⨯， 故直线PA 与平面MBC 所成角的正弦值为25，（3）解：设CF CP λ→→=，()0,1λ∈，则()0,,CF λλ→= ∴()0,,F λλ，又131,,244N ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴131,,244FN λλ→⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 平面ABC 的法向量()10,0,1n →=，因为NF P 平面10ABC NF n →→⇔⋅=，即104λ-=， ∴14λ=， 从而14CF CP =.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，以及通过空间向量法求出线面角的正弦值，线面平行性质求线段比，考查空间逻辑推理和运算能力.19.已知抛物线()2:20C y px p =>，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于,P Q 两点，4PQ=.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点,A B ，直线OA 与准线l 交于点M .连接MF ，过点F 作MF 的垂线与准线l 交于点N .求证：,,O B N 三点共线.【答案】（1）抛物线C的方程为24y x =，焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为1x =-（2）证明见解析 【解析】【分析】 （1）根据抛物线通径的性质，得出2p =，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；（2）根据题意，设直线:1AB x ty =+，与抛物线方程联立，求出则124y y t +=，124y y =-，通过直线相交分别求出141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和()11,N y -，从而求出1ON k y =-和24OB k y =，通过化简求出0OB ON k k -=，即可证出,,O B N 三点共线. 【详解】解：（1）24PQ p ==，则2p =，故抛物线C 的方程为：24y x =， 其焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为：1x =-（2）设直线:1AB x ty =+，联立214x ty y x =+⎧⎨=⎩， 得2440y ty --=，则216160t =+>△，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.法1：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 直线MF 的斜率1140211MF y k y --==--， 则直线FN 的斜率12FN y k =-， 直线()1:12y FN y x =--，则点()11,N y - 直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =， 则()12122244440OB ON y y k k y y y y +--=--===， 所以,,O B N 三点共线.法2：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()21,M y -.直线MF 的斜率220112MF y y k -==---，直线()22:1FN y x y =-，得点241,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()11,N y -.直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =， 由124y y =-，得1OB k y =-，则有OB ON k k =.所以,,O B N 三点共线.法3：（1）∵4PQ =，∴2PF =，∴22OF =，∴1OF =，2p =，∴抛物线C 的标准方程为：24y x =，则焦点坐标为：()1,0F ，准线方程为：:1l x =-.（2）设直线:1AB x ty =+，联立得：2440y ty --=， 212121616044t y y ty y ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 设()11,A x y ，()22,B x y ， ∴直线11:y AO y x x =， 当1x =-时，11y y x =-，∴111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴112MF y k x =，∴1121FN MF x k k y =-=-， ∴直线()112:1x FN y x y =--， 当1x =-时，114x y y =，∴1141,x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴114NO x k y =-，22BO y k x =，∴21214BO NO y x k k x y -=+ ()()1212121221214114y y y y y y x x x y x y ++++++== ()()12122142144y y y y x y ++++++= ()22442116240x y -+++++==， ∴BO NO k k =，∴,,B O N 共线.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力.20.已知函数()21ln 22f x x mx x =+-，其中[]0,1m ∈. （1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()123f x f x +<-.【答案】（1）1y x =--（2）答案不唯一，具体见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当0m =时，()ln 2f x x x =-，求导得()12f x x'=-，根据导数的几何意义求出切线斜率以及求出切点坐标，根据直线点斜式方程求出切线方程；（2）由题可知，()()212120mx x f x mx x x x-+'=+-=>，由于[]0,1m ∈，分类讨论，当0m =，01m <<，1m =时，利用导数研究函数的单调性，根据单调性列出()(),,x f x f x '的变化情况表，即可得出()f x 的极值点的个数，以及极大值点的个数和极小值点的个数；（3）函数()f x 有两个极值点12,x x ，由（2）可知01m <<，并且12,x x 是方程2210mx x -+=两个根，根据韦达定理得出122x x m +=，121x x m=，进而化简出()()122ln 1f x f x m m +=---，构造新函数()()2ln 101g m m m m=---<<，通过导数求出()g m 在()0,1上的单调性，进而()()13g m g <=-，从而可证出()()123f x f x +<-.【详解】解：（1）当0m =时，()ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞， 则()12f x x'=-，()1121f '=-=-， 又因为()12f =-，则切点坐标为()1,2-，所以切线方程为：1y x =--. （2）因为()()212120mx x f x mx x x x-+'=+-=>， ①当0m =时，令()0f x '=，解得1x =，函数()f x 仅有1个极大值点，没有极小值点；②当01m <<时，()f x '与221y mx x =-+同正负，又因为440m =->△，所以221y mx x =-+在R 上存在两个不相等根12,x x ，又1220x x m +=>，1210x x m=>， 所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，函数()f x 恰有2个极值点，它们是1个极大值点和1个极小值点；③当1m =时，()()221210x x x f x x x --+'==≥恒成立，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增，所以函数()f x 没有极值点.（3）∵函数()f x 有两个极值点12,x x ，由（2）可知01m <<，并且12,x x 是方程2210mx x -+=两个根，∴122x x m +=，121x x m=， ∴()()221211122211ln 2ln 222f x f x x mx x x mx x +=+-++- ()()221212121ln 22x x m x x x x =++-+ 2ln 1m m=---， 令()()2ln 101g m m m m =---<<， ∵()220m g m m-'=>恒成立， ∴()g m 在()0,1上单调递增，∴()()13g m g <=-成立，即()()123f x f x +<-.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和极值，通过构造函数法，利用导数证明不等式，考查分类讨论思想和计算能力.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈；②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ；（2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()21212n n n --；（3）()14n n -. 【解析】【分析】（1）根据()41T A =可列出满足条件的4A .（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的4A 的个数.（3）引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，可证明所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，故可求其平均值. 【详解】（1）因()41T A =， 故1234,,,x x x x 只有一个逆序对，则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况：①2对逆序数由3个元素提供，即121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<<L L ，这样的n A 共有()()3126n n n n C --=个. ②2对逆序数由4个元素提供，即121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<<L L L .这样的n A 共有()()()4123212n n n n n C ---=.综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()21212n n n --.（3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，则n A 中的顺序对个数为()()12n n n T A --. 考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n n n -⨯，故逆序对的个数为()1!4n n n -⨯， 所以所有()n T A 的算术平均值为()14n n -. 【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.。
【20套试卷合集】北京市清华附中2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题1．设两个正态分布()()21,110N μσσ>和()()22,220N μσσ>的密度函数图象如图所示，则有（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ<，12σσ>C ．12μμ>，12σσ<D ．12μμ>，12σσ>2．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ）A.210r r <<B.210r r <<C.210r r <<D.21r r =3．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则（ ）A ．4=aB ．5=aC ．6=aD .7=a4．采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，3，……，960，分组后在第 一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间[1， 450]的人做问卷 A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷 B ，其余的人做问卷 C .则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．15111123411+++⋅⋅⋅+ 111124622+++⋅⋅⋅+111123410+++⋅⋅⋅+ 111124620+++⋅⋅⋅+6．从三元、光明、蒙牛三种品牌的牛奶包装袋中抽取一个样本进行质量检测，采取分层抽样的方法进行抽取，已知三元、光明、蒙牛三种品牌牛奶的总体数（袋数）是1000，2000，3000，若抽取的样本中，光明品牌的样本数是10，则样本中三元品牌和蒙牛品牌的样本之和是（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 7．若样本数据1210,,,x x x 的标准差为2，则数据121021,21,,21x x x ---的标准差为（ ）A ．3B ．-3C ．4D ．-48．如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域A 的面积． 若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A 内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个数平均值为6600个，则区域A 的面积约为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）A.6B.8C.10D.1210．已知回归直线的斜率的估计值为1．23,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为（ ）A ．523.1ˆ+=x yB ．423.1ˆ+=x yC ．23.108.0ˆ+=x yD ．08.023.1ˆ+=x y 11．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ） A ．15 B ．310 C ．35 D ．4512．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒二、填空题13．将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ．14．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有 辆.15．右边程序是求一个函数的函数值的程序：若执行此程序的结果为3，则输入的x 值为______16．在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a m =从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为_______． 三、解答题17．某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：（Ⅰ）能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．参考公式：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++（2）若从5班、6班的调查中各随机选取2同学进行调查，调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，求随机ξ的分布列和数学的期望值．19．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同. 某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球. 若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .20．现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题.甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号（x ，y ）表示事件“抽到的两道题的编号分别为x ，y ，且x<y.”.(1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率.21．某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）22．随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（3）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P ．试根据（1）、（2）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）．参考答案ACACB BCBCD11．C 12．C 13．11214．80 15．4或－3 16．1317．（Ⅰ）有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关（Ⅱ）914（Ⅰ）根据题中的数据计算：22400(5017030150) 6.2580320200200k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （Ⅱ）由已知得抽样比为818010=，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为,,,,,1,2,3a b c d e ，选取2人共有{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},1b ，{},2b ，{},3b ，{},c d ，{},c e ，{},1c ，{},2c ，{},3c ，{},d e ，{},1d ，{},2d ，{},3d ，{},1e ，{},2e ，{},3e ，{}1,2，{}1,3，{}2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件， 故所求概率为1892814P ==． 18．解析：（1）因为调查的50人中达到实际的水平有：36664328+++++=（人）， 所求的概率为280.5650P ==． （2）调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，则0,1,2,3ξ=当221122143243432222646417(0);(1)515C C C C C C C p p C C C C ξξ+====== 221112123243232222646431(2),(3)1030C C C C C C C p p C C C C ξξ+====== 所求的分布列为3153()0123515103030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19．解析：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则2111123223322264C C C +C C C 7()C C 30P A ==⋅．（2）设“在1次摸奖中，获奖” 为事件B ，则获得一等奖的概率为223212264C C 1=C C 30P =⋅；获得三等奖的概率为221111323322322642C C +C C C C 7=C C 15P =⋅；所以17711()30301515P B =++=．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2． 21116(0)(1)15225P X ==-=，12111188(1)C (1)1515225P X ==-=，211121(2)()15225P X ===． 所以X 的分布列是所以12122()01222522522515E X =⨯+⨯+⨯=． 20．解析：（1）共有36个基本事件.分别是（1,2）（1,3）（1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) (3,9) (4,5) (4,6) (4,7) (4,8) (4,9) (5,6) (5,7) (5,8) (5,9) (6,7) (6,8) (6,9) (7,8) (7,9) (8,9)（2）由题知满足1117x y ≤+<的共有以下15种情况： （2,9） （3,8） （3,9） （4,7） （4,8） （4,9） （5,6） （5,7） （5,8） （5,9） （6,7） （6,8） （6,9） （7,8） （7,9）∴甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率1553612P == 21．（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ．所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种．事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． ∴ 42()105P A ==． （2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b --+--+--+--+--==-+-+-+-+-ˆˆ4ay bx =-=， ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． 22．（1）12；（2）0.4116；（3）132P P P >>． 解：（1）1337141012C C P C ⋅==， 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12；（2）1132437()()0.41161010P C =⋅=，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116；（3）132P P P >>．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案试题解答一、选择题 二、11．89； 12．π18； 13．2π；17．m ≠－2，m ≠－3且m ≠0；18．(1)(3)(4) 14．解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x ，所以交点(－1，2)………………4分(1)2-=k ，直线方程为02=+y x ……………8分 (2)21=k ，直线方程为052=+-y x ……………12分 15．证明：(Ⅰ)由已知底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ， ……………………1分又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ……………………3分 ∴AB ∥平面PCD ……………………4分(Ⅱ)在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，………………… 5分则四边形ADCE 为矩形，∴1==DC AE 又2=AB ，∴1=BE ，在BEC Rt ∆中，︒=∠45ABC ∴1==BE CE ；2=CB ，∴1==CE AD则AC =，222AC BC AB +=∴BC AC ⊥ …………………7分 又PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥ …………………8分 又A AC PA =∴BC ⊥平面PAC ……………9分 (Ⅲ) M 是PC 中点，∴M 到面ADC 中距离是P 到面ADC 距离的一半 ……………10分111111()(11)3232212M ACD ACD V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=…………… 13分 16．解：182,//21-≠=∴n m m l l ，解得;42｛=-≠m n 或.{42-=≠m n ……………3分 (1)当4=m 时，直线1l 的方程是,084=++n y x 把2l 的方程写成.0284=-+y xx由已知得：.1822.564162=-==++n n n 或解得：…………7分所以，所求直线1l 的方程为.0942,01142=++=-+y x y x 或 (2)当4-=m 时，直线1l 的方程是,084=--n y x把2l 的方程写成.0284=--y x 由已知得：.1822.564162-===+-n n n 或解得：…………9分所以，所求直线1l 的方程为.01142,0942=--=+-y x y x 或…………10分19．证明：(1)如图，以等腰直角三角形的直角顶点A 为坐标原点O ，以OB 为单位长，直线OB ，OC 分别为x 轴、y 轴，建立直角坐标系，…………1分 则B (1，0)，C (0，1)，M ），（2121．…………2分 设P),00y x （，则有100=+y x ． ).,0(),0,(,,00y F x E OC PF OB PE ∴⊥⊥.)21(41,41)21(2020y MF x ME -+=+-=…………5分 ,212100y x -=-MF ME =∴ …………6分 (2)由已知，0021,211y k x k MF ME -=-=…………8分MF ME k k x y y x MF ME ⊥-=⋅∴-=-∴=+即,1,1221,10000 ……12分20．(1)解：2220700,800,300,1cos .=6022AB m BC m AC m AC BC AB C C ABC C AB BC ===+-∴==∆∴⨯⨯是的内角，3分(2)由题意可知，工厂所在的点是ABC ∆的外心，不妨设ABC ∆外接圆的半径是R ，由正弦定理知400sin 2700≈=CR ，所以加工厂与小区A 的距离约为400M ．……6分(3)设需要安装x 道隔音窗，建造y 堵隔音墙，总成本为S 万元，由题意可得：y x S 103+=……7分{{65300.5012540015384300,≥+≤≤≥∈≤⨯---≤≤≥∈y x x y Ny x y x x y N y x 即……9分其可行域如图：……11分又因为万元最小值为时，当131031,1,,y x S y x N y x +===∴∈……13分 故需要安装1道隔音窗，1堵隔音墙即可．……14分21．解：(1)点P 坐标为(1，21-)，Q (0，23)，可求得直线PQ 的方程为：023=-+y x .……3分 当1－2t ＞0，即210<<t ，点Q 在第一象限，这时直线QR 的方程为：)2(2t x t y +=-. 令x ＝0，得点的坐标为(0，2t 2＋2). ……4分)(t S S S S OKR OPQR OPQK =-=∴∆)1(22)22(21)1(232222t t t t t t -+-=⋅+-+=.…6分当1－2t ≤0，即21≥t 时，点Q 在y 轴上或第二象限，此时直线PQ 的方程为)1(1--=-x t t y .令x ＝0，得点L 的坐标为(0，t t 1+)，∴)1(21)(t t S t S OPL +==∆.……7分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-=∴)21(),1(21)210(),1(2)(32t t t t t t t t S ……8分(2)当210<<t 时，对于任何21021<<<t t ，有 0)]()(1)[(2)()(222121211221>++++--=-∴t t t t t t t t t S t S即)()(21t S t S >∴，知S (t )在)21,0(内是减函数. ……9分 当21≥t 时，对任何2121t t <≤，有)11)((21)11(21)()(2121212121t t t t t t t t t S t S --=-+-=- 若12121≤<≤t t ，则().]121[,),()(21上是减函数在知由此，t S t S t S > 若211t t <≤，则().),1(,),()(21上是增函数在知由此+∞<t S t S t S ……10分 又45])21()21(211[2)21(32=-+-=S ． ……11分 对任何,21≥t 时，1)1()(=≤S t S ……13分 ()),,1(]1,0(+∞∴及的单调区间是t S 但S (t )在]1,0(内是减函数，在),1(+∞内是增函数，故所求最小值为1)1(=S ……14分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一．选择题，在每题给出的四个选项中只有一项符合题意。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
【精品高二数学试卷】2019--2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（3分）下列叙述中，错误的一项为（ ） A ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形D ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面2．（3分）下列函数中，在定义域内为奇函数，且在（0，+∞）上为减函数的是（ ） A ．f （x ）＝log 2xB ．f （x ）＝2﹣x 2C ．f （x ）＝3﹣xD ．f （x ）=−x 343．（3分）圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ） A ．23B ．32C ．43D ．344．（3分）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β“是“α∥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（3分）双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．√6B ．√3C ．√2D ．√336．（3分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角形有两解的为（ ） A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝117．（3分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且P A＝PE，则点P的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．（3分）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0上的点到直线3x+4y+8＝0的最大距离是．10．（3分）若将函数f（x）＝sin（2x+π4）的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．11．（3分）如图是正方形的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 ．12．（3分）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．13．（3分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC ＝CC 1＝1，∠AD 1B =π3，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为14．（3分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线与直线x +8y ＝0垂直，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S n ＝ ．15．（4分）如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F （x ），则函数F （x ）的单调增区间是 ；最大值为 ．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．（8分）已知函数f （x ）＝sin 2ωx +√3sin ωx •sin （ωx +π2）﹣1（ω＞0）的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）当x ∈[−π12，π2]时，求函数f （x ）的值域．17．（8分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝b 1＝2，2a 2＝b 2，S 2+T 2＝13．（1）求数列{a n }，{b n }通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和H n ．18．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． （1）证明：EF ∥平面P AC ； （2）证明：AF ⊥PC ．19．（14分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点F(√3，0)，点M(−√3，12)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果△OAB 的面积为λ|AB|+42|OP|（λ为实数），求λ的值．20．（14分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣2lnx ）−12x 2+2x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个不同的零点，求a 的取值范围．2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．【解答】解：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱． 定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱；正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D 错； 故选：D ．2．【解答】解：A ．f （x ）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数； B ．f （﹣x ）＝2﹣（﹣x ）2＝2﹣x 2＝f （x ），则f （x ）是偶函数，不满足条件； C ．f （x ）为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；D ．f （﹣x ）=−(−x)34=x 34=−f （x ），则f （x ）是奇函数，当x ＞0时，函数f （x ）为减函数，满足条件． 故选：D ．3．【解答】解：设一个圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积V =13πr 2ℎ；圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为2r ，高为13ℎ，体积为V 1=13π⋅(2r)2⋅13ℎ=49πr 2ℎ． ∴V 1V=49πr 2ℎ13πr 2ℎ=43．∴它的体积是原来体积的43． 故选：C ．4．【解答】解：m ⊂α，m ∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m ∥β；α∥β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m ∥β，即α∥β能得到m ∥β； ∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．5．【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，F1F2＝2c∴MF1=2ccos30°=43√3c，MF2=2c⋅tan30°=23√3c∴2a=MF1−MF2=43√3c−23√3c=23√3c∴e=ca=√3，故选：B．6．【解答】解：由正弦定理，有asinA =bsinB，∴sinB=bsinAa=10×√32a=5√3a，∵三角形有两解，∴sin B＜1且b＞a，∴5√3＜a＜10，因此由选项知，只有a＝9时符合条件，故选：B．7．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．8．【解答】解：连接A1P，由题意知A1A⊥AP，因为PE ⊥A 1C ，且P A ＝PE ， 所以△A 1AP ≌△A 1EP ， 所以A 1A ＝A 1E ，即E 为定点． 因为P A ＝PE ，所以点P 位于线段 AE 的中垂面上， 又点P 在底面上，所以点P 的轨迹为两平面的交线，即点P 的轨迹是线段． 故选：A ．二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．【解答】解：由题意可得，圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1， 圆心的坐标为（1，1），半径r ＝1， ∴圆心到直线的距离 d =√3+4=3，所以所求最大距离是4， 故答案为：4．10．【解答】解：将函数f （x ）＝sin （2x +π4）的图象向左平移φ个单位，可得y ＝sin （2x +π4+2φ）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，可得π4+2φ=π2+k π，k ∈Z ，则φ的最小正值为π8，故答案为：π8．11．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM 与ED 平行；错误的，是异面直线； ②CN 与BE 是异面直线，错误；是平行线；③从图中连接AN ，AC ，由于几何体是正方体，故三角形ANC 是等边三角形，所以AN 与CN 的夹角是60°，又AN ∥BM ，故CN 与BM 成60°；正确； ④DM 与BN 垂直．正确 判断正确的答案为③④． 故答案为：③④．12．【解答】解：依题设P 在抛物线准线的投影为P '，抛物线的焦点为F ，则 F(12，0)， 依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP '|＝|PF |， 则点P 到点A （0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和 d =|PF|+|PA|≥|AF|=√(12)2+22=√172．故答案为：√172． 13．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系． ∵长方体中，BC ＝CC 1＝1，∠AD 1B =π3， ∴AD 1=√2，AB ＝AD 1tan π3=√6．∴A （1，0，0），B 1（1，√6，1），B （1，√6，0），C 1（0，√6，1）． ∴AB 1→=（0，√6，1），BC 1→=（﹣1，0，1）， ∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|=7×2=√1414．故答案为：√1414．14．【解答】解：函数f （x ）＝ax 2﹣1的导数为f ′（x ）＝2ax ， 可得f （x ）在x ＝1处的切线斜率为2a ，切线与直线x +8y ＝0垂直，可得2a ＝8，即a ＝4， 则f （x ）＝4x 2﹣1，1f(n)=14n 2−1=12（12n−1−12n+1），可得S n =12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1） =12（1−12n+1）=n2n+1． 故答案为：n 2n+1．15．【解答】解：如图所示，设BC ＝x ，AB ＝AC ＝AD ＝CD ＝BD ＝1． 取AD 的中点O ，连接OB ，OC ，则OB ⊥AD ，OC ⊥AD ，OB ＝OC =√32． 又OB ∩OC ＝O ，则AD ⊥平面OBC ， 取BC 的中点E ，连接OE ，则OE ⊥BC ， OE =(√32)2−(x 2)2=√3−x 22．∴S △OBC =12BC ⋅OE =x √3−x 24． ∴F （x ）=13S △OBC ⋅AD=13×x √3−x 24×1=x √3−x 212（0＜x ＜√3）．F ′（x ）=3−2x 212√3−x ，令F ′（x ）≥0，解得0＜x ≤√62，此时函数F （x ）单调递增；令F ′（x ）＜0，解得√62＜x ＜√3，此时函数F （x ）单调递减法．因此当x =√62时，F （x ）取得最大值，F(√62)=√62×3−(√62)212=18．故答案分别为：(0，√62]，18．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．【解答】解：（1）f(x)=1−cos2ωx 2+√3sinωxcosωx −1=√32sin2ωx −12cos2ωx −12=sin(2ωx −π6)−12，∵函数f （x ）的最小正周期为π，且ω＞0， ∴2π2ω=π，∴解得ω＝1， （2）∵x ∈[−π12，π2]， ∴2x −π6∈[−π3，5π6]，根据正弦函数的图象可得：当2x −π6=π2，即x =π3时，g （x ）＝sin （2x −π6）取最大值1． 当2x −π6=−π3，即x =−π12时，g （x ）＝sin （2x −π6）取最小值−√32， ∴−12−√32≤sin(2x −π6)−12≤12，即f （x ）的值域为[−1+√32，12]． 17．【解答】解：（1）设公差为d 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝b 1＝2，2a 2＝b 2，S 2+T 2＝13． 所以：{2(2+d)=2q2+2+d +2+2q =13，解得{d =1q =3，所以a n ＝2+（n ﹣1）＝n +1，b n =2⋅3n−1．（2）由于c n ＝a n +b n ＝n +1+2•3n ﹣1， 所以H n ＝（1+2+…+n ）+n +2（30+31+…+3n ﹣1）=n 2+n 2+2n 2+2(3n−13−1)=n 2+3n 2+3n −1． 18．【解答】证明：（1）点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．∴EF ∥PC ，∵EF ⊄平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC ．（2）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，∴AF ⊥PD ，P A ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∵AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ，∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ，∵PC ⊂平面PCD ，∴AF ⊥PC ．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：c =√3，左焦点F ′（−√3，0）．根据椭圆的定义得：2a ＝|MF ′|+|MF |=√(−√3−√3)2+(12)2+12，解得a ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2＝1； （Ⅱ）由题意知，S △ABC =12|AB |•|OP |=λ|AB|+42|OP|，整理得：λ＝|OP |2−4|AB|． ①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为：x =√3，此时|AB |＝1，|OP |=√3，∴λ＝|OP |2−4|AB|=−1；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k （x −√3），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 2=1y =k(x −√3)，消去y 整理得：（1+4k 2）x 2﹣8√3k 2x +12k 2﹣4＝0，显然△＞0，则x 1+x 2=−8√3k 21+4k 2，x 1x 2=12k 2−41+4k 2，∵y 1＝k （x 1−√3），y 2＝k （x 2−√3），∴|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4•1+k 21+4k 2， ∴|OP |2＝（√3k|√1+k 2）2=3k 21+k2， 此时，λ=3k 21+k 2−1+4k21+k 2=−1；综上所述，λ为定值﹣1．20．【解答】解：（1）函数f （x ）＝a （x ﹣2lnx ）−12x 2+2x ．定义域为（0，+∞）， f ′（x ）＝a （1−2x ）﹣x +2=1x （x ﹣2）（a ﹣x ），（x ＞0）①a ≤0时，a ﹣x ＜0，当x ∈（0，2）．f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（2，+∞）．f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；②0＜a ＜2时，f ′（x ）＝0，解得x ＝2或x ＝a ，当x ∈（0，a ），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（a ，2）f （x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（2，+∞），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；③a ＝2时，f ′（x ）=−1x （x ﹣2）2＜0，f （x ）在（0，+∞）单调递减；④a ＞2时，f ′（x ）＝0，解得x ＝2或x ＝a ，当x ∈（0，2），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；x ∈（2，a ），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；x ∈（a ，+∞），f ′（x ）＜0．f （x ）单调递减；（2）由（1）得当a ＝0时，f （x ）=−12x 2+2x 在定义域上只有一个零点，a ＜0，由（1）可得，要使f（x）有两个零点，则f（2）＞0，即f（2）＝a（2﹣2ln2）+2＞0，所以1ln2−1＜a ＜0，下证f（x）有两个零点，取x=e 1a，f（e1a）＝a（e1a−2×1a）−12（e1a）2+2e1a＜0，满足f（e1a）•f（2）＜0，故f（x）在（0，2）有且只有一个零点；因为f（4）＝a（4﹣2ln4）＜0，满足f（2）•f（4）＜0，故f（x）在（2，+∞）有且只有一个零点；当0＜a＜2时，由（1）可得x∈（0，2），f（x）≥f（a）＝a（a﹣2lna）−12a2+2a=12a2+2a（1﹣lna）＞0，故f（x）在（0，2）无零点，又因为f（x）在（2，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；当a＞2时，x∈（0，a），f（x）≥f（2）＝a（2﹣2ln2）+2＞0，故f（x）在（0，a）上无零点，又因为f（x）在（a，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；∴满足条件a的取值范围1ln2−1＜a＜0，。
【精品高二数学试卷】2019--2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题 1．（3分）过椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ） A ．√22B ．√33C ．12D ．132．（3分）在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．63．（3分）椭圆2x 2+3y 2＝12的两焦点之间的距离为（ ） A ．2√10B ．√10C ．2√2D ．√24．（3分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =√3x ，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 22−y 26=1 B ．x 26−y 22=1C ．x 2−y 23=1D ．x 23−y 2=15．（3分）“（x ﹣1）（x +2）＝0”是“x ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（3分）若1a ＜1b＜0，则下列不等式：①a +b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④ab ＜b 2中，正确的不等式有（ ） A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④7．（3分）已知x ，y ＞0且x +4y ＝1，则1x+1y的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．118．（3分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题9．（3分）在等比数列{a n }中，若a 1+a 2＝18，a 2+a 3＝12，则公比q 为 ．10．（3分）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 ． 11．（3分）椭圆x 2m+y 24=1的焦距为2，则m 的值等于 ．12．（3分）若对任意正实数a ，不等式x 2≤1+a 恒成立，则实数x 的最小值为 ． 13．（3分）若命题“∃x ∈R ，有x 2﹣mx ﹣m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 14．（3分）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 ． 三、解答题15．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=92． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }前n 项和T n ． 16．求过点(3，−√2)，离心率e =√52的双曲线的标准方程．17．已知f （x ）＝ax 2+x ﹣a ，a ∈R （1）若a ＝1，解不等式f （x ）≥1； （2）若a ＜0，解不等式f （x ）＞1． 18．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1（Ⅰ）若|PF 1|＝2+√2，|PF 2|＝2−√2，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e ．19．设函数f（x）＝x+ax+1，x∈[0，+∞）（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的最小值．20．有限数列A n：a1，a2，…，a n．（n≥3）同时满足下列两个条件：①对于任意的i，j（1≤i＜j≤n），a i＜a j；②对于任意的i，j，k（1≤i＜j＜k≤n），a i a j，a j a k，a i a k三个数中至少有一个数是数列A n中的项．（Ⅰ）若n＝4，且a1＝1，a2＝2，a3＝a，a4＝6，求a的值；（Ⅱ）证明：2，3，5不可能是数列A n中的项；（Ⅲ）求n的最大值．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：由题意知点P 的坐标为（﹣c ，b 2a）或（﹣c ，−b2a ），∵∠F 1PF 2＝60°， ∴2cb 2a=√3，即2ac =√3b 2=√3（a 2﹣c 2）． ∴√3e 2+2e −√3=0， ∴e =√33或e =−√3（舍去）．故选：B ．2．【解答】解：在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 4=12（a 2+a 6）=12(4+a 6)=2， 解得a 6＝0． 故选：B ．3．【解答】解：椭圆2x 2+3y 2＝12化为x 26+y 24=1，所以a 2＝6；b 2＝4，所以c 2＝2，所以2c =2√2．椭圆2x 2+3y 2＝12的两焦点之间的距离为：2√2． 故选：C ． 4．【解答】解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y =√3x ，可得ba =√3，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c ＝2，即a 2+b 2＝4， 解得a ＝1，b =√3， 所求双曲线方程为：x 2−y 23=1． 故选：C ．5．【解答】解：由（x ﹣1）（x +2）＝0得x ＝1或x ＝﹣2， 则“（x ﹣1）（x +2）＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件， 故选：B ．6．【解答】解：∵1a＜1b＜0，∴b ＜a ＜0．则下列不等式：①a +b ＜0＜ab ，正确； ②|a |＞|b |，不正确； ③a ＜b ，不正确； ④ab ＜b 2，正确． 正确的不等式有①④． 故选：C ．7．【解答】解：∵x ，y ＞0且x +4y ＝1， ∴1x +1y =（1x +1y）（x +4y ）＝1+4+x y +4y x ≥5+2√x y ⋅4yx =9．当且仅当x =13，y =16时，等号成立． ∴1x+1y 的最小值为9．故选：B ．8．【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =a (n−1)n2+1+⋯+a n(n+1)2=2n +1﹣1，（n ∈N +），则∑ n i=1b i=∑ n(n+1)2i=1a i ，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝21﹣1+22﹣1+…+2n +1﹣1＝2n +1﹣n ﹣2， 可知当N 为n(n+1)2时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n +1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14， A 项，由29×302=435，440＝435+5，可知S 440＝T 29+b 5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意． B 项，仿上可知25×262=325，可知S 330＝T 25+b 5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意． C 项，仿上可知20×212=210，可知S 220＝T 20+b 10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意． D 项，仿上可知14×152=105，可知S 110＝T 14+b 5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．方法二：由题意可知：20︸第一项，20，21第二项，20，21，22第三项，⋯20，21，22，⋯，2n−1第n 项，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n ﹣1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为N ＝1+2+3+…+n =(1+n)n2， 所有项数的和为S n ：21﹣1+22﹣1+23﹣1+ (2)﹣1＝（21+22+23+ (2)）﹣n =2(1−2n)1−2−n＝2n +1﹣2﹣n ，由题意可知：2n +1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝1，总共有(1+1)×12+2＝3，不满足N ＞100， ②1+2+4+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝5，总共有(1+5)×52+3＝18，不满足N ＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝13，总共有(1+13)×132+4＝95，不满足N ＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝29，总共有(1+29)×292+5＝440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440． 故选：A ． 二、填空题9．【解答】解：∵a 1+a 2＝18，a 2+a 3＝12，则公比q =a 2+a 3a 1+a 2=q(a 1+a 2)a 1+a 2=1218=23． 故答案为：23．10．【解答】解：依题意可知a ＝3，c ＝5 ∴b =√25−9=4根据顶点坐标可知焦点在x 轴， ∴双曲线的方程为x 29−y 216=1故答案为：x 29−y 216=111．【解答】解：由题意可得：c ＝1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4＝1，解得m＝5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m＝1，解得m＝3．故答案为：3或5．12．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．13．【解答】解：命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2﹣mx﹣m＞0”，是真命题，即m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0，∴m的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．14．【解答】解：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙，故答案为：甲丁乙丙三、解答题15．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝2，前3项和S3=9 2．∴a1+2d＝2，3a1+3d=92，解得a1＝1，d=12．∴a n＝1+12（n﹣1）=n+12．（II）b1＝a1＝1，b4＝a15＝8，可得等比数列{b n}的公比q满足q3＝8，解得q＝2．∴{b n}前n项和T n=2n−12−1=2n﹣1．16．【解答】解：当双曲线焦点在x轴上时，∵点（3，−√2）在双曲线C上，且双曲线C的离心率e =√52，∴{9a 2−2b 2=1c a =√52a 2+b 2=c 2，解得a 2＝1，b 2=14．∴双曲线的标准方程为x 2−y 214=1；当双曲线焦点在y 轴上时，∵点（3，−√2）在双曲线C 上，且双曲线C 的离心率e =√52，∴{2a 2−9b 2=1c a=√52a 2+b 2=c 2，此方程组无解． 综上，双曲线C 的标准方程为x 2−y 214=1．17．【解答】解：（1）若a ＝1，不等式f （x ）≥1可化为：x 2+x ﹣1≥1，即x 2+x ﹣2≥0， 解得：x ∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），（2）若a ＜0，不等式f （x ）≥1可化为：ax 2+x ﹣a ﹣1＞0，即（x ﹣1）（x +a+1a）＜0， 当−a+1a ＜1，即a ＜−12时，不等式的解集为（−a+1a ，1）； 当−a+1a =1，即a =−12时，不等式的解集为∅； 当−a+1a ＞1，即−12＜a ＜0时，不等式的解集为（1，−a+1a ）．18．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝2+√2+2−√2=4，故a ＝2， 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 2⊥PF 1，因此2c ＝|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2=2√3，即c =√3，从而b =√a 2−c 2=1， 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）连接F 1Q ，由椭圆的定义，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|QF 1|+|QF 2|＝2a ， 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|+|QF 2|， 有|QF 1|＝4a ﹣2|PF 1|，又由PQ ⊥PF 1，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|=√2|PF 1|＝4a ﹣2|PF 1|，解得|PF 1|＝2（2−√2）a ，从而|PF 2|＝2a ﹣|PF 1|＝2（√2−1）a ， 由PF 2⊥PF 1，知2c ＝|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2，因此e =c a =√|PF 1|2+|PF 2|22a=√(2−√2)2+(√2−1)2=√9−6√2=√6−√3．19．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f（x）min＝2√2−1．（2）当0＜a＜1时，任取0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0＜a＜1，（x1+1）（x2+1）＞1，∴1−a(x1+1)(x2+1)＞0，∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min＝f（0）＝a．20．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由①，得2＜a＜6．由②，当i＝2，j＝3，k＝4时.2a，6a，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但6a＞6，12＞6，故2a＝6，解得a＝3．经检验，当a＝3时，符合题意．…（3分）（Ⅱ）假设2，3，5是数列A n中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列A n 中的项，则有限数列A n的最后一项a n＞5，且n≥4．由①，a n＞a n﹣1＞a n﹣2＞a n﹣3＞1．…（4分）对于数a n﹣2，a n﹣1，a n，由②可知：a n﹣2a n﹣1＝a n；对于数a n﹣3，a n﹣1，a n，由②可知：a n﹣3a n﹣1＝a n．…（6分）所以a n﹣2＝a n﹣3，这与①矛盾．所以2，3，5不可能是数列A n中的项．…（7分）（Ⅲ）n的最大值为9，证明如下：…（8分）（1）令A9：−4，−2，−1，−12，−14，0，12，1，2，则A9符合①、②．…（11分）（2）设A n：a1，a2，…，a n（n≥3）符合①、②，则：（ⅰ）A n中至多有三项，其绝对值大于1．假设A n中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设a i，a j，a k，a l是A n中绝对值最大的四项，其中1＜|a i|≤|a j|≤|a k|≤|a l|．则对a i，a k，a l有|a i a l|＞|a l|，|a k a l|＞|a l|，故a i a l，a k a l均不是数列A n中的项，即a i a k是数列A n中的项．同理：a j a k也是数列A n中的项．但|a i a k|＞|a k|，|a j a k|＞|a k|．所以a i a k＝a j a k＝a l．所以a i＝a j，这与①矛盾．（ⅱ）A n中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．假设A n中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾．（ⅲ）A n中至多有两项绝对值等于1．（ⅳ）A n中至多有一项等于0．综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知A n中至多有9项．…（14分）由（1），（2）可得，n的最大值为9．。
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
所以 ，此时 ，
又 ，此时 ，
综上可知： .
【点睛】思路点睛：求解形如 在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：
（1）先确定 这个整体的范围；
（2）分析 在（1）中范围下的取值情况；
（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的 的取值.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， .
理由如下供参考：过 作 交 于 点，过点 作 交 于 点，连接 ，
因为 ， ，所以 ，因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 平面 ，所以 ，
所以 即为点 到直线 距离，
因为 ，所以 有最大值时 有最大值，
显然 有最大值时 与 点重合，此时 与 重合，则 ，
所以点 到直线 距离的最大值为 ，此时 与 重合.
【答案】
【解析】
由三角形的面积公式知， ,解得 ，再有余弦定理得 ，故 .
14.若椭圆 的离心率是 ，则 的值为_________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
分焦点在 轴和 轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解
【详解】①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得 ，解得 ；
②当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得 ，解得 .
即“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的充分而不必要条件，
故选A.
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
4.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg），将所得数据整理后画出了频率分布直方图如图所示，体重在 内适合跑步训练，体重在 内适合跳远训练，体重在 内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（）
2020-2021学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题；共40分）1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}2．（4分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0B．1C．D．23．（4分）“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（kg），将所得数据整理后，体重在[45，50）内适合跑步训练，55）内适合跳远训练，体重在[55，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（）A．4：3：1B．5：3：1C．5：3：2D．3：2：15．（4分）已知函数g（x）＝f（2x）﹣x2为奇函数，且f（2）＝1（﹣2）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．（4分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+27．（4分）若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线8．（4分）方程（x+y+6）＝0表示的曲线是（）A．两条平行线B．一条直线和一条射线C．两条射线D．一条直线9．（4分）若函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与函数y＝cosωx的图象重合（）A．﹣1B．﹣2C．1D．210．（4分）已知函数f（x）＝，则f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣1），∪（3，+∞）D．（﹣1，3）二、填空题（共5小题：共25分）11．（5分）如果直线ax+2y+3a＝0与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行，则a＝．12．（5分）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．13．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝．14．（5分）椭圆+＝1的离心率为，则m＝．15．（5分）在平面直角坐标系中，关于曲线y2＝x3﹣2x+1，下列说法中正确的有．①该曲线是有界的（即存在实数a，b，使得对于曲线上任意一点A（x，y），都有|x|≤a②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线x＝m（m＞0）与该曲线至少有1个公共点．三、解答题16．（14分）已知直线l：y＝x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0交于不同的两点．（Ⅰ）写出圆心坐标和半径，并求出m的取值范围；（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．17．（14分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）18．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝45°，DC ＝1，P A⊥平面ABCD，P A＝1．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面P AC；（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．19．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2＝上，直线AM与椭圆交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍21．（15分）对于4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），若对1，2，3，4的任意一种排序i，j，k，（即i，j，k，l∈{1，2，3，4}且i，j，k，l互不相同）i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，则称实数组（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”．（Ⅰ）分别判断（﹣1，﹣1，1，1），（﹣，t，t，t）（t∈R，t≠0）是否为“阳光组”，说明理由．（Ⅱ）设（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”，证明：a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥﹣．（Ⅲ）求最大的常数C使得对于每个“阳光组”（a1，a2，a3，a4）均有，a i a j ≥C．2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题；共40分）1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}【分析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣8＜0}＝（﹣1，3），1，3，7}，则A∩B＝{1，3}，故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2．（4分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】解：z＝1+2i+i2＝1+2i﹣i＝8+i，∴|z|＝＝．故选：C．【点评】本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题．3．（4分）“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设直线ax+y﹣3＝0的倾斜角为θ，tanθ＝﹣a，由直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于，可得﹣a＞1或﹣a＜0，解得a范围即可判断出结论．【解答】解：设直线ax+y﹣3＝0的倾斜角为θ，tanθ＝﹣a，∵直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于，∴﹣a＞6或﹣a＜0，解得a＜﹣1，或a＞6．∴“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝8的倾斜角大于”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（4分）某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（kg），将所得数据整理后，体重在[45，50）内适合跑步训练，55）内适合跳远训练，体重在[55，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（）A．4：3：1B．5：3：1C．5：3：2D．3：2：1【分析】分别求出体重在[45，50）内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50，55）内频率为0.06×5＝0.30，体重在[55，60）内频率为0.02×5＝0.1，即可求得结论．【解答】解：体重在[45，50）内的频率为0.1×5＝0.5，55）内频率为3.06×5＝0.30，60）内频率为5.02×5＝0.5，∵0.5：5.3：0.4＝5：3：6故可估计跑步、跳远，故选：B．【点评】本题主要考查了频率分布直方图，同时考查了学生的读图能力，属于基础题．5．（4分）已知函数g（x）＝f（2x）﹣x2为奇函数，且f（2）＝1（﹣2）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】根据g（x）为奇函数可得出g（﹣2）＝﹣g（2），再根据f（2）＝1即可得出f （﹣2）﹣1＝﹣1+1，从而求出f（﹣2）＝1．【解答】解：∵g（x）为奇函数，且f（2）＝1；∴g（﹣1）＝﹣g（1）；∴f（﹣4）﹣1＝﹣f（2）+1＝﹣3+1；∴f（﹣2）＝5．故选：C．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．6．（4分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+2【分析】利用向量加法法则直接求解．【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝＝＝＝2．故选：C．【点评】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（4分）若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线【分析】若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，判断点B与直线a的关系，【解答】解：①点B∉直线a时，平面α∥平面β，∴a∥β或a⊂β，由线面平行性质定理；a⊂β时，故存在唯一与a平行的直线，则在平面β内不存在过B点的直线与a平行．故选：A．【点评】本题考查空间线面位置关系，关键在于点B与直线a的位置关系判断．8．（4分）方程（x+y+6）＝0表示的曲线是（）A．两条平行线B．一条直线和一条射线C．两条射线D．一条直线【分析】由原方程可得x+y﹣3＝0或x+y+6＝0且x+y﹣3≥0，结合两直线的位置关系，可得结论．【解答】解：方程（x+y+6）＝7，由于直线x+y＝3与直线x+y+6＝3平行，且直线x+y+6＝0的上方，所以x+y+4＝0且x+y﹣3≥8的解集为∅，所以方程（x+y+6）＝8表示的曲线为直线x+y﹣3＝0，故选：D．【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．9．（4分）若函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与函数y＝cosωx的图象重合（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【分析】根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得y＝sin[ω（x﹣）+]的图象，再根据所得函数的图象与函数y＝cosωx的图象重合，可得﹣ω•＝2kπ+，k∈z，由此可得ω的可能值．【解答】解：函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移，可得函数y＝sin[ω（x﹣]的图象，再根据所得函数的图象与函数y＝cosωx的图象重合，∴﹣ω•，k∈z，∴当k＝0时，ω＝﹣6，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝，则f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣1），∪（3，+∞）D．（﹣1，3）【分析】讨论x＜0，x≥0时函数f（x）的单调性，可得f（x）在R上递增，由单调性的定义，把f（3﹣x2）＞f（2x）转化为关于x的一元二次不等式求解．【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x3是增函数，当x≥0时，f（x）＝e x递增，且8＜e0＝1，可得f（x）在R上单调递增，由f（7﹣x2）＞f（2x），可得8﹣x2＞2x，解得﹣6＜x＜1，则不等式f（3﹣x3）＞f（2x）的解集为（﹣3，5）．故选：B．【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查不等式的解法，是基础题．二、填空题（共5小题：共25分）11．（5分）如果直线ax+2y+3a＝0与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行，则a＝3．【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】解：∵直线ax+2y+3a＝6与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣4平行，∴，解得a＝8．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．（5分）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣3＝0的圆心（2，﹣1），圆心到直线的距离为：＝，所以|AB|＝2＝2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝．【分析】先利用三角形面积公式求得c，最后利用三角函数的余弦定理求得a．【解答】解：∵S△ABC＝bc sin A＝∴c＝4∴a＝＝＝故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形问题．灵活利用正弦定理和余弦定理是解决三角形边角问题的关键．14．（5分）椭圆+＝1的离心率为，则m＝3或．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若8＜m＜4，则a2＝2，b2＝m，∴c＝，∴e＝＝；（ⅱ）m＞4，则b2＝8，a2＝m，∴c＝，∴e＝＝ m＝；综上：m＝3或m＝，故答案为：3或．【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．15．（5分）在平面直角坐标系中，关于曲线y2＝x3﹣2x+1，下列说法中正确的有②③．①该曲线是有界的（即存在实数a，b，使得对于曲线上任意一点A（x，y），都有|x|≤a②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线x＝m（m＞0）与该曲线至少有1个公共点．【分析】①根据题意可得x3﹣2x+1≥0，解得x取值范围，进而可得出结论；②假设曲线是中心对称图形，由x∈[﹣，]∪[1，+∞），推出点P（x0，y0）的对称点的横坐标x→﹣∞，不符合题意；③将方程中y变为﹣y，观察与原方程是否相等，即可判断是否关于原点对称，进而判断③；④当m∈（，1）时，直线x＝m（m＞0）与该曲线无交点，故④错误．【解答】解：①因为y2＝x3﹣7x+1，所以x3﹣2x+1≥0，所以（x5+x﹣1）（x﹣1）≥5，解得x∈[﹣，]∪[1，所以|x|≤a不恒成立，故①错误，②假设曲线是中心对称图形，因为x∈[﹣，，+∞），所以取一点P（x0，y2），当x0→+∞，此时点P（x0，y2）的对称点的横坐标x→﹣∞，不符合x∈[﹣，]∪[1，所以假设错误，故②正确，③将方程y2＝x3﹣2x+1中的y变为﹣y时，方程变为（﹣y）7＝x3﹣2x+5，与原方程相同，所以曲线关于x轴对称，④因为x∈[﹣，]∪[1，所以当m∈（，直线x＝m（m＞0）与该曲线无交点，故④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查曲线的方程，命题真假的判断，解题中需要掌握对称性的应用，属于中档题．三、解答题16．（14分）已知直线l：y＝x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0交于不同的两点．（Ⅰ）写出圆心坐标和半径，并求出m的取值范围；（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用直线与圆相交，得到关系式，利用判别式大于0得到结果．（Ⅱ）直线AB经过圆心，进一步利用代入法求出m的值，最后确定直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2﹣7x+4y+3＝7化为标准方程：（x﹣1）2+（y+7）2＝2，圆心坐标（8，﹣2）．由，得：2x2+2（m+6）x+m2+4m+4＝0，∴△＝4（m+5）2﹣8（m2+4m+3）＞8，解得﹣5＜m＜﹣1．（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，﹣8＝1+m，∴直线l：y＝x﹣3．直线l与x轴的交点为（5，0），﹣3），所以，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用及相关的运算问题，属于中档题．17．（14分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x﹣）﹣1，利用正弦函数的周期性和单调性即可得解．（Ⅱ）由题意可求范围2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+3＝23x+1＝sin7x﹣cos2x ＝2sin（8x﹣），所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π，令2kπ﹣≤4x﹣，k∈Z≤x≤kπ+，可得单调递增区间为：[kπ﹣]，k∈Z．（Ⅱ）当x∈[0，]时∈[﹣，]，所以sin（2x﹣）∈[﹣，可得f（x）＝2sin（2x﹣）∈[﹣1，即函数f（x）的最大值为3．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．18．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝45°，DC ＝1，P A⊥平面ABCD，P A＝1．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面P AC；（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）由已知中AB∥DC，结合线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD；（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，由已知中DC＝1，AB＝2，我们根据勾股定理可得BC⊥AC，由P A⊥平面ABCD可得P A⊥BC，结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面P AC；（Ⅲ）若M是PC的中点，则M到面ADC的距离是P到面ADC距离，即P A的一半，根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD∴AB∥平面PCD（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，∴AE＝DC＝1又AB＝2，∴BE＝6在Rt△BEC中，∠ABC＝45°∴CE＝BE＝1，CB＝∴AD＝CE＝4则AC＝＝，AC2+BC2＝AB3∴BC⊥AC又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC．又由P A∩AC＝A∴BC⊥平面P AC（Ⅲ）∵M是PC中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半∴．【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归转化思想、必然与或然思想；属于立体几何中的基础题型．19．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出＝（1，0，1），＝（﹣1，﹣m，1），可得•＝0，即可证明DA1⊥ED1；（Ⅱ）求出平面CED1的一个法向量，利用直线DA1与平面CED1成角为45°，可得＝，即可求的值；（Ⅲ）点E在A点处，可求点E到直线D1C距离的最大值．【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，0，0），5，0），1，6），1，0），D2（0，0，6），A1（1，3，1），m，0）（8≤m≤1）（Ⅰ）证明：＝（4，0，＝（﹣7，1）∴•＝0∴DA1⊥ED3；（4分）（Ⅱ）解：设平面CED1的一个法向量为＝（x，y，则∵＝（0，1），，m﹣6∴．取z＝1，得y＝1，得＝（4﹣m，1．∵直线DA1与平面CED3成角为45°，∴sin45°＝|cos＜，＞|＝，∴＝，解得m＝（Ⅲ）解：点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处【点评】本题考查线线垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2＝上，直线AM与椭圆交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AB的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得|AB|＝2|AM|，即＝2，运用向量的坐标表示，可得M的坐标，代入圆的方程，可得直线AB的斜率，即可得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝＝，6b＝2，则a＝2，所以椭圆的标准方程为+＝7；（Ⅱ）A（﹣2，0），与椭圆方程x8+2y2﹣2＝0联立，可得（1+8k2）x2+6k2x+8k7﹣4＝0，设A，B的横坐标分别为x4，x2，可得x1+x8＝﹣，x5x2＝，设x1＝﹣4，可得x2＝，y2＝，由△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，设O到AB的距离为d，可得＝3，即＝2，设M（m，n），）＝2（m+2，可得m＝，n＝，由M在圆x3+y2＝上，可得m2+n2＝，即为28k4+k8﹣2＝0，解得k＝±，则直线AB的方程为y＝x+1或y＝﹣．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．（15分）对于4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），若对1，2，3，4的任意一种排序i，j，k，（即i，j，k，l∈{1，2，3，4}且i，j，k，l互不相同）i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，则称实数组（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”．（Ⅰ）分别判断（﹣1，﹣1，1，1），（﹣，t，t，t）（t∈R，t≠0）是否为“阳光组”，说明理由．（Ⅱ）设（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”，证明：a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥﹣．（Ⅲ）求最大的常数C使得对于每个“阳光组”（a1，a2，a3，a4）均有，a i a j ≥C．【分析】（Ⅰ）根据“阳光组”的定义即可判断；（Ⅱ）根据“阳光组”的定义可得a1a2+a2a3+a3a4≥﹣1，a1a2+a1a4+a2a3≥﹣1，a1a2+a1a4+a3a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a4a1≥﹣1，不等式相加即可证明；（Ⅲ）a a i a j＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4，再利用“阳光组”的定义可得a1a2+a1a3+a2a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a1a4≥﹣1，即可得C≤﹣2，即可求最大的常数C．【解答】解：（Ⅰ）①（﹣1，﹣1，2，当i＝3，j＝2，l＝6时，a i a j+a j a k+a k a l≥a2a3+a7a4+a1a3＝﹣3，不满足“阳光组”条件；②（﹣，t，t，t），是，a1a2＝﹣，a1a5＝﹣，a3a4＝﹣，a2a3＝t3，a2a4＝t2，a3a4＝t7，a i a j+a j a k+a k a l≥2t2﹣或t2﹣5，均满足a i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，满足“阳光组”条件；（Ⅱ）根据“阳光组”条件，a1a2+a2a3+a5a4≥﹣1，a4a2+a1a4+a2a3≥﹣4，a1a2+a4a4+a3a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a3a1≥﹣1，将以上四个不等式相加得：3（a1a2+a8a3+a3a7+a4a1）≥﹣6，故a1a2+a6a3+a3a2+a4a1≥﹣；（Ⅲ）a i a j＝a1a2+a8a3+a1a3+a2a3+a5a4+a3a8＝（a1a2+a7a3+a2a7）+（a2a3+a3a4+a1a6）≥（﹣1）+（﹣1）＝﹣7，故C＝﹣2．【点评】本题的关键点是理解“阳光组”的定义，4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），均有a i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，对于后面的问题利用定义解决即可．。
2019-2020学年北京师大附中高二(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题：共40分）1．命题p ：“(,0)x ∀∈-∞，34x x ”的否定p ⌝为()A ．(,0)x ∀∈-∞，34x x <B ．(,0)x ∀∈-∞，34x xC ．000(,0),34x x x ∃∈-∞<D ．000(,0),34x x x ∃∈-∞ 2．在等比数列{}n a 中，32a =，58a =，则4(a =)A ．4B ．5C ．4±D ．5±3．若a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式中正确的是()A ．ab ac>B ．ac bc>C ．||||a b c b >D ．222a b c >>4．设01x <<，则a =，1b x =+，11c x=-中最大的一个是()A ．aB ．bC ．cD ．不能确定5．在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于()A ．2nB ．3nC ．121n +-D ．31n -6．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且310a b c ++=，则(a =)A ．4B ．2C ．2-D ．4-7．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a ，1i a +的矩形的面积(1i =，2，)⋯，则{}n A 为等比数列的充要条件是()A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯或2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯是等比数列C ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列D ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相同8．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流(0100)x x <<人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A ．15B ．16C ．17D ．18二、填空题（共6小题：共30分）9．数列{}n a 中，已知11a =，22a =，*12()n n n a a a n N ++=+∈，则7a =．10．若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为．11．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >．其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是．（填序号，只有一个正确选项）12．已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S =．13．等比数列{}n a 中，若前n 项的和为21n n S =-，则222n a a a ++⋯+=．14．珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为19991220--标示澳门回归日，中央靠下有2350-标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为．三、解答题（共6小题：共80分）15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a 的n 的取值范围．16．已知命题：“{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．17．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110)x ，每小时可获得利润是3100(51)x x+-元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．18．已知:(1)(2)0p x x +- ，q ：关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立．（1）当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221nn a S -=，*n N ∈．数列{}n b 满足111n n n b a a +=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+- 恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ，2S ，⋯，n S 中奇数的个数为n b ．（Ⅰ）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项；（Ⅱ）求证：“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若i i a b =，1i =，2，3，⋯，求数列{}n a 的通项公式．2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题：共40分）1．命题p ：“(,0)x ∀∈-∞，34x x ”的否定p ⌝为()A ．(,0)x ∀∈-∞，34x x <B ．(,0)x ∀∈-∞，34x xC ．000(,0),34x x x ∃∈-∞<D ．000(,0),34x x x ∃∈-∞ 【解答】解：命题是全称命题，则000:(,0),34x x p x ⌝∃∈-∞<，故选：C ．2．在等比数列{}n a 中，32a =，58a =，则4(a =)A ．4B ．5C ．4±D ．5±【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得253a a q = ，所以2q =±，都符合题意，所以434a a q ==± ，故选：C ．3．若a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式中正确的是()A ．ab ac>B ．ac bc>C ．||||a b c b >D ．222a b c >>【解答】解：a b c >>且0a b c ++=，0a c ∴>>，b R ∈．ab ac ∴>，ac bc <，||a b 与||c b 大小关系不确定，2a 、2b 、2c 大小关系不确定．则上述不等式中正确的是A ．故选：A ．4．设01x <<，则a =，1b x =+，11c x=-中最大的一个是()A ．aB ．bC ．cD ．不能确定【解答】解：01x << ，1x ∴+>=>．∴只需比较1x +与11x-的大小．2211110111x x x x x x --+-==-<--- ，111x x∴+<-．故选：C ．5．在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于()A ．2nB ．3nC ．121n +-D ．31n -【解答】解：因数列{}n a 为等比，则13n n a q -=，因数列{1}n a +也是等比数列，则212(1)(1)(1)n n n a a a +++=++211222n n n n n n a a a a a a ++++∴+=++212n n n a a a ++∴+=2(12)0n a q q ∴+-=1q ∴=即3n a =，所以3n s n =，故选：B ．6．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且310a b c ++=，则(a =)A ．4B ．2C ．2-D ．4-【解答】解：由互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，可设a b d =-，c b d =+，由题设得，2310()()b d b b d b d b b d -+++=⎧⎨-=+⎩，解方程组得26b d =⎧⎨=⎩，或20b d =⎧⎨=⎩，0d ≠ ，2b ∴=，6d =，4a b d ∴=-=-，故选：D ．7．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a ，1i a +的矩形的面积(1i =，2，)⋯，则{}n A 为等比数列的充要条件是()A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯或2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯是等比数列C ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列D ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相同【解答】解：依题意可知1i i i A a a += ，112i i i A a a +++∴= ，若{}n A 为等比数列则12(i i i iA a q q A a ++==为常数），则1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比均为q ；反之要想{}n A 为等比数列则12i i i iA a A a ++=需为常数，即需要1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相等；故{}n A 为等比数列的充要条件是1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相同．故选：D ．8．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流(0100)x x <<人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A ．15B ．16C ．17D ．18【解答】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t （万元），分流后剩余(100)x -人每年创造的产值为(100)(1 1.2%)x x t -+，则由0100(100)(1 1.2%)100x x x t t <<⎧⎨-+⎩ ，解得：5003x <<．x N ∈ ，x ∴的最大值为16．故选：B ．二、填空题（共6小题：共30分）9．数列{}n a 中，已知11a =，22a =，*12()n n n a a a n N ++=+∈，则7a =1．【解答】解：由12n n n a a a ++=+，得21n n n a a a ++=-，所以3211a a a =-=，432121a a a =-=-=-，543112a a a =-=--=-，6542(1)1a a a =-=---=-，7651(2)1a a a ===---=．故答案为：1．10．若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为4．【解答】解：若实数x ，y 满足1xy =，则2242244x y x y xy +== ，当且仅当2x y ==时，上式取得最小值4．故答案为：4．11．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >．其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是③．（填序号，只有一个正确选项）【解答】解：关于①，1a b +>，可取23a =，23b =，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于②，2a b +=，可取1a =，1b =，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于④，222a b +>，可取2a =-，2b =-，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于⑤，1ab >，可取2a =-，2b =-，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”．关于③，若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的．证明如下：假设1a 且1b ，则2a b + ．与已知条件“2a b +>”矛盾，故假设不成立．即有a ，b 中至少有一个大于1，故③正确．故选③．12．已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S =64．【解答】解：{}n a 是等差数列，1a ，2a ，5a 成等比数列，∴2111()(4)a d a a d +=+ ，又11a =，220d d ∴-=，公差0d ≠，2d ∴=．∴其前8项和81878856642S a d ⨯=+⨯=+=．故答案为：64．13．等比数列{}n a 中，若前n 项的和为21n n S =-，则222n a a a ++⋯+=4(41)3n-．【解答】解：111a S == ，221312a S S =-=-=，∴公比2q =．又 数列2{}n a 也是等比数列，首项为211a =，公比为24q =，∴2222121(14)4(41)143nn a a a ⨯-++⋯+==--故答案为：4(41)3n -14．珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为19991220--标示澳门回归日，中央靠下有2350-标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为505．【解答】解：由题意得：8275535419209843169505+++++++++=，故答案为：505．三、解答题（共6小题：共80分）15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a 的n 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ，若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=，若34a =，则5322a a d -==-，则3(3)210n a a n d n =+-=-+，（2）若n n S a ，则11(1)(1)2n n na d a n d -++- ，当1n =时，不等式成立，当2n 时，有12ndd a - ，变形可得1(2)n d a -- ，又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有11(2)4a n a --- ，又由10a >，则有10n ，则有210n ，综合可得：110n ．n N ∈．16．已知命题：“{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【解答】解：（1）由20x x m --=可得2211()24m x x x =-=--11x -<< ∴124m -< 1{|2}4M m m =-< （2）若x N ∈是x M ∈的必要条件，则M N⊆①当2a a >-即1a >时，{|2}N x a x a =-<<，则12421a a a ⎧-<-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩即94a >②当2a a <-即1a <时，{|2}N x a x a =<<-，则11422a a a <⎧⎪⎪<-⎨⎪-⎪⎩ 即14a <-③当2a a =-即1a =时，N ϕ=，此时不满足条件综上可得9144a a ><-或17．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110)x ，每小时可获得利润是3100(51)x x+-元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】解：（1）由题意可得：3200(513000x x+- ，即3514x x- ，解得3x ，又110x ，310x ∴ ．（2）设生产1200千克产品的利润为y ，则2231200311161100(51120000(5)120000[3(612y x x x x x x =+-=-++=--+ ，∴当116x =即6x =时，y 取得最大值610000．故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元．18．已知:(1)(2)0p x x +- ，q ：关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立．（1）当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）244240m m +-< ，260m m ∴+-<，32m ∴-<<，∴实数m 的取值范围为：(3,2)-．（2）:12p x - ，设{|12}A x x =- ，2{|260}B x x mx m =+-+>，p 是q 的充分不必要条件，A B∴Ü①由（1）知，32m -<<时，B R =，满足题意；②3m =-时，2{|690}{|3}B x x x x x =-+>=≠，满足题意；③2m =时，2{|440}{|2}B x x x x x =++>=≠-，满足题意；④3m <-，或2m >时，设2()26f x x mx m =+-+，()f x 对称轴为x m =-，由A B Ü得1(1)0m f -<-⎧⎨->⎩或2(2)0m f ->⎧⎨>⎩，∴1370m m >⎧⎨-+>⎩或23100m m <-⎧⎨+>⎩，∴713m <<或1023m -<<-，∴1033m -<<-或723m <<综上可知：10733m -<<19．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221nn a S -=，*n N ∈．数列{}n b 满足111n n n b a a +=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+- 恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1） 2111a S a ==，10a ≠，11a ∴=．⋯．（1分）223123a S a a a ==++，2(1)33d d ∴+=+，1d ∴=-，2，当1d =-时，20a =不满足条件，舍去．因此2d =．⋯．（4分）21n a n ∴=-，∴112121n b n n =--+，221n n T n ∴=+．⋯．（6分）（2）当n 为偶数时，2821n n n λ<++，∴(21)(8)18(217)22n n n n n λ++<=++， 828n n + ，当2n =时等号成立，∴18(217)2n n ++最小值为252，因此252λ<．⋯．（9分）当n 为奇数时，(21)(8)18(215)22n n n n n λ+-<=--， 82n n -在1n 时单调递增，1n ∴=时18(215)2n n --的最小值为212-，∴212λ<-．⋯．（12分）综上，212λ<-．⋯．（14分）20．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ，2S ，⋯，n S 中奇数的个数为n b ．（Ⅰ）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项；（Ⅱ）求证：“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若i i a b =，1i =，2，3，⋯，求数列{}n a 的通项公式．【解答】解：()n I a n =，(1)2n n n S +=．11S ∴=，23S =，36S =，410S =，515S =．11b ∴=，22b =，32b =，42b =，53b =．证明：()II （充分性）1a 是奇数，(2i a i =，3，4)⋯为偶数，∴对于任意*i N ∈，i S 都是奇数，n b n ∴=，∴数列{}n b 是单调递增数列．（不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时，1S 为偶数，(2i S i =，3，4)⋯均为奇数，1n b n ∴=-，数列{}n b 是单调递增数列，∴“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的不必要条件．综上，：“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）（1）当k a 为奇数时，若k S 为偶数，若1k a +是奇数，则1k S +为奇数，111k k k b b a +∴=+=+为偶数，与11k k a b ++=矛盾；若1k a +为偶数，则1k S +为偶数，1k k k b b a +∴==为奇数，与11k k a b ++=矛盾．∴当k a 为奇数时，k S 不能为偶数；（2）当k a 为偶数，若k S 为奇数，若1k a +为奇数，则1k S +为偶数，1k k k b b a +∴==为偶数，与11k k a b ++=矛盾，若1k a +为偶数，则1k S +为奇数，111k k k b b a +∴=+=+为奇数，与11k k a b ++=矛盾，∴当k a 为偶数时，k S 不能是奇数．综上，k a 与k S 同奇偶，111a b S == 为偶数，且101b ，110b a ∴==，22111a b b=+=，且20b ，220b a∴==，以此类推，得到0na=．。